矩阵与变换、坐标系与参数方程
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。
例如，点P的坐标为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。
直角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。
参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是由参数变量的函数关系决定的。
参数方程中通常有两个参数变量，例如t和s，分别表示曲线上一些点的位置。
通过固定其中一个参数变量并对另一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整个曲线。
参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
与直角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。
通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。
举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。
考虑一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确定直线上任意点的坐标。
例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。
当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。
而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参数变量。
通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。
例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1，y=3，这表示直线过点(1,3)。
可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。
直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。
在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标系或参数方程来描述曲线。
直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。
总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。
专题25 选修部分—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=，所以16a =-． 综上，8a =或16a =-． 【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．2【2017课标1，文23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -<≤；（2）[1,1]-．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-． 【考点】不等式选讲【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．3.【2017课标II ，文22】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
矩阵与变换极坐标与参数方程
1.(本小题满分10分)若圆C:x 2 y 2 =1在矩阵A= a 0 (a 0,b . 0)对应的变换下变成It 0 b椭圆2 2E: X y =1,求矩阵A 的逆矩阵A-.4 32•已知矩形 OABC 0(0,0),A(-2,0),B(-2,-1),C(0,-1)，将矩形 OAB(绕点 0旋转 180*到矩形OA 1B 1C 1，再将矩形OABG 沿x 正方向作切变变换，得到平行四边 OA 1 B 2C 2，若点C 2「、3,1)，求矩形OABC 变为平行四边形 OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵. 3•变换T ,是逆时针旋转 ㊁的旋转变换，对应的变换矩阵是M j ；变换T 2对应用的变换矩阵~1 n是M 2 = |。
( 1)求点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标；b 1」2(2)求函数y =x 的图象依次在T 1, T 2变换的作用下所得曲线的方程 b，矩阵A 属于特征值r =-1的一个特征向量为、二1，属于特征d 卜16•设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2倍，纵坐标伸长到 3倍的伸压变换.(1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；2 2(2)求逆矩阵M ’以及椭圆—在M ’的作用下的新曲线的方程.49I 2 -12 ~2 I7•已知矩阵A, B=.||_-4 3|H 6(1)求矩阵A 的逆矩阵； (2)求满足AX =B 的二阶矩阵X .8•已知二阶矩阵M 有特征值彊=1及对应的一个特征向量9•已知二阶矩阵 M 有特征值^ =3及对应的一个特征向量 将点(-1,2)变换成(3,0)，求矩阵15•已知矩阵A 的逆矩阵A■1 0 ，求矩阵B .呻f 1) © = ，并且矩阵M 对应的变换J 丿4•、设矩阵A -值，2 =4的一个特征向量为求ad — be 的值.0]1 .若（AB 尸2^1 21 a10. 已知矩阵A = I 的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为]1 b 一(1) 求矩阵A ;(2) 若 A|X L f ,求 x , y 的值.-y 」-b 」 11.已知矩阵A=『a 1的一个特征值是—1,求矩阵A 的另一个特征值 九，及属于扎的一 [2 3」个特征向量。
2024高考数学坐标系与参数方程
2024高考数学坐标系与参数方程数学一直是高考中重要的一门科目，而在数学中，坐标系与参数方程是常见的概念与应用。
本文将围绕2024年高考数学坐标系与参数方程这一题目展开讨论，并通过几个例子来加深我们对这一知识点的理解。
一、坐标系的概念与应用坐标系是数学中表示点的位置的一种方法，常见的有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由x轴和y轴组成，通过确定点与坐标轴的交点来确定点的位置；而极坐标系则通过半径和极角来表示点的位置。
在解决实际问题中，坐标系有着广泛的应用。
例如，在地图上，我们可以利用坐标系确定两个城市之间的距离；在物理学中，通过坐标系可以确定物体在空间中的位置等。
因此，对坐标系的理解与应用非常重要。
二、参数方程的概念与应用参数方程是一种描述曲线、曲面等几何对象的方法。
它通过一个或多个参数的变化来表示对象上的点的坐标。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
在数学中，参数方程的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过参数方程描述质点在空间中的运动轨迹；在计算机图形学中，参数方程可以用来描述各种曲线和曲面等。
因此，对参数方程的理解与应用也是非常重要的。
三、坐标系与参数方程的联系与区别虽然坐标系和参数方程都是描述几何对象的方法，但它们之间存在一定的联系与区别。
首先，坐标系可以通过确定坐标轴和交点来确定点的位置，而参数方程则通过参数的变化来表示点的位置。
其次，坐标系通常是直角坐标系或极坐标系，而参数方程可以是二维参数方程或三维参数方程。
此外，在解决问题时，选择使用坐标系还是参数方程，取决于问题的特点和需要。
对于某些问题，坐标系可能更直观、更方便，而对于另一些问题，参数方程则可能更简洁、更易于处理。
四、案例分析为了更好地理解坐标系与参数方程的应用，我们通过几个案例进行分析。
案例一：求解直线与圆的交点已知直线的方程为y = 2x + 1，圆的方程为x^2 + y^2 = 9。
我们可以将直线和圆的方程转化为参数方程，求解它们的交点。
选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。
2019届二轮复习矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案(全国通用)
矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B 级要求.真 题 感 悟1.(2018·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2. (1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标. 解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0， 所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此， 点P 的坐标为(3，－1). 2.(2017·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设P (x 1，y 1)是曲线C 1上任意一点，变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤021 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， 所以⎩⎨⎧x ＝2y 1，y ＝x 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ，y 1＝12x .因为P (x 1，y 1)在曲线C 1上，所以x 218＋y 212＝1，从而x 2＋y 2＝8，即为曲线C 2的方程.3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长. 解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6. 连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3. 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P到直线l 的距离的最小值.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2消去t .得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，∴当s＝2时，d有最小值45＝455.5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值. 解由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，当且仅当x1＝y2＝z2时，不等式取等号，此时x＝23，y＝43，z＝43，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8. 证明由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.考点整合1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换2.二阶矩阵的特征值和特征向量(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy 可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0)，它即为M 的属于λ的一个特征向量.3.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)， 则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 4.(1)直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量. (2)圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).5.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义、零点分段或图象法求解. 6.柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.热点一 矩阵与变换【例1】 (1)(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2))，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. (2)(2017·盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程.解 设曲线C 上任一点为(x ，y )，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .由x 204＋y 22＝1，得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.探究提高 (1)解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.(2)由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序. (3)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.【训练1】 (1)(2018·扬州期末)已知x ，y ∈R ，若点M (1，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3 y 对应的变换作用下得到点N (3，5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.(2)(2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).