离散时间系统的基本概念
离散系统的基本概念
s3 2z z Z z e T z e 2T ( s 1)( s 2)
离散系统的基本计算
1、Z变换
1 e Ts 1 求 G ( s) 的Z变换 s s 1 当传递函数含有零阶保持器时，有
1 G ( z ) (1 z ) Z s ( s 1)
H (s )
上式两端离散化
根据前述的性质，有 对离散信号取Z变换
E * ( s) [ R( s) G1 ( s) H ( s) E * ( s) ] *
E * ( s) R* ( s) [ G1 ( s) H ( s)] * E * ( s) ]
E ( z) R( z) Z[G1 ( s) H ( s)] E ( z)
求误差脉冲传递函数e（z）
用终值定理计算稳态误差 图所示系统
e (z)
*
2、求出的是采样瞬时的稳态误差。 3、离散系统的稳态误差还与T有 关。
E (z) 1 R( z ) 1 G ( z )
离散系统的基本计算---闭环脉冲传递函数
GB (z )
C (s ) R(s )
E * ( s)
图中E(s)为连续信号如何离散化 是关键。为此有：
C ( s)
*
G1 ( s)
B (s )
E ( s ) R( s ) B ( s ) R( s) G1 ( s) H ( s) E * ( s)
10(0.368z 0.264) K (1 e Ts ) 10(1 e s ) G( z ) 2 G( s) 2 2 s ( s 1) s ( s 1) z 1.368z 0.368 G( z ) 3.68z 2.64 ( z ) 2 1 G ( z ) z 2.31z 3
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
离散控制系统的基本原理和概念
离散控制系统的基本原理和概念离散控制系统是指通过离散的方式对连续的物理过程进行控制的系统。
它通过在不连续的时间间隔内对物理过程的状态进行采样和决策，以实现对系统行为的调节和优化。
离散控制系统在工业生产、交通运输、电力系统等领域都有重要的应用。
本文将介绍离散控制系统的基本原理和概念。
一、离散控制系统的基本原理离散控制系统的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态采样：离散控制系统通过在特定的时间间隔内对系统的状态进行采样，获取系统当前的信息。
采样可以通过传感器或者测量设备实现，常用的采样方法有周期性采样和事件驱动采样。
2. 状态量量化：离散控制系统通过量化采样得到的状态量，将连续的物理量转化为离散的数字信号。
量化可以通过模拟-数字转换器（ADC）或者编码器来实现，将模拟信号或者连续的物理量转化为数字信号或者离散的状态。
3. 控制决策：离散控制系统通过对采样得到的状态量进行处理和分析，根据预先设定的控制策略和算法，决策出下一时刻的系统控制指令。
常见的控制策略有比例控制、积分控制、微分控制等。
4. 控制执行：离散控制系统根据决策出的控制指令，通过执行机构对系统进行控制。
执行机构可以是电机、执行器、调节器等，它们根据控制指令调节系统的输入、输出或者参数，使系统达到预期的控制目标。
5. 反馈调节：离散控制系统通常配备反馈机制，通过对系统输出或者状态的反馈信息进行采样和分析，实时调节控制策略和参数。
反馈控制可以提高系统的鲁棒性和稳定性，使系统能够自动适应外部扰动和变化。
二、离散控制系统的概念1. 离散事件：离散控制系统所控制的物理过程通常是由一系列离散事件组成的。
离散事件可以是系统状态变化、信号发生改变、控制指令变化等。
2. 采样周期：采样周期是离散控制系统进行状态采样和控制决策的时间间隔。
采样周期的选择需要考虑到系统的动态特性、采样准确性和计算开销等因素。
3. 控制周期：控制周期是离散控制系统执行控制指令的时间间隔，它决定了系统对外部扰动和变化的响应速度。
离散时间信号与系统教程
离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统是一门重要的信号与系统理论课程，它在现代信息处理、通信和控制等领域有着广泛的应用。
本教程将介绍离散时间信号与系统的基本概念、特性和分析方法，帮助读者建立对离散时间信号与系统的理解和应用能力。
首先，我们来了解离散时间信号的基本概念。
离散时间信号是以时间为自变量的数字信号，它在时间上以离散的方式变化。
