高一数学圆的标准方程课件(优秀经典公开课比赛课件)
合集下载
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
高一数学圆的方程PPT 课件
； / 注塑模具
bth95dwb
一起，低声说些话，那话自然是人家听不清的了，说两句，瞟婆子一眼，居然笑了笑。婆子心里就一抖。从六 屋子门口，到芙蓉树的后院这儿， 当中要过一道中门，平常都开着。宝音回去，踏入中门，就叫把门关上。婆子看不见里头的情形了。哪怕表 从其他路走出去拜访谁，她都看不 到了！婆子心里又一抖。宝音回了屋，洛月在外头、乐韵在屋里做宝音布置的差使，都是神秘而奇怪的事，乐韵要给宝音化妆，而且往丑里化， 还要自然。乐韵虽还不懂为何如此，但也尽力施为，宝音又略作点拨：“这里你看是不是偏了些？”“哟，这点子不错！”乐韵一发使出浑身 解数，力求作更佳表现。她虚荣、好强。宝音先压服她，再用她、称赞她，像对付一匹烈马，软硬得当，这匹曾走过缰的马儿，而今已基本可 用。片刻，飘儿通报说，七 求见。乐韵眼中立刻泛起激赏。洛月或者不懂，乐韵是懂的。两人闹了矛盾，谁主动跑去找谁，这之中有很大分别。 宝音足不出户，怎能让明蕙巴巴的上门来？乐韵很觉钦佩。宝音却阖上了眼睛，仿佛睡着了，乐韵轻轻的叫了两声，宝音都不理不睬，乐韵会 意，便蹑足退出去，向七 禀报：“我们 睡着了，这上下无法见客，还请七 宽坐——飘儿，”呵斥道，“茶怎么还不泡上来？”“不必了。” 明蕙假笑，“我闻说表姐今儿好了很多，才想着来道贺的。怎么表姐又卧床不起了么？”“是卧床，”乐韵不带一丝烟火气的打发她，“过会 儿大约就能起了。七 再坐坐？还是一并在这儿用过午膳？乐韵去请厨房准备。”明蕙脸色一变。乐韵深深的又福了一福，心里可没一丝好气。 七 总是向上巴结、向下踩，谁不知道？开玩笑！这种“主子”最叫人看不起了。前头些年里，乐韵也巴结过明蕙，明蕙也没一丝好处到乐韵跟 前，赶着欺负韩毓笙的过程中，造些小局还把乐韵一并儿给害了！当时表 自己软弱、也不替乐韵撑腰，乐韵有冤没处诉，如今 濒死一场、改 弦易张，乐韵春江水暖鸭先知，七 再要过来掐软豆腐，没那么容易呢！明蕙不耐烦扬声道：“表姐怎么这个时辰还高卧？我不等了，反正也不 是睡觉的点儿，好叫她起来了罢！”乐韵那抹骇然，跟真的一样：“七 ……我们姑娘这病，您也不是不晓得。病沉的时候，实在，连老太太 都……”明蕙恼了：“一会儿说过会儿能起了，一会儿说病沉不能。那表姐是好了还是没好呢？”乐韵语调上是不敢触犯七 ，免得吃眼前亏， 骨头可埋在话里面呢：“好没好，奴婢们也着急，总得大夫把了脉才算。七 在奶奶们面前受宠，可听说有什么好大夫，能替我们 请了来么？” 明蕙哼了一声，既不好说她在二太太、大太太面前何尝受宠，又不好说就算受宠，也不高兴帮韩毓笙请名医。见丫头这儿问不出什么来，她
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程课件
y
形
数
l : Ax By C 0
规律总结 课堂小结 课堂达标 课后思考
o
x
圆的标准方程
学习目标 学习重点 学习难点 温故知新
圆在坐标系下有什么样的方程？
课内探究 探究一 探究二 探究三 规律总结
课堂小结 课堂达标 课后思考
y
x O
圆的标准方程
学习目标 学习重点 学习难点 温故知新
课后思考
课堂小结 课堂达标 课后思考
圆的标准方程
学习目标 学习重点 学习难点 温故知新
关于“圆”的成 语
课内探究 探究一 探究二 探究三 规律总结
课堂小结 课堂达标 课后思考
花好月圆 珠圆玉润 自圆其说
破镜重圆
字正腔圆 好梦圆圆
圆的标准方程
学习目标 学习重点 学习难点 温故知新
解 析 课内探究 几 何 探究一 的 基 探究二 本 探究三 思 想
课堂达标 课后思考
即：x-3y-3=0
∴圆心C(-3,-2)
r AC (1 3)2 (1 2) 2 5.
