4章旋翼弹性桨叶动力学I1

R R iEIk 0 i EIk 0 k


R
0
dx iEI k
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
进一步：
i EIk iEIk 0 k
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面Baidu Nhomakorabea的弯曲
为此， 将
Z (r , t )
展成用模态形状表示的级数形式
当模态形状选择使得桨叶强迫振动响应可由前几阶模态就能很好得描述时， 则旋翼动力学问题就可通过最少自由度来解。 此所谓模态截断，或模态叠加法。
假设Z表示成模态形状的级数：
Z (r , t ) k (r )q k (t )
r e
代入频率方程中：
1 (1 e) 2
1
2
mddr
e r 2
1 1

K I 2 (1 e) 2

e
m dr
1

2
e 1 1 e

e
e 1
m dr
2

K I 2 (1 e) 2
m dr
与刚体挥舞频率一样
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
同理： 挥舞方程
R
[(EI ) ( md )]q m q
2 k k k k k k r
R
k
FZ
应用算子
(....) dr
i 0
中的项：
2 k 0 r k R
R
( EIZ y) 2 ( y md ) 2 my Fy m y
r
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.2 旋翼旋转平面内（摆振）弯曲
以上推导的旋转面（摆振）运动方程是偏微分方程， 其中y是展向r和时间t的函数。 求解？： 同样通过分离变量法， 可将偏微分方程转化为常微分方程 假设y表示成模态形状的级数：
答案： 离心力刚度影响大，


离心力位能

> 弹性能的增加。
但这种影响在高阶频率时有所不同， 对高阶频率影响比对低阶频率影响大
即改变 EI 弹性刚度比重增加，
大 高阶模态时 k
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
弹性桨叶的频率方程可退化到刚体桨叶挥舞频率方程： 令 1 e
r
R
由工程梁理论， 建立结构弯矩与桨叶弯曲曲率之间的关系：
2Z M (r ) EI 2 r
代入上式，
R
2 Z 引入： z r 2
M (r ) EIZ
力矩平衡方程整理得：
R
R
( r )d F ( r )d EI Z m2 (Z ( ) Z (r ))d mZ Z
4.2 旋翼旋转平面内（摆振）弯曲
在这里考虑纯旋转面（摆振面）弯曲运动。 包含桨叶弯曲和任意桨根约束 同时，暂时忽略哥氏力的影响。 如图所示，考虑 处微段 d 建立微段对r处的力矩平衡方程： 微段受力如图 即：无论铰接式，还是无铰式 仅考虑纯弯，无结构耦合 实际是有的
与前类似， 采用积分形式的牛顿法， 列写运动方程
硕士学位研究生专业课程
直升机旋翼动力学
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
教学目的
桨叶本质上是弹性的， 除了挥舞，摆振，变距运动三个刚体自由度， 还存在无限多弹性自由度， 同时，各自由度间存在多种耦合：
如：气动耦合，惯性耦合，几何耦合，结构耦合等 本章旋翼弹性桨叶动力学中， 桨叶作为弹性，仅考虑桨叶弯曲扭转最简单的情况
利用模态（振型）边界条件
R

k
R
0
k dx EI i
无论铰接式还是无铰式，都为零 无铰式
回顾： 铰接式
(e) 0 ( R) 0 边界条件： (e) 0 ( R) 0
边界条件：
(0) 0 ( R) 0 ( R) 0 (0) 0
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
讨论： 方程：
FZ k qk ) k I (q dx ac 0
qk 2 k
1
这是旋翼弹性桨叶第k阶挥舞平面弯曲运动微分方程， 旋转桨叶自由振动模态的使用 且由于模态正交性 使用方便 用自然频率 k 代替结构项和离心力项
第k阶微分方程与其他弯曲模态方程不耦合 形式上与刚体桨叶挥舞方程相似
类似于刚性桨叶的处理方法， 无量纲化后，
FZ k q ) k I (q dx ac 0
qk 2 k k
1
方程形式上与刚性桨叶挥舞方程很相似 式中，第k阶挥舞桨叶弯曲模态频率为：
，但含义不同。
2k
2 2 2 2 [ EI m d ] dr K [ ( e )] k k 0 r 2 k m dr 0 R
( EIZ ) 2 [Z ( md )] FZ mZ
r
R
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4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（二）微分形式的牛顿法
如图所示，考虑半径为r处的微段， 其上各力及力矩平衡
r处剖面
剪力 拉力 弯矩
r+dr处剖 面
S
T
S
T(离心力引起）
M
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4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
频率：
2 2 [ EI m d (e)]2 k k ]dr K [ 2 0 r 2 k m dr 0 R R k
2k
因此，可以看出对弯曲频率的贡献有两部分： 一部分是结构弹性项，即弯曲刚度， 另一部分是惯性项，即离心力刚度。 问题： 对于挥舞运动频率， 哪部分刚度影响大，为什么？
2
r R
r

