六年级寒假班-第1讲：有理数-学生版

有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解．1、 正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量． 2、 有理数的概念整数和分数统称为有理数． 3、 有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数． 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲【例1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？（1）10元；（2）3.5元；（3）100-元；（4）0元．【例2】下列说法错误的是（）A．收入200元和支出300元是相反意义的量B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量【例3】下列说法中正确的是（）A．正有理数和负有理数组成了全体有理数B．在有理数中，零的意义仅表示没有C．所有的小数都是有理数D．0既不是正数也不是负数【例4】把下列各数填入它所属的圈内：10-，69， 1.7-，45，279，0，46%，0.76，23-，158．【例5】下列各数中，哪些是正数？哪些是整数？哪些是非负数？哪些是有理数？8-，0.126，0，227，()2--，4.5，12-，101.0101，π，20．例题解析正数负数【例6】回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【例7】改写下列各句，使其不含负数：（1）海平面上升了0.8-米表示_____________________；（2）公交车向北行驶了5-千米表示______________________．【例8】某市2016年元旦的最高气温为2C-︒，那么这天的最高气温比︒，最低气温为8C最低气温高______C︒．【例9】观察下列数列，填上空缺的数．（1）1，1-，2，2-，3，______，______，______；（2）1，2-，3，4-，5，______，______，______．【例10】在一次数学测验中，小智所在班的平均分为87分，把高于平均分的高出部分记为正，（1）小智得了94分，应记作多少分？（2）小智的同学小方得分被记作8-分，他的实际成绩是多少分？【例11】 某中学对初一男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数（1）这8名男生有几人达标？ （2）达标的百分比是多少？【例12】 若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9 : 15记为1-，10 : 45记为1等，依次类推，上午7 : 45应记为（ ）A ． 3.15-B ．3-C ． 2.15-D ．7.45-1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．【例13】 指出下列数轴上的的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数．模块二：数轴知识精讲例题解析【例14】 用数轴上的点分别表示4-，5，122-，3.2以及它们的相反数，并用“<”把它们连接起来．【例15】 下列各数中，哪些数是相等的？哪些数互为相反数？2.3，5-，112-，3210，4.5，5，112， 3.2-．【例16】 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示：（1）在数轴上作出它们的相反数；（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来．【例17】 以下叙述中，正确的是（ ）A ．正数和负数互为相反数B ．表示相反意义的量的两个数互为相反数C ．任何有理数都有相反数D ．任何有理数都有倒数【例18】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离为2个单位，则a =______．【例19】 数轴上有A ，B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A ，B 两点的距离为3个单位，求点B 对应的数．【例20】 如图，如果数a 到原点的距离是数b 到原点的距离的3倍，则数轴的原点可能是A ，B ，C ，D 四点中的哪些点？1、绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．【例21】 求1.3，7-，355，0，124-的绝对值．模块三：绝对值知识精讲例题解析【例22】 下列结论中，正确的是（ ）A ．一个数的相反数一定是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值一定是正数D ．一个数的绝对值的相反数一定是负数【例23】 绝对值小于3的整数有______个，分别为____________________．【例24】 已知3x =，那么x =______．【例25】 如图，a 、b 为数轴上两点表示的有理数，则在a b +，2b a -，a b -，b a -中，负数有几个？【例26】 判断题： （1）a a -=；（ ） （2）a a -=-；（ ）（3）a aaa=（0a ≠）；（ ） （4）若a b =，则a b =；（ ） （5）若a b =，则a b =；（ ） （6）若a b >，则a b >；（ ） （7）若a b >，则a b >；（ ） （8）若a b >，则b a a b -=-．（ ）【例27】 设数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，则b a a c c b -+++-化简后的结果为多少？【例28】 已知2x <-，求11x -+化简后的结果．【例29】 如果3a =，5b =，求a b a b +--的绝对值．【例30】 化简： （1）x ； （2）2x -； （3）424x x ++-．【习题1】 把下列各数填入它所属的圈内：17-，12，2-，914，107-，0.5， 2.32-，30-，101，2.333．随堂检测正整数负数正分数非负数【习题2】 填空：（1）某水库的水位上升3米，记作3+米，那么水位下降4米，记作______米； （2）如果规定向东走为正，那么走了5-千米的意义是__________________________； （3）如果20%+表示增加20%，那么5%-表示_________________；（4）时钟的分针顺时针方向旋转了90︒记作90-︒，那么逆时针方向旋转180︒记作______．【习题3】 判断：（1）整数包括正整数和负整数；（ ） （2）比正有理数小的数是负有理数；（ ） （3）a -一定是负数；（ ）（4）一个数的相反数的相反数是它本身．（ ）【习题4】 用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来．（1）3的相反数； （2）213的相反数； （3）23-的相反数的倒数；（4）0； （5）4-的绝对值； （6）4-的绝对值的相反数．【习题5】 求下列各数的绝对值： （1）25-；（2）0.35；（3）a （a < 0）； （4）3b （b > 0）； （5）2a -（a < 2）；（6）a b -．【习题6】 按一定规律填数：（1）16，8-，4，______，______，12-；（2）1，2，3-，4，5，6-，7，8，9-，_____，_____，…，_______(第2016个数)．【习题7】 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则在a b +、2b a -、b a -、a b -、2a +、4b --中，负数共有几个？【习题8】 3x -和2y +互为相反数，求x y +的值．【习题9】 a ，b ，c 三点在数轴上的位置如图所示：试判定a b a b -+，a b a b +-，a bca bc+-之间的大小关系．【习题10】如图所示，在数轴上有6个点，且AB = BC = CD = DE = EF，则与点C所表示的数最接近的整数是多少？【作业1】在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？4，5-，143，56-，99，0，0.31，125-， 2.02-．【作业2】填空：（1）如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数表示表示潜水艇的高度为______，鲨鱼的高度为______；（2）9点为基准，9点过半小时记作0.5+，则差半小时9点记作___________．【作业3】最大的负整数是______，最小的正整数是______，最小的自然数是______，倒数等于本身的数是______，相反数等于它本身的数是______．【作业4】比较两个有理数的大小：（1）0.33____13；（2）114-____127-；（3）4-____142-；（4）；a____1a（01a<<）；（5）3%____310；（6）2--____()2--；（7）172-____173-；（8）2-____13．课后作业【作业5】 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：求1a b -，1c b -，1a c -中最大的数．【作业6】 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图，则1c a c a b -+-+-化简后的结果是多少？【作业7】 已知a a =-，化简12a a ---．【作业8】 比较有理数a 和1a （0a ≠）的大小．【作业9】 化简：253x x ++-【作业10】 若29a =，87b =且a b a b +≠+，求a b -的值．。