离散时间信号可以用数学表示为一个序列，每个序列值对应一个离散时间点上的信号强度。
离散时间信号的特性包括有界性、统一性和周期性。
有界性表示信号在某一区间内取有限的值，统一性表示信号在整个时间范围上都存在，周期性表示信号以一定的间隔重复出现。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和变换的系统。
离散时间系统可以用差分方程或差分方程组来描述。
常见的离散时间系统包括差分方程、差分方程组、差分方程的状态空间表示等。
离散时间信号与系统的分析方法主要包括时域分析和频域分析。
时域分析主要通过对信号和系统的零输入响应、零状态响应和总响应进行分析来研究其特性。
频域分析则通过傅里叶变换、离散傅里叶变换等方法，将信号和系统转换到频域中进行分析。
在离散时间信号与系统的教程中，还会介绍一些重要的概念和性质，如单位样本序列、单位阶跃序列、单位冲激响应等。
同时，会引入一些经典的离散时间系统，如差分方程、滤波器等，通过实例来说明它们在实际应用中的重要性和应用方法。
最后，离散时间信号与系统还与连续时间信号与系统存在一定的联系。
在这方面，我们将介绍采样定理和离散化方法，以及连续时间系统与离散时间系统之间的转换关系。
离散时间信号与系统是信号与系统理论中的重要分支，它为我们理解和分析数字信号的产生、传输和处理提供了基础。
通过学习离散时间信号与系统的基本概念、特性和分析方法，读者将能够掌握离散时间信号与系统的基本原理和应用技巧，为将来的工程实践和科学研究打下坚实基础。
离散时间信号与系统在现代信息处理、通信和控制等领域有着广泛的应用。
连续系统与离散系统的概念
连续系统与离散系统的概念连续系统和离散系统是系统控制理论中两种基本的模型类型。
连续系统是指系统的输入和输出信号是连续变化的，并且系统的状态可以在任意时间点进行测量和控制。
而离散系统则是指系统的输入和输出信号是离散的，即只在离散的时刻进行测量和控制，而在两个离散时刻之间的信号变化是未知的。
首先，我们来详细介绍连续系统。
连续系统可以用微分方程来描述，通常采用微分方程的求解方法来求得系统的时域响应。
连续系统可以是线性的，也可以是非线性的。
线性连续系统的特点是具有叠加性质，即输入的线性组合对应于输出的线性组合。
而非线性连续系统则是具有非线性性质，输入的线性组合对应于输出的非线性组合。
连续系统的状态可以通过求解微分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
在连续系统中，我们可以利用传递函数来描述系统的频域特性，传递函数是输入和输出的拉普拉斯变换的比值。
传递函数可以用来分析系统的稳定性、频率响应、阻尼特性等。
接下来，我们来介绍离散系统。
离散系统可以用差分方程来描述，通过求解差分方程可以得到系统的时域响应。
离散系统也可以是线性的或非线性的，线性离散系统满足叠加性质，非线性离散系统则不满足叠加性质。
离散系统的状态可以通过迭代差分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。
离散系统的频域特性可以用离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散傅里叶变换（DFT）来描述，这些变换可以将系统的输入和输出信号从时域转换到频域。
离散系统的稳定性、频率响应等也可以通过这些变换来进行分析。
在实际应用中，连续系统和离散系统都有各自的优缺点。
连续系统具有高精度和高灵敏度的特点，适用于需要高精度控制和测量的应用，如机器人控制、飞行器导航等。
而离散系统则具有较低的复杂度和较好的实时性，适合于计算机控制、数字信号处理等应用。
此外，由于实际系统中往往存在传感器采样和控制执行的离散性，所以很多情况下需要将连续系统进行离散化，从而使用离散系统进行建模和控制。
离散时间信号与系统教程
离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要内容之一。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对这些信号进行处理和变换的设备或算法。
本文将介绍离散时间信号与系统的基本概念、性质以及常用的变换方法和应用。
一、离散时间信号离散时间信号是在离散时间点上取值的函数，离散时间点一般用整数表示。