①求矩阵M ；②求矩阵M 的另一个特征值. 解 (1)因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3 y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎨⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 即⎩⎨⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2. (2)①设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ，则⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. ②令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M 的另一个特征值为2. 热点二 曲线的极坐标方程[考法1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2－1】 在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程.解 将圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程.探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. [考法2] 曲线的极坐标方程的应用【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点. 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点. 综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练2】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1. 热点三 参数方程[考法1] 参数方程与普通方程的互化【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3t ，y ＝1－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值.解 直线l 的普通方程为4x ＋3y －15＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2. 因为圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝|－15|5＝3， 又直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以r ＝32＋22＝13.探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.[考法2] 直线的参数方程【例3－2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB . 解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二 (1)同法一.(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5. 由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5). 故P A ＋PB ＝8＋2＝3 2.探究提高 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB的长.解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.热点四 绝对值不等式【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； ②若f (x )≤1，求a 的取值范围.(2)(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围.解(1)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. ②f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2或x ＝－a 时等号成立(最小值能取到). 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2. 所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)因为对任意x ∈R ，不等式f (x )＞a 2－3恒成立，所以f (x )min ＞a 2－3. 又|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |＞a 2－3，① 法一 (将|a |作为整体)即|a |2－2|a |－3＜0，解得－1＜|a |＜3. 所以－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a ＞a 2－3，② 或2a ＜－a 2＋3，③ 由②得－1＜a ＜3， 由③得－3＜a ＜1，所以，－3＜a ＜3.∴a ∈(－3，3).探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值. 【训练4】 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意； ②当－1<x <2时，2x －1≥1， 解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m .由(1)知g (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5； ②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54； ③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1.综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.热点五 不等式的证明、柯西不等式【例5】 (1)(2014·江苏卷)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .(2)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. ①求实数a ，b 的值； ②求at ＋12＋bt 的最大值.(1)证明 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(2)解 ①由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.②－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4，即最大值为4.探究提高 (1)证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.(2)根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明、证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式. 【训练5】 已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2. 证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)∵a >0，b >0且a 3＋b 3＝2.由柯西不等式，得(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a ·a 5＋b ·b 5)2＝(a 3＋b 3)2＝4. 当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时等号成立.因此(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4. (2)∵a 3＋b 3＝2，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，即(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]＝2. 所以(a ＋b )3－2＝3ab (a ＋b )，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a ＋b ）24，∴(a ＋b )3－2≤34(a ＋b )3，则14(a ＋b )3≤2.从而a ＋b ≤2当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数； (2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解；(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.1.(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2.(2015·江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎨⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.3.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.5.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a . 证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3，又|y －2|＜a 3， ∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a . 则|2x ＋y －4|＜a 成立.6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
矩阵与变换、坐标系与参数方程
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3.二阶矩阵的特征值和特征向量
a b (1)设λ 是二阶矩阵 M＝ 它的一个特征 c d 的一个特征值， x x x 向量为 α＝ ，则有 M ＝λ y. y y λ-a -b a b 2 (2)f(λ)＝ ＝ λ － ( a ＋ d ) λ ＋ ad － bc 为矩阵 M ＝ c d -c λ-d
因为点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s2，2 2s). |2s2－4 2s＋8| 2（s－ 2）2＋4 则点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 5 5 4 4 5 ∴当 s＝ 2时，d 有最小值 ＝ 5 . 5
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4.(2016· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方 1 x＝1＋2t， x＝cos θ ， 程为 (t 为参数)， 椭圆 C 的参数方程为 (θ y＝2sin θ y＝ 3t 2 为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.
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2.(2016· 江苏卷)已知矩阵 1 ＝ 0
1 A＝ 0
2 －1 ，矩阵 B 的逆矩阵 B -2
解
1 －2 ，求矩阵 AB. 2 1 2 2 1 B＝(B－1)－1＝2 2＝ 0 0 1 2 2
x 1 ＝y ， x1 x ＝ 2 y ， 2 1 ，所以 即 1 0 y1 y ＝ x. y＝x1， 1 2
2 2 x1 y1 因为 P(x1，y1)在曲线 C1 上，所以 ＋ ＝1， 8 2
从而 x2＋y2＝8，即为曲线 C2 的方程.
坐标系与参数方程坐标系课件理ppt
03
坐标系与参数方程的应用
在物理学中的应用
1 2
牛顿力学
直角坐标系与自然坐标系用于描述质点运动轨 迹，分析受力关系，求解动力学方程。
电磁学
直角坐标系用于描述电荷分布、电场强度、电 势等物理量，求解电场分布和电流问题。
3
量子力学
直角坐标系与自然坐标系用于描述粒子在有限 高势垒中的束缚态，求解定态薛定谔方程。
在数学中的应用
解析几何
直角坐标系用于描述直线、曲线、平面等几何图 形，研究几何性质和形状。
参数方程
参数方程用于描述复杂函数关系，简化计算和推 导过程。
变分法
直角坐标系用于求解泛函极值问题，应用于最优 化理论、变分法等领域。
04
总结与展望
对坐标系与参数方程的意义进行总结
1
总结了坐标系在数学、物理、工程技术和计算 机图形学等领域的应用。
坐标系与参数方程坐标系 课件理ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 坐标系分类与定义 • 参数方程坐标系 • 坐标系与参数方程的应用 • 总结与展望
01
坐标系分类与定义
直角坐标系
定义
直角坐标系是由三个互相垂直 的坐标轴（x、y、z）组成的 坐标系，每个轴的方向和尺度
都相同。
特点
直角坐标系是最常用的坐标系之 一，特别适用于描述具有规则几 何形状或对称性的物体。
参数方程在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。它能 够方便地表示和解决复杂的几何、运动或物理问题，有助于 简化计算和分析过程。
常见参数方程的应用
平面直角坐标系中的 直线参数方程
直线的参数方程为`x=x0+tcosα, y=y0+tsinα`，其中(x0,y0)为直线上 的一个定点，α为直线的倾斜角。该 参数方程可以方便地表示直线上的点 ，并用于直线的长度、斜率等计算。
§16坐标变换与参数方程
§16坐标变换与参数方程在平面几何中，我们经常需要进行坐标变换，以便更方便地处理问题。
