结构力学矩阵位移法

§10-1 概述
下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
M1
M2
i1
i2
1
2
用位移法解该题 ：
M3 3
1、未知量： 1 2 3 2、杆端弯矩：
M12 4i11 2i12 M21 2i11 4i12
M23 4i22 2i23 M32 2i22 4i23
⑤

4

1
④

3

4
⑥

3

2
…
先起始点后终点
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1,2 ① 3,4
单元定位向量：
1
0
② ⑥
⑤③
④
①
2 43

②
0 21

0,0
0,5
0
0
——每端各三个杆力，
u1
v1
e
正Fx1负、号Fy1规、定M1、Fx2、Fy2、M 2
M1 1
——与局部坐标一致为
正，相反为负。
Fx1
Fy1
e
2 x
2 2
v2 u2 2 M2 Fy2 F x2
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1
EA L
1
1
EI,EA
2
EA L
1
6LE2I 1 1
4EI L
矩与杆端位移间的关系；
§10-1 概述
（3）根据结点、截面的平衡条件——建立力的平衡
方程，即位移法方程。 2）矩阵位移法
（1）结构离散化——划分单元； （2）单元分析——建立单元的杆端力与杆端位移间
的关系，形成单元刚度矩阵；
（3）整体分析——建立整个结构的结点位移与结点
荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。
§10-1 概述
3）矩阵位移法——它是以结点位移作为基本未知量
的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化， 故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位 移法也被称为杆件结构的有限元法。 2、基本思路 1）手算位移法
（1）取基本体系——构造各自独立的单跨超静梁的
组 合体；
（2）写出杆端弯矩表达式——建立各杆件的杆端弯
①局先单部处元坐理标法对如：应图“所1示,2，”、“3④,4”050

⑤

5 21

⑤单元 对应 “0,5”、“1,2”
0
③
5 43

0
⑥
0
43

…
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
2）整体坐标
方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。
因此未知量为6个。
0,0,0
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
编号顺序为：先水平，
后竖向，再转动。位移
为零编“0”号。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例1： 1 ① 2
②
③
1,2,3
4,5,6
①
②
③
后处理3 法： 4
单元编号如图所示，
①单元两头的结点号为： “1”、“2”，如果结点的 坐标已知，单元的位置 就定了。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1、单元划分及编号
①
在杆系结构中以自然的一根杆件 ②
③
为一个单元，并以加圈的数字为记号。
如图所示为刚架的单元划分。
2、结点编号及未知量确定
结点编号的作用： 用于单元定位 确定未知量
结点编号的方法： 先处理法
后处理法
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
在确定未知量时： ● 不忽略轴向变形； ● 所有单元都是两端固定的。
2
6EI L2

2
6EI L2

2
2
6LE2I 1
4EI L

2
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1
Fx1

EA L
(u1
u2 )
叠生 加六 原个当
号 杆 端
Fy1

12EI L3
v1

6EI L2
1

12EI L3
v2

6EI L2
2
M1

6EI L2
v1

4EI L
1

6EI L2
因此一个刚结点就有3个位移：u, v, ，而且支
座位移也要作为未知量。
先处理法：是直接给未知量编号。 后处理法：是先给结点编号（包括支座结点）， 然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例1： 1
2
1,2,3
4,5,6
后处理3 法： 4 结点编号如图所示，
由于：u3 v3 3 0 u4 v4 4 0

2 3
23

3、位移法方程：
4i11 2i12 M1 … …①
2i11 (4i1 4i2 )2 2i23 M2 … … ②
2i22 4i23 M3 … … ③
§10-1 概述
位移法方程写成 矩阵形式：
1
2
4i1
2i1

0,0,0
0,0,0
先处理法：
单元编号如图所示，
①单元两头的结点号为： “1,2,3”、“4,5,6”，如 果结点的坐标已知，单 元的位置同样定了。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例2： 1
2
1,2,3
4,5,6
3
4
后处理法：
结点编号如图所示，
由于：u3 v3 0
u4 v4 4 0
《结构力学教程》（I）
第10章 矩阵位移法
主要内容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7 §10-8 §10-9
概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 荷载列阵 计算步骤及算例 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架结构的整体分析
2i1
4i1 4i2
0
2i2
M1
M2
i1
1
2
3
0
2i2

4i2
1 2
12


MM12

3 3 M3
M3 i2
3
结点荷载列阵
4、解方程得：1 2 3 5、回代得：杆端弯矩
结点位移列阵 整体刚度矩阵
以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。
因此未知量为7个。
0,0,7
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
7个未知量，号就编
到7。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例3： 1
2 3
1,2,3
4,5,6 4,5,7
4
5
后处理法：
结点编号如图所示，
由于：u2 u3 v2 v3
u4 v4 0
u5 v5 5 0 因此未知量为8个。
②单元 对应 “1”、“4” ②单元 对应 “123”、“008”
③单元 对应 “3”、“5” ③单元 对应 “457”、“000”
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1
2
1,2
3,4
3
4
后处理法：
结点编号如图所示，
桁架一个结点2各线 位移，由于：
u3 v3 v4 0 因此未知量为5个。
FAX FAY
MAB A
MBA FBX B FBY
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1 ① 2
② ⑥
⑤③
单元定位向量：
①

