第4章单相及多相合金的凝固
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溶质再分配：由于合金的各组元在液相和固相 中的化学位不同，析出于固相中的溶质含量将不 同于其周围液相内溶质的含量，从而在固相和液 相中产生成分梯度，引起溶质扩散。在整个凝固 过程中，固、液两相内部将不断进行着溶质元素 的重新分布，称此为合金凝固过程中的溶质再分 配。
在近代凝固技术研究中，将凝固条件分为三种
固
C
CL
C0
液
k 0C0
* * k0 CS / C L 1
平衡凝固条件下的溶质再分配
固、液两相在温度T*时的平衡成分为 CS 与C L ， 相应的体积分数为 f S*和f L* ，则由平衡条件下的杠 杆定律，得
* *
* * * C S f S* C L f L C0
因为
f S* f L* 1 ，故得
上式被称为Scheil公式，或非平衡杠杆定律。 此公式描述了固相无扩散、液相均匀混合下的溶 质再分配规律，有着广泛的用途。
T1处：固相成分k0C0，液相成分大于C0，成分均 匀。（k0＜1） T2处：固相无扩散，成分不均匀。 凝固过程中固－液界面上的成分为（Scheil 公式）：
* C S k 0C0 (1 f S ) k0 1 * C L C0 f Lk0 1
实际合金近平衡凝固的例子：Al-2%Cu及Al-5% Cu合金。
这两个合金在近平衡凝固后都应是单相α ，但 在非平衡凝固后除了出现偏析外，还出现共晶组 织。很明显，5%Cu合金比2%Cu合金含有较多的共 晶。
Al-2%Cu合金
Al-5%Cu合金
应用
区域熔炼技术 K0＜1时，左端纯化，右端富集溶质组元 K0＞1时，右端纯化，溶质富集于左端
区域熔炼已广泛用于提纯许多半导体材料、 金属、有机及无机化合物等。
2、固相无扩散、液相只有有限扩散时的溶质 再分配 如果没有搅拌和对流，液相内只能靠扩散进行 成分均匀化。 以假想的二元系讨论：合金 成分为C0。设R为固-液界面的 生长速度；x是以界面为原点 沿界面法线方向伸向熔体的动 坐标；CL(x)为液相中沿x方向 dC ( x ) 的浓度分布； dx 为界面处液相中浓度梯度。
0
R x DL
0
0
0
1 k 0 DL x C L ( x) C0 (1 e ) k0
R
此即Tiller公式。
从界面到成分为C0处是溶质原子富集层。 D 当 x R 时， [CL(x)－C0]降到:
L
C0 (
1 1 1) k0 e
x DL R
特征距离
DL / R 称为溶质富
L
0, k0 1
假定相图中的液相线和固相线均为直线（其斜 率分别为mL、mS），则
* C S (T0 T * ) / m S m L k0 * * C L (T0 T ) / m L mS
（4-2）
即k0值为与温度及浓度无关的常数。
平衡溶质分配系数k0的物理意义：
对于 k 0 1 ，k0越小，固相线、液相线张开程度
平衡溶质分配系数k0的定义：当凝固进行到某
* 一温度 T *时，平衡固相溶质成分 C S与液相溶质
成分 C L* 之比，即
* CS k0 * CL
（4-1）
对于不同的相图（或相图的不同部分），k0值
可以小于1，如图（a）所示； k0也可以大于1，
如图（b）所示。
不同类型的平衡相图 m （a） L 0, k 0 1 （b） m
越大，开始凝固时与凝固终了时的固相成分差别
越大，最终凝固组织的成分偏析越严重。
对于 k0＞1 的情况，
k0越大，则偏析越严重。
4.1.3平衡凝固时的溶质再分配
K0＜1合金 条件：初始成分为C0的合金，将其置于长度为 L 的容器中，从左端开始冷却凝固，界面始终以宏 观的平面形态向右推进。
凝固方向
d 2 C L ( x) dC ( x) DL R L 0 2 dx dx
