平均变化率优秀课件9
合集下载
平均变化率与瞬时变化率详解课件
瞬时变化率
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
人教版数学九上 实际问题与一元二次方程---平均变化率 课件
第一次 85×15%
第二次 85（1+15%）×15%
第三次
85
85+85×15%=85 （1+15%） 85（1+15%）+85（1+15%）×15% = 85 （1+15%）2
合作探究
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品 的成本是6000元，随着生产技术 的进步，现在生产1吨甲种药品的 成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本 的年平均下降率较大？
y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同.
合作探究
思考：经过计算，你能得出什么结论？ 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定
较大，应比较降前及降后的价格．
典例精析
例1、青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公
小试牛刀
2、某公司2017年的各项经营中，一月 份的营业额为200万元，一月 、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相 同，请你求这个增长率. 解：设这个增 长率为x.根据题意，得
200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 答：这个增长率为50%.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳总结
归纳：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长 （或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降 低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b （增长取＋，降低取－）．
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：平均变化率与瞬时变化率课件
2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度
为( )
A．6.3
B．36.3
C．3.3
D．9.3
答案：A
解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89
∴vത＝s
3.3 −s 3.3−3
3
＝10.8.39＝6.3，故选A.
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
跟踪训练2 某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位： 个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正 确的是( )
A．甲的日生产量大于乙的日生产量 B．甲的日生产量小于乙的日生产量 C．甲的日生产量等于乙的日生产量 D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
答案：B
f x2 − f x1
即ΔΔyx＝____x_2 _−_x_1____．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化 的___快__慢___．
状元随笔
函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快 慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数
值变化得越快．
＝8.
题型探究·课堂解透
题型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f(x)＝2x2＋1， (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解析：(1)由f(x)＝2x2＋1
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2
Δx＝2.01－2＝0.01
∴Δy＝2Δx+ Δx
Δx
Δx
2
＝2＋Δx.
故选C.
题型二 平均变化率的实际应用
第5章5.15.1.1 平均变化率-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，x2－x1 一定大于 0．
()
(2)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，函数值的变化量为 f (x2)
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 实际问题中的平均变化率 【例 2】 (1)圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均 变化率为________．
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为S(00.3.3)－－S0(.10.1)＝π×0.320－.2π×0.12＝ 0.4π.]
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
03
学习效果·课堂评估夯基础
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．函数 f (x)＝x2＋c(c∈R)区间1，3上的平均变化率为( )
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
九年级数学上册2.6第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程课件新版北师大版
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产
技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成 本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在生产
2 5000(1x ) 1吨甲种药品的成本是 元.
第一次降低前的量
下降率x
第二次降低前的量 第一次降低后的量
下降率x
第二次降低后的量
例2：某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件 已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的
利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
解析：销售利润=（每件售价-每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元， 则售价为（40+x）元，销售量为（600-10x）件，根据等量关系列方程即可.
解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得
x (2900 x 2500)(8 4 ) 5000. 50
整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0.
解方程,得：
x1 = x2 = 150.
∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
解方程，得
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均 下降率约为22.5％.
