初等数论中蕴含的数学思想

初等数论中蕴含的数学思想摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。

关键字：初等数论;数学思想方法;整除Mathematical Thinking in Elementary Number TheoryAbstract:By elementary number theory problems in some of the ideas summed up. And we review the proof process of some important theorems or lemmas. It is discussed that several mathematics thought way in Elementary theory. That is, conversion, overall, matching materials, groups and group representations thinking method and integer matrix in the application of elementary number theory.Key words: elementary theory ,mathematical way of thinking，division数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用. 1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.例1 证明对于任意整数n ，数62332n n n ++是整数.证明 ()()()2161326623232++=++=++n n n n n n n n n又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且()13,2=，所以有()()21|2++n n n 和()()21|3++n n n ()()21|6++n n n即62332n n n ++是整数.从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .a ,b ,c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab得()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？ 解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++ ()()3m od 2119731972197128282726+≡++ ()3m od 1421428≡=， ()()3m od 22128≡+282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法Euler 定理[2] 1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a ≡φ.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()()m r r r a ar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=ni i a 1与∑-=11m i i 同余，由此找到证明的途径.例4 设n a a a 、、、 21和n b b b 、、、 21分别是模n 的一组完全剩余系，且n |2，求证：n n b a b a b a +++、、、 2211不是模n 的一组完全剩余系.证明 假设()i i b a +，n i ,,2,1 =是模n 的一组完全剩余系.n a a a 、、、 21是模n 的一组完全剩余系，则：()()n nn n n n i a n i ni i mod 222212111-≡-≡-≡=∑∑-== 同理有：()n nb ni i mod 21-≡∑=. ()()()n n n b a ni i mod 0mod ≡≡+∑.又()i i b a +，n i ,,2,1 =也是模n 的一组完全剩余系，则有： ()()n nn b a ni i mod 22≡≡+∑，又n n <<20，矛盾！证毕. 例5 设整数2≥n ，证明：()()n n i n i n i ϕ211,1=∑=≤≤，即在数列n ，， 2,1中，与n 互素的正整数之和是()n n ϕ21.证明 设在n ，，2,1中与n 互素的()n ϕ个整数是()n a a a ϕ,,,21 ，()1,=n a i ()()n i n a i ϕ≤≤-≤≤1,11则()1,=-n a n i ()()n i n a n i ϕ≤≤-≤-≤1,11，因此，集合(){}n a a a ϕ,,,21与(){}na n a n a n ϕ---,,,21 都是由n i ,,2,1 =中与n 互素的整数组成，即这两个集合中的元素完全相同，所以()()()()()n n a n a n a n a a a ϕϕ-++-+-=+++ 2121从而()()()n n a a a n ϕϕ=+++ 212 因此()()n n a a a n ϕϕ2121=+++ ，即证. 3 配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2] 欧拉函数()a ϕ是定义在正整数集上的函数，()a ϕ等于序列 12,1,0-a ，， 中与a 互素的正整数的个数.定义[2] 在模m 的每个互素剩余类r C ()()1,,10=-≤≤m r m r 中任取一数r a ，则 所有的数r a ()()1,,10=-≤≤m r m r 所组成的集，叫做模m 的一个简化 剩余系.定义[2] 在()m ϕ个与模m 互素的剩余类中各取一个数，称这()m ϕ个数为模m 的简化剩余系.例6 设p 是素数，证明：()()p p m od 1!1-≡-. 证明 当3,2=p 时结论显然成立，不妨设素数5≥p .对于23,2-p ，，中的每个整数a ，都存在唯一的整数k ，()22-≤≤p k ，使得()p ka m od 1≡ ()1因此，整数23,2-p ，，可以两两配对使得上式()1成立，于是有 ()()p p m od 1232≡-⋅⋅⋅从而()()()()p p p p p m od 111221!1-≡-≡-⋅-⋅⋅⋅=-此题的结论称为Wilson 定理，其证明过程蕴含了“配对”的思想方法. 例7 求证：4，8，16，28，32，44，52，56是模15的简化剩余系.证明 在142,1,0，， 中与15互素的数有8个：14131187421，，，，，，，，所以()815=ϕ.因此与模15互素的剩余类为14131187421,,,,,,,K K K K K K K K .又()15m od 44≡，()15m od 88≡，()15m od 116≡，()15m od 1328≡，()15m od 232≡，()15m od 1444≡，()15m od 752≡，()15m od 1156≡，44K ∈,88K ∈,116K ∈,1328K ∈,232K ∈,1444K ∈,752K ∈,1156K ∈,所以4,8,16,28,32,44,52,56是模15的简化剩余系. 