几个重要的不等式证明及应用
八个著名的不等式
第八讲 几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。
下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。
[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。
[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。
[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个 当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。
常用的不等式解释或应用场景
常用的不等式解释或应用场景一、基本不等式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣。
o解释：这个不等式描述了两个数的和的绝对值与它们绝对值的和之间的关系。
它常用于估计和简化涉及绝对值的表达式。
o应用场景：在计算涉及多个项的和的绝对值时，可以使用三角不等式来得到一个上界。
这在误差估计和数值分析中特别有用。
2.柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列a i和b i（i=1,2,...,n），有(∑i=1n a i b i)2≤(∑i=1n a i2)(∑i=1n b i2)。
o解释：这个不等式描述了两个向量的内积与它们模长之间的关系。
它表明两个向量的内积的绝对值不会超过它们模长的乘积。
o应用场景：在向量空间、线性代数和概率论中广泛应用。
例如，在证明两个随机变量的协方差不超过它们各自方差的乘积时就会用到这个不等式。
二、均值不等式1.算术-几何平均不等式（AM-GM Inequality）：对于任意非负实数a1,a2,...,a n，有na1+a2+...+a n≥n a1⋅a2⋅...⋅a n。
o解释：这个不等式表明一组非负数的算术平均数（AM）总是大于或等于它们的几何平均数（GM）。
o应用场景：在优化问题、概率论和统计学中广泛应用。
例如，在证明某些极值问题时，可以通过将问题转化为求某个表达式的最小值，然后利用AM-GM不等式来求解。
三、排序不等式1.切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：对于任意实数序列a i和b i（i=1,2,...,n），如果a i和b i都是单调不减或单调不增的，则有n1∑i=1n a i b i≥(n1∑i=1n a i)(n1∑i=1n b i)。
o解释：这个不等式描述了两个单调序列对应项乘积的平均值与它们各自平均值的乘积之间的关系。
它表明在排序后的情况下，对应项乘积的平均值会更大。
重要不等式使用条件
重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。
不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。
在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。
本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。
该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。
不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。
使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。
2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。
3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。
满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。
三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。
该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。
不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。
2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。
满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。
四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。
该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。
不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。
重要不等式使用条件
重要不等式使用条件1. 引言在数学中，不等式是比较两个数或者变量之间大小关系的数学表达式。
重要不等式是指那些在数学推导和证明中经常被使用的不等式。
这些不等式在各个领域都有广泛的应用，例如代数、几何、概率论等。
为了正确使用这些重要不等式，我们需要了解它们的使用条件。
本文将介绍一些常见的重要不等式，并详细说明它们的使用条件，以帮助读者更好地理解和应用这些不等式。
2. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中一个非常重要且广泛应用的不等式。
它表达了两个向量内积的大小关系。
柯西-施瓦茨不等式的表述如下：对于任意实数或复数向量 x 和 y，有：|x·y| ≤ ||x||·||y||其中，|x·y| 表示向量 x 和 y 的内积（点积）的绝对值，||x|| 表示向量 x 的模（长度）。
柯西-施瓦茨不等式成立的条件是：向量 x 和 y 都属于一个内积空间，且该内积空间满足柯西-施瓦茨不等式的定义。
3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中一个重要的不等式，用于估计随机变量与其期望值之间的关系。
马尔可夫不等式的表述如下：对于一个非负随机变量 X 和任意正实数 a，有：P(X ≥ a) ≤ E(X)/a其中，P(X ≥ a) 表示随机变量 X 大于等于 a 的概率，E(X) 表示随机变量 X 的期望值。
马尔可夫不等式成立的条件是：随机变量 X 的概率分布必须满足一定的条件，例如非负性、有限性、单调性等。
4. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中另一个重要的不等式，用于估计随机变量与其期望值之间的关系。
切比雪夫不等式的表述如下：对于一个具有有限方差σ² 的随机变量 X 和任意正实数 k（k > 0），有：P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ σ²/k²其中，P(|X - E(X)| ≥ k) 表示随机变量 X 与其期望值之间的偏离程度大于等于k 的概率，σ² 表示随机变量 X 的方差。
概率论中几个不等式的推广及应用
概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。
（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。
（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。
（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。
（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。