解后反思
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）
就大呢？
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢? 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均 下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对 量（年平均下降率）也可能相等．
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; (2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）， ∵14400＜15000，
九年级数学人教版上册第用一元二次方程解决平均变化率问题课件
这种电子产品降价后的销售单价为___1_8_0___元时，公司每Hale Waihona Puke 可获利 32 000 元．
9．【2020·上海】去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期 间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总 营业额的 12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业 额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的 营业额相等．求该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率．
可列方程为( C )
A．5 000(1＋2x)＝7 500 B．5 000×2(1＋x)＝7 500 C．5 000(1＋x)2＝7 500 D．5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝7 500
8．【2019·东营】为加快新旧动能转换，提高公司经济效益， 某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产 的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单 价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元， 每天可多售出 5 个．已知每个电子产品的固定成本为 100 元，问
程为____(_4_0_－___x_)(_2_0_＋___2_x_)_＝__1__2_0_0_______．
7．【2020·河南】国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐 年增加.2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5 000 亿元增加到 7 500 亿元．设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则
5．商场将进价为 2 000 元的冰箱以 2 400 元售出，平均每天
能售出 8 台，为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表
9．【2020·上海】去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期 间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总 营业额的 12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业 额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的 营业额相等．求该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率．
可列方程为( C )
A．5 000(1＋2x)＝7 500 B．5 000×2(1＋x)＝7 500 C．5 000(1＋x)2＝7 500 D．5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝7 500
8．【2019·东营】为加快新旧动能转换，提高公司经济效益， 某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产 的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单 价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元， 每天可多售出 5 个．已知每个电子产品的固定成本为 100 元，问
程为____(_4_0_－___x_)(_2_0_＋___2_x_)_＝__1__2_0_0_______．
7．【2020·河南】国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐 年增加.2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5 000 亿元增加到 7 500 亿元．设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则
5．商场将进价为 2 000 元的冰箱以 2 400 元售出，平均每天
能售出 8 台，为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表
函数的平均变化率课件
10
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
例2． 如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时， 由容器的形状可知，在固定的Δt时间内， 随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为： 如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么 杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
目录 | 添加标题内容
Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一 称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
目录 | 添加标题内容
Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢 固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
例2． 如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时， 由容器的形状可知，在固定的Δt时间内， 随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为： 如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么 杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
目录 | 添加标题内容
Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一 称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
目录 | 添加标题内容
Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢 固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选择性必修第三册
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平 均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在 t0 到 t1 这段时间内运动的平均速度就是物体运动 的位移函数 s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实 质就是求函数的平均变化率．
[跟进训练] 3．一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之 间的函数关系为 s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在 2≤t≤3 这段时间内的 平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．6 B [由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m) ＝26，解得 m＝1，选 B.]
当ΔΔyx＝0 时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如 f(x) ＝x2 在区间[－2,2]上的平均变化率是 0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义 如图所示，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线 AB 的 斜率，其中 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上 kAB＝fxx22－－fx1x1＝ΔΔyx.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx 表示 x2－x1，是相对于 x1 的一个增量，Δx 的值可正可负 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负，也可以为零．
()
(3)ΔΔxy表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
求物体运动的平均变化率
【例 2】 跳水运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在0，6459这段时间内的平均速度； (2)运动员在0，6459这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
数学九年级上册第2课时平均变化率与营销问题课件 新人教版
10 800÷1 350＝8(本/人)，
∴9－8 8 ×100%＝12.5%，∴a 的值为 12.5
9．某种商品原价为100元，经过连续两次降价后，价格变为81元，如果 每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是__1_0_%____．
10．(8分)(南京中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本， 其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的 可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
2．(4分)(2019·衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走 向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努 力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困
人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得( B )
A．9(1－2x)＝1 B．9(1－x)2＝1 C．9(1＋2x)＝1 D．9(1＋x)2＝1
解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x，根据题意，得 2.5(1＋x)2＝3.6，
解得 x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意舍去)， 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 20%； (2)设再增加 y 个销售点，根据题意，得 3.6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)，
解得 y≥94 .
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商 场日盈利可达到2 100元？
解：(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.化简，得x2－35x＋300＝0.解 得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去， ∴x＝20，故每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元
【素养提升】 13．(14分)某中学开展弘扬传统文化活动，鼓励学生到阅览室借书阅读， 并进行统计，校阅览室在2017年图书借阅总量为7 500本，2019年图书借 阅总量为10 800本． (1)求该学校的图书借阅总量从2017年到2019年连续两年的年均增长率； (2)已知2019年该校学生借阅图书人数有1 350人，预计2020年达到1 440 人，从2019年至2020年图书借阅总量增长率与2017到2019年两年的平均增 长率相同，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a%，求a的值．
∴9－8 8 ×100%＝12.5%，∴a 的值为 12.5
9．某种商品原价为100元，经过连续两次降价后，价格变为81元，如果 每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是__1_0_%____．
10．(8分)(南京中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本， 其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的 可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
2．(4分)(2019·衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走 向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努 力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困
人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得( B )
A．9(1－2x)＝1 B．9(1－x)2＝1 C．9(1＋2x)＝1 D．9(1＋x)2＝1
解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x，根据题意，得 2.5(1＋x)2＝3.6，
解得 x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意舍去)， 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 20%； (2)设再增加 y 个销售点，根据题意，得 3.6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)，
解得 y≥94 .
