第五章 坐标系统转换和高程系统转换程序设计

可选用以下空间曲面表达式： …… (4) 对于每一个已知点，都可列出以上方程，在 Σε2=min条件下，解出bi，再按式(4) 求出待求 点的高程异常ξ值。
（2）多面函数拟合模型
多面函数拟合的思想是在个数据点上建立一 个曲面，通过将这些曲面按一定比例的叠加来最 佳地描述所要求的物体表面，并使叠加后的曲面 严格地通过各数据点。多面函数拟合模型如式
( Δ x 0， Δ y 0， Δ z 0 )， 3个旋转参数 (ω x， ω y， ω z ),1个尺度参数 m. 令 ( x A , y A , z A ) T 为某点在空间直角坐标 系 A中的坐标， ( x B , y B , z B )T
⎡ xB ⎤ ⎡ Δx0 ⎤ ⎡ xA ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢Δy ⎥ + (1 + m) R(ω ) ⎢ y ⎥ ⎢ B⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ A⎥ ⎢ ⎢ ⎣ zB ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δz0 ⎥ ⎦ ⎣ zA ⎥ ⎦
正高：某点的正高是该点到通过该点的铅垂 线与大地水准面的交点之间的距离；可用Hg表 示。
3）正常高系统
正常高系统：是以似大地水准面为基准面的高 程系统 正常高：某点的正常高是该点到通过该点的铅 垂线与似大地水准面的交点之间的距离；可用Hr 表示。
Hg Hr hg ξ
H
地球表面 大地水准面 似大地水准面 参考椭球面
求得某点的大地坐标
⎧ B = B( x1 , y1 ) ⎨ ⎩ L = L( x1 , y1 )
然后,按高斯投影正算公式求得该点在新的中央 子午线为投影轴的邻带内的高斯平面坐标
⎧ x2 = F1[ B( x1 , y1 ), L( x1 , y1 )] ⎨ ⎩ y2 = F2 [ B( x1 , y1 ), L( x1 , y1 )]
某点在空间直角坐标系中的坐标，可用 该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来 表示。
（2）空间大地坐标系 空间大地坐标是采用大地经纬度和大地高 来描述空间位置的。我国目前广泛采用的1954 北京坐标系以及1980年西安坐标系都属于空间 大地坐标系一类，但采用的椭球参数不同。 （3）平面直角坐标系 平面直角坐标系是利用投影变换，将空间 坐标通过某种数学变换映射到平面上。投影变 换的方法有很多，在我国采用的是高斯-克吕格 投影（高斯投影）。
B = Bf − − tf 720M f N f tf 2M f N f y2 + tf 24M f N f
2 4 4 ( 5 + 3 t + − 9 t ) y η η f f f f 3 3 3 2 2
6 ( 61 + 90 t + 45 t ) y f f 5
1 1 2 2 3 l= y− ( 1 + 2 t + η ) y f f 3 N f cos B f 6 N f cos B f 1 2 4 2 2 2 5 t t t y + ( 5 + 28 + 24 + 6 η + 8 η ) f f f f f 5 120 N f cos B f
2 椭球面与平面之间的坐标转换
(1)在相同的基准下进行的，如在前面所讲的高 斯投影坐标正反算 (2)在不同的基准下的平面坐标有时也可借助空 间直角坐标系作为过渡坐标系完成不同系统间 的转换。例如，1954年北京坐标系和1980年国 家大地坐标系内坐标间的转换。 同一点在不同坐标系中的高斯平面坐标可通 过以下过程来实现：
在一段时间内利用GPS来建立各类控制网 时，绝大多数仅仅局限于解决平面坐标，高程 仍沿用常规水准测量方法来测定 ，如何利用 GPS观测中所提供的高程信息来直接为测绘服务 就变成了一项很有意义的工作。 所谓高程拟合法就是利用范围不大的区域 中，高程异常具有一定的几何相关性的原理， 利用数学的方法，求解正高、正常高和高程异 常。
，须用迭代的方法，
然后，利用纬度B的初值E求定H、N的初值再次求B的值。
当Hi-Hi-1小于0.001m且Bi-Βιβλιοθήκη Baidui-1小于0.00001秒，迭代结束。
2) 在不同的基准下，相同的坐标系之间的转换， 实际上是基准间的转换。基准间的转换方法很 多，最常见的是布尔沙模型，又称为七参数转换 模型。
设两个空间直角坐标系间的七个转换参数分别是3个平移参数
二、高斯投影
