离散时间系统的基本概念

h ( n ) = a u( n )
n
a 1时，该系统不是稳定的
a
1
a a
2
3
如，a为实数，a>1时
•••••• n
17
1 0
考察系统因果性时，还需注意把输入信号的影响与其他函数区别开 如,y(n)=x(n)sin(n+2)是因果的，只看x(n)与y(n)的关系
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2.LSI系统是因果系统的充要条件就是：h(n)=0,n<0
证：充分性：若n 0时，h(n)=0 则y(n 0 )= x(m)h(n 0 m)
满足可加性 ②比例性判断
Im y1 (n) I1 (n) 设输入x1 (n) r1 (n) jI1 (n)
y2 (n) r1 (n) x2 (n) jx1 (n) I1 (n) j r1 (n) Im 不满足比例性 由①②得出该系统不是线性系统
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【例】设某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=a nu(n),讨论其 因果性和稳定性。
（）因果性 1
n<0时，h(n)=0 该系统是因果系统。
（2）稳定性 1 1 a a 1 n h(n) a n＝－ n 0 a 1 a 1时，该系统是稳定的
jy1 (n) jI1 (n)
5
【例】系统y (n) 4 x(n) 6是否为线性系统 解：设x(n)=0 y(n)=4x(n)+6=6 不满足零输入产生零输出 该系统不是线性系统
说明：其实该系统等价为
6 x(n)
T[x(n)]=4x(n) 线性系统
⊕
y(n)
也称为增量线性系统
Other Proof !
注：要证明一个系统不是移不变的，找一个反例来证明 如果系统有一个移变的增益，则一定是移变的
7
3.线性移不变系统
同时具有线性和移不变性的离散时间系统
简称LSI系统（Linear Shift Invariant）
也称LTI系统（Linear Time Invariant） 本书主要研究LSI系统（除申明外）
y(n 0 )至少和m n0中的一个x(m)值有关 假设不成立 n 0时，h(n)=0是必要条件
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五、 稳定系统
稳定系统——有界输入产生有界输出（BIBO），即
若： x(n) M 则： y(n) P
LSI 系统是稳定系统的充要条件：
n


h(n) P ，即h(n)绝对可和
数字信号处理
Digital Signal Processing
Ch2.3 离散时间系统的基本概念
1
输入序列
x n
T []
y n
输出序列
也可表示为： y n T x n 或
T x n y n
本书研究的是“线性移不变”的离散时间系统
2
一、线性移不变系统
说明：要证明一个系统不稳定，只需找一个有界输入能
得到一个无界输出的特例就可；要证明一个系统是稳定的， 必须利用所有有界输入下都能产生有界输出的办法来证明。
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六、 因果稳定的LSI系统
单位抽样响应h(n)是因果的，是绝对可和，即：
h(n) h(n)u (n) h (n) n
m


m
x(m) T[ (n m)] x ( m) h( n m)

根据线性系统的叠加原理 根据移不变性
m
即 y (n) x(n) * h(n) LSI 系统可用h(n)来表征 x(n) h(n) y (n) x(n) * h( n)
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三、 LSI系统的性质
1.交换律 卷积和与两序列次序无关，即：
x (n ) h (n ) h (n ) x (n ) y (n )
说明 x(n)
h(n) LSI系统
y(n)
等价于
h(n)
x(n)
y(n)
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2.结合律 可以证明卷积和运算服从结合律，即
x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n ) x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n ) x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n )
0 · ������(������) = 0
4
【例】系统y (n) Im[x(n)]是否为线性系统 解：①可加性判断
Im y1 (n) I1 (n) 设输入x1 (n) r1 (n) jI1 (n) Im y2 (n) I 2 (n) x2 (n) r2 (n) jI 2 (n) Im I1 (n) I 2 (n) y1 (n) y2 (n) x1 (n) x2 (n) r1 (n) r2 (n) j[ I1 (n) I 2 (n)]
m m
x(m)h(n
n0
0
m)
y(n 0 )只与m n0的x(m)有关 是因果系统 必要性（反证法） 设该系统满足因果，又设n 0时，h(n) 0，则 y(n 0 )= x(m)h(n 0 m)+
m n0 m n0 +1


x(m)h(n 0 m) 至少一个不为0
0
对于因果系统有：若n n0 , x1 (n) x2 (n) 则有：n n0 , y1 (n) y2 (n)(书p27有误，n n0 n n0 ) 非因果系统——不实际的系统。 但不是所有有实际意义的系统都是因果系统，比如：
N 1 常用的对数据取平均（平滑），y(n)= x(n k)不是因果系统 2 N 1 k N Note：
h1(n) x(n) y(n) 等效于 x(n) h1(n)+h2(n) h2(n) y(n)
两个并联的LSI系统等效于单位抽样响应为两个能并的
LSI的单位抽样响应之和的系统。
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四、 因果系统
1.因果系统——系统某时刻的输出只取决于此时刻及之前的 输入，即： y (n 0 )只取决于x(n) |n n
②比例性（齐次性）
T 设x(n) y ( n) T 则有ax(n) ay (n)
注：证明一个系统是线性系统时，该系统必须同时满足{ 信号及比例因子可以是复数
可加性 比例性
必要条件
������
线性系统满足：零输入→零输出
设������(������)
������
������(������) ，根据比例性 0 · ������(������) = 0
1.线性系统
满足叠加原理的系统
N个信号加权和输入
N
T 输出N个对应响应的同样加权和
N
T a x ( n ) ai yi (n), ii i 1 i 1 T 其中，xi (n) yi (n)(i 1, 2,
N)
3
实际上叠加原理包括两个性质： ①可加性
T T 设x1 (n) y1 (n)，x2 (n) y2 ( n ) T 则有x1 (n)+x2 (n) y1 (n) +y2 (n)
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2.移不变系统——时不变系统（非移变系统）
系统的响应与激励加于系统的时刻无关，系统的参数不随时 间而变化。 若x(n) y (n), m, 有x(n m) y (n m) 输入移位m，输出也移位m，对应幅值不变
【例】设y (n) n x(n)是否移不变 解：设输入x1 (n) (n) y1 (n) n (n) x2 (n) x1 (n 1) (n 1) y2 (n) n x2 (n) n (n 1) (n 1) y1 (n 1) 该系统是移变的


[ x ( n ) * h ( n )] * h ( n )
2 1
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) x(n)
y(n)
h2(n)
h1(n)
y(n)
LSI系统级联后的单位抽样响应与级联次序无关
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3.分配律 卷积和满足
x(n) * h1 (n) x(n) * h2 (n)=x(n) *[ h1 ( n) h2 ( n)]
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二、 LSI系统的单位抽样响应和卷积和
h(n) 单位抽样响应 单位抽样序列 (n)
T
任意序列x(n) 可用 (n)的移位加权和来组成 从Ch2.2可知， x(n) x(m) (n m) 即： m 则LSI系统的输出：
y (n) T[ x(m) (n m)]