例如，对于一个音频信号，可以按照每秒采集多少个样本来表示离散时间点。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n为离散时间点。
离散时间信号有许多重要的性质，例如周期性、能量与功率、线性性等。
周期性是指信号具有重复的特征，可以表示为x(n)=x(n+N)，其中N为周期。
能量与功率是用来描述信号的能量和功率大小的，能量表示信号的总能量，功率表示单位时间内信号的平均功率。
线性性是指信号满足线性叠加原理，即若有两个信号x1(n)和x2(n)，则对应的线性组合也是一个信号。
二、离散时间系统离散时间系统是对离散时间信号进行处理和变换的设备或算法。
离散时间系统可以表示为y(n)=T[x(n)]，其中T为系统的变换操作。
常见的离散时间系统有线性时不变系统(LTI系统)、卷积系统和差分方程系统等。
LTI系统是指具有线性性和时不变性的系统，线性性表示系统满足线性叠加原理，时不变性表示系统的输入与输出之间的关系不随时间变化。
卷积系统是通过卷积操作实现信号的处理和变换的系统，可以将输入信号与系统的冲击响应进行卷积运算得到输出信号。
差分方程系统是通过差分方程描述系统的输入与输出之间的关系，可以通过求解差分方程得到输出信号。
三、离散时间变换离散时间变换是将离散时间信号从一个表示域转换到另一个表示域的方法。
常见的离散时间变换有傅里叶变换、Z变换和小波变换等。
傅里叶变换是将离散时间信号从时间域转换到频率域的方法，可以将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。
Z变换是将离散时间信号从时间域转换到复平面的方法，可以得到离散时间系统的频率响应。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
离散控制的基本概念和原理
离散控制的基本概念和原理离散控制是自动控制中常见的一种控制方式，它利用了离散信号来实现对系统的控制和调节。
在离散控制中，信号和变量的取值是有限离散的，而不是连续变化的。
本文将介绍离散控制的基本概念和原理。
一、离散控制的基本概念离散系统：离散控制的对象一般为离散系统。
离散系统是对离散信号进行处理的系统，它的输入、输出和状态变量的取值都是离散的。
采样：采样是将连续信号在时间上进行离散化的过程，通过周期性地在一定的时间间隔内对信号进行采样，得到离散信号。
量化：量化是将连续信号在幅度上进行离散化的过程，将连续信号的幅度划分为有限个离散值，得到离散信号。
离散化：离散化是将连续系统在时间和幅度两个维度上进行离散化的过程，通过采样和量化，将连续系统转化为离散系统。
二、离散控制的原理1. 采样控制原理离散控制系统的基本思想是通过采样信号来获得系统当前的状态，然后根据采样信号计算出控制量，并输出到执行机构，对系统进行调节。
在采样控制中，有两个重要的参数：采样周期和采样速率。
采样周期：采样周期是每次对连续信号进行采样的时间间隔，它决定了系统对变化的灵敏性。
较小的采样周期可以提高系统的响应速度，但也会增加计算量和噪声干扰。
采样速率：采样速率是指每秒钟采样信号的次数，它决定了采样系统对信号变化的能力。
较高的采样速率可以更准确地还原连续信号，但也会增加系统的复杂度和成本。
2. 量化控制原理离散信号的幅度是通过量化来表示的，量化控制原理就是通过将连续信号的幅度划分为有限个离散值，将控制量转化为离散信号。
量化精度：量化精度是指离散信号幅值划分的细度，也称为量化位数。
量化精度越高，离散信号越接近连续信号。
但高精度的量化也会增加计算和存储的复杂度。
量化误差：量化过程中会引入量化误差，即实际值与量化值之间的差距。
量化误差会对系统的控制精度产生影响，因此需要根据控制要求选择适当的量化精度。
三、离散控制的应用离散控制广泛应用于工业自动化、机器人控制、生物医学工程等领域。
自动控制系统—— 第7章-1 离散系统的基本概念
第7章 线性离散系统的 分析与校正
7.1离散系统的基本概念
1
7.1离散系统的基本概念 7.1.1 信号分类 7.1.2 采样控制系统 7.1.3 离散控制系统的特点 7.1.4 信号采样与保持
2
7.1离散系统的基本概念
7.1.1 信号分类 1）连续时间，连续幅度信号（CT signal），又称 为模拟信号（Analog Signal）
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