坐标变换是将一个平面中的点通过一定的变换规则，映射到另一个平面上。
在这个过程中，我们需要确定一个坐标系，并定义好变换规则。
坐标变换可以分为线性变换和非线性变换两种。
其中，线性变换包括平移、旋转、缩放等操作，而非线性变换则包括平方、开方、幂等变换等操作。
下面以两个坐标系之间的线性变换为例，介绍坐标变换的基本概念和参数方程的应用。
设有两个坐标系：原始坐标系O-xy和目标坐标系O'-x'y'。
我们希望将原始坐标系上的点P(x, y)通过线性变换映射到目标坐标系上，得到P'(x', y')。
设线性变换的变换矩阵为：\[A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\]其中，a、b、c、d为实数，且ad-bc≠0。
对于任意一个点P(x,y)，它在目标坐标系中的坐标可以表示为：\[P'(x', y') = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\]展开得：\[x' = ax + by\]\[y' = cx + dy\]这就是坐标变换的基本形式。
在实际应用中，我们通常需要将参数方程转化为坐标方程。
参数方程是一种通过参数来表示平面上其中一曲线的方程形式，常用于描述曲线的弧长、斜率等性质。
假设曲线C的参数方程为：\[x=f(t)\]\[y=g(t)\]现在我们希望将该参数方程转化为坐标方程，即通过曲线上的点的坐标来表示该曲线。
我们可以通过将参数方程带入到原点O的坐标方程中，得到坐标方程的形式。
例如，设曲线C的参数方程为：\[x=t^2\]\[y=2t\]将参数方程带入到直线y=0的方程中，得到：\[2t=0\]解得t=0。
第十四编 系列4选讲-矩阵与变换坐标系与参数方程
高三数学（理）一轮复习教案 第十四编 系列4选讲 总第69期§14.1 矩阵与变换基础自测1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14= . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡822. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x y x 23.设a ,b ∈R ,若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：x +y -1=0变成为直线m :x -y -2=0，则a = ，b = .答案 2 -14.先将平面图形作关于直线y =x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 . 答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031205.设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB =BA ，则k = . 答案3例题精讲例1 已知变换T 把平面上的点A （2，0），B （3，1）分别变换成点A ′(2,1),B ′(3,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解 设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则有M ： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡02→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c a 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12，解得⎪⎩⎪⎨⎧==211c a ；M ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡13→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡13=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d c b a 33=⎥⎦⎤⎢⎣⎡23，解得⎪⎩⎪⎨⎧==;21,0d b 综上，M =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101. 例2 已知O （0，0），A （2，1），O ，A ，B ，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）把正方形OABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到正方形AB ′C ′O ′，求B ′，C ′，O ′三点的坐标.解 （1）显然向量绕O 点逆时针方向旋转90°得向量，变换矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110.所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110·⎥⎦⎤⎢⎣⎡12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21，即=（-1，2），C 点坐标是（-1，2）. 又=+=（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以B 点坐标是（1，3）. （2）变换矩阵是N =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， AO =（-2，-1），AC =（-3，1），=（-1，2）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222·⎥⎦⎤⎢⎣⎡----211132=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2232222222223.即O A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,223，C A =(-2,22), AB ′=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛223,22∴O O '=+O A '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-222,4234，点O ′的坐标是（222,2234+-）, 同理，点C ′的坐标是(2-2,1+22),点B ′的坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2232,224. 例3 试从几何变换的角度求AB 的逆矩阵.（1）A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4001；（2）A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110. 解 （1）矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021； 同理，矩阵B 对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是B -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001；所以（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001·⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410021.（2）矩阵A 对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x -y =0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110；矩阵B 对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110；所以，（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001. 例4 （14分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）. （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系.解 （1）设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88，故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a 2分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a 4分 联立以上两方程组解得a =6,b =2,c =4,d =4,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 6分 （2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，故其另一个特征值为λ=2. 9分设矩阵M 的另一个特征向量是e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，则M e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426=2⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，所以⎩⎨⎧=+=+y y x x y x 244226, 12分 所以矩阵M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x +y =0. 14分巩固练习1.（2008·南京质检）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1） 与（0，-2）. （1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -y =4,求l 的方程.解 （1）设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-20 所以⎩⎨⎧-=--=-11d c b a ,且⎩⎨⎧-=+-=+-2202d c b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a ，所以M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321. （2）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 432且m ：x ′-y ′=4,所以(x +2y )-(3x +4y )=4, 整理得x +y +2=0，所以直线l 的方程为x +y +2=0.2.将双曲线C ：x 2-y 2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程. 解 由题意，得旋转变换矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒45cos 45sin 45sin 45cos =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， 任意选取双曲线x 2-y 2=1上的一点P （x 0,y 0），它在变换T M 作用下变为P ′(x ′0,y ′0), 则有M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-=')(22)(22000000y x y y x x ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='+'=)(22)(22000000x y y y x x ，又因为点P 在曲线x 2-y 2=1上，所以20x -20y =1,即有20x '0y '=1.∴所求的C ′方程为xy =21. 3.（2008·徐州模拟）已知M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321.（1）求逆矩阵M -1；（2）若矩阵X 满足MX =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，试求矩阵X .解 （1）设M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，依题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+d c d c b a b a 723723=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=+,172,03,072,13d c d c b a b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==1327d c b a ∴M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327. （2）∵矩阵X 满足MX =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，∴矩阵X =M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡49.4.（2008·苏州信息卷）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3113，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.解 由3113--λλ=（λ-3）2-1=0，解得λ1=2, λ2=4.设矩阵M 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x . 当λ1=2时,由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =2⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 可得⎩⎨⎧=-=+-00y x y x ,可见，α1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11是M 的属于λ1=2的特征向量.