此方程的通解为： C ( x) A Be 根据边界条件：CL(x=0)=C0/k0；CL(x=∞)=C0 C 得： A C B k C ， 凝固稳定态阶段富集 层溶质分布规律（指数 衰减曲线）：
L
* f S df dCS S k0C0 C S* (1 k 0 )0 1 f S
得
* ln CS (k0 1) ln(1 f S ) ln C
初始条件：f S 0 因此
C s* k 0 C 0 ，得积分常数 C k0C0 时，
，
* C S k 0C0 (1 f S ) k0 1 * C L C0 f Lk0 1
非平衡凝固：是指绝对的非平衡凝固，如快速 凝固、激光重熔及合金雾化冷却等近代先进的材 料成形技术中液态合金的凝固。此时已不遵循热 力学规律，即使在固-液界面紧邻处也达不到平 衡凝固条件。
三种凝固条件下固—液界面附近的溶质分配情况
a）平衡凝固
b）近平衡凝固
c）非平衡凝固
4.1.2溶质平衡分配系数
Scheil公式推导 在任一温度为T*时，因溶质量 守恒，形成微量固相所排出的溶质原子量应等于 液相内溶质原子量的变化：
* * * (CL CS )dfS (1 f S dfS )dCL
* * k0 CS / CL ，并略去df 由于
s，有：
经积分
* CS
* dCS (1 k 0 )df S * 1 fS CS
0
C L ( x) C0 (1
来自百度文库
1 k0 e k0
R x DL
)
即Tiller公式。
C L ( x) C L 1 e 1 * R CL CL DL 1 e
R x DL
②δ →0时，即液相内完全混合的情况。因为 上式是描述扩散层内的浓度的，所以x→0。上 面解的式子左端分子和分母相等，得:
假设：①界面始终处于局部平衡状态，即界面 两侧的浓度符合相应界面温度下相图所给出的平 衡浓度。 ②没有过冷，也不考虑长大时的动力学过冷。 ③界面的推移由其前沿的溶质输运所控制。 ④由于溶质在液体内的扩散系数（约为10-5cm2/s） 比固体内的（约为10-8cm2/s）大几个数量级，故 忽略固相内扩散。 ⑤相图中的液、固相线均近似为直线。即平衡分配 系数不随温度变化。
* CS
C0 k 0 1 f S* (1 k0 )
C0 1 f S* (1 k0 )
* CL
此即平衡凝固中的溶质再分配规律。
T1处（开始凝固时）： 固相成分k0C0 液相成分接近C0 T2处（凝固终了时）： 固相成分C0 液相成分接近C0/k0
4.1.4近平衡凝固时溶质再分配
d 2 C L ( x) dCL ( x) DL R 0 2 dx dx
此方程的通解为： C L ( x) A Be 边界条件是：CL(x=0)=C*L；CL(x=δ )=C0 得：
C L ( x ) C0 1 e 1 R * C L C0 DL 1 e
R x DL
CL C
这和前面讨论是相符的。可见，上面解的式 子是平面凝固时液体内溶质分布表达式的通 式。
求稳定生长阶段的CS*和CL*值 在稳定态时，利用物质守恒，即凝固所排出的 溶质量等于扩散走的溶质量，有： D dCdx( x) R(C C ) 对 C ( x) C 1 1 e 求导数，得：
1.固相无扩散、液相均匀混合时的溶质再分配 固相：溶质原子来不及扩散 液相：可完全混合，均匀成分（足够的搅拌与 对流）
随着固相分数（fS）增加，凝 固界面上固、液相中的溶质含量 均增加，因此固相的平均成分比 平衡的要低。 当温度达到平衡的固相线时， 势必仍保留一定的液相（杠杆原 理），甚至达到共晶温度TE时仍 有液相存在。这些保留下来的液 相在共晶温度下将在凝固末端形 成部分共晶组织。
R DL
可以将界面前沿的液体分为扩散边界层内和扩 散边界层以外两个部分。 在边界层内，成分的均匀依靠扩散实现（静止 无对流）；在扩散边界层以外，由于对流使成分 得以保持均匀。
