结构力学矩阵位移法
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结构力学二7-矩阵位移法
简记为
e e
e
1
4ie
1
e
1e 2ie 2e 4ie
F k
2ie
---单元刚度方程 其中
k e称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
1
ie
e 1
e
F2e
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e e 4ie 2ie k k e 11 12 k e e 2 i 4 i k k e 21 22 e
F 4i 2ie
e 1 e e 1
e 2
ie
e 1
e
F2e
F
e 1
e 2
2
e F2e 2ie1e 4ie 2
1e
F
e
2e
F2e
e 1
F1 4ie 2ie 1 2 i 4 i F e 2 2 e
1
1/2
2
M-图(kN· m)
(2)乘大数法 若 i 0 ,则将总刚主对角 元素 kii 乘以大数N.
6kN.m
3kN.m
i1 1 i2 2
2 3
P3
1
4 2 0 1 6 2 12 4 3 2 P 0 4 8 3 3
4 2 0 1 / 2 1 0 F 2 4 1 / 4 1 2 1 / 4 0 8 4 1 / 4 2 3 2 F 4 8 0 1 1 1
q
练习: 求图示结构的等效结点荷载. q
1 2 3 4
1
2
e e
e
1
4ie
1
e
1e 2ie 2e 4ie
F k
2ie
---单元刚度方程 其中
k e称作单元刚度矩阵(简称作单刚)
1
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e 1
e
F2e
单元刚度矩阵中元素的物理意义
e e 4ie 2ie k k e 11 12 k e e 2 i 4 i k k e 21 22 e
F 4i 2ie
e 1 e e 1
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F
e
2e
F2e
e 1
F1 4ie 2ie 1 2 i 4 i F e 2 2 e
1
1/2
2
M-图(kN· m)
(2)乘大数法 若 i 0 ,则将总刚主对角 元素 kii 乘以大数N.
6kN.m
3kN.m
i1 1 i2 2
2 3
P3
1
4 2 0 1 6 2 12 4 3 2 P 0 4 8 3 3
4 2 0 1 / 2 1 0 F 2 4 1 / 4 1 2 1 / 4 0 8 4 1 / 4 2 3 2 F 4 8 0 1 1 1
q
练习: 求图示结构的等效结点荷载. q
1 2 3 4
1
2
结构力学之矩阵位移法
第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。
分别用位移法和矩阵位移法计算。
图12-1解：（1）位移法解•基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图c 所示。
这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。
•位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K•系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，l EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI EI EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得81Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI •解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl •由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。
（2）矩阵位移法解•对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
07结构力学 第七章 矩阵位移法(张晓萌)
0 24
0
0
0 500 0
0
500
0
24
0
32 24 0
64
24
§7.5 支承条件的引入和非结点荷载的处理
▪ 一 结构支承条件的引入 ▪ 方法：先处理法
后处理法 1.先处理法：在分析过程中，支承条件是在总刚形成之
前就考虑进去。
2.后处理法：在原始刚度矩阵形成之后，根据结构的支
承条件，对原始总刚和荷载列阵进行处理，从而得到引入了 支承条件的刚度方程。
M
PMi
(M
ij i
M
ik i
M
il i
)
0
矩阵向量形式，有
Pi Fiij Fiik Fiil
将与I相关的单元杆端力向量代入上式可得：
Pi
kiiij
iij＋kiijj
ij j
kiiik
iik＋kiikk
ik k