当λ2=4时，由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =4⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 可得,⎩⎨⎧=+=+00y x y x ,可见，α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11是M 的属于λ2=4的特征向量.回顾总结知识 方法 思想课后作业一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 .①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000答案 ①2.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a +b = . 答案 33.在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 .答案 （2，5）4.若直线x -y -4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a ,b 的值分别为 .答案 0，25.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 .答案 （-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y =x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 . 答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02210 7.若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡133b a 把直线l :2x +y -7=0变换成另一直线l ′:9x +y -91=0,则a = ,b = .答案 0 -18.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 .答案 k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32和k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，（k ≠0）二、解答题9.试求曲线y =sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021.解 MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20021，即在矩阵MN 变换下⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x 221，则21y ′=sin2x ′,即曲线y =sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y =2sin2x . 10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l :x -y +1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程.解 设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88，故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a 联立以上两方程组解得a =6,b =2,c =4,d =4,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426.设点（x ，y ）是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为（x ′,y ′），则⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426，即x =41x ′-81y ′,y =-41x ′+83y ′, 代入直线l 的方程后并化简得x ′-y ′+2=0,即x -y +2=0.所以变换后的直线方程为x -y +2=0.11.（2008·如东质检）已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ，其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）.（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及特征向量.解（1）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-30得a +1=-3⇒a =-4.（2）由（1）知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411则矩阵A 的特征多项式为f （λ）=1411--λλ=（λ-1）2-4=λ2-2λ-3 令f (λ)=0,得矩阵A 的特征值为-1或3.设矩阵A 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，当λ=-1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =(-1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，即⎩⎨⎧-=+--=-y y x x y x 4,所以y =2x . ∴矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21.当λ=3时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =3⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ,即⎩⎨⎧=+-=-y y x xy x 343,所以2x +y =0. ∴矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21.12.（2008·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.解 设P （x 0,y 0）是椭圆上任意一点，点P （x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(0x ',0y '),则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ，即⎩⎨⎧='=',,20000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=.,20000y y x x 又因为点P 在椭圆上，故420x +20y =1,从而(0x ')2+(0y ')2=1.所以曲线F 的方程为x 2+y 2=1. 13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，求特征值及特征向量.解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)=3421----λλ.令f (λ)=0,即λ2-4λ-5=0,得λ1=-1, λ2=5,所以矩阵A 的特征值为λ1=-1, λ2=5. 将λ1=-1代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)3()4(0)2()1(y x y x λλ. ①，即⎩⎨⎧=--=--044022y x y x ,得x =y ,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x , 其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡11为矩阵属于特征值λ=-1的特征向量.同样，将λ1=5代入二元一次方程组①，则⎩⎨⎧=+-=-024,024y x y x 得y =2x ,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x 2，其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡21为矩阵属于特征值λ=5的特征向量. 14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11. （1）求矩阵M ；（2）求M2 008e 2.解 （1）设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=4⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡128，故⎩⎨⎧=+=+1232832d c b a . 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=（-1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，故⎩⎨⎧=--=-11d c b a . 联立以上两个方程组，解得a =1,b =2,c =3,d =2,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321. （2）M2 008e 2=λ20082e 2=（-1）2 008⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11.高三数学（理）一轮复习学案 第十四编 系列4选讲 总第69期§14.1 矩阵与变换班级 姓名 等第基础自测1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14= .2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = .3.设a ,b ∈R ,若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：x +y -1=0变成为直线m :x -y -2=0，则a = ，b = .4.先将平面图形作关于直线y =x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .5.设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB =BA ，则k = .例题精讲例1 已知变换T 把平面上的点A （2，0），B （3，1）分别变换成点A ′(2,1),B ′(3,2)，试求变换T 对应的矩阵M .例2 已知O （0，0），A （2，1），O ，A ，B ，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）把正方形OABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到正方形AB ′C ′O ′，求B ′，C ′，O ′三点的坐标.例3 试从几何变换的角度求AB 的逆矩阵.（1）A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4001；（2）A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110.例4 已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）. （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系.巩固练习1.二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）. （1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -y =4,求l 的方程.2.将双曲线C ：x 2-y 2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程.3.已知M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321.（1）求逆矩阵M -1；（2）若矩阵X 满足MX =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，试求矩阵X .4.已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3113，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.回顾总结 知识 方法 思想高三数学（理）一轮复习作业 第十四编 系列4选讲 总第69期§14.1 矩阵与变换班级 姓名 等第一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 .①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦⎤⎢⎣⎡10002.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a +b = . 3.在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 .4.若直线x -y -4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a ,b 的值分别为 .5.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 .6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y =x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .7.若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡133b a 把直线l :2x +y -7=0变换成另一直线l ′:9x +y -91=0,则a = ,b = .8.