几个重要的不等式证明及应用

4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n
为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立．
5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西
不等式求一些特定函数的极值．
6．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.
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问题探究2：柯西不等式的一般形式等号成立的条件若写作“当且
仅当bi＝0(i＝1,2…n)或bi≠0(i＝1,2…n)，
a1 b1
＝
a2 b2
＝…＝
an bn
时等号成立”
可以吗？
提示：可以．
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2．三角不等式 把x1，y1，x2，y2∈R，那么
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(对应学生用书P225) 考点1 利用柯西不等式证明不等式 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，变为符合柯西 不等式条件的式子． 例1 设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 【分析】 结合已知条件对所证不等式变形构造柯西不等式的形 式证明．
＝ a2－b2 ＋ b2－a2 ＝ aa2－b2－ba2－b2 ＝ a－ba2－b2 ＝
b
a
ab
ab
a－b2a＋b
ab
>0
∴P>Q.
答案：A 4．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为________．
解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2， 因为a2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25.
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考纲要求
1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证 明．
n
n
n
2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： ai2·bi2≥( aibi)2.
i＝1 i＝1
i＝1
3．会用向量递归方法讨论排序不等式．
4．贝努利不等式 (1＋x)n>1＋nx(n>－1且n≠0，n为大于1的正整数)．
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自主检测
1．设a，b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P、Q间的大小关系是
() A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析：P－Q＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋ b)≥0.
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(4)二维形式的柯西不等式变式 ① a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； ② a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. 问题探究1：二维形式的柯西不等式还有哪些等价变式？ 提示：(1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
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(2)排序不等式(又称排序原理)，设a1≤a2≤…≤an， b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任 一排列，则
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋ anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于乱序和 等于顺序和．
答案：B
2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )
5
6
25
36
A.6
B.5
C.36
D.25
答案：B
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3．设a>0，b>0且a≠b，P＝ab2＋ba2，Q＝a＋b，则(
)
A．P>Q B．P≥Q C．P<Q 解析：P－Q＝ab2＋ba2－a－b
D．P≤Q
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【证明】 构造两组数： a， b， c； 1 ， 1 ， 1 .因此根据柯 abc
西不等式有[( a)2＋( b)2＋( c)2][( 1 )2＋( 1 )2＋( 1 )2]
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考情分析 本节内容在高考中主要考查柯西不等式在求最值和证明不等式中 的应用，要求能够将所给关系式通过“配”“凑”，转化为可以利用柯 西不等式的形式.
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(对应学生用书P224) 知识梳理 1．柯西不等式 (1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． (2)向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|， 当且仅当β是零向量或存在实数k使α＝kβ时等号成立． (3)一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数， 则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当 且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i=1,2，…， n)时，等号成立．
x12＋y12＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22. 3．排序不等式 (1)乱序和、反序和与顺序和 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R， 且a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn， 设c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列， 则分别将S＝a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn， S1＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1， S2＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn称为数组(a1，a2，a3，…，an)和数 组(b1，b2，b3，…，bn)的乱序和，反序和与顺序和．
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答案：5
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5．已知x2＋4y2＋kz2＝36(其中k>0)且t＝x＋y＋z的最大值是7，则k ＝________.
解析：∵由柯西不等式得(x2＋4y2＋kz2)·1＋14＋1k≥(x＋y＋z)2， 又tmax＝7， ∴3654＋1k＝49，∴k＝9. 答案：9 6．已知x，y，z>0，且x＋y＋z＝4，则 x ＋2 y ＋ 3z 的最大值为 ________． 答案：4 2