k iiil
iil＋k iill
il l
18
显然
ij i
ik i
Байду номын сангаас 500 0 0 512 24 0 12 24
0
24 0
32 24 24 128 0 24 32 500 0 0 512 0 24 12 0
103 24
0
0
12 24 0
512 24
0
500
0
0
24 32 24 24 128 24 0
32
12
0 24 12
23
（4）、将以上各单刚子块 对号入座即得总刚：
k1②1
K
k
② 21
0
0
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
结构力学教学课件-09矩阵位移法
实践应用
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
结构力学 矩阵位移法
K
e
1
e
K 2） 是对称矩阵 K 的对称性是指其元素有如下关系：
e e
k
e ( i )( j )
k
e ( j )(i )
（11－7）
这实际上是根据反力互等定理得 出的结论。
3）K 一般单元的是奇异矩阵 K的奇异性是指其行列式等于零，即
e e
K 0
e
（11－8）
直接计算式（11－6）的矩阵行列 式，便可验证上述结论。
（11－9）
此时单元刚度矩阵为
4 EI l e K 2 EI l 2 EI l 4 EI l
（11－10）
返回
在结构矩阵分析中，我们着眼于计 算过程的程序化、标准化和自动化。 因此只采用一种标准化形式—一般 单元的刚度矩阵（11－6），关于 单元刚度矩阵的各种特殊形式将由 计算机程序去自动形成。
图11—4
返回
u1 v1 u 2 v2 0
（a）
将式（a）代入式（11－4），即自动得出此特 殊单元的刚度方程如下：
M 1 M 2
e
4 EI 2 EI e l l 1 2 EI 4 EI 2 l l
K 由此可知， 不存在逆矩阵。也就是 说，根据单元刚度方程（11－5）， e 可以由杆端位移 推算出杆端力 F 且 F 的解是唯一解；但不能由杆端 力 F 反推出杆端位移 ， 可能无解， 如有解，则为非唯一解。
e e e e e e
为了避免混淆，我们把正反两个问 题再从数学提法、力法模型、解的 性质等方面作一对比。见下表：
首先，由杆端轴向位移 u1
e EA e F (u 1 u 2 ) l e e EA e F x2 (u 1 u 2 ) l e x1
e
1
e
K 2） 是对称矩阵 K 的对称性是指其元素有如下关系：
e e
k
e ( i )( j )
k
e ( j )(i )
（11－7）
这实际上是根据反力互等定理得 出的结论。
3）K 一般单元的是奇异矩阵 K的奇异性是指其行列式等于零，即
e e
K 0
e
（11－8）
直接计算式（11－6）的矩阵行列 式，便可验证上述结论。
（11－9）
此时单元刚度矩阵为
4 EI l e K 2 EI l 2 EI l 4 EI l
（11－10）
返回
在结构矩阵分析中，我们着眼于计 算过程的程序化、标准化和自动化。 因此只采用一种标准化形式—一般 单元的刚度矩阵（11－6），关于 单元刚度矩阵的各种特殊形式将由 计算机程序去自动形成。
图11—4
返回
u1 v1 u 2 v2 0
（a）
将式（a）代入式（11－4），即自动得出此特 殊单元的刚度方程如下：
M 1 M 2
e
4 EI 2 EI e l l 1 2 EI 4 EI 2 l l
K 由此可知， 不存在逆矩阵。也就是 说，根据单元刚度方程（11－5）， e 可以由杆端位移 推算出杆端力 F 且 F 的解是唯一解；但不能由杆端 力 F 反推出杆端位移 ， 可能无解， 如有解，则为非唯一解。
e e e e e e
为了避免混淆，我们把正反两个问 题再从数学提法、力法模型、解的 性质等方面作一对比。见下表：
首先，由杆端轴向位移 u1
e EA e F (u 1 u 2 ) l e e EA e F x2 (u 1 u 2 ) l e x1
结构力学课件 结构力学课件矩阵位移法nm
k 1 3 k 2 3 k 3 3 k 4 3 k 5 3 k 6 3
k 1 4 k 2 4 k 3 4 k 4 4 k 5 4 k 6 4
1 , k k 1
0 0 0 0 0 1
α=90°
k
e
T
0 1 T 0 0 0 0
T
k T
e
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
§10-4 整体分析
本节的整体分析是在单元分析的基础上，综合考虑静力、几何和物理三方面
6 EI l
2
i i
uj
12 EI l
3
vj vj
6 EI l
2
j
Mi X
6 EI l
2
4 EI l EA l
6 EI l
2
2 EI l
j
j
EA l
3
ui
Yj M
12 EI l
2
vi
6 EI l
2
i
12 EI l
2 3
vj
6 EI l
2
j
6 EI l
j
vi
2 EI l
i
6 EI l
vj
4 EI l
j
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