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 .二、解答题9.试求曲线y =sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021.10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l :x -y +1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程.11.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ，其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）.（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及特征向量.12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，求特征值及特征向量.14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11. （1）求矩阵M ；（2）求M2 008e 2.高三数学（理）一轮复习教案 第十四编 系列4选讲 总第70期§14.2 坐标系与参数方程基础自测1.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为 . 答案 x 2+(y -2)2=42.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty tx 2221(t 为参数)上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为 .答案 （-3，6）或（5，-2）3.过点A （2，3）的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=t y tx 232（t 为参数），若此直线与直线x -y +3=0相交于点B ，则|AB |= . 答案 254.直线⎩⎨⎧-=+-=t y t x 12(t 为参数)被圆（x -3）2+(y +1)2=25所截得的弦长为 .答案 825.若直线x +y =m 与圆⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos m y m x (ϕ为参数，m ＞0)相切，则m 为 .答案2例题精讲例1 将极坐标方程sin θ=31化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线. 解 由sin θ=ρy ,ρ=22y x +,得sin θ=ρy =22y x y +=31.则y ＞0,平方得x 2+y 2=9y 2, 即y 2=81x 2,y =±88x ,因此，它表示端点除外的两条射线： y =88x (x ＞0)和y =-88x (x ＜0). 例2 在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线l 的极坐标方程.解 如图所示，设M （ρ，θ）为直线l 上的任意一点，则OM =ρ,∠MOC =θ. 过点A ，M 作极轴的垂线AB ，MC 交极轴与B ，C 两点.∵l ∥Ox ，∴MC =AB .则OA =6，∠AOB =6π. 所以MC =AB =3.由sin θ=OM MC =ρ3,得ρsin θ=3. 所以ρsin θ=3为所求的直线l 的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 232,211（t 为参数）；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 2,12（t 为参数）；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 1,1（t 为参数）； （4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x （θ为参数）.解 （1）由x =1+21t 得，t =2x -2.∴y =2+23(2x -2).∴3x -y +2-3=0,此方程表示直线. （2）由y =2+t 得,t =y -2，∴x =1+（y -2）2.即(y -2)2=x -1,方程表示抛物线.（3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11∴①2-②2得，x 2-y 2=4,方程表示双曲线.（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5cos 4sin y x θθ①2+②2，得251622y x +=1表示椭圆. 例4 （2008·盐城调研）（10分）求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长.解：将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ分别化为普通方程：3x +4y +1=0,x 2+y 2-x +y =0, 5分圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛-21,21半径为22，圆心到直线的距离d =101,弦长=222d r -=2100121-=57. 10分巩固练习1.在极坐标系中，已知三点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π、N （2，0）、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π.（1）将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； （2）判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.解 （1）由公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得M 的直角坐标为(1,-3);N 的直角坐标为（2，0）；P 的直角坐标为（3，3）. （2）∵k MN =123-=3，k NP =2303--=3.∴k MN =k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上. 2.求圆心在A ⎪⎭⎫⎝⎛6,πa （a ＞0），半径为a 的圆的极坐标方程.解 如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点（点O ，B 除外），则OM =ρ，∠MOx =θ.① ②① ②连结BM ，OB =2a ，∠MOB =θ-6π. 在直角三角形OBM 中， cos ∠MOB =OB OM =a 2ρ=cos （θ-6π），即ρ=2a cos(θ-6π).(*) 经检验，O （0，32π），B （2a ，6π）满足方程（*）， 所以ρ=2a cos （θ-6π）为所求的圆的极坐标方程. 3.（2008·栟茶模拟）将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x (θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.解 y =4cos2θ=4-8sin 2θ,由x =3sin 2θ,得sin 2θ=3x .∴y =4-38x ，即8x +3y -12=0. ∵x =3sin 2θ≥0，∴所求普通方程为8x +3y -12=0 (x ≥0).它表示一条射线.4.已知经过点M （-1，1），倾斜角为4π的直线l 和椭圆2422y x +=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长度及点M （-1，1）到A ，B 两点的距离之积.解 直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221,221(t 为参数)，代入椭圆的方程，得2221422122⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t =1.即3t 2+22t -2=0,解得t 1=-2,t 2=32.所以，由参数t 的几何意义，得 |AB |=|t 1-t 2|=322--=324,|MA |·|MB |=|t 1t 2|=32. 回顾总结知识 方法 思想课后作业一、填空题1.已知点P （x ,y ）在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x (θ为参数)上，则x y的取值范围为 .答案 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-33,33 2.已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=6π，直线l 的参数方程为 . 答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2112313.极坐标系中，圆ρ=10cos ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ3的圆心坐标为 .答案 ⎪⎭⎫⎝⎛3,5π4.点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为 . 答案 （2，-3π） 5.已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 . 答案 2或16.已知2x 2+3y 2-6x =0 （x ,y ∈R ），则x 2+y 2的最大值为 . 答案 97.从极点O 作直线与另一直线l ∶ρcos θ=4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP =12，则点P 的轨迹方程为 . 答案 ρ=3cos θ8.过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,210作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N ，则|PM |·|PN |的最小值为 . 答案43 二、解答题9.（2008·江苏，21）在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ,y )是椭圆32x +y 2=1上的一个动点，求S =x +y 的最大值. 解 由椭圆32x +y 2=1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos 3y x (ϕ为参数)， 可设动点P 的坐标为（3cos ϕ,sin ϕ）,其中0≤ϕ＜2π.因此，S =x +y =3cos ϕ+sin ϕ=2·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕsin 21cos 23=2sin （ϕ+3π）. 所以当ϕ=6π时，S 取得最大值2. 10.（2008·宁夏，23）已知曲线C 1：⎩⎨⎧==,sin ,cos θθy x (θ为参数)，曲线C 2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222t y t x (t 为参数).（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C ',2C '.写出1C ',2C '的参数方程.1C '与2C '公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解 (1)C 1是圆,C 2是直线.C 1的普通方程为x 2+y 2=1,圆心C 1(0,0),半径r =1. C 2的普通方程为x -y +2=0.因为圆心C 1到直线x -y +2=0的距离为1,所以C 2与C 1只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为1C ': ⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 21,cos θθy x (θ为参数), 2C ': ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 42,222(t 为参数), 化为普通方程为1C ':x 2+4y 2=1, 2C ':y =21x +22, 联立消元得2x 2+22x +1=0,其判别式Δ=(22)2-4×2×1=0,所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点,和C 1与C 2公共点的个数相同. 11.（2008·江苏信息卷）经过曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x (θ为参数)的中心作直线l :⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33（t 为参数）的垂线，求中心到垂足的距离. 解 由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x 消去参数θ，得(x -3)2+y 2=9.曲线C 表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆.由直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33,消去参数t ,得y =33x .表示经过原点，倾斜角为30°的直线.如图,在直角三角形OCD 中，OC =3，∠COD =30°， 所以CD =23.所以中心到垂足的距离为23. 12.求圆心为A （2，0），且经过极点的圆的极坐标方程. 解 如图所示，设M （ρ，θ）为圆上的任意一点 （点O ，B 除外），则OM =ρ，∠MOx =θ. 连结BM ，在直角三角形OBM 中， cos θ=OB OM =4ρ，即ρ=4cos θ.（*） 经检验，O （0，2π），B （4，0）满足方程（*）， 所以ρ=4cos θ为所求的圆的极坐标方程.13.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位. （1）x =ρcos θ,y =ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x .