y (r ))]d
2 y 同理由工程梁弯曲理论：M Z (r ) EIZ r 2
R
代入上式，并方程两边对r
求二次偏导数，得 旋转桨叶摆振弯曲运动方程：
Fy y ( EIZ y) [( 2md ) y] 2my m
r
与挥舞弯曲方程不同之处
R
md i dr
也用分部积分处理：
R R 2 md i k r 0 k

k
R
0

2

R
r
idr md k
利用模态（振型）边界条件
无论铰接式还是无铰式，都为零
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
M
M dr r
T dr r
S dr r
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（二）微分形式的牛顿法
由微段的力平衡条件（z向）：
FZ dr
S S r
S S dr S m dr Z
r
FZ
① S Z
由微段各力对r＋dr处剖面的力矩平衡条件：
k 1

k (r ) 第k阶模态形状
qk (t ) 第k阶模态坐标，或广义坐标
将Z代入前面表达式，则有：
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
2 md )]qk FZ m q [( EI ) (k k k k k k r
R
k
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
注： 上式分子中的项并不直接等于方程中的 而是要经过二次分步积分得到 用分部积分化简：
qk
前的数，

k
R
0
dx i EI k

k
R
0
i d EI k
R R dx iEI k i EIk 0 0 k
r
r
r
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4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（一）积分形式的牛顿法
方程两边对r求两次导数， 整理则给出挥舞弯曲的偏微分方程：
( EIZ )
R
Z ( (FZ )d ) [( m2 d ) ] mZ r r r
R
R
其中
R ' ( ( FZ )d ) ( Fz r |r ) Fz r
推导适用于铰接式、无铰式旋翼的弹性桨叶运动方程， 并给出频率表达式 了解弹性变形下，各自由度耦合关系对动力学特性的影响
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
考虑一旋翼桨叶在挥舞平面内的弯曲， 桨叶根部约束为任意情况
即：无论铰接式，还是无铰式
下面推导弹性桨叶的挥舞运动微分方程 先回顾我们前章已推导的刚体桨叶挥舞运动方程：
M dr dr M M dr FZ dr 0 Sdr T (r )dr mdr Z r 2 2
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（二）微分形式的牛顿法
略去高阶项 ,且
(r )
Z M Z M r r
M S T Z
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（二）微分形式的牛顿法
其中， r处离心力为：
T m 2 d
r
R

( EIZ ) 2 (Z m 2 d ) F mZ Z
r
R
可见，与积分形式的牛顿法的结果一致
以上推导的挥舞运动方程是偏微分方程 求解？： 通过分离变量法， 可将偏微分方程转化为常微分方程 ，其中Ｚ是展向r和时间t的函数。
大小及力臂为：
（1） 惯性力：
( )d m y
2
力臂：
r
r
（2） 离心力： m （3） 气动力： Fy 则各力对r剖面的力矩：
d
力臂：?关键 力臂：

y ( ) y (r )
r
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4.2 旋翼旋转平面内（摆振）弯曲
)( r ) m ( y ( ) M Z (r ) [(Fy m y
（1） 惯性力： mZ ( )d （2） 离心力： m 2 d （3） 气动力：
( r)
Z ( ) Z (r )
FZ
( r)
则各力对r剖面的力矩：
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（一）积分形式的牛顿法
M (r )

)( r ) m2 (Z ( ) Z (r ))] d ( F m Z [ Z
由
②
②
S (TZ ) M
代入①得：
FZ (TZ ) M mZ
又由工程梁理论， 结构弯矩与弯曲曲率关系： 代入上式， 整理得：
M EI Z
( EIZ ) (TZ ) F mZ Z
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
R
R
令
) 2 (k m d ) mk k2 ( EIk
x
则上式写成：
2 m ( q k k k qk ) FZ k
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
方程两边应用如下算子：
(....) dr
i 0
R
利用模态形状的正交性
1 i k i k dr 0 i k 0
R
定义：
I qk
2 m k dr 0
R
为第k阶模态的广义质量
则挥舞弯曲方程为：
2 k k I qk ( q qk ) k FZ dr 0
R
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
FZ 2 I ( ) dr ac e

1
简单直观，使用方便
希望弹性挥舞运动方程也这样简单直观 结果我们会发现： 有许多相似之处， 但又有不同
第四章 旋翼弹性桨叶动力学(I)
4.1 旋翼挥舞平面内的弯曲
（一）积分形式的牛顿法
如图所示，考虑半径为r处外段上各力及力矩平衡 取外段处一微段 d 建立对r处的力矩平衡方程： 其受力方向如图所示 大小为 力臂： 力臂： 力臂：