动力学系统建模与仿真

K K 2 2 1 ( sLa Ra )(Js cs) sKk b s[ s JLa s ( JRa cLa ) Ra c Kk b ]
（1-7）
通过控制电枢的输入电压可以控制系统的输出转角。通常电路中的电感 La 通常很小，并可 以忽略时， 则系统的传递函数可以简化为： H ( s)
i f 励磁电流 i a 电枢电流。
Ra
ia
La
c J

ua
ub
T if
T 电机转矩。 J 电机转子转动惯量。 c 电机和负载的粘性阻尼系数。
图1-2 直流伺服电机的原理图
系统模型： 电动机的转矩 T 与电枢电流 i a 和气隙磁通量 成正比， 而磁通量 与励磁电流 i f 成正比，即： T kl ia ，
图 1-9 控制电流的变化规律
图 1-10 耦合仿真结果 六、总结 利用电动机的转动和电路之间的耦合效应， 将主轴的转动转换到电路的计算中。 在控制电路 中加上 PID 控制系统，对电路和电机中电压（或电流）进行控制，使得电机中的电流较快的 达到某一值，即使得电机在较快的时间内转速得到控制。 在仿真过程中，在控制电压 U 大小的情况下，通过反馈电路检测电流 i 的大小，再将电流的 大小反应到主轴转矩 T 上，通过转矩的大小控制主轴的转速 w。这样，既方便快捷又安全地 对机械的运动进行精确的控制 七、附录与参考文献 [1]黎明安，动力学系统建模与仿真：西安理工大学工程力学系 2010.06 [2]温熙森 邱静 陶俊勇，机电系统分析动力学及其应用[M] 北京：科学出版社，2003． [3]汤蕴璆，电机学机电能量转换[M] 北京：机械工业出版社，1981． [4]杨军 郭力 卿红，机床高速电主轴原理与应用[J] 机床与液压，2001(4)：42-44． [5]钟掘 陈先霖，复杂机电系统耦合与解耦设计——现代机电系统设计理论的探讨[J]. 中 国机械工程，1999，10(9)：1 051-1 054． [6] 熊万里. 机电耦合传动系统的非平稳过渡过程与系统广义同步特性研究[D]. 沈阳：东 北大学，2000．
( s)
u a ( s)

