(完整word版)能带理论
能带理论(陈长乐)
n
)
式中，Rn 为晶格周期性平移矢量，
则，薛定鄂方程
2 2m
2
V ( r ) ( r ) E ( r )
的本征函数 (r) 具有调幅平面波的形式：
(r ) u k (r )e
i k r
其中 称
u k (r )
E ' (... r i ... R ...)
这种把电子系统与原子核 (离子实) 分开处理的方法称为绝热近似。
上述方程虽然经过简化，但仍然是多电子体系的薛定鄂方程，精 确求解仍然非常困难。
因为，所有电子的状态都是相互关联的，任一电子的状态不仅与 自身位置有关，而且和所有其它电子位置有关。
是以晶格为周期的函数, 即： u k ( r )
(r )
u k (r R l )
,
k 是一个实矢量，
(r )
为布洛赫波，称由
描述的电子为布洛赫电子。
4.2 周期场中单电子状态的一般属性
4.2.1 布洛赫定理
布洛赫定理证明：
T (R
引入平移符， n )， T ( R n ) 作用于任意函数 f ( r ), 得 T ( R n ) f( r ) f ( r R n ) 根据定义 T ( R m )T ( R n ) f (r ) T ( R m ) f (r R
n
m
) A(R
) ( r )
即有，
A(R
R
m
) A(R
2
) A(R
)
(2)
由以上结果
和上式
(1)
(2) ， 得到
A(R n )
能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，定性的阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。
在本章中主要学习了布洛赫定理和近自由电子近似等相关知识。
一、布洛赫定理1.晶格的周期性势场(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子；(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：),(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+其中k 为电子波矢，332211n a n a n a n R ++=是格矢。
布洛赫函数的具体形式为： ()()r u r k r k i k ⋅=e ψ，()()n k k R r u ru +=。
3.近自由电子近似近自由电子近似是指如下的近似方法：依据能带理论，可以认为固体内部电子不再束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
在远离布里渊区边界时，本征波函数的主部是动量的本征态，散射仅仅提供一阶修正。
近自由电子近似应用范围有限，只对碱金属适用。
正因为如此，这一类晶体的费米面近似为球形。
本章中近自由电子近似包括一维周期场和三维周期场中电子运动的近自由电子近似。
二、相关概念赝势指把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。
费米面指金属中的自由电子满足泡利不相容原理，其在单粒子能级上分布几率遵循费米统计分布。
实际上，费米面可以理解为是最高占据能级的等能面，是当T=0时电子占据态与非占据态的分界面。
能带理论(准自由电子近似)-1
1. 一维晶体准自由电子近似
将H分成两部分
ˆ H ˆ H ˆ' H 0
2 2 d ˆ H ( x ) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
零级哈密顿量 ——零势场
2 2 d ˆ H 0 2m dx 2
0
E Tn | Vn | E
简并态出现 能量分裂！ 禁带宽度 （能隙）
1 2 1 2
0 k 0 k
0 k' 0 k'
E E
E
Tn Vn Tn Vn
Eg 2 Vn
2 V2
2 V1
/a /a
/a
/a
0 0 k
0 k'
2 d 2 0 0 V x E A B ( ) ( k k ) 0 2m dx 2
0 0 0 0 E E V x A E E V x B k k k 0 k
0 k'
H
' kk '
1 ˆ dx Vn e H 0 L 0 n0
L 0* k
dx
2 ˆ H Vn exp(i nx) a n0
Vn 0
k k 2 n / a K n k k K n
倒格矢
能量修正
(二级)
2 k 2 2 2 Ek 2m n 0 k
i 2a x i 2a x i 2a y i 2a y U ( x, y ) V e e e e i ( 2a x 2a y ) i ( 2a x 2a y ) i ( 2a x 2a y ) i ( 2a x 2a y ) V e e e e
(完整word版)固体的能带理论习题.doc
第五章固体的能带理论1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3 条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。
布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。
2.周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。
由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数 N 通常都是很大的，所以 k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。
4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢K h中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E (k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。
可以用下面的图 5.1 来描述禁带形成的原因：E(k)>0<0D BA CO kaa5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时， 将主要受到该原子场的作用， 把其它原子场的作用看成微扰作用。
这两种模型的相同之处是： 选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数 集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开， 其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。