设扩散边界层的厚度为δ ，界面液相一侧的成 分为C*L，相应界面的固相一侧的成分为C*S=k0C*L。 若液体容量很大，达稳定态后仍遵循如下方程：
d 2C L ( x ) dC ( x) dCL ( x) DL R L 2 dx dx dt
（2）稳定态 界面的不断推进，堆积的溶质越多，浓度梯度 越大，扩散越快。当界面温度达到T2时，界面推 进所排出的溶质量等于液相中溶质扩散走的量， 此时，固相成分保持C0，在界面一侧的液相浓度 为C0/k0，前沿的浓度场不再随时间改变，即 dCL(x)/dt=0，凝固便进入稳定态：
L x 0
凝固过程分为三个阶段：
起始瞬态
稳定态
最终瞬态
（1）起始瞬态 液态金属温度到达T1时，结晶出成分为k0C0的 固相，多余溶质排向液相，由于扩散（无对流） 不足以使溶质完全排向远方，界面前沿出现溶质 富集。
界面前沿的浓度场变化包括两项：扩散引起的： DLd2CL(x)/dx2；界面向前推进引起的：溶质随距离 的变化为dC/dx，由于界面推进造成单位时间溶质 的变化量为R(dCL(x)/dx)，这时，界面前沿的浓度 场的微分方程为：
液相中只有有限扩散时的溶质再分配
界面前沿的浓度分布的主要参量为k0，R及DL， 加大R和减小DL的作用相似，都使界面前沿液相的 浓度分布变陡。
3.液相中部分混合时的溶质再分配 实际生产中，对流的作用总是或多或少地存在。 此时，物质的宏观输运由对流和扩散两个过程造 成，精确描述这种情况的浓度分布是极其困难的。 液体的对流作用破坏了液相中溶质原子按扩散规 律的分布方式，但是，由于液体的黏性作用，固液界面前沿总会存在一个不受对流作用影响的液体 薄层，此薄层又称为扩散边界层。
第4章 单相及多相合金的凝固
本章主要内容
4.1 凝固过程的溶质再分配 4.2 固—液界面前沿的成分过冷 4.3 多相合金的凝固
4.1 凝固过程的溶质再分配
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 溶质再分配现象的产生 溶质平衡分配系数 平衡凝固时的溶质再分配 近平衡凝固时溶质再分配
4.1.1溶质再分配现象的产生
平衡凝固 近平衡凝固 非平衡凝固 平衡凝固：是指在凝固过程中固相和液相始终 保持平衡成分，即冷却时固相和液相的整体成分 分别沿着固相线和液相线变化。
近平衡凝固：对于大多数实际的材料加工（如 铸造）而言，所涉及的合金凝固过程一般不符合 上述平衡凝固的条件，合金凝固过程中的固、液 相成分并不符合平衡相图的规定。但在紧邻固液界面处合金成分符合平衡相图，这种情况称为 界面平衡，相应的凝固称为近平衡凝固。近平衡 凝固为接近实际生产条件下的凝固，也称正常凝 固。
集层的“特征距离”。
在稳定生长阶段，界面两侧以不变的成分CS*=C0 与CL*=C0/k0向前推进，一直到最终瞬态为止。稳 定生长的结果，可以获得成分为C0的单相均匀固 溶体。
（3）最终瞬态 当液/固相界面离凝固器终端的距离小于DL/R 时，界面处及其前沿液相溶质浓度要比C0/k0高得 多，终端的固相浓度也不再是C0，而是大大高于 C0，这时上式也就不再适用。这个最后的阶段称 最终瞬态。 如界面的浓度达到共 晶成分，在共晶温度下 就会结晶出共晶体。
R x DL
上式中CL(x)为边界层内任意一点x的液相成分。
如果液相容量不是很大，则在扩散层外的液体 成分逐渐提高，以平均值 C 表示。则上式写成：
C L ( x) C L 1 e 1 * R CL CL DL 1 e
R x DL
两种极端情况： ①δ →∞时，即液相内无对流而只有扩散的情 C C , C * C / k , 上式变成前面讨论的液相内 况， L 0 0 无对流而只有扩散的解：
L L * L * S x 0
R x DL R DL L 0