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商 场日盈利可达到2 100元？
解：(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.化简，得x2－35x＋300＝0.解 得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去， ∴x＝20，故每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元
【素养提升】 13．(14分)某中学开展弘扬传统文化活动，鼓励学生到阅览室借书阅读， 并进行统计，校阅览室在2017年图书借阅总量为7 500本，2019年图书借 阅总量为10 800本． (1)求该学校的图书借阅总量从2017年到2019年连续两年的年均增长率； (2)已知2019年该校学生借阅图书人数有1 350人，预计2020年达到1 440 人，从2019年至2020年图书借阅总量增长率与2017到2019年两年的平均增 长率相同，那么2020年的人均借阅量比2019年增长a%，求a的值．
第九课时平均变化率问题
2.临汾市计划用两年 时间将国民经济产 值翻一番,求平均每 年的增长率.
（ 2 1.4）
3.要使商品通过两次降 价达到半价销售,如果 每次降价的百 4、某人将2000元人民币按一年 定期储蓄存入银行，到期后支取 1000元用作购物，剩下的1000 元及利息又全部按一年定期储蓄 存入银行，若银行存款的利率不 变，到期后得本利和共1320元 （不计利息税），求一年定期存 款的年利率。
• 5、某科技公司研制成功一种产品,决 定向银行贷款200万元资金用于这种 产品,签定的合同上约定两年到期一 次性还本付息,利息为本金的8%,该产 品投放市场后,由于产销对路,使公司 在两年到期时除还清贷款的本金和利 息外,还盈余72万元.该公司在生产期 间每年比上一年资金增长的百分数相 同,求这个百分数？
A.甲的年平均下降率大，
B.乙的年平均下降率大，
C.甲乙的年平均下降率相同
1、平均变化(增长或降低两次）率公式
a(1x)2 b
2、注意： （1）准确理解代数式的意义; （2）解这类问题列出的方程一般用直 接开平方法.
作业本:方程应用（三）
1.某超市今年一月份的销售 额为500万元,二月份下降了 10%,从三月份加强管理改 进服务,使四月份的销售额 达到了648万元,求三四月份 平均每月的增长率.
总结:
1.若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为 b ,则
2. 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b
……
第n次增长后的量是a(1+x)n=b
反之，如果是降低，则平均降低率公式为
a(1-x)n=b
这就是重要的平均变化率公式.
• 课内练习:
1.某车间2019年的产 值是200万元,2019年 达到288万元,如果每 年的增长率相同,求这 个增长率.
平均变化率与瞬时变化率PPT课件
第22页/共26页
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
布置作业：
1、课本P31习题2——1A组第2,3,5题 和B组第1题 2、《步步高45分钟课时训练》
第23页/共26页
课后反思：本节课内容简单，学生容易掌握，在3班只用了30分钟，建议将瞬时变化率 加进来，而导数的概念和瞬时变化率一起作为一节课较为妥当。
解 : 先求过(1,1)点的任意一条割线入手
P(1,1),Q(1 x, (1 x)2 ),则
kPQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2 x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数2 所以点P(1,1)处的切线斜率为2.
利 用 割 线 求 切 线，你学会了吗？
第12页/共26页
二、物理意义——瞬时速度
2.0001
变题:
（（（（5678） ） ） ）[[[[0000....9999999，9，91，9]1，；1]；1].]111. ...999999
p
1
第17页.9/共9269页9
3
x
问题探究
通过例2想想如何求函数 y=f(x)=x2在x=1时的
切线的斜率？
y
(2)用“逼近”的思想求平均变化
率的极限
y
1.平均变化率的定义：
f (x1)
f (x2 )
x
x1 x2
2.平均变化率的意义:两点A、B所在直线的斜率
大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤：一作差二求比值
4.求曲线上一点切线的斜率时,先利用平均变化率求出 割线的斜率,再令求出切线的斜率；
5.思想方法： 数形结合、以直代曲和归纳思想等
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
布置作业：
1、课本P31习题2——1A组第2,3,5题 和B组第1题 2、《步步高45分钟课时训练》
第23页/共26页
课后反思：本节课内容简单，学生容易掌握，在3班只用了30分钟，建议将瞬时变化率 加进来，而导数的概念和瞬时变化率一起作为一节课较为妥当。
解 : 先求过(1,1)点的任意一条割线入手
P(1,1),Q(1 x, (1 x)2 ),则
kPQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2 x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数2 所以点P(1,1)处的切线斜率为2.