圆的标准方程
学习目标 学习重点 例2. .己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 学习难点 且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆C的标准方程. 温故知新
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
探究一 ∵圆心在直线l:x-y+1=0上 探究二 探究三 圆经过A(1,1),B(2,-2) 规律总结
待定系数法
圆的标准方程
学习目标 学习重点 学习难点 温故知新
探究三：圆的标准方程的求法
几何法 待定系数法
课内探究 求圆心坐标 （两条直线的交点） 探究一 探究二 探究三 规律总结 求 半径 （圆心到圆上一点的距离） 课堂小结 课堂达标
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件
凡事 都 是多 棱 镜， 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然， 不 计较 ， 也不 刻意 执 着； 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐， 就 像风 儿 一样 ， 来了 ， 不管 是 清风 拂 面， 还 是寒 风 凛冽 ， 都报 以 自然 的微 笑 ，坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 ， 把是 非 曲折 ， 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
高一数学圆的标准方程课件ppt.ppt
为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
高中数学人教A版必修24.圆的标准方程演示PPT
答 ： 支 柱 A 2 P 2 的 长 度 约 为 3 . 8 6 m 。
小结：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有a, b, r三个参数，因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。
在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通 过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方 法.通过坐标法，把点与坐标、曲线与方程联系起来， 实现空间形式与数量关系的结合.
一、复习引入:
两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB(x2x1)2(y2y1)2
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
小结：
1、圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小；
2、只要a，b，r(r＞0）三个量 确定了，方程就确定了；
3、要确定圆的方程，必须知道 三个独立的条件.
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
点M0在圆上 点M0在圆内 点M0在圆外
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
小结：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有a, b, r三个参数，因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。
在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通 过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方 法.通过坐标法，把点与坐标、曲线与方程联系起来， 实现空间形式与数量关系的结合.
一、复习引入:
两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB(x2x1)2(y2y1)2
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
小结：
1、圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小；
2、只要a，b，r(r＞0）三个量 确定了，方程就确定了；
3、要确定圆的方程，必须知道 三个独立的条件.
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
点M0在圆上 点M0在圆内 点M0在圆外
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
高 中 数 学 【 人教A版 必修】 24.圆 的标准 方程PP T全文课 件[1] 【完美 课件】
1《圆的标准方程》课件1.ppt
例２ ⑵ x 4 ⑶x
2
说出下列圆的圆心坐标和半径长：
2
2
⑴ x 3
y 1
y2 2
y 2 2 4 ;
2
7 ;
答：⑴圆心 (3,2),半径为2； ⑵圆心 (4, 2 ),半径为 7; ⑶圆心 (0,1),半径为4
16.
例３ 求以C1,3 为圆心，并且和直线 3x 4 y 7 0 相切的圆的方程。 解：∵圆与直线 3x 4 y 7 0 相切， ∴圆心C1,3 到 3x 4 y 7 0的距离
经过点M的切线方程是 图⑵ 2 整理，得 x0 x y0 y r 当点Ｍ在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适 用。 思考：是否可以用平面几何的知识求此切线方程。
0 0 0
y y
x y x x
0
小结：⑴ M
x , y 在x
0 0
2
xx
0
y
0
⑵M
圆的切线方程为 ( x 0 a)( x a) ( y b)( y b) r 2 0
例6 已知圆的方程是x M x0 , y 的切线的方程。 0 解：如图⑵，设切线的斜率 k , 半径OM的斜率为 k1 ，因为圆的 切线垂直于过切点的半径，于是
2
2 2 y r ，求经过圆上一点
y
P(x,y) M(x0,y0) o x
k
1
y ∵k x
1
k
1
0
∴
k
0
x y
0 0
x , y 在(xa)2 ( yb)2 r 2 上时，过 M x , y
0
0 0 0
y
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
数学人教A版选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程课件
[解] （法一）设所求圆的标准方程为 <m></m> ，由已知条件知 <m></m> 解得 <m></m> 故所求圆的标准方程为 <m></m> .
（法二）设点 <m></m> 为圆心，∵点 <m></m> 在直线 <m></m> 上，∴可设点 <m></m> 的坐标为 <m></m> .又∵该圆经过 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> ，∴圆心坐标为 <m></m> ，半径 <m></m> ，故所求圆的标准方程为 <m></m> .
<m></m>
[解析] 由题意知， <m></m> ，则 <m></m> ，即 <m></m> 或 <m></m> .
巩固训练
1.经过坐标原点，且圆心坐标为 的圆的标准方程是( @26@ ).A. B. C. D.
C
[解析] 根据题意知，圆的圆心为 <m></m> ，且过原点，且其半径 <m></m> ，则其标准方程为 <m></m> .
概念生成
设点 到圆心的距离为 ，半径为 .
（法二）设点 <m></m> 为圆心，∵点 <m></m> 在直线 <m></m> 上，∴可设点 <m></m> 的坐标为 <m></m> .又∵该圆经过 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> ，∴圆心坐标为 <m></m> ，半径 <m></m> ，故所求圆的标准方程为 <m></m> .
