计算方法模拟试题及参考答案汇编

3．（15 分）已知求解线性方程组 b 10 b x2 = 2 的 Jacobi 迭代法对任意 0 a 5 x3 5
初始近似都是收敛的． （1）试推断参数 a 和 b 应满足的条件； （2）取参数 a = 0 ， b = 1 ，以及初始向量 x(0) = (0, 0, 0)T ，用 Jacobi 迭代法 求解该方程组的精确解 x ． 4．（10 分）已知单调连续函数 y = f ( x) 的如下数值表
∫ 6．（15 分）给定积分 I = 2.2 x 4 ln xdx 。 1 （1） 取定 7 个等距节点（包括端点 1 和 2.2），列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留四位）； （2） 根据此表用复化 Simpson 求积公式求 I 的近似值（小数点后保留四位）； （3）试估计需要用多少个节点的函数值，使得用复化 Simpson 公式所求近似值
7．给定初值问题： y′ + y + y2 sin x = 0 ， y(1) = 1 （1） 写出欧拉(Euler)预估-校正法的计算格式； （2） 取步长 h =0.2，求 y(1.4) 的近似值（计算结果小数点后保留 5 位）。
8．设有求解初值问题： y′( x) = f ( x, y) ， y( x0 ) = y0 的如下多步法计算格式 yn+1 =ayn + byn−1 + h[cf (xn , yn ) + df (xn−1, yn−1)] 确定参数 a,b,c,d 应满足的方程组（不必求解），使该格式成为二阶格式。
9．当 R 取适当值时，曲线 y = x 2 就与 y2 + ( x − 8)2 = R2 相切。使用迭代法求切点
横坐标的近似值 xn+1 ，使得 xn+1 − xn ≤ 10−3 。（不必求 R ）
真题二
1．填空（每小题 4 分，共 20 分）
（1）
设近似数 x1*
= 0.225 ,
x
* 2
=
1.120
真题一
1．填空 （1） 设近似数 x* = 0.2250 是“四舍五入”得来的，则相对误差 er ( x* ) ≤ _____; （2） 设 f ( x) = x 3 + 1 ，则差商 f [0,1,2,3] = _________;
∫ （3） 求积公式
1
f ( x)dx ≈ f (−
3)+ f(
3 ) 有______次代数精确度；
f (xi )
0.50 1.0
f ′( xi )
0.5
试求满足插值= 条件 p(xi ) f= (xi ) , p′(xi ) f ′(xi ) 的二次插值多项式 p( x) ，并
写出截断误差 R( x) = f ( x) − p( x) 的导数型表达式（不必证明）。
5．用最小二乘法确定 y = a + b ln x 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合于下列四 个点：（1 , 2.5）, (2 , 3.4) , (3 , 4.1) , (4 , 4.4) (计算结果保留到小数点后第 4 位)。
2
6．给定积分 I = ∫1 ln xdx 。
（1） 取定 7 个等距节点（包括端点 1 和 2），列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留 5 位）；
（2） 根据此表用复化 Simpson 求积公式求 I 的近似值（小数点后保留 5 位）；
（3） 为使复化 Simpson 公式所求近似值具有 4 位有效数字，试估计需要用到多 少个节点处的函数值？
(Gauss-Seidel)方法求解时对任意初始向量都收敛；
（2）
取 x (0) = (0 , 0 , 0)T ，求近似解 x (k+1) ，使得 max 1≤ xi ≤3
x (k+1) i
−
x
( i
k
)
≤ 10−3 。
4．已知三阶连续可导函数 y = f ( x) 的如下数据：
xi
0.25 1.0
0
4
43
；
（4） 因为矩阵 B 的谱半径 ρ(B) > 0 ，所以对任意初始向量 x (0) ，迭代格式
x (k+1) = Bx (k) + g , k = 0,1,2, 不收敛_________（错或对）；
（5） 如果求解线性方程组的 Jacobi 迭代法不是对任意初始向量 x (0) 收敛，则相
,
x
* 3
= 2.025 都是有效数。
则相对误差
e
r
(
x1*
x
* 2
+
x
* 3
)
≈ ___________；
（2） 矩 阵 A 的 谱 半 径 ρ( A) 和 A 的 任 何 一 种 范 数 A 的 大 小 关 系 是
____________；
∫ （3） 数值求积公式 1 f ( x)dx ≈ 1 f (0) + 3 f ( 2) 的代数精确度为
（1）说明所用方法为什么收敛；（2） xn+1 − xn ≤ 10−4 时迭代结束。
−2x1 +10x2 − x3 = 1.5 3．设有线性方程组 −x1 − 2x2 + 5x3 =10 。
10x1 − 2x2 − x3 = 3
（1） 将 方 程 组 中 三 个 方 程 的 上 下 次 序 适 当 调 整 ， 使 得 用 高 斯 - 赛 德 尔
−1
3
3
（4） 为提高数值计算精度，当正数 x 很大时，应将 ln( 1 − 1 ) 写为
x x+1
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_______________________；
（5）
A
=
2 2
1 2
的三角分解为
A
=
LU
=
__________________________。
2．用迭代法（可任选）求方程 x + e x = 3 在（0，1）内的根的近似值 xn+1 。要求
应的 Gauss-Seidel 迭代 法（JGS）不是对任意初始向量 x (0) 收敛______（错或对）。
2．（10 分）用迭代法（非牛顿法）求方程 3x 2 − e x = 0 在（0 ，1）内的根的近似
值 xn+1 。
要求：（1）说明所用方法为什么收敛；（2） xn+1 − xn ≤ 10−3 时迭代结束。 10 a 0 x1 10
xi
0.1
0.2
0.3
0.4
f (xi )
−2
0
1
2
用插值法求 f ( x) = 0.5 在区间 (0.1 ,0.4) 内的根的近似值α （小数点后保留五位）。
5．（10 分） 设已知函数值{ f ( xi )}mi=0 ，确定常数 c ，使平行于 x 轴的直线 y = c 按 最小二乘原理拟合于该组数据。