第六章 能带理论
需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性 势场中推导出来的，这是由于人们对固体性质的研究首 先是从晶态固体开始的。而周期性势场的引入也使问题 得以简化，从而使理论研究工作容易进行。所以，晶态 固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，周期性势 周期性势 场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，在 场并不是电子具有能带结构的必要条件 非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时， 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时， 原子之间存在相互作用的结果， 原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集 在一起是晶态还是非晶态， 在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移 对称性并不是形成能带的必要条件。 对称性并不是形成能带的必要条件。
ψ k ( r + Rl )
=e
ψ k ( r ) = uk ( r )
这表明uk(r)是以格矢Rl为周期的周期函数。
∴ψ k ( r ) = e uk ( r )
ik ⋅r
证毕
二、几点讨论 1. 关于布里渊区
ψ k ( r ) = e uk ( r )
ik ⋅r
波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其物 理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。 如
这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有
λα = e
ik ⋅aα
aα ⋅ bβ = 2πδ αβ
ψ ( r + Rl ) = ψ ( r + l1a1 + l 2 a2 + l 3a3 )
l1 l 2 l 3 1 2 3 l1 1 l2 2 l3 3
∴ψ ( r + Rl ) = eik⋅Rlψ ( r ) − ik ⋅r 定义一个新函数： uk ( r ) = e ψ k ( r )
1.2 能带理论
什么样的晶体是绝缘体？
1) 价电子的数目是偶数 2) 没有能带重叠 例：金刚石 每个原胞内有 2 个电子，晶体中有 8N 个的价电子， 正好填满下面的 4 个能带，上面的 4 个价电子全空。它的带 隙在空带和满带之间。
金刚石是典型的绝缘体。
2、导体 (ρ—10-2 10-10 cm)
在导体中，除了满带和空带外存在不满带。一部分处于不 满带中的价电子在电场的作用下产生运动—导电。 1）价电子为奇数 价电子数 = 不满带中的电子数 (碱金属-特鲁德假设)。 2）有偶数个价电子，但能带产生交叠。 由于能带的交叠，导致原来的满带变成了不满带，原
根据对周期势的不同处理方法，能带理论主要有3
种理论：
1）近自由电子近似 ——考虑电子与晶格的正离子作用相当微弱，将势 场对电子的作用视为微扰。 2）赝势法 ——造一个有效势 3）紧束缚近似 ——原子轨道线性组合法
二、 近自由电子近似的一维模型
电子在周期性点阵中运动，受到弱的原子实势场的散射， 这个模型称为近自由电子模型。近自由电子模型是当晶格周 期性势场起伏很小，从而使电子的行为很接近自由电子时，
在绝对零度下，大多数半导体的纯净完整晶体都是绝缘 体。它的能带填充情况和绝缘体相同。差别仅在于： 禁带的宽度 E g < 2 e V，而绝缘体 Eg 3-6 eV。 ( Ge = 0.74 eV，Si = 1.17 eV)
1)
半导体的能隙将满带和空带隔开，在弱电场的作用下， 不导电。
2)
当温度升高时, 半导体中的电子受热激发(产生光子)，
原子间距
能带存在的实验验证：
1、核磁共振磁致伸缩技术 2、晶体软X射线谱技术 3、用高能电子束射入晶体，晶体中的电子从晶体中 打出来后，电子从高能级向下跃迁而产生的辐射能量 范围在十几ev，这正是能带的宽度。
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。
能带理论
在单个原子中，电子具有分 在单个原子中， 离的能级如 1s,2s,2p 等，如果 个相同的原子， 晶体内含有 N 个相同的原子， 那么原先每个原子中具有相 同能量的所有价电子， 同能量的所有价电子，现在 处于共有化状态。 处于共有化状态。这些被共 有化 的外层电子，由于泡利不相容原理的限制， 的外层电子，由于泡利不相容原理的限制，不能再处 于相同的能级上， 于相同的能级上，这就使得原来相同的能级分裂成 N 个和原能级相近的新能级。 个和原能级相近的新能级。
导带
满带
价带未充满
形式2：二价元素Bi 半金属） 形式 ：二价元素 , As , Mg，Zn （半金属） ， 金属Mg 电子排布 22s22p63s2 电子排布1s 金属 ——价带被电子填满，成为满带 价带被电子填满， 价带被电子填满 ∵晶体结构特点，价带与空带发生交叠 —— 形成更 晶体结构特点， 宽的能带 ∴这个新的、更宽的能带可 这个新的、 包含几个布里渊区 → 使可添 充的电子数目大于 大于2N 充的电子数目大于 → 使 能带不完全被电子充满
不同的晶体有不同的导电性，这与晶体内 不同的晶体有不同的导电性， 电子在能带中的填充和运动情况有关！ 的电子在能带中的填充和运动情况有关！ 原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满， 原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再 占据能量更高的外面一层的允许带。 占据能量更高的外面一层的允许带。 晶体中的电子在能带中各个能级的填充方式，服从费 晶体中的电子在能带中各个能级的填充方式，服从费 狄拉克分布、泡利不相容原理，还要服从最小能 密－狄拉克分布、泡利不相容原理，还要服从最小能 量原理，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。 量原理，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。 按充填电子的情况，能带可以分成： 按充填电子的情况，能带可以分成： 满带，价带（导带），空带， 满带，价带（导带），空带，禁带 ），空带
第一章能带理论
孤立时, 波函数（描述 微观粒子的状态）为 A和B,不重叠.