C C0
* L
1 e
DL
联列解得：
CL
dCL ( x) dx
R
x 0
* C L C0
1 e
R DL
C0 k0 (1 k0 )e
R DL
* CS
k0C0 k0 (1 k0 )e
在近代凝固技术研究中，将凝固条件分为三种
固
C
CL
C0
液
k 0C0
* * k0 CS / C L 1
平衡凝固条件下的溶质再分配
固、液两相在温度T*时的平衡成分为 CS 与C L ， 相应的体积分数为 f S*和f L* ，则由平衡条件下的杠 杆定律，得
* *
* * * C S f S* C L f L C0
因为
f S* f L* 1 ，故得
上式被称为Scheil公式，或非平衡杠杆定律。 此公式描述了固相无扩散、液相均匀混合下的溶 质再分配规律，有着广泛的用途。
T1处：固相成分k0C0，液相成分大于C0，成分均 匀。（k0＜1） T2处：固相无扩散，成分不均匀。 凝固过程中固－液界面上的成分为（Scheil 公式）：
* C S k 0C0 (1 f S ) k0 1 * C L C0 f Lk0 1
实际合金近平衡凝固的例子：Al-2%Cu及Al-5% Cu合金。
这两个合金在近平衡凝固后都应是单相α ，但 在非平衡凝固后除了出现偏析外，还出现共晶组 织。很明显，5%Cu合金比2%Cu合金含有较多的共 晶。
Al-2%Cu合金
Al-5%Cu合金
应用
区域熔炼技术 K0＜1时，左端纯化，右端富集溶质组元 K0＞1时，右端纯化，溶质富集于左端
区域熔炼已广泛用于提纯许多半导体材料、 金属、有机及无机化合物等。
2、固相无扩散、液相只有有限扩散时的溶质 再分配 如果没有搅拌和对流，液相内只能靠扩散进行 成分均匀化。 以假想的二元系讨论：合金 成分为C0。设R为固-液界面的 生长速度；x是以界面为原点 沿界面法线方向伸向熔体的动 坐标；CL(x)为液相中沿x方向 dC ( x ) 的浓度分布； dx 为界面处液相中浓度梯度。
0
R x DL
0
0
0
1 k 0 DL x C L ( x) C0 (1 e ) k0
R
此即Tiller公式。
从界面到成分为C0处是溶质原子富集层。 D 当 x R 时， [CL(x)－C0]降到:
L
C0 (
1 1 1) k0 e
x DL R
特征距离
DL / R 称为溶质富
L
0, k0 1
假定相图中的液相线和固相线均为直线（其斜 率分别为mL、mS），则
* C S (T0 T * ) / m S m L k0 * * C L (T0 T ) / m L mS
（4-2）
即k0值为与温度及浓度无关的常数。
平衡溶质分配系数k0的物理意义：
对于 k 0 1 ，k0越小，固相线、液相线张开程度
平衡溶质分配系数k0的定义：当凝固进行到某
* 一温度 T *时，平衡固相溶质成分 C S与液相溶质
成分 C L* 之比，即
* CS k0 * CL
（4-1）
对于不同的相图（或相图的不同部分），k0值
可以小于1，如图（a）所示； k0也可以大于1，
如图（b）所示。
不同类型的平衡相图 m （a） L 0, k 0 1 （b） m
越大，开始凝固时与凝固终了时的固相成分差别
越大，最终凝固组织的成分偏析越严重。
对于 k0＞1 的情况，
k0越大，则偏析越严重。
4.1.3平衡凝固时的溶质再分配
K0＜1合金 条件：初始成分为C0的合金，将其置于长度为 L 的容器中，从左端开始冷却凝固，界面始终以宏 观的平面形态向右推进。
凝固方向
d 2 C L ( x) dC ( x) DL R L 0 2 dx dx
此方程的通解为： C ( x) A Be 根据边界条件：CL(x=0)=C0/k0；CL(x=∞)=C0 C 得： A C B k C ， 凝固稳定态阶段富集 层溶质分布规律（指数 衰减曲线）：
L