2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。
（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。
（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。
（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。
（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
几个重要的不等式
几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。
它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。
该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。
该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。
二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。
它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。
1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。
3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
数学中的几个经典不等式以及其用
数学中的几个经典不等式以及其用法一,数量不等式1,基本不等式 设a1,a2……an 为n 个正数则其算术平均数大于等于几何平均数 即：(a1+a2+……+an)/n>=(a1a2……an)^(1/n)，当且仅当a1=a2=……=an 时等号成立。
当n=2时可采用几何法进行证明（直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高，相似）1， 用基本不等式证明：若a,b,c 均为正数，且有a+b+c=1证明a^2+b^2+c^2>=1/3. 2， 已知a,b,c 为不全相等的正数，证明：a+b+c>=(ab)^1/2+( bc)^1/2+(ca)^1/2 2,柯西不等式 设a1,a2……an,b1,b2……bn 为实数则有：(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)>=(a1b1+a2b2+……anbn)^2 当且仅当bi=0,i=1,2,……n 或者存在实数k 使得ai=kbi,i=1,2,……n 时取等号。
当n=2时可借助向量的内积进行解释。
1,求y=5*(x-1)^(1/2)+(10-2x)^(1/2)的最大值（当x=127/27时取最大值）.25513651252222x x x x y -=-=-+-⨯+≤ 2，求y=3sin(x)+4(1+cos2x)^(1/2)的最大值.解： 易证≤2y [)(232+]42)2cos 1sin 2(2x x ++⋅=41 上式当且仅当42cos 123sin 2x x +=成立 3，用柯西不等式证明：若a,b,c 均为正数，且有a+b+c=1证明a^2+b^2+c^2>=1/3.3，排序不等式 设a1=<a2=<……=<an,b1=<b2=<……=<bn 为两组实数， 且c1,c2……cn 为b1,b2……bn 的任一排列则有：a1bn+a2bn-1+……+anb1=<a1c1+a2c2+……+ancn=<a1b1+a2b2+……+anbn 即反序和=<乱序和=<顺序和，当且仅当a1=a2=……=an 或b1=b2=……=bn 时 反序和等于顺序和。
几个重要的不等式
几个重要的不等式以不等式为标题，写一篇文章。
一、柯西不等式柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它可以用来描述向量内积的性质。
假设有两个n维向量a和b，柯西不等式可以表示为：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示向量a和向量b的内积，||a||和||b||表示向量a和向量b的模长。
不等式右边的乘积表示了两个向量的模长乘积，而不等式左边的内积则表示了两个向量之间的相似程度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。
柯西不等式在数学和物理中有广泛的应用。
例如，在信号处理中，柯西不等式可以用来判断两个信号的相关性；在几何学中，柯西不等式可以用来证明三角形的性质；在概率论中，柯西不等式可以用来推导概率的上界。
二、三角不等式三角不等式是数学中的另一条重要不等式，它可以用来描述三角函数之间的关系。
对于任意实数x和y，三角不等式可以表示为：|sin(x) + sin(y)| ≤ |sin(x)| + |sin(y)|三角不等式告诉我们，对于任意两个实数x和y，它们的正弦值之和的绝对值不会超过它们正弦值的绝对值之和。
换句话说，正弦函数的和不会超过两个正弦函数的和。
三角不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，三角不等式可以用来证明三角形的性质；在物理学中，三角不等式可以用来推导物理量的上界。
三、均值不等式均值不等式是数学中的一类重要不等式，它可以用来描述数列的性质。
常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值和几何平均值不小于调和平均值两种形式。
算术平均值不小于几何平均值的不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，a1、a2、...、an为正实数。
这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的算术平均值不会小于它们的几何平均值。
几何平均值不小于调和平均值的不等式可以表示为：(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ≥ n/(a1 + a2 + ... + an)这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的几何平均值不会小于它们的调和平均值。
三个重要不等式
三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ， 则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明 先证左端 设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ， 所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端 又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数 由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥， 得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时， 采用数学归纳法.1） 当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立 例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题） 设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一 （用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二 （用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解 不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明 由 222x y xy +≥， 得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥， 故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明 构造均值不等式的模型 由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ， 所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明 构造柯西不等式的模型 构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明 由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明 由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