例如下面的简单事实都是配对的基础:()1若d 是正整数n 的正因数，则d 与d n 同为正整数n 的正因数.()2二次剩余定理的证明.例8 若p 为素数，()4m od 1≡p ，证明011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=p r p r ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p r 是r 对模p 的Legendre 符号.证明：()4m od 1≡p ，11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p ，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p r p r p .因此，r 与r p -同为模p 的平方剩余或同为平方非剩余.令14+=n p ，则对模p 而言有n 2个平方剩余及n 2个平方非剩余.据此，对任一r ()11-≤≤p r ，将r 与r p -配对，则n 2个平方剩余可配成n 对，n 2个平方非剩余也可配成n 对，故011=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=np np p r p r .值得注意的是，配对思想方法实质上是通过配对把局部补成整体的一种方法，因此也可以说是整体化思想的一种变形.数论解题中运用整体化的思想方法较为普遍，体现了数论解题思维的灵活性，利用整体化思想方法或配对思想，可以另辟蹊径获得巧妙简捷的解（证）题效果. 4 群论思想方法数论的问题以其抽象且难度大而著称，而抽象恰恰也是近世代数的最大特点.近世代数思想方法一直都被用到数论问题的处理中.下面我们通过对初等数论的定理的证明来介绍群论的思想方法在数论中的应用[4].Fermat 定理 设p 是一个素数且a 是一个不能被p 整除的自然数，那么()p a p mod 11≡-. 证明 考虑模p 的非零剩余组成的乘法群{}1,,2,1-=p G .若a 是一个不能被p 整除的自然数，则()111==--p p a a .所以 ()p a p mod 11≡-.5 矩阵的思想方法初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求m ()2>m 个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5]. 利用初等变换求整数的最大公约数 命题 设()da a a n = ,,21,则存在可逆矩阵()n m ij a A ⨯=,使得[][]00,,21 d A a a a n =()2≥n .证明 ()1当2=n 时,可设021>>a a ,由辗转相除法知：1111r a q a +=,210a r << 2122r r q a +=,120r r <<……m m m m r r q r +=--12,10-<<m m r r m m m r q r 11+-=()d r m m =≥,1于是，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+121110110110110m m q q q q A 则[][]021dA a a =,命题成立;()2假定k n =()2≥k 时，命题成立.则当1+=k n 时，由假定知，存在k 阶可逆方阵k k A ⨯，使得：[][]001132d A a a a k k k =⨯+，其中()1321,,+=k a a a d ，从而有[][]0000111111321d a A a a a a k k k k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+又由()1知，存在二阶可逆方阵22⨯A ，使得[][]02211dA d a =⨯.其中 ()()12111,,,+==k a a a d a d ,于是令()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯--⨯⨯⨯⨯⨯12112221100001k k k k k k k E A A A ，则[][]00421dA a a a =即当1+=k n 时，命题成立；由归纳法原理知，当2≥n 时，命题成立.（证毕）推 论 设n a a a ,,,21 ， 为不全为0的整数，则存在Z 上的n 阶可逆矩阵B ，使()()0,0,,,21d B a a a =.且d 是n a a a ,,,21 的最大公因数，B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下：将()n a a a ,,21下面写一个n 阶单位矩阵，构成一个()n n ⨯+1矩阵，再对A 施行初等变换，当A 的第一行变成()0,,0, d 时，则下面的单位阵变化成了B . 即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121 n a a a A −−−→−初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b bd21222211121100 例9求40,38,72的最大公因数.解 作矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10042012191002)3()2()1()2()19()1(1002110014382)3()2()2()1()1()2(100010001723840A 所以()272,38,40=初等数论解题过程中除了以上探讨的整体化、配对、化归、群论思想方法，还涉及其他的思想方法（如：环论思想，构造思想，分类思想及模方法在素数判断中的应用等）.值得注意的是，初等数论解（证）题往往是多种思想方法相互交织、渗透、化归的综合应用过程.如：在例2中，首先是将问题化为()23123⨯==+c b a ，在a ，b ，c 均为整数的情况下，只有1=c ，进而简化了问题，再运用代入法解决该题.初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.参考文献[1]王丹华,杨海文.初等数论中蕴涵的数学思想方法[J].井冈山学院学报.2007.04.13（4）：11-13.[2]张文鹏.初等数论[M].西安：陕西师范大学出版设,2007.4.（1）： 54-56.[3]王丹华,杨海文等.初等数论[M].北京：北京航空航天大学出版社，2008.3.（1）：65-66.[4]张清,唐再良.近世代数思想方法在数论中的应用[J].绵阳师范学院学报,2007,26(5):12-14.[5]陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用[J].南通工学院学报.2004.3.3（1）：01-04.[6] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社,2003.12.（3）：08-15.。