简并度=状态/能级数 =2/1=2
孤立原子的能级
A . B 两原子相互靠近, 电子波函数应是A和B 的线形叠加: 1 = A + B →E1 2 = A - B →E2
四个原子的能级的分裂
● 当有 N 个原子时：
相互中间隔的很远时： 是N度简并的。 相互靠近组成晶体后： 它们的能级便分裂成N个彼此靠得很 近的能级－－准连续能级，简并消失。 这N个能级组成一个能带，称为允带。
((kx )2
m*x
(ky )2
m*y
(kz )2 )
m*z
ax
Vx t
t
(
hk x m*x
)
1 m*x
(hkx ) t
Fx m*x
ay
Fy m*y
az
Fz m*z
称m*为电子的有效质量
F外 = m*a F外 + F内 = m0a
有效质量的意义
概括了半导体内部势场作用，使得在解 决半导体中电子在外力作用的运动规律时， 可以不涉及到半导体内部势场的作用。
本征激发 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导
带电子的过程 。
激 发 前：
激 发 后：
导带电子
价带电子
空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电 荷的准粒子的导电作用。
空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、EP=-En D、mP*=-mn*
第一布里渊区 1 k 1
2a
2a
第二布里渊区 1 k 1 , 1 k 1
a
2a 2a
第六章 能带理论
k r + Rl k r uk r
2 2
2
—— （4）
这说明：晶格周期势场中的电子在各原胞的对应点上出现的 几率均相同，电子可以看作是在整个晶体中自由运动的，这 种运动称为电子的共有化运动。
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易， 两者具有相同的本征函数 —— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值， 最后给出电子波函数的形式
于是，多电子系统的薛定谔方程可简化为
2 2 1 e 2 i 2 i j 4 0 r rij i 2m U r1 , ri , ; R1 , R , ri , R E ri , R
（2） 哈特里-福克(Hatree－Fock)平均场近似：
在周期场中，描述单电子运动的Schrö dinger方程为
2 2 2m V r r E r
1
V r V r R l 为周期性势场，Rl
a1
2
a 2 3 a 3 为格矢
方程的解为：
k r ei kruk r
2
( r ) ( r T )
，这样可用自由电子 的波函数代替电子的零级波函数，用 微扰论求解Shodinger方程，这样一种 物理模型称之为近自由电子模型 或准 自由电子模型，这也就是Sommuefeld 的自由电子模型再加上弱周期势的修 正。
§6.3 布洛赫(Bloch)定理
假定是理想完整晶体，每一个电子都处在除其自身外其他 电子的平均势场和离子实产生的周期势场中运动，其周期 为晶格所具有的周期。 U(r) + u(r) = V(r) U(r)——平均势场，是一衡量 u(r)——离子实产生的周期势场。
能带理论
➢ 在一个完全为电子充满的能带中，尽管就每一个电
子来讲，都荷带一定的电流-qv
➢ 但是k和-k态的电子电流正好相抵消，所以总的电流
等于0。
E
k 0 k1 k2k3 k4 k5
§3.2.1 原子能级及能带理论
3. 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 对于被电子部分占满的能带，在外电场作用下，电子可
带，中间隔一禁带。
➢ 但是，两个能带并不相对应与s能级和p能级，而是上下
两个能带中都包含2N个状态，各可容纳4N个电子。
➢ 根据能量最小原理和泡利不相容原理，先占满低能量的
能带，然后再占据更高能量的能带。
➢ 4N个价电子正好填满下面低能量的能带，而上面高能
量的能带是空的，没有电子。
§3.2.1 原子能级及能带理论
价电子的共有化运动形成一个能带，使其处于价级分裂 后的能级上，叫做价带
价带的宽度约为几个电子伏特（eV）。 如果能带中（包括价带）所有的能级都按泡里不相容原
理填满了电子，则称为满带。
对于满带，其中的能级已为电子所占满，在外电场作用 下，满带中的电子并不能形成电流。
§3.2.2 晶体中电子的状态
满带中激发而成的空的量子状态形成的导电作用等效于 带正电荷的准粒子的导电，这些空的量子状态称为空穴
§3.2.1 原子能级及能带理论
3. 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
半导体的禁带宽度一般比较窄，Eg约为0.1 ～2eV
➢ 半导体锗（Ge）的禁带宽度Eg为0.67eV ➢ 半导体硅（Si）的禁带宽度Eg为1.12eV ➢ 其他纯净的半导体的禁带宽度也都在1eV左右
§3.3 半导体的特性
1. 理想半导体的能带模型
能带理论
锗、硅和砷化镓GaAs等一些重要的半导体材料，都是典型的共价晶体。