常用不等式及其证明
常用不等式及其证明不等式在数学中起着重要的作用，它们在数学推理和解决实际问题中发挥着重要的作用。
本文将介绍几个常用的不等式及其证明。
一、柯西不等式柯西不等式是线性代数中常用的不等式之一，它在向量空间和内积空间中广泛应用。
柯西不等式表述如下：对于任意的n维实数列a1，a2，...，an和b1，b2，...，bn，有：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)证明：考虑离差:(a1λ + b1)^2 + (a2λ + b2)^2 + ... + (anλ + bn)^2对于任意实数λ。
这个式子可以通过非负性的考虑被表示为：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn - λ(a1^2 + a2^2 + ... + an^2))^2 ≥ 0展开得：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)λ^2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)λ + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ 0这是一个二次方程，所以判别式需要不大于0：4(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 - 4(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≤ 0化简得到：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)因此，柯西不等式得证。
二、均值不等式均值不等式是不等式中常见的一类，它包括算术平均数、几何平均数和调和平均数。
1. 算术平均数不等式：对于任意n个正实数a1，a2，...，an，有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)证明：根据算术平均值和几何平均值的定义可得：(√a1 - √a2)^2 ≥ 0a1 + a2 - 2√(a1a2) ≥ 0(a1 + a2)/2 ≥ √(a1a2)将上述不等式推广到n个数，可得：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)2. 几何平均数不等式：对于任意n个正实数a1，a2，...，an，有：√(a1a2...an) ≤ (a1 + a2 + ... + an)/n证明：根据算术平均值和几何平均值的定义可得：(√a1 - √a2)^2 ≥ 0a1 + a2 - 2√(a1a2) ≥ 0a1 + a2 + ... + an - n√(a1a2...an) ≥ 0(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)因此，几何平均数不等式得证。
几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
4个重要不等式
4个重要不等式
在数学中，不等式是一个重要的概念，它描述了数值的大小关系。
不等式在解决实际问题和证明数学定理时都发挥着重要的作用。
今天我将向大家介绍四个重要的不等式。
首先是“算术平均数-几何平均数不等式”，也被称为AM-GM不等式。
这个不等式告诉我们，对于任意一组非负实数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数。
这个不等式在解决各种优化问题、证明不等式以及概率论中都有着广泛的应用。
接下来是“柯西-施瓦茨不等式”，它描述了内积空间中两个向量之间的关系。
柯西-施瓦茨不等式告诉我们，对于任意两个向量a和b，它们的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。
这个不等式在线性代数、概率论、信号处理等领域中都有着广泛的应用。
第三个不等式是“三角不等式”。
三角不等式告诉我们，对于任意两个实数a和b，它们的绝对值之和不小于它们的差的绝对值。
这
个不等式在几何学、函数分析以及各种优化问题的求解中都有着重要的作用。
最后一个不等式是“切比雪夫不等式”，它描述了一组随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
切比雪夫不等式告诉我们，对于任意一个非负随机变量，其概率落在它的期望值加减标准差的k倍范围内的概率至少为1-1/k^2。
这个不等式在概率论、统计学以及各种实际问题中都有着广泛的应用。
这四个不等式都是数学中非常重要的工具，它们在解决实际问题、证明数学定理以及推导其他重要不等式时发挥着重要的作用。
掌握这些不等式，不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以应用到各种学科和领域中。
因此，我们应该认真学习和掌握这些重要的不等式，以提升我们的数学水平和解决问题的能力。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
三个重要不等式及应用
i 1
n
1 xi 1 xi
i 1
i 1
1 xi
n
由柯西不等式，有：
i 1
1 x i ( 1 xi 1)
n
n
(1 xi ) 1
i 1 i 1
i 1 n
n
n 1 n
i 1
xi ( xi 1) xi 1 n
三个重要不等式及应用
目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯 西不等式及其应用 重点：三个不等式的应用 难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式 设有两组数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an ; b1 , b2 , an , b1 b2 bn ，
anbn
a1 , a2 , , an 的某个排列，证明：
a1 a2 b1 b2
an n bn
证明 不妨设 b1 b2
bn ，则 1 1
b1 b2
1 an bn 1 bn bn
由排序不等式(乱序 逆序)得，
1 1 a1 a2 b1 b2 1 1 b1 b2 b1 b2 n
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
1 2 1 2 1 2 (n2 1) 2 求证 ： (a1 ) (a2 ) ... (an ) a1 a2 an n
1 2 (1 ak ) k 1 k 1 a k
n n
(1 n 2 ) 2 n 1 2 1 2 2 (ak ) (1 n ) k 1 ak n
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RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