2）A/D转换器：将连续信号转换为离散信号
采样间隔： T
采样频率：Leabharlann fs1 TT 2
fs 2
是采样角频率
8
r(t) e(t)
e(kT) 数字 u(kT)
u1(t) 被控 c(t)
A/ D
计算机
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
3）D/A转换器：将离散信号转换为连续信号
采样脉冲序列
采样的离散信号
1.5 e*(t) e(t)T (t)
13
采样信号为
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n0
e(t) 只在 t nT时取值，所以
e*(t) e(nT ) (t nT ) n0
采样定理： 若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入
连续信号f(t)的频谱中最高频率ωmax的两倍,即 ωs≥ωmax，则能够从采样信号 f(t)中完全复现
离散信号中存在高频信号，一般在D/A转换 后需要加滤波器虑除高频噪声
4）计算机实现数字控制器
9
数字控制系统的典型结构
r (t )
e(t )
e* (t)
u (t )
离散系统的传递函数
离散系统的传递函数1. 介绍在控制理论中，离散系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的一种数学工具。
它能够用来描述离散时间系统的动态特性和稳定性，并且可以用于设计和分析离散控制系统。
2. 离散系统的基本概念在理解离散系统的传递函数之前，我们需要先了解一些与离散系统相关的基本概念。
2.1 离散信号离散信号是在离散时间点上定义的信号。
它与连续信号相对，连续信号是在连续时间上定义的信号。
在离散系统中，输入和输出信号往往是离散信号。
2.2 离散时间系统离散时间系统是指输入和输出信号都在离散时间点上进行采样的系统。
离散时间系统可以用差分方程来描述。
2.3 传递函数传递函数是用来描述系统输入与输出之间关系的一种函数。
对于连续时间系统，传递函数通常用拉普拉斯变换来表示。
而对于离散时间系统，传递函数则用Z变换来表示。
3. 离散系统的传递函数离散系统的传递函数是用Z变换来表示系统输入与输出之间关系的函数。
它可以以分数形式表示，也可以以多项式形式表示。
3.1 分数形式的传递函数分数形式的传递函数是用分数多项式表示的。
分子多项式表示系统的输出与输入之间的关系，分母多项式表示系统零点和极点的位置。
3.2 多项式形式的传递函数多项式形式的传递函数是用多项式系数表示的。
这种表示方式更加直观，能够清晰地看出系统的动态特性。
4. 离散系统的稳定性离散系统的稳定性是指系统在输入信号有界的情况下，输出信号是否有界。
在离散系统中，判断稳定性可以通过传递函数的零点和极点来进行。
4.1 零点和极点的关系离散系统的稳定性与传递函数的零点和极点之间存在关系。
如果一个离散系统的零点都在单位圆内，极点都在单位圆外，那么该系统是稳定的。
4.2 稳定性的判断方法根据离散系统的传递函数，我们可以通过以下方法来判断系统的稳定性： 1. 判断传递函数的极点是否在单位圆内。
2. 判断传递函数的零点是否在单位圆内。
如果传递函数的极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，则系统是稳定的；反之，如果存在极点在单位圆外或者零点在单位圆内，系统是不稳定的。
离散 系统的基本概念
1.2 数字控制系统
典型数字控制系统如图所示，其中被控对象是在连续信号作用下工
作的，其控制信号 u1(t) 、输出信号 f (t)、反馈信号 c(t) 及参考输入信号 r(t) 等均为连续信号，而计算机的输入、输出信号则是采样的数字信号。
如果采用采样控制方式，可在偏差信号和执行电机之间加装一个开关，使其每 隔较长时间闭合一次，且闭合时间相对很短。当开关闭合时，系统根据偏差闭环控 制电机转动，以此来调节炉温，而当开关断开时，电机停止转动。由于闭环时间很 短，开环传递系数可以取较大值，使系统在保持动态性能的同时提高稳态控制精度。
由此可知，对连续对象进行采样控制时，必须将连续信号变为离散时间上 的脉冲序列信号。这种将连续信号变为脉冲序列信号的过程称为采样过程，简 称采样。
