矩阵与变换、坐标系与参数方程

第1讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程

高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求；

(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求.

真 题 感 悟

1.(2017·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1 00 2. (1)求AB ；

(2)若曲线C 1：x 28＋y 2

2＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程. 解 (1)AB ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0

11

0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00

2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0 21

0. (2)设P (x 1，y 1)是曲线C 1上任意一点，变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤0

21 0 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x 1y 1， 所以⎩⎨⎧x ＝2y 1，y ＝x 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ，

y 1＝12

x .

因为P (x 1，y 1)在曲线C 1上，所以x 218＋y 2

1

2＝1，

从而x 2＋y 2＝8，即为曲线C 2的方程.

2.(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 20 -2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .

解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤22 1

2202 12＝

⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1

40 12.

∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1

40 12＝⎣⎢

⎢⎡⎦

⎥⎥⎤1 540 －1.

3.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝－8＋t ，y ＝t

2

(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2

，

y ＝22s

(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求

点P 到直线l 的距离的最小值. 解 由⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝－8＋t ，y ＝t

2消去t . 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).

则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋4

5，

∴当s ＝2时，d 有最小值

45

＝455. 4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于

A ，

B 两点，求线段AB 的长.

解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2

＋y 2

4＝1，

联立方程组得⎩⎪⎨⎪

⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，

解得⎩⎨⎧x 1＝1y 1＝0

或⎩⎪⎨⎪

⎧x 2＝－17，y 2＝－837，

∴A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－17，－

837. 故AB ＝

⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋172＋⎝

⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.

考 点 整 合

1.矩阵的乘法与逆矩阵 (1)

(2)若二阶矩阵A ，B 满足AB ＝BA ＝E (E 为二阶单位矩阵)，则称A 是可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵，记为B ＝A －

1.

2.矩阵对应的变换

矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a b c d 对应的变换T ：(x ，y )→(x ′，y ′)满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

ax ＋by cx ＋dy . 3.二阶矩阵的特征值和特征向量

(1)设λ是二阶矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x y ，则有M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y . (2)f (λ)＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤λ-a -b -c λ-d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

a b c d 的特征多项式. (3)如果λ是二阶矩阵M 的特征值，则λ是M 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)

＝0，此时将λ代入⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy 可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤

x 0y 0，它即为M 的属于λ的

一个特征向量.

4.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐

标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)， 则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪

⎧

ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x （x ≠0）.

5.直线的参数方程

经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).

设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →

的数量. 6.圆的参数方程

圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，

0≤θ≤2π).

热点一 二阶矩阵与平面变换

【例1】 (2017·盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 2

2＝1，求曲线C 的方程. 解 设曲线C 上任一点为(x ，y )， 经过变换T 变成(x 0，y 0)，

则⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y . 由x 204＋y 20

2＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4.