在共价晶体中，每个原子最外层的电子和邻近原子形成共价键，整个晶体就是通过这些共价键把原子联系起来。
对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。
在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带(forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。
导带：满带是指晶体中最低能带的各个能级都被电子填满，这样的能带称为满带。
当满带中的电子从它原来占据的能级转移到同一能带中其它能级时，因受泡利不相容原理的限制，必有另一个电子作相反转移，总效果与没有电子转移一样。
即外电场不能改变电子在满带中的分布，所以满带中的电子不能起导电作用。
直接带隙半导体材料就是导带最小值（导带底）和满带最大值在k空间中同一位置。
电子要跃迁到导带上产生导电的电子和空穴（形成半满能带）只需要吸收能量。
间接带隙半导体材料导带最小值（导带底）和满带最大值在k空间中不同位置。
形成半满能带不只需要吸收能量，还要改变动量。
间接带隙半导体材料导带最小值（导带底）和满带最大值在k空间中不同位置。
电子在k状态时的动量是（h/2pi）k，k不同，动量就不同，从一个状态到另一个必须改变动量。
禁带：价带与导带之间的区域。
绝缘体，半导体，导体的能级关系。
热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。
泡利不相容原理（Pauli’s exclusion principle）指在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子。
又称泡利原理、不相容原理引。
一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子。
经典的解释{费米能级是绝对零度时电子的最高能级.如果真的想了解一些,建议咬牙看一看,我觉得我写的比较不好理解,物理本来就是这样.我就从最简单的自由电子气体模型来解释.自由粒子的波函数是平面波,波动方程是f(r)=(1/V^0.5)*Exp(i k*r)k是平面波波矢,电子能量是E=(hk)^2/2m (这个h是除以2PI后的那个普朗克常数,原来表示此量的符号太不好找了)可以看出,电子对于取不同的k时,可以处在不同能量状态.下面引入k空间,尽量理解.一般用周期性边界条件,f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值kx=(2PI/L)Nxky=(2PI/L)Nykz=(2PI/L)NzNxNyNz是整数,因此把k看作空间矢量,在k空间中,k只能取一个个分立的点.你可以想象以kxky kz3个方向建立坐标系,因为NxNyNz是整数,kxkykz只能取到一个个点.就比如Nx是整数,永远不会有kx=(2PI/L)*0.4处被取到.每个点代表一种k的取值,前面有说过,每个k都对应电子的不同能量状态,E=(hk)^2/2m ,这些能量状态也因为k的分立取值而只能分立出现,就是能级. 把电子放在k空间的各个点上,代表电子处在那个k值的状态,也对应一个能量状态,即处在该能级上.因为泡利不相容原理,每个态上只可以放2个电子,(自旋相反)不会有第3个跟他们在同一个状态(k空间的各个点)上.现在有一个总共有N个电子的体系,各个电子都处于什么状态哪?粒子总是先占据能量小的能级,从kx=0ky=0kz=0开始(显然这时候能量最小,不过这个模型有点局限,你不必理了)kx=0ky=0kz=1.....kx=33 ky=34 kz=34.....反正越来越大,越来越往能量更大的高能级上添.最后第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级.注意:1 不在绝对零度的话,电子填充能级不是仅仅由泡利不相容原理决定,因此费米能级是绝对零度时,电子的最高能级.2 通常宏观体系的电子数N很大,电子填充能级时,在k空间的占据态,也就是可以处在的那N/2的点,会形成一个球形,称为费米球.这很好想象,粒子总是先占据能量小的能级,离(0 0 0)越近的能级(哪个点)先占据,最后被占据的点肯定不会有"支出去"的,而是程球形.这个球面叫费米面,有时也说费米面上的能级是费米能级.我前面说"第N个电子会处在最高能级上(能量最大),这个能级就是费米能级"是为了理解方便,实际上第N个电子,不见得比N-1的能级高了,简单的看kx=0ky=0kz=1和kx=0ky=1kz=0和kx=1ky=0kz=0不是能量一样吗?当离(0 0 0)很远后,这种k不同但能量一样或近似一样的点会更多,形成一个近似的球面--费米面.一般就认为费米面上的能级就是最高能级--费米能级.3 从费米分布函数角度解释也可以,费米分布函数给出了不在绝对0度的情况下各个能级被占据的几率,费米能级是本征态占据几率1/2的态对应能级在绝对0度的极限.你可以看黄昆先生的固体物理.4 你问这个问题,应该是大学生了吧.对于f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值,可以自己计算一下.波动方程只是为了得出能级概念,并不需要注意,解法可以去看量子力学.}非辐射复合的本质就是将电子和空穴复合释放的能量转变为热能，但是通过实验还难以获得非辐射跃迁的详细信息，因此人们对它们的复合过程还不是太清楚。