由于炉温调节是一个大惯性过程，控制对象的相位滞后非常明显，如果采用连 续控制方式，为保证系统具有足够的相位裕度，开环传递系数就要取很小值，这就 对系统的稳态精度控制造成很大困难。当加大开环增益来提高系统的控制精度时， 由于系统的灵敏度相应提高，而炉温的变化相对缓慢很多，这就容易造成过度调节， 产生振荡。
由于计算机处理的是二进制数据，其输入信号不能是连续信号，所以误差 信号e(t) 要经过模数转换器（A/D）变成计算机能接受的数字信号 e(kT ) 。计 算机根据由差分方程表述的预定算法得到数字形式的控制信号 u(kT )，并由数 模转换器（D/A）将数字信号转换成脉冲序列信号 u1(t) ，以此来断续控制被控 对象，也可经保持器连续控制被控对象。
自动控制原理
离散系统的基本概念
离散输入信号包括脉冲序列信号和数字序列信号，所对应的控制系统分别 称作采样控制系统和数字控制系统（也称计算机控制系统），它们均为离散系 统，可采用统一的离散系统分析方法进行研究。
离散实验报告思路
一、实验背景与目的离散实验是数字信号处理和系统理论中的重要内容，通过实验，我们可以更直观地理解离散系统的基本概念、理论和方法。
本次实验旨在通过MATLAB软件对离散系统进行仿真和分析，加深对以下内容的理解：1. 离散时间系统的基本概念和数学模型。
2. 离散系统的时域、频域和Z域分析。
3. 离散系统的零、极点分布及其对系统性能的影响。
4. 常见离散系统的设计与应用。
二、实验内容与步骤1. 离散时间系统的时域分析（1）设计一个简单的离散时间系统，如一阶差分方程、二阶差分方程等。
（2）使用MATLAB编写程序，求解系统的单位冲激响应。
（3）通过绘制单位冲激响应曲线，观察系统的稳定性和响应特性。
（4）分析系统的稳定性和响应特性与系统参数之间的关系。
2. 离散系统的频域分析（1）对设计好的离散时间系统进行Z变换，求出系统的传递函数。
（2）使用MATLAB绘制系统的幅频响应和相频响应曲线。
（3）通过分析幅频响应和相频响应曲线，了解系统的频率特性。
（4）比较不同参数对系统频率特性的影响。
3. 离散系统的零、极点分布分析（1）根据系统的传递函数，求出系统的零点和极点。
（2）使用MATLAB绘制系统的零、极点分布图。
（3）分析零、极点分布对系统稳定性和频率特性的影响。
（4）通过调整系统参数，观察零、极点分布的变化，并分析其对系统性能的影响。
4. 常见离散系统的设计与应用（1）设计一个简单的低通滤波器，如FIR滤波器、IIR滤波器等。
（2）使用MATLAB绘制滤波器的幅频响应和相频响应曲线。
（3）分析滤波器的性能，如通带纹波、阻带衰减等。
（4）将滤波器应用于实际信号处理问题，如信号滤波、噪声抑制等。
三、实验结果与分析在实验过程中，记录以下内容：1. 离散时间系统的单位冲激响应曲线。
2. 离散系统的幅频响应和相频响应曲线。
3. 离散系统的零、极点分布图。
4. 滤波器的幅频响应和相频响应曲线。
对实验结果进行分析，主要包括：1. 离散时间系统的稳定性和响应特性。
离散控制系统的基本概念
自动控制原理
注：在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制 系统，将它们统称为离散系统。 这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与校正在理论上统一。
1.1 采样控制系统
一般来说，采样控制系统是对传感器所采集的连续信号在某些规定的时间 上取值，然后通过对这些值的比较、计算和输出，来达到控制目标的系统。 采样控制系统结构构成：主要由采样器、为连续信号的过程称为信号复现。实
现复现过程的装置称为保持器。
最简单的保持器是零阶保持器，它将脉冲序列 e(t) 复现为阶梯信号 eh (t) 如图1-3所示。
图1-3 信号复现过程
1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。其原理方框图如图1-4所示。
图1-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
1.A/D转换器
A/D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。A/D转换包括 采样过程和量化过程。
采样过程 是每隔 T秒对连续信号 e(t) 进行一次采样，得到采样信号e(t)。
自动控制原理