<m></m>
[解析] 由题意知， <m></m> ，则 <m></m> ，即 <m></m> 或 <m></m> .
巩固训练
1.经过坐标原点，且圆心坐标为 的圆的标准方程是( @26@ ).A. B. C. D.
C
[解析] 根据题意知，圆的圆心为 <m></m> ，且过原点，且其半径 <m></m> ，则其标准方程为 <m></m> .
概念生成
设点 到圆心的距离为 ，半径为 .
圆的标准方程公开课一等奖课件
例题1
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
圆的标准方程 课件(48张)
()
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．
()
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心坐标是(2，3)，半径是 9．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当 m＝0 时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心为(－2，－3)，半径为 3．
类型 2 待定系数法求圆的标准方程
【例 2】 (对接教材人教 B 版 P99 例 2)求下列各圆的标准方程． (1)圆心在 y＝0 上且过两点 A(1，4)，B(3，2)； (2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)．
[解] (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为 r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ∵圆心在 y＝0 上，故 b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2． 又∵该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m 一定表示圆吗？ [提示] 不一定．当 m＞0 时，表示圆心为 C(a，b)，半径为 m的 圆； 当 m＝0 时，表示一个点 C(a，b)； 当 m＜0 时，不表示任何图形．
1234 5
3．圆心为点 P(－2，3)，并且与 x 轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 C [因为圆心 P(－2，3)到 x 轴的距离为 3，且圆与 x 轴相切， 所以圆的半径为 3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]
新课标高中数学人教A版必修一全册课件圆的一般方程 公开课一等奖课件
2.对方程x2+y2-2x-4讲授新课
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 圆的标准方程形式，则圆心、半径 分别是？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化 为圆的标准方程形式吗？
探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么 条件下表示圆？
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
4
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点 (－ D ,－ E ). 22
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 圆的标准方程形式，则圆心、半径 分别是？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化 为圆的标准方程形式吗？
探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么 条件下表示圆？
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
4
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点 (－ D ,－ E ). 22
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
圆的标准方程(优质课比赛)课件
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几
何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述
以点A为圆心，r为半径的圆？
rM
P={M||MA|=r}
A
平面上到一个定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
C(0、0) r=2
-1 0
x
C(-1、0) r=1
圆的标准方程(优质课比赛)
2、写出下列圆的方程: （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 .
(1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
圆的标准方程(优质课比赛)
题型一、求圆的标准方程
例1、已知两点A(4，9)、B(6，3),求以AB为
求方程的一般步骤： y
建系设点
rM
A
找关系式列方程
O
x
化简方程
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:对于以点A(a，b)为圆心,,r为半径的圆,由上
可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方
程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点M(x，y)的坐标
适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
1《圆的标准方程》课件1.ppt
例２ ⑵ x 4 ⑶x
2
说出下列圆的圆心坐标和半径长：
2
2
⑴ x 3
y 1
y2 2
y 2 2 4 ;
2
7 ;
答：⑴圆心 (3,2),半径为2； ⑵圆心 (4, 2 ),半径为 7; ⑶圆心 (0,1),半径为4
16.
例３ 求以C1,3 为圆心，并且和直线 3x 4 y 7 0 相切的圆的方程。 解：∵圆与直线 3x 4 y 7 0 相切， ∴圆心C1,3 到 3x 4 y 7 0的距离
2 2 (y 0 b)
r
⑴( x 0 a) ⑶( x 0 a)
r r r
2
，P在圆外， ，P在圆上， ，P在圆内。
⑵( x 0 a)
(y (y
0 b)
2 2
2
0 b)
2
例５ 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆，车辆只能在道路的中心线一侧 行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车 能不能驶入这个隧道？
2 2
解：①∵11
2
11 4，∴点 A 在圆上；
2
2
②∵ 01 11 1 4，∴点 B在圆内；
2
③∵ 01
小结： P
0
2
31
2
，∴点 C 在圆外。 5 4
2 2
( x0 , y ) 与圆( x a)2 ( y b) 2 2 的关系判断：
x , y 在(xa)2 ( yb)2 r 2 上时，过 M x , y
0
0 0 0
y
r
2
y r
2
2
上时，过 M 的切线为
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
02＋(7.2－ｂ)2 ＝ｒ2 18.512＋ (0－ｂ ) 2 ＝ｒ2
解得 ｂ＝－20.19 ，ｒ＝27.39 所以这个圆的方程是ｘ2＋（ｙ+20.68）2＝ 27.392
今天的收获
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆
(3)、方法： ①数形结合法 ②待定系数法
直平分线
A(1,1)
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐
( 3 ,标1 ), 22
直线AB的斜率:
k AB
21 2 1
3
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
解得
a2 (1 b)2 5
(2
a)2
(1 b)2
5
ba11
1或 1
ba22
1 3
因此，所求圆的方程为
(x 1)2 ( y 1)2 5或(x 1)2 （y-3）2 5.
