知识讲解_抛物线的简单性质_基础

抛物线的简单性质 编稿：张林娟责编：孙永钊

【学习目标】 1．知识与技能：

掌握抛物线的范围、对称性、定点、焦点、准线、离心率、顶点、通径，理解2p 和e 的几何意义，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．

2．过程与方法：

通过曲线的方程来研究曲线性质的方法，让学生体会数形结合的思想、方程思想及转化的思想在研究和解决问题中的应用．

3．情感态度与价值观：

通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，感受知识的发生发展过程，力求使学生获得符合时代要求的“双基”

【要点梳理】

要点一：抛物线标准方程2(0)2y =px p >的几何性质

1． 对称性

观察图象，不难发现，抛物线y 2=2px （p ＞0）关于．．x ．轴对称．．．，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．．．．．．．

． 2． 范围

抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x ．≥0．．；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．

3． 顶点

抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点．．．．（0，0）． 4． 离心率

抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，e ．=1．．． 5． 通径

通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．

因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，

,2p p ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，所以抛物线的通径长为．．．．2．p ．

．这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小，p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄．

6． 焦半径

抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：

抛物线22(0)y px p =>，0022

p p

PF x x =+=+；

抛物线22(0)y px p =->，0022

p p

PF x x =-=-； 抛物线22(0)x py p =>，0022p p

PF y y =+

=+； 抛物线22(0)x py p =->，0022

p p

PF y y =-

=-． 7． 焦点弦

定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦．

设过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设1122(,)(,)A x y B x y ， 焦点弦公式：焦点弦12()AB p x x =++；同理： 若抛物线为22(0)y px p =->，则12()AB p x x =-+； 若抛物线为22(0)x py p =>，则12()AB p y y =++； 若抛物线为22(0)x py p =->，则12()AB p y y =-+． 有关性质： ①124

p

x x =

和212y y p =-. 2()22p y k x y px

⎧

=-⎪⎨

⎪=⎩22

20p y y p k ⇒--=和22222(2)04k p k x k p p x -++=212y y p ⇒=-和124x x ②若已知过焦点的直线倾斜角θ，则2

2sin p

AB θ

=

；当θ=900时，|AB |的最小值等于2p ，这时的弦叫抛物线的通径．（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）.

③以AB 为直径的圆必与准线l 相切．

④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90︒．

⑤112AF BF p

+=． 要点诠释：

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1. 要点二：抛物线标准方程几何性质的对比

图形

标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）

顶点 O （0，0）

范围 x ≥0，y R ∈

x ≤0，y R ∈

y ≥0，x R ∈

y ≤0，x R ∈

对称轴 x 轴

y 轴

焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

,02p F ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

0,2p F ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

离心率 e =1

准线方程 2p x =-

2p

x = 2p y =-

2p y = 焦半径 0||2

p MF x =+ 0||2

p

MF x =

- 0||2

p MF y =+

0||2

p

MF y =

-

要点诠释：

（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；

（2）标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线

l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．

要点三：直线和抛物线的位置关系 1． 点和抛物线的位置关系

将点P (x 0，y 0)代入抛物线y 2=2px (p >0)：

若2

020y px ->，则点在抛物线外； 若2

02=0y px -，点在抛物线上； 若2

020y px -<，则点在抛物线内．

2． 直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．

将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x （或y 的）方程组：

Ax 2+Bx +C =0（或Ay 2+By +C =0），其中A ，B ，C 为常数

若A =0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠0，计算判别式2=4B AC ∆ ：

若0∆>，则直线和抛物线相交（有两个交点）；