F 1 e F 2 F 3 F 4 F 5 F 6
EA l 0 0 EA l 0 0
F
ke
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
返回目录
作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
结构力学-矩阵位移法
Fxe1, Fye1, u1e , v2e , Fxe2 , Fye2 , u2e , v2e
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 分别绘在结上，如图b 所示。
图17-12 返回 下一张 上一张 小结
• 第六节 矩阵位移法解题步骤
• 具体步骤如下：
• 1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。 • 2）选择结构坐标系及局部坐标系。 • 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e
j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• 2）在 B、C 两点没有附加约束的情况
• 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
• 大小相等方向相反的力和力矩，如图
• 7-10（c）所示。
• 3） （a）=（b）+（c）
• 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
• 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
• 和，但方向相反。
•
图7-10
返回 下一张 上一张 小结
x
结构力学 第三十九、四十讲矩阵位移法
Y P1 4kN
M
4kN M P1 5kN m
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
因此
0
12kN
FP
(1)
＝10k0N
m
12kN
10kN m
0
4kN
(2) 5kN m
Y P1
M P1
X P2
Y P2
M P2 )T
第十一章 矩阵位移法
在表11-1中给出了几种典型荷载所引起的固端约束
力 FP。将e 固端约束力 反F号P，e 即得到单元等效结点
荷载 （局P部坐e 标系）：
(e)
(e)
Pe FP
（11－55）
2、单元的等效结点荷载 Pe（(e)整体坐标系）
第十一章 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
目录
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程 §11-6 计算步骤和应用举例
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程
一、整体刚度方程的意义
F [K] （11-48）
整体刚度方程（11-48）是根据原结构的位移法基本体
系建立的，它表示由结点位移 推算结点力F（ 即在基
向相反,则取负。
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
解：（1）求局部坐标系中的
固端约束力 FP (e)
单元①：由表11-1第1行，
q 4.8k,N / m 得a ：l 5m
X P1 0
Y P1 12kN
M
P1
结构力学 第三十八讲 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆 件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定 位向量如下：
2(1,0,2) ①
② 1(0,0,0)
3(1,0,3) 4(1,0,4)
③ 5(0,0,0)
{}(1) [1,0,2,1,0,3]T {}(2) [1,0,2,0,0,0]T {}(3) [1,0,4,0,0,0]T
3
1、结点位移未知量编号（整体码）1 为了确定各单元的定位向量，
要按照结点编号从小到大的顺序对
A①
②
0 4
C0
x
结构每个结点的未知量u、v、θ 0 B
y
统一进行编号。
0 0
若某个结点位移未知量等于零，则整体码编号为零。
则图示刚架的位移向量和相应结点力向量为：
（1） uA
（（32））
vAA
（4） C
F
F1 F2
F1 F2
4i1 2i2
4i2
4i2
2i2 3i3
4i4
12
或写为： F K K 为整体刚度矩阵
第十一章 矩阵位移法
二、直接刚度法
F1
直接刚度法以传统位移法的 基本体系为力学模型。
1
F2
② 2③
i2
i3
分别建立单元局部坐标和整 i1 ① 体坐标如图。
i4 ④
1、结点位移分量的统一编码―整体码（总码） 图11-9所示刚架整体结构的结点位移向
量 ：
(1 2 3 4)T
(uA vA A c )T
相应结点力向量为： {F}=(F1 F2 F3 F4)T
2、单元定位向量?
