二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法

从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程

''0y xy -=的通解

解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……

为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有

''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=⋅+⋅+

+-+++

将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到

x -∞<<∞2210

a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=

或一般的可推得

32356(31)3k a a k k =

⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，

1

3134673(31)

k a a k k +=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，

320k a +=

其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：

36

347

01[1][]

232356

2356(31)33434673(31)

n

x x x x x y a a x n n

n n =+++

++++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+

这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个

任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到

00a =， 11a =，

因而

2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+⋅+

+-+

将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到

21422

0,1,0,

,,1

n n a a a a a n -====

-

因而

5678911

11,0,,0,,2!63!4!

a a a a a =

=====

最后得

21111

(1)!!

k a k k k +=

⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。

将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到

5

213

2!

!k x x y x x k +=+++

++

2

4

22

(1),2!

!

k x x x x x xe k =+++

++=

这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方

程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

考虑二阶齐次线性微分方程

22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++= 及初值条件00()y x y =及'

'00()y x y =的情况。

不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。

定理10 若方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=中系数()p x 和()q x 都能展

成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=有形如

n n n y a x ∞

==∑

的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。

在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程

22222()0d y dy

x x x n y dx dx

++-= 这里n 为非负常数，不一定是正整数，

（22()()0d y dy p x q x y dx dx ++=）在此1

()p x x

=，22()1n q x x =-，显然它不满足定理

10 的条件，因而不能肯定有形如

0n

n n y a x ∞

==∑的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。

定理11 若方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为

||x R <，若00a ≠，则方程22()()0d y dy

p x q x y dx dx

++=有形如0n

n n y x

a x α

∞

==∑ 即

n n n y a x α∞

+==∑

的特解，α是一个特定的常数，级数

0n n n y a x α

∞

+==∑也以||x R <为收敛区间。若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-，

但0m

a ≠，则引入记号m βα=+，k m k

b a +=，则

n

m

k

k n m k k n m

k k y x

a x x

a x x

b x α

αβ

∞

∞

∞

++======∑∑∑， 这里00m b a =≠，而β仍为待定常数。