1

②

3

2
1
④
3
4
后处理法：
局部坐标如图所示，
①单元 对应 “1”、“2”
⑤单元 对应 “4”、“1”
③

4

2
v2

2EI L
2
理位两 求移端 出时固 ：，定
六单
2
Fx 2

EA L u1

EA L u2
号 杆 端
Fy 2


12EI L3
v1

6EI L2
1

12EI L3
v2

6EI L2
2
M2

6EI L2
v1

2EI L
1

6EI l2
v2

4EI l
2
个元 杆的 端两 力端 可同 利时 用发
§10-1 概述
1、结构分析方法
1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分
配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分 析较简单的结构。
2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称
为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形 式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它 能解决大型复杂的工程问题。
0,0
0,5
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到8。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1 ① 2
1,2
3,4
①
② ⑥
⑤③
② ⑥
⑤③
④
3
4
后处理法：
单元编号如图所示，
①单元 对应 “1”、“2”
⑤单元 对应 “1”、“4”
④
0,0
0,5
先处理法：
单元编号如图所示，
①单元 对应 “1,2”、“3,4”
§10-1 概述
M1
M2
M3
i1
1
2
3、建立方程：
i2 3
M1 0
M12 M1
4i11 2i12 M1 … …①
M2 0
M21 M23 M2
2i11 (4i1 4i2 )2 2i23 M2 … ②
M3 0
M32 M3
2i22 4i23 M3 … … ③ 4、解方程得：1 2 3
e
其中：
FX1
u1
FY1
e
F=
M1
FX2
v2
e = 1 u2
Fy2
M2
Fe----单元杆端力列阵
v2
本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵 以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3
个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可 得到单元刚度矩阵。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
单元形式 ——两端固定单元
1
E，A，I
e
杆端位移
y
——每端各三个位移，
l
杆u端1、力v1、1、u2、v2、2
1 1


4i1 2i1
2
2i1
4i1

1 2
12

§10-1 概述
2-3杆
M1
i1 1
M2
i2 2
M3 3
单元刚 度方程
2
M 23 M32

4i22 2i22
2i23 4i23
写成矩阵形式
MM3223


4i2

2i2
3
2i2 4i2
5、回代得：杆端弯矩
§10-1 概述
M1
M2
i1
i2
1
2
把以上解题过程写成矩阵形式：
M3 3
1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一
个转角未知量）。 2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）
单元刚 度方程
1-2杆
1
M12 M21

4i11 2i11

2i12 4i12
写成矩阵形式
MM1221
0,0,8
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到8。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例3： 1 ①
2 3
1,2,3
4,5,6
①
4,5,7
②
③
②
③
4
5
后处理法：
0,0,8
0,0,0
先处理法：
单元编号如图所示， 单元编号如图所示。 ①单元 对应 “1”、“2” ①单元 对应 “123”、“456”
1
2
O
①
X
X
②
③
3
4
Y
Y
作用：用于建立位移法方程
表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但 建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵——两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。 局部坐标下的单元刚度矩阵 单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵
⑤单元 对应 “1,2”、“0,5”
… …
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
3、建立坐标 坐标系： 局部坐标 整体坐标
1
2
①
②
③
1）局部坐标
3
4
方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。
标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴
不标出。①单元的起始点是“1”，终点是“2”。
作用：用于表明杆端力及单元定位
L3
L2
0
12EI -6EI
L3
L2
v2
M2
0
6EI 2EI
L2
L
0
-6EI 4EI
L2
L
2
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1
0
12EI 6EI
L3
L2
0
-12EI 6EI
L3
L2
v2
M1 = 0
6EI 4EI 0
L2
L
-6EI 2EI
L2
L
1
FX2
1
1
EI,EA
2
12EI
L2
1
12EI
L2
1
1
1
EI,EA
2
6EI L2
1
6EI L2
1
6LE2I 1
2EI L
1
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
2
1
EA L
2
EI,EA
2
EA L
2
6LE2I 2
2EI L

2
1
EI,EA
2
12EI
L2
2
12EI
L2
2
2
1
EI,EA
-EA L
0
0
EA L
0
0
u2
Fy2
0
-12EI -6EI
L3
L2
0
12EI -6EI
L3
L2
v2
M2
0
6EI 2EI
L2
L
ห้องสมุดไป่ตู้
0
-6EI 4EI
L2
L
2
可缩写成:
F
e
e
k
e ----单元刚度方程
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
单元刚度方程：Fe

k
e

§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1
0
12EI 6EI
L3
L2
0
-12EI 6EI
L3
L2
v2
M1 = 0
6EI 4EI 0
L2
L
-6EI 2EI
L2
L
1
FX2
-EA L
0
0
EA L
0
0
u2
Fy2
0
-12EI -6EI