图11－9
第十一章 矩阵位移法 2、单元定位向量
结构力学 矩阵位移法
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
1.单元两端采用局部编码1、2
1
e
2.六个杆端位移组成杆端位移列向量。
v1
1
u1
EAI L
3.六个杆端力组成杆端力列向量。
y
2
2 vu22 x
e
1
2
e
u1 v1
e
3
1
F1
e
F2
e
F x1 Fy1
单元刚度矩阵中的每个元素都代表单元
杆端单位位移引起的杆端力称之为单元
刚度系数。其中
k
表示第j个杆端单位位移
ij
引起的第i个杆端力。
⑵单元刚度矩阵为对称矩阵。 kij k ji
⑶一般单元刚度矩阵为奇异矩阵 k e 0
三、特殊单元刚度方程和刚度矩阵
⑴连续梁中的受弯杆件单元 ⑵桁架结构中杆件单元
⑴连续梁中的受弯杆件单元
忽略轴变时单元的刚度矩阵
12EI
l3 6EI
k
e
l2
12E
l3 6EI
I
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI
l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI l2
6EI
e
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
§9-3节 单元刚度矩阵(整体坐标系)
一、单元坐标转换矩阵
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析 包括：
§9-1节 位移法概述
矩阵力法
结构矩阵分析
一般刚度法
矩阵位移法
直接刚度法
矩阵位移法 -结构力学
u
e i
v ie
u
e j
v
e j
（10-9）
单元刚度矩阵为:
EA
l
[K
e
]
0 EA
l 0
0 0 0 0
u1
1
v1
e
u2
2
杆端位移向量
v2
{δe} ui
vi
uj
vj
T
(10-4)
其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。
学习文档
§10-1 概述
4. 结点力和结点位移
作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方向 分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。
与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 位移法的基本未知量。 注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。
刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
2 3
3（7,8,9）
1
5
4（10,11,12）
4
坐标系:整体(结构)坐标系;
Y
1
2
局部(单元)坐标系.
（1,2,3） （4,5,6）
X
曲杆结构:以直代曲.
变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
学习文档
§10-1 概述
3. 杆端位移和杆端力
6EI l2
6EI
l2 4EI
l 66
e
e
e
（1）[K是]对称矩阵。 k ij k ji
(i j)（反力互等定理）
学习文档
§10-2 单元刚度矩阵
e
(2)[K ] 是奇异矩阵。 即 K e 0，其逆矩阵不存在.
可以由杆端位移 δe确定杆端力F e 。反之，若已知杆端 力 F e ，却不能由式{F e} [K e ]{δ e} 反求杆端位移 δe 。
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1
2
O
①
X
X
②
③
3
4
Y
Y
作用：用于建立位移法方程
表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但 建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵——两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。 局部坐标下的单元刚度矩阵 单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵
0,0
0,5
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到8。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1 ① 2
1,2
3,4
①
② ⑥
⑤③
② ⑥
⑤③
④
3
4
后处理法：
单元编号如图所示，
①单元 对应 “1”、“2”
⑤单元 对应 “1”、“4”
④
0,0
0,5
先处理法：
单元编号如图所示，
①单元 对应 “1,2”、“3,4”
§10-1 概述
3）矩阵位移法——它是以结点位移作为基本未知量
的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化， 故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位 移法也被称为杆件结构的有限元法。 2、基本思路 1）手算位移法
（1）取基本体系——构造各自独立的单跨超静梁的
组 合体；
（2）写出杆端弯矩表达式——建立各杆件的杆端弯
0,0,0
0,0,0
先处理法：
单元编号如图所示，
①单元两头的结点号为： “1,2,3”、“4,5,6”，如 果结点的坐标已知，单 元的位置同样定了。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例2： 1
2
1,2,3
4,5,6
3
4
后处理法：
结点编号如图所示，
由于：u3 v3 0
u4 v4 4 0
5、回代得：杆端弯矩
§10-1 概述
M1
M2
i1
i2
1
2
把以上解题过程写成矩阵形式：
M3 3
1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一
个转角未知量）。 2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）
单元刚 度方程
1-2杆
1
M12 M21
4i11 2i11
2i12 4i12
写成矩阵形式
MM1221