(4)二维形式的柯西不等式变式 ① a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； ② a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. 问题探究1：二维形式的柯西不等式还有哪些等价变式？ 提示：(1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n
为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．
5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西
不等式求一些特定函数的极值．
6．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
(对应学生用书P225) 考点1 利用柯西不等式证明不等式 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，变为符合柯西 不等式条件的式子． 例1 设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1bБайду номын сангаас1c≥9. 【分析】 结合已知条件对所证不等式变形构造柯西不等式的形 式证明．
4．贝努利不等式 (1＋x)n>1＋nx(n>－1且n≠0，n为大于1的正整数)．
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
自主检测
1．设a，b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P、Q间的大小关系是
() A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析：P－Q＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋ b)≥0.
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
【证明】 构造两组数： a， b， c； 1 ， 1 ， 1 .因此根据柯 abc
西不等式有[( a)2＋( b)2＋( c)2][( 1 )2＋( 1 )2＋( 1 )2]
答案：B
2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )
5
6
25
36
A.6
B.5
C.36
D.25
答案：B
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（文）
3．设a>0，b>0且a≠b，P＝ab2＋ba2，Q＝a＋b，则(
)
A．P>Q B．P≥Q C．P<Q 解析：P－Q＝ab2＋ba2－a－b
D．P≤Q
x12＋y12＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22. 3．排序不等式 (1)乱序和、反序和与顺序和 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R， 且a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn， 设c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列， 则分别将S＝a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn， S1＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1， S2＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn称为数组(a1，a2，a3，…，an)和数 组(b1，b2，b3，…，bn)的乱序和，反序和与顺序和．
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(2)排序不等式(又称排序原理)，设a1≤a2≤…≤an， b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任 一排列，则
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋ anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于乱序和 等于顺序和．
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考纲要求
1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证 明．
n
n
n
2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： ai2·bi2≥( aibi)2.
i＝1 i＝1
i＝1
3．会用向量递归方法讨论排序不等式．
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考情分析 本节内容在高考中主要考查柯西不等式在求最值和证明不等式中 的应用，要求能够将所给关系式通过“配”“凑”，转化为可以利用柯 西不等式的形式.
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(对应学生用书P224) 知识梳理 1．柯西不等式 (1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． (2)向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|， 当且仅当β是零向量或存在实数k使α＝kβ时等号成立． (3)一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数， 则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当 且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i=1,2，…， n)时，等号成立．
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问题探究2：柯西不等式的一般形式等号成立的条件若写作“当且
仅当bi＝0(i＝1,2…n)或bi≠0(i＝1,2…n)，
a1 b1
＝
a2 b2
＝…＝
an bn
时等号成立”
可以吗？
提示：可以．
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2．三角不等式 把x1，y1，x2，y2∈R，那么
答案：5
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5．已知x2＋4y2＋kz2＝36(其中k>0)且t＝x＋y＋z的最大值是7，则k ＝________.
解析：∵由柯西不等式得(x2＋4y2＋kz2)·1＋14＋1k≥(x＋y＋z)2， 又tmax＝7， ∴3654＋1k＝49，∴k＝9. 答案：9 6．已知x，y，z>0，且x＋y＋z＝4，则 x ＋2 y ＋ 3z 的最大值为 ________． 答案：4 2
＝ a2－b2 ＋ b2－a2 ＝ aa2－b2－ba2－b2 ＝ a－ba2－b2 ＝
b
a
ab
ab
a－b2a＋b
ab
>0
∴P>Q.
答案：A 4．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为________．
解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2， 因为a2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25.