利 用 割 线 求 切 线，你学会了吗？
第12页/共26页
二、物理意义——瞬时速度
2.0001
变题:
（（（（5678） ） ） ）[[[[0000....9999999，9，91，9]1，；1]；1].]111. ...999999
p
1
第17页.9/共9269页9
3
x
问题探究
通过例2想想如何求函数 y=f(x)=x2在x=1时的
切线的斜率？
y
(2)用“逼近”的思想求平均变化
率的极限
y
1.平均变化率的定义：
f (x1)
f (x2 )
x
x1 x2
2.平均变化率的意义:两点A、B所在直线的斜率
大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤：一作差二求比值
4.求曲线上一点切线的斜率时,先利用平均变化率求出 割线的斜率,再令求出切线的斜率；
5.思想方法： 数形结合、以直代曲和归纳思想等
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程——平均变化率》PPT
x1 0.225, x2 1.775(不合题意,舍去)
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%
知识点二 年平均下降率
设 一 两 依乙年年题种后后意药乙乙得品种种，成药药6本品品00的成成0（年 本 本1平 为 为-y均）2下=63降6，0600率00000（为（元 元1y1-,，y-y））2 解方程得 y1≈0.225，,y2≈-1.775 答:乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5.% 比较：两种药品成本的年平均下降率（相同）
增则长它(们或的降数低量)n关次系后可的表量示是为b,_a_(_1__x_)_n___b____
2注意： （1）1与x的位置不要调换； （2）解这类问题列出方程一般用直接开平方 法。
1.将练习2与练习3中所列方程解答完整. 2.教科书22页6题
(2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
活动一 两年前生产 1吨甲种药品的成本是
5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元, 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种 药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
思考:成本下降额与成本下降率有何区别？成本下降额较 大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增 长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多 少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，解方 程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故捐款 的增长率为10%
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%
知识点二 年平均下降率
设 一 两 依乙年年题种后后意药乙乙得品种种，成药药6本品品00的成成0（年 本 本1平 为 为-y均）2下=63降6，0600率00000（为（元 元1y1-,，y-y））2 解方程得 y1≈0.225，,y2≈-1.775 答:乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5.% 比较：两种药品成本的年平均下降率（相同）
增则长它(们或的降数低量)n关次系后可的表量示是为b,_a_(_1__x_)_n___b____
2注意： （1）1与x的位置不要调换； （2）解这类问题列出方程一般用直接开平方 法。
1.将练习2与练习3中所列方程解答完整. 2.教科书22页6题
(2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
活动一 两年前生产 1吨甲种药品的成本是
5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元, 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种 药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
思考:成本下降额与成本下降率有何区别？成本下降额较 大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增 长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多 少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，解方 程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故捐款 的增长率为10%
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)
高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2-2
(3)平均变化率是指函数值的“增量”(即“改变量”)Δy与 相应的自变量的“增量”Δx的比，这也给出了平均变化率的 求法，可得平均变化率可正、可负，也可为零．
2．求函数平均变化率的步骤： 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0； (2)求函数的增量Δy＝f(x1)－f(x0)； (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当求函数在某点附近 的平均变化率时，可在函数图象上表示出来．
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
[答案] D
[解析] ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx， ∴ΔΔyx＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝－Δx＋3. 故选D.
求运动物体的平均速度
以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与 时间(单位：s)的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第一章
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本 方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分 和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的 阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面 积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思 想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚 的论述．比如《庄子》一书中，记有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”．
二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，如图，从t0到t0＋ Δt这段时间内，物体的平均速度是v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst. 可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变 化率．
实际问题与一元二次方程(二)平均变化率问题(课件)数学九年级上册(人教版)
数，b为增长后的量.） 2.降低率问题
a(1-x)2=b （其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次
数，b为降低后的量.）
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600 解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%. 比较：两种药品成本的年平均下降率. (相同)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等 同于年平均下降率(百分数).