FAX FAY
MAB A
MBA FBX B FBY
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1 ① 2
② ⑥
⑤③
单元定位向量：
①
1
②
3
2
1
④
3
4
后处理法：
局部坐标如图所示，
①单元 对应 “1”、“2”
⑤单元 对应 “4”、“1”
③
4
2
《结构力学教程》（I）
第10章 矩阵位移法
主要内容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7 §10-8 §10-9
概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 荷载列阵 计算步骤及算例 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架结构的整体分析
e
其中：
FX1
u1
FY1
e
F=
M1
FX2
v2
e = 1 u2
Fy2
M2
Fe----单元杆端力列阵
v2
§10-1 概述
1、结构分析方法
1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分
配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分 析较简单的结构。
2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称
为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形 式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它 能解决大型复杂的工程问题。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1、单元划分及编号
①
在杆系结构中以自然的一根杆件 ②
③
为一个单元，并以加圈的数字为记号。
如图所示为刚架的单元划分。
2、结点编号及未知量确定
结点编号的作用： 用于单元定位 确定未知量
结点编号的方法： 先处理法
后处理法
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
在确定未知量时： ● 不忽略轴向变形； ● 所有单元都是两端固定的。
§10-1 概述
M1
M2
M3
i1
1
2
3、建立方程：
i2 3
M1 0
M12 M1
4i11 2i12 M1 … …①
M2 0
M21 M23 M2
2i11 (4i1 4i2 )2 2i23 M2 … ②
M3 0
M32 M3
2i22 4i23 M3 … … ③ 4、解方程得：1 2 3
因此未知量为7个。
0,0,7
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
7个未知量，号就编
到7。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例3： 1
2 3
1,2,3
4,5,6 4,5,7
4
5
后处理法：
结点编号如图所示，
由于：u2 u3 v2 v3
u4 v4 0
u5 v5 5 0 因此未知量为8个。
0,0,8
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到8。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例3： 1 ①
2 3
1,2,3
4,5,6
①
4,5,7
②
③
②
③
4
5
后处理法：
0,0,8
0,0,0
先处理法：
单元编号如图所示， 单元编号如图所示。 ①单元 对应 “1”、“2” ①单元 对应 “123”、“456”
2
6EI L2
2
6EI L2
2
2
6LE2I 1
4EI L
2
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1
Fx1
EA L
(u1
u2 )
叠生 加六 原个当
号 杆 端
Fy1
12EI L3
v1
6EI L2
1
12EI L3
v2
6EI L2
2
M1
6EI L2
v1
4EI L
1
6EI L2
⑤
4
1
④
3
4
⑥
3
2
…
先起始点后终点
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1,2 ① 3,4
单元定位向量：
1
0
② ⑥
⑤③
④
①
2 43
②
0 21
0,0
0,5
0
0
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1
0
12EI 6EI
L3
L2
0
-12EI 6EI
L3
L2
v2
M1 = 0
6EI 4EI 0
L2
L
-6EI 2EI
L2
L
1
FX2
-EA L
0
0
EA L
0
0
u2
Fy2
0
-12EI -6EI
2i1
4i1 4i2
0
2i2
M1
M2
i1
1
2
3
0
2i2
4i2
1 2
12
MM12
3 3 M3
M3 i2
3
结点荷载列阵
4、解方程得：1 2 3 5、回代得：杆端弯矩
结点位移列阵 整体刚度矩阵
以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。
矩与杆端位移间的关系；
§10-1 概述
（3）根据结点、截面的平衡条件——建立力的平衡
方程，即位移法方程。 2）矩阵位移法
（1）结构离散化——划分单元； （2）单元分析——建立单元的杆端力与杆端位移间
的关系，形成单元刚度矩阵；
（3）整体分析——建立整个结构的结点位移与结点
荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。
因此一个刚结点就有3个位移：u, v, ，而且支
座位移也要作为未知量。
先处理法：是直接给未知量编号。 后处理法：是先给结点编号（包括支座结点）， 然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例1： 1
2
1,2,3
4,5,6
后处理3 法： 4 结点编号如图所示，
由于：u3 v3 3 0 u4 v4 4 0
§10-1 概述
下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
M1
M2
i1
i2
1
2
用位移法解该题 ：