能带理论
材料按电性能分类:
导体、半导体、绝缘体
导 体 纯金属的电阻率在108 ～ 107 m 金属合金的电阻率为107 ~ 105 m 半导体 电阻率为103 ~ 10+5 m 绝缘体 电阻率为10+9 ~ 10+17 m
电阻率的大小取决于材料的结构。
1、自由电子理论
Band - 1
2、能带理论
空带
禁带 价带 （导带）
未排电子
部分能级 排满半导体和绝缘体的比较
导带和价带重叠 半导体的禁带一般小于 3 eV
绝缘体的禁带一般大于 5 eV
只有外层价电子起主要作用。
2、能带理论
准连续能级 • 经典理论：连续能量 • 量子理论：量子化能级（分立）
• 当原子结合成固体，形成带 状能级－能带
• 大量能级形成准连续的带， 带间可能有间隔（带隙） • 能带同时具有分立、连续的 能量特点
Band - 3
Band gap
Band - 2
Band gap
自由电子理论把金属中的电子分为两类： 一类是内层电子，处于原子核束缚较强的状态，与单独 原子中的电子差别不大，在比较狭窄的区域内运动，被 称为“定域电子”。 一类是价电子，受原子核束缚较弱，可脱离原子核，在 整个晶体中进行离域的共有化运动，被称为“离域电子” 或“自由电子”。
自由电子理论认为，金属中的价电子类似于理想气体分子， 价电子间没有相互作用，由价电子组成的气体——“电子气” 在金属晶体中受一恒定势场的作用，可以在整块晶体中自由 运动，但不能超出表面。 金属晶体的特征：导电、导热、金属光泽、延展性和可塑性
整理能带理论.doc
§5.11 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。
5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度d e dt=-k E…………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。
593-第五章能带理论总 结文档资料
近自由电子近似
1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势
能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替
V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
2.势场: V ( x)
Vneikx
n
Vn
1 a
a
2 a
V
(
x
)e
ikxdx
2
Vn
1 a
a
2 a
V
(
x
)e
ikxdx
)
Rn
4.能量表达式：
E (k ) Eat J ss
' e J ik( Rn Rs ) sn
Rn
5.能带宽度： E Emax Emin
费米面的构造法
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米面(费米面的广延区图)；
N
kF
Z(k )dk
0
kF 0
2N A
2πkdk
πk
2 F
幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。 Nhomakorabeak
r
e ik r
uk
r
u r k
u k
r
Rn
布洛赫波函数具有如下特点：
bi
2
(r
ki
Rn)
bi 2
eik
，(i
Rn
(r ),
1，2 ，3 )
(r ) (r )
k
kKh
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
5.能带图 (a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带；
(b)简约区图：将不同能带平移适当 的倒格矢进入到第一布里渊区内表示( 在简约布里渊区内画出所有能带)；
第四章 能带理论
（LCAO）
一、紧束缚近似处理方法
1 ）紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格 点）附近时，主要受到该原子势场的作用，将其它 原子（格点）势场的作用看作微扰，并利用简并微 扰法，求出电子的原子能级与晶体中能带之间的相 互联系。 V(r－Rm)：Rm格点的原子势场， U(r)为晶体的周期性 势场，是所有原子的 势场之和。
第一部分：波数为k的行进平面波。 第二部分：该平面波受周期场的影响而产生的散射 波。
3. 几种晶格的布里渊区
1) 简单立方格子 —— 倒格子 简单立方格子 简单立方格子第一布里渊区为：原点和6 个 近邻格点的垂直平分面围成的立方体。
2) 体心立方格子 ——倒格子为面心立方格子
体心立方格子第一布里渊区为：原点和12 个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。
2 2 V r r E r 2m
V (r ) V (r Rn )
2