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本
是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，
生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解一元二次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析： 甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
2
2
答：每次降价的百分率为29.3%.
某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样， 求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为a元，每次升价的百分率为x ，
a(1-x)2=b （其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次
数，b为降低后的量.）
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)2=3600 解得乙种药品成本年平均下降率约为22.5%. 比较：两种药品成本的年平均下降率. (相同)
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等 同于年平均下降率(百分数).
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本
是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，
生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解一元二次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本 是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元， 生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析： 甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)
2
2
答：每次降价的百分率为29.3%.
某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样， 求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为a元，每次升价的百分率为x ，
数学选修课件第章平均变化率
平均变化率与导数的联系
当区间长度趋近于零时，平均变化率将趋近于函数在该点处的导数。因此，导数 可以被视为函数在某一点处的“瞬时变化率”，而平均变化率则是函数在某一区 间上的“整体变化率”。
通过平均变化率理解导数
直观理解
通过计算函数在不同区间上的平均变化率，可以观察函数值随自变量变化的趋势和速率。当区间长度 逐渐减小时，平均变化率将逐渐接近函数在该点处的导数，从而帮助我们直观地理解导数的概念。
平均变化率的定义
平均变化率
函数在区间上的平均变化率是指函数 在该区间上函数值的增量与自变量的 增量之比。
公式表示
若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上有定义 ，且$f(b) - f(a)$存在，则称 $frac{f(b) - f(a)}{b - a}$为$f(x)$在区 间$[a, b]$上的平均变化率。
匀变速直线运动
平均变化率可以描述物体在匀变速直线运动中的 速度变化快慢，即加速度。
牛顿第二定律
通过平均变化率可以分析物体所受合外力与加速 度之间的关系。
热量传递
平均变化率可以表示热量在物体间传递的快慢程 度，即热传导速率。
经济问题中的应用
边际分析
平均变化率在经济学中常用于边际分析，表示某一经济变量随另 一经济变量变化的快慢程度，如边际成本、边际收益等。
的变化情况，以评估生态系统的稳定性和发展趋势。
工程学
03
在工程学中，平均变化率可以用于描述各种物理量的变化快慢
，如温度、压力、流量等，以便进行工程设计和优化。
06
章节总结与拓展思考
章节知识点总结
平均变化率的定义
平均变化率是描述函数在某一区间内变化快慢的量，等于函数在 该区间上的增量与自变量增量的比值。
当区间长度趋近于零时，平均变化率将趋近于函数在该点处的导数。因此，导数 可以被视为函数在某一点处的“瞬时变化率”，而平均变化率则是函数在某一区 间上的“整体变化率”。
通过平均变化率理解导数
直观理解
通过计算函数在不同区间上的平均变化率，可以观察函数值随自变量变化的趋势和速率。当区间长度 逐渐减小时，平均变化率将逐渐接近函数在该点处的导数，从而帮助我们直观地理解导数的概念。
平均变化率的定义
平均变化率
函数在区间上的平均变化率是指函数 在该区间上函数值的增量与自变量的 增量之比。
公式表示
若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上有定义 ，且$f(b) - f(a)$存在，则称 $frac{f(b) - f(a)}{b - a}$为$f(x)$在区 间$[a, b]$上的平均变化率。
匀变速直线运动
平均变化率可以描述物体在匀变速直线运动中的 速度变化快慢，即加速度。
牛顿第二定律
通过平均变化率可以分析物体所受合外力与加速 度之间的关系。
热量传递
平均变化率可以表示热量在物体间传递的快慢程 度，即热传导速率。
经济问题中的应用
边际分析
平均变化率在经济学中常用于边际分析，表示某一经济变量随另 一经济变量变化的快慢程度，如边际成本、边际收益等。
的变化情况，以评估生态系统的稳定性和发展趋势。
工程学
03
在工程学中，平均变化率可以用于描述各种物理量的变化快慢
，如温度、压力、流量等，以便进行工程设计和优化。
06
章节总结与拓展思考
章节知识点总结
平均变化率的定义
平均变化率是描述函数在某一区间内变化快慢的量，等于函数在 该区间上的增量与自变量增量的比值。