北师大版八年级下册数学 3.2 几何变换之旋转 专题讲义

内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．一、旋转有关概念旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)P'Q'Q PO注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．⑵每一组对应点所构成的旋转角相等． 旋转的性质：①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤：由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度． 具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点．二、中心对称中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)中考要求例题精讲几何变换之旋转DCBAO注意：⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角(180︒)的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 中心对称的特征：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)DCBAO中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形． 关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．板块一中心对称【例1】下列图不是中心对称图形的是( )①②③④A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【巩固】下列图形中，绕某个点旋转180︒能与自身重合的有( )①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角A．5个 B．2个C．3个D．4个【例2】在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有()AH I NEA．2个B．3个C．4个D．5个【例3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A．4个B．3个C．2个D．1个【例4】在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是()①中心对称②旋转③轴对称④平移A．①②B．②③C．③④D．①④版块二 旋转作图【例5】 图中的“笑脸”是图⑴逆时针旋转90︒形成的是()(1)ABC D【例6】 请在下列网格图中画出所给图形绕点O 顺时针依次旋转900︒、1800︒、2700︒后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法)【例7】 正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法) ⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留π)【例8】 如图，画出ABC ∆绕点O 顺时针旋转100︒所得到的图形．C BAO【巩固】 如图，作出ABC ∆绕旋转中心A ，逆时针旋转75︒，得到的图形．CBA【例9】 如图，已知ABC ∆绕某一点逆时针转动一个角度．得到旋转后的'''A B C ∆，其中A 、B 、C 的对应点分别是'A 、'B 、'C ．试确定旋转中心O ．C BAC‘B’A‘板块三 旋转的性质及相关计算【例10】 D 是等腰Rt ABC ∆内一点，BC 是斜边，如果将ABD ∆绕点A 逆时针方向旋转到'ACD ∆的度数是( )A ． 25︒B ．30︒C ．35︒D ．45︒D'DCBA【例11】 如图，P 是正ABC ∆内的一点，若将PBC ∆绕点B 旋转到P BA '∆，则PBP '∠的度数是( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒P 'ABCP【例12】 如图，把ABC ∆绕点C 顺时针旋转35︒，得到'''A B C ∆，''A B 交AC 于点D ，若'90AD C ∠=︒，则A ∠度数为( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒DB'A'CB A【巩固】 ABC ∆中，108ACB ∠=︒，将它绕着C 逆时针旋转30︒后得到''A B C ∆，则'ACB ∠的度数是多少？B'A'CBA【例13】 矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____FA【例14】 如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合，如果2AP =，那么'PP =______．【例15】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么'CC =_________．D'C'B'D CB A【巩固】 正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．P'DCBA【例16】 如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将AD C ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论： ①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．FEDCBA【例17】 如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为 ．【例18】 中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为O ，半圆ACB 固定，其半径为2r ，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆ACB 内的轮片面积是不变的(如图乙)，这个不变的面积值是___________．（甲）BA（乙）BA【例19】 如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个A【例20】 ⑴如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求AEB ∠的大小．⑵如图2，OAB ∆固定不动，保持COD ∆的形状和大小不变，将COD ∆绕着点O 逆时针旋转15︒，求AEB ∠的大小．图1ABCDEO 图2ABCDEO【例21】 如图，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A 位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时共走过的路径长( ) A ．10cm B ．4πcm C ．7πcm 2 D ．5cm 2【例22】 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，⑴ 如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为___________；⑵ 当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是____________(α为锐角时)；⑶ 如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG CG =时，求点G 的坐标； ⑷ 如图③，当旋转角90α=︒时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图①图②图③1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )2.在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题． ⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？3.如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转80︒得到AB C ''∆．若50BAC ∠=︒，则CAB '∠的度数为( ) A ．30︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒课后练习ABCB'C'4.如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC ∆绕点A 逆时针旋转后，得到'P AB ∆，则点P 与点'P 之间的距离为______，APB ∠= ．P'CB PA5.如图，四边形ABCD 是正方形，F 是BA 延长线上的点，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如果4AF =，7AB =．⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．A BCD EF6.取一副三角板按图①拼，固定三角板ADC ，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角()045α︒<︒≤得到ABC '∆，如图所示．试问：⑴当α为多少度时，能使得图②中AB DC ∥？⑵连结BD ，当045α︒<︒≤时，探寻DBC CAC BDC ''∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．ABCDABCDC'图2图1。