* f S df dCS S k0C0 C S* (1 k 0 )0 1 f S
得
* ln CS (k0 1) ln(1 f S ) ln C
初始条件：f S 0 因此
C s* k 0 C 0 ，得积分常数 C k0C0 时，
，
* C S k 0C0 (1 f S ) k0 1 * C L C0 f Lk0 1
非平衡凝固：是指绝对的非平衡凝固，如快速 凝固、激光重熔及合金雾化冷却等近代先进的材 料成形技术中液态合金的凝固。此时已不遵循热 力学规律，即使在固-液界面紧邻处也达不到平 衡凝固条件。
三种凝固条件下固—液界面附近的溶质分配情况
a）平衡凝固
b）近平衡凝固
c）非平衡凝固
4.1.2溶质平衡分配系数
Scheil公式推导 在任一温度为T*时，因溶质量 守恒，形成微量固相所排出的溶质原子量应等于 液相内溶质原子量的变化：
* * * (CL CS )dfS (1 f S dfS )dCL
* * k0 CS / CL ，并略去df 由于
s，有：
经积分
* CS
* dCS (1 k 0 )df S * 1 fS CS
0
C L ( x) C0 (1
来自百度文库
1 k0 e k0
R x DL
)
即Tiller公式。
C L ( x) C L 1 e 1 * R CL CL DL 1 e
R x DL
②δ →0时，即液相内完全混合的情况。因为 上式是描述扩散层内的浓度的，所以x→0。上 面解的式子左端分子和分母相等，得:
假设：①界面始终处于局部平衡状态，即界面 两侧的浓度符合相应界面温度下相图所给出的平 衡浓度。 ②没有过冷，也不考虑长大时的动力学过冷。 ③界面的推移由其前沿的溶质输运所控制。 ④由于溶质在液体内的扩散系数（约为10-5cm2/s） 比固体内的（约为10-8cm2/s）大几个数量级，故 忽略固相内扩散。 ⑤相图中的液、固相线均近似为直线。即平衡分配 系数不随温度变化。
* CS
C0 k 0 1 f S* (1 k0 )
C0 1 f S* (1 k0 )
* CL
此即平衡凝固中的溶质再分配规律。
T1处（开始凝固时）： 固相成分k0C0 液相成分接近C0 T2处（凝固终了时）： 固相成分C0 液相成分接近C0/k0
4.1.4近平衡凝固时溶质再分配
d 2 C L ( x) dCL ( x) DL R 0 2 dx dx
此方程的通解为： C L ( x) A Be 边界条件是：CL(x=0)=C*L；CL(x=δ )=C0 得：
C L ( x ) C0 1 e 1 R * C L C0 DL 1 e
R x DL
CL C
这和前面讨论是相符的。可见，上面解的式 子是平面凝固时液体内溶质分布表达式的通 式。
求稳定生长阶段的CS*和CL*值 在稳定态时，利用物质守恒，即凝固所排出的 溶质量等于扩散走的溶质量，有： D dCdx( x) R(C C ) 对 C ( x) C 1 1 e 求导数，得：
1.固相无扩散、液相均匀混合时的溶质再分配 固相：溶质原子来不及扩散 液相：可完全混合，均匀成分（足够的搅拌与 对流）
随着固相分数（fS）增加，凝 固界面上固、液相中的溶质含量 均增加，因此固相的平均成分比 平衡的要低。 当温度达到平衡的固相线时， 势必仍保留一定的液相（杠杆原 理），甚至达到共晶温度TE时仍 有液相存在。这些保留下来的液 相在共晶温度下将在凝固末端形 成部分共晶组织。
R DL
可以将界面前沿的液体分为扩散边界层内和扩 散边界层以外两个部分。 在边界层内，成分的均匀依靠扩散实现（静止 无对流）；在扩散边界层以外，由于对流使成分 得以保持均匀。
设扩散边界层的厚度为δ ，界面液相一侧的成 分为C*L，相应界面的固相一侧的成分为C*S=k0C*L。 若液体容量很大，达稳定态后仍遵循如下方程：