高斯投影又称为横轴等角切椭圆柱投影。高 斯投影是正形投影的一种，它除了满足正形投影 的一般条件（长度比和方向无关）外，还应该满 足高斯投影本身的特殊条件。即必须满足以下3 个条件： （1）中央子午线和地球赤道投影后成为相互垂 直的直线，且为投影的对称轴； （2）中央子午线投影后长度不变； （3）投影具有正形条件，即等角投影。
第五章 坐标系统转换和高程系 统转换程序设计
本章重点： 一.测量中常用坐标系及这些坐标系的特 点；测量中高程系统及其关系、GPS高程 二.程序实现时的技巧
一、地理空间坐标系
为了确定物体在空间的位置，常用坐标系来 描述空间位置。测量中常用的坐标系有以下几 种： （1）空间直角坐标系 空间直角坐标系原点位于参考椭球的中心o 点，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子 午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上、且按右 手系与X 轴正交于o点处。目前，GPS测量中采 用的WGS-84坐标就属于空间直角坐标系。
ξ = ∑ K i Q( x, y, xi , yi )
i =1
m
式（1）
上式中，K i (i = 1,2," m)为模型参数， Q(x, y, xi , yi ) 为 x，y的核函数， ( xi , yi )为中心点，中心点为从公共 点中选取高程异常显著的点，其个数应小于等于已 知点数，m为核函数的个数，一般选择下面的正曲面 作为函数。
（一）测量中的高程系统及关系 测量中常用的高程系统有大地高系统、正 高系统以及正常高系统。 1）大地高系统 大地高系统：是以参考椭球为基准面的高 程系统 大地高：某点的大地高是该点到通过该点 的参考椭球的法线与椭球面交点的距离；可用 H来表示。 2）正高系统 正高系统 ：是以大地水准面为基准面的高 程系统。
计算参数后，将待计算高程异常点P(Xp,Yp)的坐标 代入式（1），即可计算出该点所在位置的高程异 常，即： 式（5） ξ P = (QP1 QP 2 " QPn )K
a2 − b2 t = tan B ； η = e′ cos B ，其中 e′为地球第二偏心率 ; e′ = b2
2
N =
a 1 − e
2
sin
2
B
， e =
a
2
− b a 2
2
ρ ′′ = 206265
编程实现流程描述：
数据的组 织、界面 设计
定义各变量存 储常数和中间 计算结果
结果输出
高斯坐标投影坐标反算[由平面坐标(x,y)求大 地坐标(B,L)]的公式为：
2
由空间直角坐标转换成大地坐标的公式为：
Y L = arctan X B = arctan Z (N + H ) ( X 2 + Y 2 )[ N (1 − e 2 ) + H ]
Z H = − N (1 − e 2 ) sin B 在采用上式进行转换时 可用下式求出 B 的初值 Z E = X 2 +Y2
图2
高程系统之间的关系
高程系统的转换关系 大地水准面与参考椭球面之间的距离，称为 大地水准面差异，记为hg。 大地高和正高之间的关系： H=Hg+ hg ………（1） 似大地水准面与参考椭球面之间的距离，称 为高程异常，记为ξ 。 大地高系统和正常高系统之间的关系： H=Hr+ξ ………（2）
（二）GPS高程
式中,
Bf
为横坐标值等于零时对应的纬度，也就是将x
看做X时由子午线弧长公式反求出的纬度；Mf为横轴坐标值
等于零时所对应的子午圈曲率半径 ；其余下标f 的 各量也都是类似上述的各自的相应的意义。计算出 经差后，即可根据中央线的经度，计算出经度Ｌ。
三、空间坐标转换 1 椭球面之间坐标转换
（1） 在相同的基准下，不同坐标系之间的转 换，其中由大地坐标转换成空间直角坐标的公 式为
Q (x, y , xi , y i ) = (x − x i ) + ( y − y i ) + δ
2 2
[
1 2 2
]
式（2）
若公共数为n（n≥m），则可构成误差方 = Q K−ξ 式（3） 程式： V n×m m×1 n×1 n×1 基于最小二乘法求得系数K：
K= Q Q
T
(
)
−1
QT ξ
式（4）
试想在一局部GPS网中，由若干个点的ξ 作为已知值，用数值拟合方法内插出其他 GPS测点的高程异常，按式(2)可求得各点 的正常高。
1.高程拟合算法 高程拟合常有六种模型：多项式曲线拟合、 三次样多条曲线拟合、Akima曲线拟合、多项式 曲面拟合、多面函数法曲面拟合和移动法曲面拟 合。前三种属曲线拟合，仅当GPS点布设成测线 时采用；后三种属于曲面拟合，当GPS测点分布 设成网状时采用。 (1)多项式曲面拟合 当GPS测点布成网状时，应用曲面拟合。设 测点的ξi和xi、yi存在如下函数关系： ξi=f(xi，yi)+εi (3) 式中，f(x,y)为趋势值；εi为误差。
式中,x,y的下标1和2表示相邻的两个分带.
