四种命题的相互关系

与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
x=b (x-a)(x-b)=0 又_________时,_________________,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
x ≠a且x ≠b 从而_________________。
我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句称为命题。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论
是 都是 大于 小于
反设词
不是 不都是
原结论
至少有一个 至多有一个
反设n个 至多有（n-1)个 不大于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x， 成立
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真） （真）
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需 判断两种命题的真假。因为逆命题与否 命题真假等价，逆否命题与原命题真假 等价。
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
证法二
A O P C B D
证明: 假设弦AB、CD被P点平分, 连结 AD、BD、BC、AC,
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形 ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边 形必是矩形，则其对角线AB、CD必是 ⊙O的直径，这与已知条件矛盾。 所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立。
例3 证明：若x2+y2=0, 则 x =y=0。
真 真
假 假
真
假
真
假
真 真
假 假
真
假
真
假
练一练：判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真， （对） 它的逆否命题不一定为真；
2）一个命题的否命题为真， （对） 它的逆命题一定为真。
3）一个命题的原命题为假， （错） 它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假， 它的否命题为假。 （错）
演练反馈
1. 用反证法证明: 若方程ax +bx+c=0 (a ≠0)有两个不相等的实数根, b2-4ac>0.
2
则
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是 直角,则∠B一定是锐角.
总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
证： 假设 x、y至少有一个不为0 x≠ 0 若_________时,则___________, x2 > 0
∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾, y2 > 0 y≠ 0 若_________时,则___________, ∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾,
所以假设不成立, 从而______________成立。 x =y=0。
想一想： 由以上三例我们能发现什么？
结 论：
原命题与逆否命题同真假。 （1） 原命题的逆命题与否命题同真假。 即:两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性. （2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系。
一般地,四种命题的真假性,有而且仅 有下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
反 证 法
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b a bab
这些都同已知条件a b 0矛盾, 所以 a b
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
小结：
（1）四种命题的关系 （2）四种命题的真假关系 （3）渗透思想方法：
练习：
判断下列语句是不是命题： （1）12>5 （2）若 a 为正无理数,则 a 也是无理数; （3）x∈{1,2,3,4,5} （4）正弦函数是周期函数吗?
反设
归谬
结论
例3 证明：若x2+y2=0, 则 x =y=0。
证： 假设 x、y至少有一个不为0 x≠ 0 若_________时,则___________, x2 > 0
∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾, y2 > 0 y≠ 0 若_________时,则___________, ∴x2+y2>0与 x2+y2=0矛盾,
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
引例
证明：一个三角形中不能有 两个角是直角．
练习1: 证明：若x2+y2=0, 则 x =y=0。
练习2:
证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。
A O
D
P
C
B
例 1
证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。
(假) 3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。
4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。(真)
你能判断它们 的真假性吗?
四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？
例子： 1）原命题：若x=2或x=3,
则x2-5x+6=0。 (真) (真) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) (假) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。 （真） 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （假） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。
否定
不全
不能
一个也 至少有 至多有 没有 两个 n-1个
四种命题之间的关系:
原命题
若p则q 互 否
互逆
逆命题
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。(真)
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。 (假)
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
C
P B
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
原命题： 则q 若p 逆命题： 则p 若q 否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
准确地写出否定形式是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
正面 词语 等于 大于 小于 是 都是
否定
正面 词语
不等于 不大于 不小于 不是 全 能 至少 有一 个
不都是
至多有 至少有 一个 n个
所以假设不成立, 从而______________成立。 x =y=0。
反 证 法
反证法证明
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a x=b 证： 假设_________或_________,
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________时,_________________,