离散控制系统的基本概念
1.连续系统：如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，也就 是说，这些信号在全部时间上都是已知的，则这样的系统称为 连续时间系统，简称连续系统。
2.离散系统：如果控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码，则这样 的系统称为离散时间系统，简称离散系统。
➢ 包括 采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统， 称为采样控制系统或脉冲控制系统。 ➢ 数字控制系统：把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系 统或计算机控制系统。
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
时间响应的名词解释
时间响应的名词解释时间响应是一个在物理学、工程学和控制论等领域中常用的术语。
它描述了一个系统对于不同输入信号的响应速度和行为特性。
在这篇文章中，我们将对时间响应进行深入探讨，并解释其含义和背后的原理。
一、时间响应的基本概念时间响应是指一个系统在接收到不同输入信号后所产生的输出信号的随时间变化的行为。
这个过程可以用数学模型来描述，并通过各种指标来分析系统的性能和稳定性。
在实际应用中，时间响应可以用于系统控制、信号处理以及优化算法等方面。
二、连续时间系统的时间响应连续时间系统是指输出信号和输入信号是连续变化的系统。
在连续时间系统中，时间响应通常通过微分方程或差分方程来表示。
其中，微分方程描述了系统的动态特性，而差分方程则用于对数字信号进行建模和分析。
连续时间系统的时间响应可以分为两种基本类型：阶跃响应和冲激响应。
阶跃响应是指系统在接收到单位阶跃输入信号后的输出响应，可以反映出系统的稳态和过渡态响应。
而冲激响应则是指系统在接收到单位冲激输入信号后的输出响应，它的数学描述为系统的单位冲激响应函数。
三、离散时间系统的时间响应离散时间系统是指输出信号和输入信号是离散变化的系统。
在离散时间系统中，时间响应通常通过差分方程来描述，其中差分方程可以用于描述系统的动态特性。
离散时间系统的时间响应也可以分为阶跃响应和冲激响应两种类型。
与连续时间系统类似，阶跃响应是指系统在接收到单位阶跃输入信号后的输出响应，用于分析系统的稳态和过渡态响应。
冲激响应是指系统在接收到单位冲激输入信号后的输出响应，可以通过系统的单位冲激响应函数进行描述。
四、时间响应的重要指标时间响应的分析还包括了一些重要的指标，用于描述系统的性能和稳定性。
其中一种常用的指标是系统的上升时间，它衡量了系统输出从稳态值到达其最终值所需要的时间。
另一个指标是峰值时间，用于描述系统输出的峰值出现的时间。
还有两个重要的指标是峰值超调和稳态误差，它们分别用于描述系统输出的超调幅度和输出与期望值之间的误差。
7-1 离散系统的基本概念
e*(t) A(t) τ
e*(t)
理想化后： τ→0
t T t
T
矩形面积：s=A(t)×τ
τ ：脉冲宽度 A(t)：幅度
由定义： B(t ) (t )dt A(t )
0－
0＋
由脉冲函数定义，在0－～0+脉冲强 0 度B(t)可视为不变数。而 0 (t )dt 1
所以：B(t)= A(t)×τ
a.开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外， 或系统本身不存在闭合回路。 b.闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。 而在实践中用得最多的是：误差采样控制的闭环系统。 误差采样：采样开关设在误差比较点之后。 s:采样开关，τ→0
r(t) e(t) S e*(t) eh(t) c(t)
Gh(s)
e*(t)
e*(t) 信号复现滤波器
(保持器）
eh(t)
e*(t)(t) eh
保持器输入信号
t
保持器输出信号
t
图7-3 保持器的输入与输出信号
保持器可把脉冲信号e*(t)复现为阶梯信号eh(t)； 当采样频率足够高时，eh(t)接近于连续信号。
(2) 采样系统的典型结构图
根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采 样系统。