一、Bloch定理（1928年） 描述电子运动的Schrö dinger方程为
为周期性势场， R n 为任意格矢 V (r ) V (r Rn )
方程的解具有性质： r Rn eik Rn r
2 2 2m V r r E r
k为一矢量 Rn 时，波函数只增加了位 表明当平移晶格矢量 相因子 eik Rn 。 ——布洛赫定理
rRm
0
微扰以后电子的运动状态
微扰以后的状态用N 个简并态（原子轨道波函 数 i r Rm ）的线性组合构成晶体中电子共 有化运动的波函数： r ami r Rm
第五章 能带理论
所以
称电子的赝动量（或电子的晶体动量）
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
3. 布洛赫波函数
是电子的晶体轨道
是整个晶体中的扩展态，不是局限在特定原子 附近运动的局域态。
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
§5.2 一维周期场中近自由电子近似
一、 模型和微扰计算
近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均 值代替原子实产生的势场
Ek E E
0 k
(1) k
E
( 2) k
.
一级能量修正
E
(1) k
0
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
二级能量修正 E
( 2) k
k'
k'| H '| k 0 0 Ek Ek '
2
——
—— 按原胞划分写成
—— 引入积分变量
x na
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
能带理论
—— 研究固体中电子运动的主要理论基础 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半 导体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的
简约波矢的取值
第一布里渊区体积
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
Vc原胞体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
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能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子
能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于
晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而
其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内
容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些
基本结论和概念。
一、三个近似
绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相
对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的
影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均
场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受
到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的
中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即
其中
二、两个模型
（1）近自由电子模型
1、模型概述
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动
能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以
把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)
()(r U R r U n =+
2、怎样得到近自由电子模型
近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果
1) 存在能带和禁带：
在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变，出现能量间隔2︱V n ︱，间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。
周期势场的变化愈激烈，各傅里叶系数也愈大，能量间隔也将更宽，周期势场中电子的能级形成能带是能带论最基本和最重要的结果。
2) 第一布里渊区
自由电子波矢 k 的取值范围是没有限制的而在周期势场中，则被严格的限制在第一 Brillouin 区内。