(2)在相同的基准下,不同的投影方式下也可以产生不同的坐标 系.
例如，高斯投影平面坐标与墨卡托这类投影之间的坐标换算
(3) 不同基准下,平面与平面之间的转换除了按上 面讲的式子进行外,还可以按如下过程来实现
( X 1 , Y1 , Z1 ) ⇒ ( B1 , L1 ) ⇒ ( x1 , y1 ) ⇒ ( x2 , y2 )
此外，常有这种情况,在一个测区内虽然是在 相同的基准下，但各单位所做的控制要求不 同，有时也需将地方独立控制网转换到国家 网或其他别的新的控制网中，做到成果的相 互利用和统一测区的坐标系统。
( x1 , y1 ) ⇔ ( x2 , y2 )
例：WGS-84坐标系到地方平面坐标系的转换流程
四、高程系统转换
( x1 , y1 ) ⇒ ( B1 , L1 ) ⇒ ( X 1 , Y1 , Z1 ) ⇒ ( X 2 , Y2 , Z 2 ) ⇒ ( B2 , L2 ) ⇒ ( x2 , y2 )
式中，下标1和2分别代表两种坐标系统。
当然,也可以不借助空间直角坐标系,而直接通 过大地坐标系进行换算,其过程为：
X = ( N + H ) cos B cos L Y = ( N + H ) cos B cos L a2 Z = [ N (1 − e ) + H ] sin B = [ N ⋅ 2 + H ] sin B b 曲率半径分别为 其中，a, b为地球椭球长、短半轴 ；第一偏心率和卯酉圈 a a 2 − b2 = e= , N a2 1 − e 2 sin 2 B
2 2 4 4
N N 3 2 2 3 y= cos Bl ′′ + cos B (1 − t + η )l ′′ + 3 ρ ′′ 6 ρ ′′ N 5 2 4 2 2 2 5 ′ ′ cos B ( 5 18 t t 14 η 58 η t ) l − + + − 120 ρ ′′5
式中，(x，y)为投影后的高斯平面纵、横坐 标；X为经度为零时对应的纵坐标值，也就是赤 道至纬度B处中央子午线弧长（一般采用积分的 方法）；B为纬度；l’’为以秒为单位的经差；N 为卯酉圈曲率半径；
( x1 , y1 ) ⇒ ( B1 , L1 ) ⇒ ( B2 , L2 ) ⇒ ( x2 , y2 )
上述两过程，无论采用哪一种，除知道连个参 心坐标系所属的地球椭球外，还必须知道(或 求得)每一步转换的转换参数。 3 平面与平面之间的坐标转换 (1) 在相同的基准，相同的投影方式下进行的 平面坐标间的转换发生在邻带之间的坐标换算。 例如，高斯投影是按一定的经差宽度分带的，由 于各个子午线不同而形成的坐标系也不同，常常 需要6度间转换，6度到3度以及3度之间进行邻带 坐标换算。其过程是按高斯投影反算
根据上述条件导出的高斯坐标正算[大地坐标 (B，L)求平面坐标(x,y)]
N N 2 3 x = X + 2 sinBcosBl′′ + sin B cos B⋅ 4 2ρ′′ 24ρ′′ N 5 2 4 6 ′ ′ (5 −t + 9η + 4η )l′′ + sin B cos B ( 61 − 58 t + t ) l 6 ′ ′ ρ 720