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 离散系统的基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7－6 离散系统的动态性能分析 7－7 离散系统的数字校正
学习目的
由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技术的 发展，数字控制在许多场合取代了模拟控制器，作为 分析与设计数字控制系统的理论基础，离散系统控制 理论发展也非常迅速。 离散控制系统与连续控制系统既有本质上的不同， 又有分析研究方面的相似性，利用z变换法研究离散 系统，可以把连续系统中的许多概念和方法推广到线 性离散系统。 通过本章学习，建立有关离散控制系统的概念， 掌握数字控制中采样和保持这二个信号变换过程及数 学描述，了解z变换理论，建立离散系统的数学模型， 掌握离散系统的分析和校正方法。
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h ( n ) = a u( n )
n
a 1时，该系统不是稳定的
a
1
a a
2
3
如，a为实数，a>1时
•••••• n
17
1 0
考察系统因果性时，还需注意把输入信号的影响与其他函数区别开 如,y(n)=x(n)sin(n+2)是因果的，只看x(n)与y(n)的关系
13
2.LSI系统是因果系统的充要条件就是：h(n)=0,n<0
证：充分性：若n 0时，h(n)=0 则y(n 0 )= x(m)h(n 0 m)
满足可加性 ②比例性判断
Im y1 (n) I1 (n) 设输入x1 (n) r1 (n) jI1 (n)
y2 (n) r1 (n) x2 (n) jx1 (n) I1 (n) j r1 (n) Im 不满足比例性 由①②得出该系统不是线性系统
16
【例】设某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=a nu(n),讨论其 因果性和稳定性。
（）因果性 1
n<0时，h(n)=0 该系统是因果系统。
（2）稳定性 1 1 a a 1 n h(n) a n＝－ n 0 a 1 a 1时，该系统是稳定的
jy1 (n) jI1 (n)
5
【例】系统y (n) 4 x(n) 6是否为线性系统 解：设x(n)=0 y(n)=4x(n)+6=6 不满足零输入产生零输出 该系统不是线性系统
说明：其实该系统等价为
6 x(n)
T[x(n)]=4x(n) 线性系统
⊕
y(n)
也称为增量线性系统
Other Proof !
注：要证明一个系统不是移不变的，找一个反例来证明 如果系统有一个移变的增益，则一定是移变的
7
3.线性移不变系统
同时具有线性和移不变性的离散时间系统
简称LSI系统（Linear Shift Invariant）
也称LTI系统（Linear Time Invariant） 本书主要研究LSI系统（除申明外）
y(n 0 )至少和m n0中的一个x(m)值有关 假设不成立 n 0时，h(n)=0是必要条件
14
五、 稳定系统
稳定系统——有界输入产生有界输出（BIBO），即
若： x(n) M 则： y(n) P
LSI 系统是稳定系统的充要条件：
n
h(n) P ，即h(n)绝对可和
数字信号处理
Digital Signal Processing
Ch2.3 离散时间系统的基本概念
1
输入序列
x n
T []
y n
输出序列
也可表示为： y n T x n 或
T x n y n
本书研究的是“线性移不变”的离散时间系统
2
一、线性移不变系统
说明：要证明一个系统不稳定，只需找一个有界输入能
得到一个无界输出的特例就可；要证明一个系统是稳定的， 必须利用所有有界输入下都能产生有界输出的办法来证明。
15
六、 因果稳定的LSI系统
单位抽样响应h(n)是因果的，是绝对可和，即：
h(n) h(n)u (n) h (n) n
m
m
x(m) T[ (n m)] x ( m) h( n m)
根据线性系统的叠加原理 根据移不变性
m
即 y (n) x(n) * h(n) LSI 系统可用h(n)来表征 x(n) h(n) y (n) x(n) * h( n)
9
三、 LSI系统的性质
1.交换律 卷积和与两序列次序无关，即：