但从能量角度看，可以将标志电子状态的波矢 k 分割为许多区域，在每个区域内电子能级 E(k)随波矢 k 准连续变化并形成一个能带，波矢 k 的这样一些区域就被称为 Brillouin 区，当波矢 k 被限制在第一Brillouin 区时， E(k) 就成为 k 的多值函数，为了区别，按其能量由低到高，分别标注为 E1(k) ,E2(k) E3(k), ……。
有时也可以用周期布里渊区图式或扩展布里渊区图式绘出晶体中的能带。
3) 从理论上解释了导体和绝缘体的区别
按照能带模型，晶体中每个原子的传导电子数就决定了晶体是导体还是绝缘体，如果每个原子提供两个传导电子，刚够填满第一能的所有状态，或每个原子提供四个传导电子，刚填满第一、二能带，鉴于能隙的存在，当电子受到外加势场作用时,就没有稍高的容许能态可以让它被激发而迁入，因此就没有电流流动，这种晶体就是绝缘体，除非外加势场大到足以激发电子使之跨过能隙而进入下一个能区的容许能态。
相反，如果电子只是在某个能区填充了部分能态，就会如同自由电子那样，可以在势场作用下自由移动，成为导体。
然而在真实
n
k a π
2=
晶体中，情况并不像上述模型那样简单，由于晶体是各向异性的，因此可能在某些方向上，矢量 k F 同能区边界重合，另外一些方向上不重合，于是，就可能有某些晶体的性质介于导体和绝缘体之间，比如半金属铋和锑。
（2）紧束缚模型：
1、模型概述
假定原子势很强，因此， 当一个电子在晶体中运动并被一个离子束缚住的时候，在它被释放或隧穿到另一个离子之前，将会停留相当长的时间，在受束缚期间，电子轨道主要是围绕单个离子，其态函数基本上是一个原子轨道，受其它原子的影响很小。
该模型主要适合于晶体中原子间距较大时，或能带低而窄、壳层半径比晶格常数小得多的情况，这时的原子轨道只受到其它原子很微弱的作用，比如过渡金属中很重要的3d 能带问题。
2、为何引入紧束缚近似
紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子势作用，其它原子势作用弱，可当作微扰作用。
此时晶体中电子的波函数不能用自由电子波函数表示，而是应由所有原子的电子波函数的线性组合来表示。
3、紧束缚近似的主要结论
在N 个原子相距较远时，每个原子有不同的原子能级，整个体系的单电子态是N 重简并的，当把它们放在一起形成晶体后，由于最紧邻原子波函数的交叠，N 重简并解除，展宽成能带。
每个能带都包含 N 个k 值。
由于能带从原子的能级演化而来，所以内层电子能带常用原子能级的量子数标记，如3s,3p,3d 等
三、晶体能带的对称性
晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同，都是在倒空间里面进行研究，且解均在第一布里渊区，可以参照到来理解。
平移对称性：
注，该式只是对同一能带才成立
点群对称性：
α 为晶体所属点群的任一点对称操作，该式表明能带与晶格有相同的对称性。
)
()(h n n G k E k E +=)
()(k E k E n n α=
反演对称性：
不管晶体中是否有对称中心，在 k 空间中 En (k ) 总是有反演对称的。
这实际上是时间反演对称性的结果。
四、能太密度和费米面
1、近自由电子的能态密度
和自由电子情形不同，这里的等能面，需要根据等能面形状具体积分才行。
受周期场的微弱影响，近自由电子的等能面偏离自由电子的球形,并受到布里渊区界面影响
2、费米面
定义:费米面是 k 空间能量为恒值 E F 的曲面，
性质：绝对零度下费米面是未填满电子轨道和被填满电子轨道的分界面，晶体的性质主要由费米面的体积和形状决定，只有费米面附近的电子才有可能参与各种过程。
在金属的自由电子模型中,电子的状态是均匀地分布在K 空间一个半径为Kf 的球内，Kf 称为费米半径，相应的能量为费米能。
费米能级Ef 的数值由电子浓度决定。
重点题型：晶体费米面的构造
步骤：
)
()(k E k E n n -=周期场的微扰使布里渊区附
近界面内的能量下降，而等
能面的凸出正意味着达到同
样的能量 E ，需要更大的 k
值，当能量 E 超过边界上A
点的能量E A ，一直到 E 接
近于在顶角C 点的能量E C
（即达到第一能带的顶点）
时，等能面将不再是完整的
闭合面，而成为分割在各个
顶角附近的曲面。
•就根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；
•按自由电子模型由电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球（或费米圆）；
•将处在各个布里渊区中的费米球（园）分块按倒格矢平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第n个能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费米面图形；
•按照近自由电子作必要的修正。
在课堂上对画横线的内容不是很理解，不知道是怎么移到第一布里渊区里的，经过下来结合例题思考后想清楚了；就是分别将每一个渊区里被费米圆所包围的部简约区里。