即x 2+y 2-4x =0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y =0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y =-x .14.设点O 为坐标原点，直线l :⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22422(参数t ∈R ）与曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==μμ442y x （参数μ∈R ）交于A ，B 两点.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （2）求证：OA ⊥OB . （1）解 直线l 的普通方程为：x -y -4=0.曲线C 的普通方程为：y 2=4x .（2）证明 设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,42x y x y 消去y ,得x 2-12x +16=0,∴x 1+x 2=12,x 1x 2=16,∴k OA ·k OB =2121x x y y =2121)4)(4(x x x x --=21212116)(4x x x x x x ++-=-1,∴OA ⊥OB .高三数学（理）一轮复习学案 第十四编 系列4选讲 总第70期§14.2 坐标系与参数方程班级 姓名 等第基础自测1.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为 .2.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=t y tx 2221(t 为参数)上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为 .3.过点A （2，3）的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=t y tx 232（t 为参数），若此直线与直线x -y +3=0相交于点B ，则|AB |= .4.直线⎩⎨⎧-=+-=t y t x 12(t 为参数)被圆（x -3）2+(y +1)2=25所截得的弦长为 .5.若直线x +y =m 与圆⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos m y m x (ϕ为参数，m ＞0)相切，则m 为.例题精讲例1 将极坐标方程sin θ=31化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线.例2 在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线l 的极坐标方程.例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,211（t 为参数）；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 2,12（t 为参数）；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 1,1（t 为参数）；（4）⎩⎨⎧==θθcos 5sin 4y x （θ为参数）.例4求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长.巩固练习1.在极坐标系中，已知三点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π、N （2，0）、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32π.（1）将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； （2）判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.2.求圆心在A ⎪⎭⎫⎝⎛6,πa （a ＞0），半径为a 的圆的极坐标方程.3.将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x (θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.4.已知经过点M （-1，1），倾斜角为4π的直线l 和椭圆2422y x +=1交于A ，B 两点，求线段AB 的长度及点M （-1，1）到A ，B 两点的距离之积.回顾总结 知识 方法 思想高三数学（理）一轮复习作业 第十四编 系列4选讲 总第70期§14.2 坐标系与参数方程班级 姓名 等第一、填空题1.已知点P （x ,y ）在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x (θ为参数)上，则x y的取值范围为 .2.已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=6π，直线l 的参数方程为 . 3.极坐标系中，圆ρ=10cos ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ3的圆心坐标为 .4.点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为 .5.已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 .6.已知2x 2+3y 2-6x =0 （x ,y ∈R ），则x 2+y 2的最大值为 .7.从极点O 作直线与另一直线l ∶ρcos θ=4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP =12，则点P 的轨迹方程为 .8.过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,210作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N ，则|PM |·|PN |的最小值为 . 二、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ,y )是椭圆32x +y 2=1上的一个动点，求S =x +y 的最大值.10.已知曲线C 1：⎩⎨⎧==,sin ,cos θθy x (θ为参数)，曲线C 2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222t y t x (t 为参数).（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C ',2C '.写出1C ',2C '的参数方程. 1C '与2C '公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由.11.经过曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x (θ为参数)的中心作直线l :⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 33（t 为参数）的垂线，求中心到垂足的距离.12.求圆心为A （2，0），且经过极点的圆的极坐标方程.13.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. （1）把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.14.设点O 为坐标原点，直线l :⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22422(参数t ∈R ）与曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==μμ442y x （参数μ∈R ）交于A ，B 两点.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （2）求证：OA ⊥OB .。
高中文科数学选修学哪几本
高中文科数学选修学哪几本?
必学部分：必修1、必修2、必修3、必修4、必修5、选修1-1、选修1-2；选学部分：选修4-1（几何证明选讲）、选修4-2（矩阵与变换）、选修4-4（坐标系与参数方程）、选修4-5（不等式选讲）
1、高中文科数学和理科数学有什么区别：内容虽然文理科数学英语语文都要学，但
是文科数学比理科简单。
文科数学比理科少一本选修书，当然学习的内容也就少了。
文科和理科的5本必修书
内容基本一样，但是学习要求不同，同样的内容文科只需要了解，而理科则需要掌握并运用。
选修书理科本来就比文科多一本，而且理科的内容也比文科的难学一些。
2、高中文科数学和理科数学有什么区别：试卷不同考试的时候平时的考试以及高考
文理数学卷子是不一样的，就如同学习内容一样，文科数学卷子比理科数学卷子简单一些，具体简单多少大家可以去看一下今年的文理数学试题。
3、文科和理科有什么区别：志愿选择高考填志愿的时候，不管是院校还是专业，理
科生都比文科生的选择多。
据统计文科院校比例是3分之一，而理科是三分之二。
文科数学，总体不难，没有太过繁琐的运，技巧公式也不多！所以听我的话，把所有
的资料都扔了吧！对了，留一本最近十年的高考真题！剩下的时间抓课本，你是文科生，
记忆能力比较强，把三年的数学课本先认真看一遍，课后习题不要做，只看例题，明白吗？然后找个本子，把所有的定义、定理、定律、公式抄下来！天天看，天天记，公式一定要
背得很熟，直到默写下来！最后再看几遍书，只看例题，明白吗？离考试还有一个月，把
十年真题看一遍，再做一遍，就结束了！祝你考到90分，考试只做会的，其他的留空白，明白吗！
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。
这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。
坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。
参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。
参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。
通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。
下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。
1.坐标系：在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。
其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。
这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。
例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。
通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。
此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。
在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。
类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。
2.参数方程：参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。
它通常以参数t 的形式表示。
例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。
我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。
与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。
例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。
参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。
然而，参数方程也有一些缺点。
比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。
此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。
数学：浙江省自选模块课件之二：矩阵与变换和坐标系与参数方程
欢迎大家来到数学自选模块课程的第二部分！本节课我们将学习有关矩阵与 变换以及坐标系与参数方程的基础知识和应用。让我们一起探索数学世界的 奇妙之处吧！
矩阵与变换的基础知识
矩阵的定义和运算
学习如何定义和运算矩阵，为后续的变换提 供基础。
矩阵的逆和行列式的计算方法
学习如何计算矩阵的逆和行列式，应用于求 解线性方程组和变换的可逆性。
向量的线性变换和矩阵的表示方法
探索向量经过线性变换的过程，以及如何使 用矩阵来表示这些变换。
特征值和特征向量的概念和求法
了解特征值和特征向量的含义，以及如何计 算它们。
矩阵与变换的应用
矩阵运算在图形变换中的应用
观察矩阵运算如何影响图形的变换，如旋转、 缩放和平移。
2
和坐标变换
了解三维坐标系和球坐标系的特点，
以及它们之间的坐标变换。
3
常见曲线的参数方程和性质
4
研究常见曲线（如直线、圆和抛物线） 的参数方程以及它们的特性。
平面直角坐标系和极坐标系的 概念和坐标变换
学习平面直角坐标系和极坐标系的定 义，并探索它们之间的坐标变换。
参数方程的定义Biblioteka 解法探索参数方程的概念和解法，用于描 述曲线和曲面上的点。
线性变换与仿射变换的概念及其应用
了解线性变换和仿射变换的概念，并探索它们 在计算机图形学中的重要应用。
矩阵的对角化和线性变换的可对角化 条件
研究矩阵对角化的条件，并了解对角化对线性 变换的重要意义。
矩阵及其逆的几何意义和运用
揭示矩阵和逆矩阵在几何学中的直观解释和应用。
坐标系与参数方程的基础知识
1
坐标系和参数方程
