第五章 坐标系统转换和高程系统转换程序设计

二、高斯投影
高斯投影又称为横轴等角切椭圆柱投影。高 斯投影是正形投影的一种，它除了满足正形投影 的一般条件（长度比和方向无关）外，还应该满 足高斯投影本身的特殊条件。即必须满足以下3 个条件： （1）中央子午线和地球赤道投影后成为相互垂 直的直线，且为投影的对称轴； （2）中央子午线投影后长度不变； （3）投影具有正形条件，即等角投影。
根据上述条件导出的高斯坐标正算[大地坐标 (B，L)求平面坐标(x43; 2 sinBcosBl′′ + sin B cos B⋅ 4 2ρ′′ 24ρ′′ N 5 2 4 6 ′ ′ (5 −t + 9η + 4η )l′′ + sin B cos B ( 61 − 58 t + t ) l 6 ′ ′ ρ 720
B = Bf − − tf 720M f N f tf 2M f N f y2 + tf 24M f N f
2 4 4 ( 5 + 3 t + − 9 t ) y η η f f f f 3 3 3 2 2
6 ( 61 + 90 t + 45 t ) y f f 5
1 1 2 2 3 l= y− ( 1 + 2 t + η ) y f f 3 N f cos B f 6 N f cos B f 1 2 4 2 2 2 5 t t t y + ( 5 + 28 + 24 + 6 η + 8 η ) f f f f f 5 120 N f cos B f
( x1 , y1 ) ⇒ ( B1 , L1 ) ⇒ ( B2 , L2 ) ⇒ ( x2 , y2 )
上述两过程，无论采用哪一种，除知道连个参 心坐标系所属的地球椭球外，还必须知道(或 求得)每一步转换的转换参数。 3 平面与平面之间的坐标转换 (1) 在相同的基准，相同的投影方式下进行的 平面坐标间的转换发生在邻带之间的坐标换算。 例如，高斯投影是按一定的经差宽度分带的，由 于各个子午线不同而形成的坐标系也不同，常常 需要6度间转换，6度到3度以及3度之间进行邻带 坐标换算。其过程是按高斯投影反算
2 2 4 4
N N 3 2 2 3 y= cos Bl ′′ + cos B (1 − t + η )l ′′ + 3 ρ ′′ 6 ρ ′′ N 5 2 4 2 2 2 5 ′ ′ cos B ( 5 18 t t 14 η 58 η t ) l − + + − 120 ρ ′′5
式中，(x，y)为投影后的高斯平面纵、横坐 标；X为经度为零时对应的纵坐标值，也就是赤 道至纬度B处中央子午线弧长（一般采用积分的 方法）；B为纬度；l’’为以秒为单位的经差；N 为卯酉圈曲率半径；
（一）测量中的高程系统及关系 测量中常用的高程系统有大地高系统、正 高系统以及正常高系统。 1）大地高系统 大地高系统：是以参考椭球为基准面的高 程系统 大地高：某点的大地高是该点到通过该点 的参考椭球的法线与椭球面交点的距离；可用 H来表示。 2）正高系统 正高系统 ：是以大地水准面为基准面的高 程系统。
图2
高程系统之间的关系
高程系统的转换关系 大地水准面与参考椭球面之间的距离，称为 大地水准面差异，记为hg。 大地高和正高之间的关系： H=Hg+ hg ………（1） 似大地水准面与参考椭球面之间的距离，称 为高程异常，记为ξ 。 大地高系统和正常高系统之间的关系： H=Hr+ξ ………（2）
（二）GPS高程
求得某点的大地坐标
⎧ B = B( x1 , y1 ) ⎨ ⎩ L = L( x1 , y1 )
然后,按高斯投影正算公式求得该点在新的中央 子午线为投影轴的邻带内的高斯平面坐标
⎧ x2 = F1[ B( x1 , y1 ), L( x1 , y1 )] ⎨ ⎩ y2 = F2 [ B( x1 , y1 ), L( x1 , y1 )]
2
由空间直角坐标转换成大地坐标的公式为：
Y L = arctan X B = arctan Z (N + H ) ( X 2 + Y 2 )[ N (1 − e 2 ) + H ]
Z H = − N (1 − e 2 ) sin B 在采用上式进行转换时 可用下式求出 B 的初值 Z E = X 2 +Y2
，须用迭代的方法，
然后，利用纬度B的初值E求定H、N的初值再次求B的值。
当Hi-Hi-1小于0.001m且Bi-Bi-1小于0.00001秒，迭代结束。
2) 在不同的基准下，相同的坐标系之间的转换， 实际上是基准间的转换。基准间的转换方法很 多，最常见的是布尔沙模型，又称为七参数转换 模型。
设两个空间直角坐标系间的七个转换参数分别是3个平移参数
( x1 , y1 ) ⇒ ( B1 , L1 ) ⇒ ( X 1 , Y1 , Z1 ) ⇒ ( X 2 , Y2 , Z 2 ) ⇒ ( B2 , L2 ) ⇒ ( x2 , y2 )
式中，下标1和2分别代表两种坐标系统。
