工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）

高等教育出版社 习题一（P12）

对任何z ，2

2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立

解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2

22z x y =+；

若2

2z z =成立，则有2222

2x y xyi x y -+=+，即222220

x y x y

xy ⎧-=+⎨=⎩，解得

0y =，即z x =。

所以，对任何z ，2

2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值：

（1）5

)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1

3

(1)i -。

解：（16

2i

i e

π-

=，所以

5

55

55

6661)223232())2i i i i e e e i i πππ

--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭

（2）因为41i

i e π

+=，所以

6

3663

442(1)288i i i e e e i πππ

⨯⎫+====-⎪⎭

（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以

()1

6

22cos sin cos

sin

6

6

k k k w i i ππ

ππ

ππ++==+=+，其中

0,1,2,3,4,5k =；

即01cos

sin

6

6

22w i i π

π

=+=

+，1cos sin 22

w i i ππ

=+=，

2551cos

sin 662w i i ππ=+=+，3771

cos sin 662

w i i ππ=+=-，

433cos

sin 22

w i i ππ

=+=-

，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4

）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以

1

13

6

2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥

=-=+⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

，其中0,1,2k =；

即

16

02cos()sin()1212w i ππ⎡

⎤=-+-⎢⎥

⎣

⎦，

1

6

1772cos sin

1212w i ππ⎡

⎤=+⎢⎥⎣⎦

，

1

6

2552cos sin 44w i ππ⎡

⎤=+⎢⎥⎣⎦

。

求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。

因为 33322

82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ⎡⎤+=+=+-+=+-++⎣⎦

22

(2)(1)((2)(11z z z z z ⎡⎤=+-+=+-+--⎣⎦

所以由380z +=

，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =-

，21z =-

31z =+

故方程380z +=的所有根为12z =-

，21z =+

31z =+

解法二：用复数的方根的方法求解。

由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以

2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++⎤⎡

⎤==+=+⎥⎢⎥⎦⎣⎦，其中0,1,2k =；

即02cos sin 133z i ππ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭12(cos sin )2z i ππ=+=，

2552cos sin

133z i ππ⎛

⎫

=+=- ⎪⎝

⎭

故方程380z +=的所有根为01z =+12z =，21z =- 指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图，

（1）56z -=； （2）21z i +≥； （3）Im()2z ≤； （4）0arg z π<<。 解：（1）56z -=表示以点(5,0)为中心，6为半径的圆周；

（2）21z i +≥表示以点(0,2)-为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部； （3）Im()2z ≤表示直线2y =及其下面的部分； （4）0arg z π<<表示位于x 轴上方的部分。

指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单联通的还是多联通的。

（1）Im()0z >； （2）14z ->； （3）0Re()1z <<； （4）23z ≤≤。 解：（1）Im()0z >表示位于x 轴上方的区域，它是无界区域，是单联通的； （2）14z ->表示以点(1,0)为中心，4为半径的圆周的外部区域，它是无界区域，是多联通的；

（3）0Re()1z <<表示介于两直线0x =与1x =之间的区域，它是无界区域，是单联通的；

（4）23z ≤≤表示夹在以原点为圆心，2和3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域，它是有界的，但它是多联通的。

已知映射3w z =，求：

（1）点1z i =，21z i =+，3z i =在w 平面上的像； （2）区域0arg 3

z π

<<

在w 平面上的像。

解：（1）将1z i =，21z i =+，3z i =分别代入3w z =，得

33211w z i i i i ====-，

33222(1)(1)(1)2(1)22w z i i i i i i ==+=++=+=-+，

3

3

3

33662

33)2288i i i w z i e e e i πππ

⨯⎛⎫====== ⎪⎝⎭

，