K s JRa s( Ra c Kk b )
2
（1-8）
四、仿真模型的建立 模拟框架：将电机和控制部分连接起来，并采用闭环系统。即可得到直流伺服电机闭环速度 控制系统【6】。如图 1-4 所示。 指令值 U + _
△U
速度控制器
功率放大器
电机
Uf v
速度检测
图 1-4 直流伺服电机闭环速度控制系统 Simulink 仿真模型：
图1-1 直流伺服电动机 基本原理：直流伺服电机是由定子和转子构成，定子中有励磁线圈提供磁场，转子中有电枢 线圈，在一定磁场力的作用下，通过改变电枢线圈的电流可以改变电机的转速【5】，下左图
所示直流伺服电机的原理图。 主要的技术参数：
Ra 电枢电阻 La 电枢电感。 u a 电枢外电压 ub 电枢电动势。
从该式解出： i( s)
u a ( s ) s k b ( s ) La s Ra
代入到（1-6）中有：
Js 2 ( s) cs ( s) K
系统的传递函数为：
u a ( s ) s k b ( s ) sLa Ra
H ( s)
( s)
u a ( s)
ub kb
d 。 dt
（1-1）
这里 k b 是反向电动势常数。根据回路定律，可以得到电枢电路的微分方程为：
La
dia Ra i a u b u a dt
（1-2）
转子的动力学方程为：
J
d 2 d c T Ki a 2 dt dt
（1-3）
控制部分：位置控制系统。（如下图1-3示）
H ( s)
其中， n
k p / J 为系统的无阻尼固有频率；
b 为系统的阻尼比。 2 Jk p
三、理论推导 通过联立求解上面的电学方程和力学方程， 最终可以得到系统的输入电压和输出转角的关系。 为了得到方程的解，我们可以求出系统的传递函数来得到，对（1-1）、（1-2）和（1-3） 取拉斯变换，得：
k f i f ，其中， k l 是励磁系数， k f 是磁通系数。
电机驱动力矩为：T kl k f ia i f ，在励磁电流等于常数的情况下，电机的驱动力矩与电枢 电流成正比，即： T K ia ，这里 K 为常数。 当电机转动时，在电枢中会产生反向磁感电动势，磁感电动势的大小与转子的转动角速 度成正比，即：
图 1-5 在 matlab 中用 simulink 仿真得到的模型 在仿真模型中，共有三个模块。分别是单位延迟模块图（1-6） 、PID 控制模块（图 1-7） 、电 机动力学模块（图 1-8） 。
图 1-6 单位延迟模块
图 1-7 PID 控制模块
图 1-8 电机控制模块 参数假设与设置： 电路部分： 输入端电压Ua = 30x + 220；电阻 R=2.5KΏ；电感 La=1 机械部分： 反向电动势常数K b = 50；转动惯量 J=10；阻尼力偶矩 C=2； 延迟模块： 采样时间 t=0.02；系统仿真时间 T=1000；比例增益 Kp=1；积分增益 Ki=1；微分增益 Kd=1 五、结果分析 将各参数定义到相应模块中，可得到仿真结果如下图所示。
图1-3
位置控制系统
(t ) ，b 是阻尼系数。 假定转子在旋转过程中受到摩擦轮带来的阻力矩 M b bc
(t ) bc (t ) T (t ) 转子系统的动力学方程为： Jc
在零初始条件下负载元件的传递函数： G ( s)
1 s( Js b)
为了能够控制输出角度稳定在给定的 上， 将系统的输出与期望输出的差值乘以一个 常数 ，这样构成了一个闭环控制系统，容易得到闭环控制系统的动力学方程为：
课程设计
动力学系统建模与仿真
许伟维
学号：
指导老师
3080842010
黎明安
工程力学系
完成时间
2011/07/01
西安理工大学
机电耦合系统 动力学建模与仿真【1】
摘要： 针对高速电主轴系统具有复杂机电系统的特点， 提出对高速电主轴系统进行机电耦合 分析的观点通过分析高速电主轴电动机—主轴子系统的结构及其耦合情况， 得到了该子系统 的机电耦合关系框图，并建立其物理模型【2】。基于机电系统分析动力学理论，采用变分原 理法， 应用拉格朗日方程建立电动机—主轴子系统的电压方程和机械运动方程， 将两组方程 联立得到与该子系统物理模型相对应的数学模型， 导出子系统的动力学方程， 为进一步研究 高速电主轴系统的机电耦合动力学性能提供理论基础。 一、背景介绍 机械动力学系统与电气系统在很多地方有相同的数学模型， 在工程实际问题中常常同时伴随 着机械元件和电器元件出现在同一个系统中， 这样便产生了机电耦合系统。 机电耦合系统是 机械过程与电磁过程相互作用、 相互联系的系统， 它的主要特征是机械能与电磁能的转换现 象普遍存在于各类机电系统中， 任何机电耦合系统都是由机械系统、 电磁系统和联系二者的 耦合电磁场组成。 通常机电耦合系统的频率和运动速度较低， 因而电磁辐射可以忽略不计 【3】 。 但当频率或速度提高到一定程度时， 电磁辐射的作用就不能再被忽略， 在对系统进行动力学 分析时，需要考虑系统中存在的各种机电耦合关系；在研究机电耦合效应时，建立耦合动力 学方程，就成为机电系统动力学建模、动态设计与分析、工况监测与预报、故障诊断过程中 必须解决的关键问题【4】。 二、数学模型的建立 以直流伺服电动机（图1-1示）为例，建立主轴系统的机电耦合动力学模型。
ub (s) s kb (s)
（1-4） （1-5） （1-6）
La s i(s) Ra i(s) ub (s) ua (s) Fra Baidu biblioteks 2 (s) cs (s) Ki (s)
将（1-4）带入到（1-5）
La s i(s) Ra i(s) s kb (s) ua (s)
(t ) bc (t ) k p (r (t ) c(t )) Jc (t ) bc (t ) k p c(t ) k p r (t ) Jc
这样可以得到闭环控制系统的传递函数为：
2 kp kp / J n c( s ) 2 2 2 2 r (s) Js bs k p s (b / J )s (k p / J ) s 2n s n