d 2C L ( x ) dC ( x) dCL ( x) DL R L 2 dx dx dt
（2）稳定态 界面的不断推进，堆积的溶质越多，浓度梯度 越大，扩散越快。当界面温度达到T2时，界面推 进所排出的溶质量等于液相中溶质扩散走的量， 此时，固相成分保持C0，在界面一侧的液相浓度 为C0/k0，前沿的浓度场不再随时间改变，即 dCL(x)/dt=0，凝固便进入稳定态：
L x 0
凝固过程分为三个阶段：
起始瞬态
稳定态
最终瞬态
（1）起始瞬态 液态金属温度到达T1时，结晶出成分为k0C0的 固相，多余溶质排向液相，由于扩散（无对流） 不足以使溶质完全排向远方，界面前沿出现溶质 富集。
界面前沿的浓度场变化包括两项：扩散引起的： DLd2CL(x)/dx2；界面向前推进引起的：溶质随距离 的变化为dC/dx，由于界面推进造成单位时间溶质 的变化量为R(dCL(x)/dx)，这时，界面前沿的浓度 场的微分方程为：
液相中只有有限扩散时的溶质再分配
界面前沿的浓度分布的主要参量为k0，R及DL， 加大R和减小DL的作用相似，都使界面前沿液相的 浓度分布变陡。
3.液相中部分混合时的溶质再分配 实际生产中，对流的作用总是或多或少地存在。 此时，物质的宏观输运由对流和扩散两个过程造 成，精确描述这种情况的浓度分布是极其困难的。 液体的对流作用破坏了液相中溶质原子按扩散规 律的分布方式，但是，由于液体的黏性作用，固液界面前沿总会存在一个不受对流作用影响的液体 薄层，此薄层又称为扩散边界层。
第4章 单相及多相合金的凝固
本章主要内容
4.1 凝固过程的溶质再分配 4.2 固—液界面前沿的成分过冷 4.3 多相合金的凝固
4.1 凝固过程的溶质再分配
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 溶质再分配现象的产生 溶质平衡分配系数 平衡凝固时的溶质再分配 近平衡凝固时溶质再分配
4.1.1溶质再分配现象的产生
平衡凝固 近平衡凝固 非平衡凝固 平衡凝固：是指在凝固过程中固相和液相始终 保持平衡成分，即冷却时固相和液相的整体成分 分别沿着固相线和液相线变化。
近平衡凝固：对于大多数实际的材料加工（如 铸造）而言，所涉及的合金凝固过程一般不符合 上述平衡凝固的条件，合金凝固过程中的固、液 相成分并不符合平衡相图的规定。但在紧邻固液界面处合金成分符合平衡相图，这种情况称为 界面平衡，相应的凝固称为近平衡凝固。近平衡 凝固为接近实际生产条件下的凝固，也称正常凝 固。
集层的“特征距离”。
在稳定生长阶段，界面两侧以不变的成分CS*=C0 与CL*=C0/k0向前推进，一直到最终瞬态为止。稳 定生长的结果，可以获得成分为C0的单相均匀固 溶体。
（3）最终瞬态 当液/固相界面离凝固器终端的距离小于DL/R 时，界面处及其前沿液相溶质浓度要比C0/k0高得 多，终端的固相浓度也不再是C0，而是大大高于 C0，这时上式也就不再适用。这个最后的阶段称 最终瞬态。 如界面的浓度达到共 晶成分，在共晶温度下 就会结晶出共晶体。
R x DL
上式中CL(x)为边界层内任意一点x的液相成分。
如果液相容量不是很大，则在扩散层外的液体 成分逐渐提高，以平均值 C 表示。则上式写成：
C L ( x) C L 1 e 1 * R CL CL DL 1 e
R x DL
两种极端情况： ①δ →∞时，即液相内无对流而只有扩散的情 C C , C * C / k , 上式变成前面讨论的液相内 况， L 0 0 无对流而只有扩散的解：
L L * L * S x 0
R x DL R DL L 0
C C0
* L
1 e
DL
联列解得：
CL
dCL ( x) dx
R
x 0
* C L C0
1 e
R DL
C0 k0 (1 k0 )e
R DL
* CS
k0C0 k0 (1 k0 )e