当然,也可以不借助空间直角坐标系,而直接通 过大地坐标系进行换算,其过程为：
某点在空间直角坐标系中的坐标，可用 该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来 表示。
（2）空间大地坐标系 空间大地坐标是采用大地经纬度和大地高 来描述空间位置的。我国目前广泛采用的1954 北京坐标系以及1980年西安坐标系都属于空间 大地坐标系一类，但采用的椭球参数不同。 （3）平面直角坐标系 平面直角坐标系是利用投影变换，将空间 坐标通过某种数学变换映射到平面上。投影变 换的方法有很多，在我国采用的是高斯-克吕格 投影（高斯投影）。
正高：某点的正高是该点到通过该点的铅垂 线与大地水准面的交点之间的距离；可用Hg表 示。
3）正常高系统
正常高系统：是以似大地水准面为基准面的高 程系统 正常高：某点的正常高是该点到通过该点的铅 垂线与似大地水准面的交点之间的距离；可用Hr 表示。
Hg Hr hg ξ
H
地球表面 大地水准面 似大地水准面 参考椭球面
ξ = ∑ K i Q( x, y, xi , yi )
i =1
m
式（1）
上式中，K i (i = 1,2," m)为模型参数， Q(x, y, xi , yi ) 为 x，y的核函数， ( xi , yi )为中心点，中心点为从公共 点中选取高程异常显著的点，其个数应小于等于已 知点数，m为核函数的个数，一般选择下面的正曲面 作为函数。
可选用以下空间曲面表达式： …… (4) 对于每一个已知点，都可列出以上方程，在 Σε2=min条件下，解出bi，再按式(4) 求出待求 点的高程异常ξ值。
（2）多面函数拟合模型
多面函数拟合的思想是在个数据点上建立一 个曲面，通过将这些曲面按一定比例的叠加来最 佳地描述所要求的物体表面，并使叠加后的曲面 严格地通过各数据点。多面函数拟合模型如式
Q (x, y , xi , y i ) = (x − x i ) + ( y − y i ) + δ
2 2
[
1 2 2
]
式（2）
若公共数为n（n≥m），则可构成误差方 = Q K−ξ 式（3） 程式： V n×m m×1 n×1 n×1 基于最小二乘法求得系数K：
K= Q Q
T
(
)
−1
QT ξ
式（4）
在一段时间内利用GPS来建立各类控制网 时，绝大多数仅仅局限于解决平面坐标，高程 仍沿用常规水准测量方法来测定 ，如何利用 GPS观测中所提供的高程信息来直接为测绘服务 就变成了一项很有意义的工作。 所谓高程拟合法就是利用范围不大的区域 中，高程异常具有一定的几何相关性的原理， 利用数学的方法，求解正高、正常高和高程异 常。
2 椭球面与平面之间的坐标转换
(1)在相同的基准下进行的，如在前面所讲的高 斯投影坐标正反算 (2)在不同的基准下的平面坐标有时也可借助空 间直角坐标系作为过渡坐标系完成不同系统间 的转换。例如，1954年北京坐标系和1980年国 家大地坐标系内坐标间的转换。 同一点在不同坐标系中的高斯平面坐标可通 过以下过程来实现：
式中,x,y的下标1和2表示相邻的两个分带.
(2)在相同的基准下,不同的投影方式下也可以产生不同的坐标 系.
例如，高斯投影平面坐标与墨卡托这类投影之间的坐标换算
(3) 不同基准下,平面与平面之间的转换除了按上 面讲的式子进行外,还可以按如下过程来实现
( X 1 , Y1 , Z1 ) ⇒ ( B1 , L1 ) ⇒ ( x1 , y1 ) ⇒ ( x2 , y2 )
计算参数后，将待计算高程异常点P(Xp,Yp)的坐标 代入式（1），即可计算出该点所在位置的高程异 常，即： 式（5） ξ P = (QP1 QP 2 " QPn )K
式中,
Bf
为横坐标值等于零时对应的纬度，也就是将x
看做X时由子午线弧长公式反求出的纬度；Mf为横轴坐标值
等于零时所对应的子午圈曲率半径 ；其余下标f 的 各量也都是类似上述的各自的相应的意义。计算出 经差后，即可根据中央线的经度，计算出经度Ｌ。
三、空间坐标转换 1 椭球面之间坐标转换
（1） 在相同的基准下，不同坐标系之间的转 换，其中由大地坐标转换成空间直角坐标的公 式为
试想在一局部GPS网中，由若干个点的ξ 作为已知值，用数值拟合方法内插出其他 GPS测点的高程异常，按式(2)可求得各点 的正常高。
1.高程拟合算法 高程拟合常有六种模型：多项式曲线拟合、 三次样多条曲线拟合、Akima曲线拟合、多项式 曲面拟合、多面函数法曲面拟合和移动法曲面拟 合。前三种属曲线拟合，仅当GPS点布设成测线 时采用；后三种属于曲面拟合，当GPS测点分布 设成网状时采用。 (1)多项式曲面拟合 当GPS测点布成网状时，应用曲面拟合。设 测点的ξi和xi、yi存在如下函数关系： ξi=f(xi，yi)+εi (3) 式中，f(x,y)为趋势值；εi为误差。