x (n ) h (n ) h (n ) x (n ) y (n )
说明 x(n)
h(n) LSI系统
y(n)
等价于
h(n)
x(n)
y(n)
10
2.结合律 可以证明卷积和运算服从结合律，即
x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n ) x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n ) x ( n ) * h1 ( n ) * h2 ( n )
0 · ������(������) = 0
4
【例】系统y (n) Im[x(n)]是否为线性系统 解：①可加性判断
Im y1 (n) I1 (n) 设输入x1 (n) r1 (n) jI1 (n) Im y2 (n) I 2 (n) x2 (n) r2 (n) jI 2 (n) Im I1 (n) I 2 (n) y1 (n) y2 (n) x1 (n) x2 (n) r1 (n) r2 (n) j[ I1 (n) I 2 (n)]
m m
x(m)h(n
n0
0
m)
y(n 0 )只与m n0的x(m)有关 是因果系统 必要性（反证法） 设该系统满足因果，又设n 0时，h(n) 0，则 y(n 0 )= x(m)h(n 0 m)+
m n0 m n0 +1
x(m)h(n 0 m) 至少一个不为0
0
对于因果系统有：若n n0 , x1 (n) x2 (n) 则有：n n0 , y1 (n) y2 (n)(书p27有误，n n0 n n0 ) 非因果系统——不实际的系统。 但不是所有有实际意义的系统都是因果系统，比如：
N 1 常用的对数据取平均（平滑），y(n)= x(n k)不是因果系统 2 N 1 k N Note：
h1(n) x(n) y(n) 等效于 x(n) h1(n)+h2(n) h2(n) y(n)
两个并联的LSI系统等效于单位抽样响应为两个能并的
LSI的单位抽样响应之和的系统。
12
四、 因果系统
1.因果系统——系统某时刻的输出只取决于此时刻及之前的 输入，即： y (n 0 )只取决于x(n) |n n
②比例性（齐次性）
T 设x(n) y ( n) T 则有ax(n) ay (n)
注：证明一个系统是线性系统时，该系统必须同时满足{ 信号及比例因子可以是复数
可加性 比例性
必要条件
������
线性系统满足：零输入→零输出
设������(������)
������
������(������) ，根据比例性 0 · ������(������) = 0
1.线性系统
满足叠加原理的系统
N个信号加权和输入
N
T 输出N个对应响应的同样加权和
N
T a x ( n ) ai yi (n), ii i 1 i 1 T 其中，xi (n) yi (n)(i 1, 2,
N)
3
实际上叠加原理包括两个性质： ①可加性
T T 设x1 (n) y1 (n)，x2 (n) y2 ( n ) T 则有x1 (n)+x2 (n) y1 (n) +y2 (n)
6
2.移不变系统——时不变系统（非移变系统）
系统的响应与激励加于系统的时刻无关，系统的参数不随时 间而变化。 若x(n) y (n), m, 有x(n m) y (n m) 输入移位m，输出也移位m，对应幅值不变
【例】设y (n) n x(n)是否移不变 解：设输入x1 (n) (n) y1 (n) n (n) x2 (n) x1 (n 1) (n 1) y2 (n) n x2 (n) n (n 1) (n 1) y1 (n 1) 该系统是移变的
[ x ( n ) * h ( n )] * h ( n )
2 1
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) x(n)
y(n)
h2(n)
h1(n)
y(n)
LSI系统级联后的单位抽样响应与级联次序无关
11
3.分配律 卷积和满足
x(n) * h1 (n) x(n) * h2 (n)=x(n) *[ h1 ( n) h2 ( n)]
8
二、 LSI系统的单位抽样响应和卷积和
h(n) 单位抽样响应 单位抽样序列 (n)
T
任意序列x(n) 可用 (n)的移位加权和来组成 从Ch2.2可知， x(n) x(m) (n m) 即： m 则LSI系统的输出：
y (n) T[ x(m) (n m)]