坐标系和参数方程介绍坐标系和参数方程是数学中常用的工具，它们用来描述和分析平面和空间中的几何问题。
坐标系是一种用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。
在本文中，我们将深入探讨这两个概念的原理、应用以及它们在几何问题中的作用。
坐标系：呈现空间位置坐标系是描述平面或空间中点的位置的一种方法。
它由一组坐标轴以及原点组成。
在平面坐标系中，通常有两条垂直的轴，分别称为x轴和y轴。
在三维空间中，可以有三条互相垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最常见的坐标系之一。
在二维平面中，它由x轴和y轴组成，原点为坐标轴的交点。
在三维空间中，笛卡尔坐标系由x轴、y轴和z轴组成，原点为坐标轴的交点。
我们可以使用有序对或三元组来表示点的位置。
极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系，它用来描述平面上的点。
在极坐标系中，一个点的位置由它到原点的距离（称为极径）和与x轴的夹角（称为极角）来表示。
极径通常用正实数表示，极角可以使用度或弧度来度量。
其他坐标系除了笛卡尔坐标系和极坐标系，还有其他一些坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。
不同的坐标系适用于不同的问题和计算方法。
理解这些坐标系及其转换关系对于解决几何问题非常有帮助。
参数方程：描述曲线和曲面参数方程是一种用参数表示几何对象坐标的方式。
它通常用于描述曲线和曲面。
一个参数方程可以由参数的函数构成，每个参数对应一个坐标。
曲线的参数方程对于平面曲线，参数方程可以用参数t表示曲线上的点。
例如，对于直线y = 2x + 3，可以将x表示为t，然后通过参数方程x = t，y = 2t + 3来描述直线上的点。
通过改变参数t的值，我们可以获得直线上的所有点。
曲面的参数方程对于曲面，参数方程可以用两个参数u和v表示曲面上的点。
例如，球体可以使用参数方程x = r * sin(u) * cos(v)，y = r * sin(u) * sin(v)，z = r * cos(u)来表示，其中r是球的半径，u和v是参数的取值范围。
坐标系与参数方程(知识总结)
坐标系与参数方程【要点知识】一、坐标系1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系〔1〕极坐标系的概念如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样我们就建立了一个极坐标系.〔2〕极坐标设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. 〔3〕极径、极角的取值范围一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈.3.极坐标与直角坐标之间的互化如下图，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：〔ⅰ〕直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； 〔ⅱ〕极坐标化直角坐标：222x y ρ=+，tan yxθ=〔0x ≠〕.【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程〔1〕圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a 〔0a >〕，半径为a 的圆的极坐标方程为2cos a ρθ=；〔2〕直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是4π的直线l 的极坐标方程为4πθ=和54πθ=.5.柱坐标系与球坐标系 〔1〕柱坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ〔0ρ≥，02θπ≤<〕表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ〔z R ∈〕表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标，记作(,,)P z ρθ，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式： 〔2〕球坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，连结OP ，记OPr =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系〔或空间极坐标系〕；相应地，把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，记作(,,)P r ϕθ，其中0r ≥，0ϕπ≤≤，02θπ≤<.【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：cos cos cos sin sin x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在这条曲线上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，那么我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，由此得到的方程组()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是该曲线的参数方程.【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x ，y 的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程〔1〕圆的参数方程：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕；〔2〕椭圆的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕；〔3〕双曲线的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕，这里，sec ϕ是ϕ的正割函数，并且1sec cos ϕϕ=； 〔4〕抛物线的参数方程：以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛物线22y px =〔0p >〕〔不包括原点〕的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔α为参数〕；〔5〕直线的参数方程：过点000(,)M x y ，倾斜角为α〔2πα≠〕的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕；〔6〕渐开线的参数方程：(cos sin )(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕；〔7〕摆线的参数方程：(sin )(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕.。
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程：矩阵表示的变换
这说明：平行直线仍变成平行直线。同一方向上长度 相等的线段仍变成同一方向上长度相等的线段。
这些性质是否对由其他矩阵决定的线性变换也成立？ 可以更换矩阵重新画图观察。在观察的基础上，进行理论 证明。
谢谢
矩阵表示的变换
第1章讨论的旋转、反射、位似、伸缩、投影变换都 是线性变换，都可以由矩阵表示。
第1章讨论的只是一些特殊的线性变换。它们的几何 性质各不相同。有的保持图形的形状和大小不变，变换前 后的图形全等，如旋转和反射，有的虽然改变图形的大小， 但保持形状不变，变换前后的图形相似，如位似变换。伸 缩变换改变了图形的形状，将圆变成椭圆，但仍将直线变 成直线，投影变换将整个平面变到一条直线，将某些直线 变成一个点。
画出这些直线、圆以及曲线图形的像，如下图所示。
观察并比较变换前后的图形，看有什么变化，是否有什么 性质保持不变。
原来的每个正方形变成什么图形？所画的曲线图形变成什 么图形？
由于所有的点的y坐标不变，平行或重合于x轴的直线y=a 仍变为自身。
由变换式①中可解出x=x'-y=x'-y'，因此，平行于y轴的直 线x=a变成x'-y'=a，即y'=x'-a，仍是一条直线，仍然过点(a,0)， 但斜率为1，倾斜角为45°。
但这些直线x=a并非沿顺时针方向旋转45°，而是由于直 线上的点P(x，y)向右(当y>0时)或向左(当y<0时)平行移动到 P' (x+y，y)而导致的直线倾斜。原来的边平行于坐标轴的正 方形都被变成平行四边形，圆被变成椭圆。而曲线图形也被 相应地向右倾斜变形。
为了验证这个变换是否将直线变成直线，求任何一条直 线Ax+By+C=0在这个变换下的像的方程。
矩阵与变换
矩阵与变换五年高考真题分类汇编：矩阵与变换 一、填空题1. （2014·湖北高考理科·Ｔ16）（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 消去t 得)0,0(322≥≥=y x y x，由2=ρ得422=+y x ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+222234yx y x 得1C 与2C 的交点坐标为)1,3(.答案：)1,3(【误区警示】解答本题时容易出现的问题是消去⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx 中的参数t 时出现错误。
二、解答题2.（2014·福建高考理科·Ｔ21）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A.（1）求矩阵A ；（2）求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【解析】(1)∵矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵，且1221130A -=⨯-⨯=≠，…2分∴21211331212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭；………………………………………………3分 (2)矩阵1A -的特征多项式为2()43(1)(3)f 2λ--1λ==λ-λ+=λ-λ--1λ-2，令()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或32λ=，……………………5分∴111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，………………6分211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值31λ=的一个特征向量.…………………7分3．（2013•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －20 3. 4．（2013•福建高考理）已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． ①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 'y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎨⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.②由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎨⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 5．（2012•江苏高考）已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 6．（2012•福建高考理）设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫a 0b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 01 1，A 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1 01 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 02 1， 所以|A2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1 0－2 1. 7．（2011•福建高考理）设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 00b (其中a ＞0，b ＞0)． (Ⅰ)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (Ⅱ)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(Ⅰ)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2， 则MM－1＝⎝⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ⎝⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 00 13.(Ⅱ)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎝⎛⎭⎪⎫a 00 b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a ＞0，b ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.8．（2011•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎨⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2.。
矩阵与变换坐标系与参数方程
C1 的普通方程为 y2＝x(x≥0，y≥0)， C2 的普通方程为 x2＋y2＝2.
