高一数学圆的标准方程课件(优秀经典公开课比赛课件)

X
(x+1)2+(y-2)2=1
练习3
3、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
Y
C（8、3）
P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
例3. 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标
准方程．
y
弦AB的垂
直平分线
A(1,1)
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐
( 3 ,标1 ), 22
直线A源自文库的斜率:
k AB

21 2 1

3
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y 1 1(x 3) 即x 3y 3 0
23 2
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
得
x 3, y 2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
圆心为C的圆的半径长 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
练习1 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
y
-2
0 +2 x
-1 0
x
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个
圆上.
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
待定系数法
所以所求圆的方程为（x 3)2 ( y 2)2 25
练习4
4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-
7=0 相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
C
则：
r

|
31- 43 32 42
7
|
=
16 5
O
M x
∴所求圆的方程为：(x 1)2 (y 3)2 196 25
§2.3.1 圆的标准方程
圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.
设点M (x,y)为圆C上任意一点则， |MC|= r
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
(x-a)2+(y-b)2=r2
OC
x
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
解得
a2 (1 b)2 5
(2

a)2

(1 b)2

5
ba11

1或 1
ba22

1 3
因此，所求圆的方程为
(x 1)2 ( y 1)2 5或(x 1)2 （y-3）2 5.
练习2
2、圆心在（-1、2），与y轴相切
Y
c
-1 0
C(-1、2) r=1
02＋(7.2－ｂ)2 ＝ｒ2 18.512＋ (0－ｂ ) 2 ＝ｒ2
解得 ｂ＝－20.19 ，ｒ＝27.39 所以这个圆的方程是ｘ2＋（ｙ+20.68）2＝ 27.392
今天的收获
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆
(3)、方法： ①数形结合法 ②待定系数法
y
方法一: 利用点的坐标代入方程 是否满足方程去判断;
O
x
方法二:若点到圆心的距离为d， M2 A
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上； d<r时，点在圆内;
M1
例2、写出下列圆的方程
（1）圆心在点C（-2，1），并过点A（2，-2）； 2）过点（0，1）和点（2，1），半径为 5
（2）解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
a2 b 3
r 5
待定系数法
• 已知a=1,b=3
• 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距 离，
• 所以
r=
|3×1-4
32 (
×43)2-6=|
5 15= 3
• 所以圆的方程为
(x-1)2+(y-3)2=9
(3)解：设所求圆的方程为（x a)2 ( y b)2 5. 因为已知圆过点（0，1），（2，1），所以可得：
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
解法2：设所求圆的方程为(x a)2 ( y b)2 r2. 由题意得
(1 a)2 (1 b)2 r2
(2

a)2

(2

b)2

r2
a b 1 0
解得
a 3 b 2 r 5
哈哈！我会了!
作业
习题2-3A第1、2、3题 习题2-3B第1、2题
（注意解题步骤）
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上