练习2
2、圆心在（-1、2），与y轴相切
Y
c
-1 0
C(-1、2) r=1
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
a2 b 3
r 5
待定系数法
待定系数法
所以所求圆的方程为（x 3)2 ( y 2)2 25
练习4
4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-
7=0 相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
C
则：
r
|
31- 43 32 42
7
|
=
16 5
O
M x
∴所求圆的方程为：(x 1)2 (y 3)2 196 25
练习1 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
y
-2
0 +2 x
-1 0
x
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个
圆上.
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
X
(x+1)2+(y-2)2=1
练习3
3、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
例3. 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标
准方程．
y
弦AB的垂
§2.3.1 圆的标准方程
圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.
设点M (x,y)为圆C上任意一点则， |MC|= r
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
y
方法一: 利用点的坐标代入方程 是否满足方程去判断;
O
x
方法二:若点到圆心的距离为d， M2 A
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上； d<r时，点在圆内;
M1
例2、写出下列圆的方程
（1）圆心在点C（-2，1），并过点A（2，-2）； 2）过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
（2）解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
• 已知a=1,b=3
• 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距 离，
• 所以
r=
|3×1-4
32 (
×43)2-6=|
5 15= 3
• 所以圆的方程为
(x-1)2+(y-3)2=9
(3)解：设所求圆的方程为（x a)2 ( y b)2 5. 因为已知圆过点（0，1），（2，1），所以可得：
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
(x-a)2+(y-b)2=r2
OC
x
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
解法2：设所求圆的方程为(x a)2 ( y b)2 r2. 由题意得
(1 a)2 (1 b)2 r2
(2
a)2
(2
b)2
r2
a b 1 0
解得
a 3 b 2 r 5
哈哈！我会了!
作业
习题2-3A第1、2、3题 习题2-3B第1、2题
（注意解题步骤）
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
y 1 1(x 3) 即x 3y 3 0
23 2
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
得
x 3, y 2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
圆心为C的圆的半径长 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
rLeabharlann 解：以A.B所在的直线为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
解得 ｂ＝－20.19 ，ｒ＝27.39 所以这个圆的方程是ｘ2＋（ｙ+20.68）2＝ 27.392
今天的收获
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆
(3)、方法： ①数形结合法 ②待定系数法
直平分线
A(1,1)
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐
( 3 ,标1 ), 22
直线AB的斜率:
k AB
21 2 1
3
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
解得
a2 (1 b)2 5
(2
a)2
(1 b)2
5
ba11
1或 1
ba22
1 3
因此，所求圆的方程为
(x 1)2 ( y 1)2 5或(x 1)2 （y-3）2 5.
练习2
2、圆心在（-1、2），与y轴相切
Y
c
-1 0
C(-1、2) r=1
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
a2 b 3
r 5
待定系数法
待定系数法
所以所求圆的方程为（x 3)2 ( y 2)2 25
练习4
4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-
7=0 相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
C
则：
r
|
31- 43 32 42
7
|
=
16 5
O
M x
∴所求圆的方程为：(x 1)2 (y 3)2 196 25
练习1 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
y
-2
0 +2 x
-1 0
x
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个
圆上.
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
X
(x+1)2+(y-2)2=1
练习3
3、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
例3. 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标
准方程．
y
弦AB的垂
§2.3.1 圆的标准方程
圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.
设点M (x,y)为圆C上任意一点则， |MC|= r
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
y
方法一: 利用点的坐标代入方程 是否满足方程去判断;
O
x
方法二:若点到圆心的距离为d， M2 A
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上； d<r时，点在圆内;
M1
例2、写出下列圆的方程
（1）圆心在点C（-2，1），并过点A（2，-2）； 2）过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
（2）解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
• 已知a=1,b=3
• 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距 离，
• 所以
r=
|3×1-4
32 (
×43)2-6=|
5 15= 3
• 所以圆的方程为
(x-1)2+(y-3)2=9
(3)解：设所求圆的方程为（x a)2 ( y b)2 5. 因为已知圆过点（0，1），（2，1），所以可得：
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
(x-a)2+(y-b)2=r2
OC
x
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
解法2：设所求圆的方程为(x a)2 ( y b)2 r2. 由题意得
(1 a)2 (1 b)2 r2
(2
a)2
(2
b)2
r2
a b 1 0
解得
a 3 b 2 r 5
哈哈！我会了!
作业
习题2-3A第1、2、3题 习题2-3B第1、2题
（注意解题步骤）
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
y 1 1(x 3) 即x 3y 3 0
23 2
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
得
x 3, y 2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
圆心为C的圆的半径长 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
rLeabharlann 解：以A.B所在的直线为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组