由yx22＝＋xy，2＝x2≥0，y≥0， 得xy＝＝11.， ∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)
4．(2012·高考福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极
又圆 C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径为 r＝2，
圆心到直线 l 的距离 d＝|2
3－3 3－2 3＋9
3|＝32<r，故直线 l 与圆
C 相交．
热点一 矩阵与变换
设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长 2 倍，纵坐标伸长 3 倍 的伸压变换．求逆矩阵 M－1 以及椭圆x42＋y92＝1 在 M－1 的作用下的新 的曲线方程．
(1)(2012·江南十校联考)在极坐标系中，直线 ρsinθ＋π4＝2 被圆 ρ＝4 所截得的弦长为________．
[解析] 依题意，题中的直线与圆的直角坐标方程分别是 x＋y －2 2＝0，x2＋y2＝16，则圆心(0,0)到直线 x＋y－2 2＝0 的距离等 于2 22＝2，因此该直线被圆截得的弦长等于 2 16－22＝4 3.
[思路点拨] 通过变换矩阵找出所求曲线上的点的坐标与已知 曲线上的点的坐标之间的关系，然后运用动点转移法得到变换后曲 线的方程．
[解析]
1 由题意，得 M－1＝2
0
0 1，设椭圆上任一点(x0，y0)，它 3
1
对
应
的
变
换
下
的
坐
标
为
(x′0
，
y′0)
，
则
2
0
0 1
设 λ2＝－1 对应的一个特征向量为 α＝yx， 则－ －22xx－ －22yy＝ ＝00， ， 得 x＝－y， 令 x＝1，则 y＝－1. 所以矩阵 M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为 α＝ －1 1.
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第1讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程. 解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210. (2)设P (x 1，y 1)是曲线C 1上任意一点，变换后对应的点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤021 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， 所以⎩⎨⎧x ＝2y 1，y ＝x 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ，y 1＝12x .因为P (x 1，y 1)在曲线C 1上，所以x 218＋y 212＝1，从而x 2＋y 2＝8，即为曲线C 2的方程.2.(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 -2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1.3.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2消去t . 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，∴当s ＝2时，d 有最小值45＝455. 4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝1y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837. 故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.考 点 整 合1.矩阵的乘法与逆矩阵 (1)(2)若二阶矩阵A ，B 满足AB ＝BA ＝E (E 为二阶单位矩阵)，则称A 是可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵，记为B ＝A －1.2.矩阵对应的变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 对应的变换T ：(x ，y )→(x ′，y ′)满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . 3.二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设λ是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则有M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ-a -b -c λ-d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式. (3)如果λ是二阶矩阵M 的特征值，则λ是M 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0，此时将λ代入⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy 可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，它即为M 的属于λ的一个特征向量.4.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)， 则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.5.直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量. 6.圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).热点一 二阶矩阵与平面变换【例1】 (2017·盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程. 解 设曲线C 上任一点为(x ，y )， 经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y . 由x 204＋y 202＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4.探究提高 解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.【训练1】 已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数b 的值.解 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 10 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为 P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 故⎩⎨⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1.即曲线C 2方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4. 所以b ＝±1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法【例2】 (2017·徐州调研)已知点P (3，1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1).试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1.解 依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－1， 所以⎩⎨⎧3a ＋2＝5，3b －1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1.因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1， 所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1. 探究提高 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.【训练2】 二阶矩阵M 对应的变换T M 将曲线x 2＋x －y ＋1＝0变为曲线2y 2－x ＋2＝0，求M －1.解 设曲线2y 2－x ＋2＝0上一点P (x ，y )在M －1对应变化下变成P (x ′，y ′)， 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，⎩⎨⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，代入x 2＋x －y ＋1＝0得，方程(ax ＋by )2＋(ax ＋by )－(cx ＋dy )＋1＝0，即b 2y 2＋(a －c )x ＋(b －d )y ＋2abxy ＋a 2x 2＋1＝0，与方程y 2－x2＋1＝0比较得，a＝0，b ＝1，c ＝12，d ＝1或a ＝0，b ＝－1，c ＝12，d ＝－1.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1 12 －1，或M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 1 12 1. 热点三 特征值与特征向量【例3】 (2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值. 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ，则⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4 ＝(λ－6)(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M 的另一个特征值为2.探究提高 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法. 【训练3】 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0， 所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 －13－13 23. (2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.热点四 曲线的极坐标方程[命题角度1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例4－1】 在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程.解 将圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 再将C 化成极坐标方程， 得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5， 化简得ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程.探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. [命题角度2] 曲线的极坐标方程的应用【例4－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且OM ·OP ＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知OP ＝ρ，OM ＝ρ1＝4cos θ.由OM ·OP ＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知OA ＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12OA ·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件. 【训练4】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1. 热点五 参数方程[命题角度1] 参数方程与普通方程的互化【例5－1】 (2015·福建卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.[命题角度2] 直线的参数方程【例5－2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求PA ＋PB . 解 法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.法二 (1)同法一.(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋5.由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5 或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5. 不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5).故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2.探究提高 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).【训练5】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.1.(2015·江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎨⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A 的另一个特征值为1.2.(2014·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.解 由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎨⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72. 3.(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 4.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数). (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0.设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17.∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17.若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8.若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16.综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.5.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.6.(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程.解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4，0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.。