解析交点圆系方程的几何意义
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2 2 2 2 λ 1 （ x + y + D1 x + E 1 y + F 1 ） + λ 2 （ x + y + D2 x + E 2 y + F 2 ） = 0 ，
则当 λ2 = 0 ， λ1 ≠0 时， 就能够表示圆 C2 ． （ 3 ） 由 J （ S， C1 ， r1 ） → SC2 C2 ， r2 ） 1 及 J （ S， →SC2 ， 得 J （ S0 ， C1 ， r1 ） r1 →0 SC2 1 ＞ 0， → J （ S0 ， C2 ， r2 ） r2 →0 SC2 2 因此到两定点的距离之比为定值 （ 正数 ） 的点的轨 迹是圆， 这可以作为圆的第二定义． 参 考 文 献
r2 →0
2
r1 →0
［ 1］ 刘薇， — — 陆丽滨． 两圆无交点， 圆系为何意— J］ ． 中学教研 记一次对虚圆系的探究过程［ （ 数学） ， 2010 （ 1 ） ： 1 2．一则困惑 Nhomakorabea引
发
的
思
考
●何少军 1 问题提出 1］ 文献［ 中提出了这样一个问题： 等于
（ 诸暨教师进修学校
浙江诸暨 311800 ）
2 2
(
) (
2
)
2
=
(
D 1 + λD 2 1 +λ
) (
2
+
E 1 + λE 2 1 +λ
)
2
－4
F 1 + λF 2 ≥0 1 +λ
（ 把点看成半径为 0 的圆 ） 即可． 此不等式不易得 证， 而它实际上是要证明方程 （ 2 ） 有解． 如果能够
第4 期
何少军： 一则困惑引发的思考
· 19·
· 18·
中学教研 （ 数学）
2011 年
解 析 交 点 圆 系 方 程 的 几 何 意 义
— — —读《两圆无交点， 圆系为何意》 有感
●姚华鹏
（ 中山纪念中学 广东中山 528454 ）
1］ 笔者阅读了文献［ 后， 对作者的研究精神深 表敬意． 不过， 笔者认为文中给出的结论似乎有些 牵强， 以至于作者自己也承认结论没有实际意义 ． “两圆相离、 因此， 笔者对 内含时， 圆系方程没有实 际意义” 的说法心存疑虑． 很多中学数学竞赛资料 提到交点圆系方程， 但是均未能给出交点圆系方程 特撰 的由来． 对此笔者近期思索了一些相关问题， 文与大家商榷， 以期通过定义距径平方差揭开圆系 方程的面纱． 2 2 若圆 C 的 方 程 为 x + y + Dx + Ey + F = 0 （ D2 + E 2 － 4 F ＞ 0 ） ， 配方后成为标准方程， 即 2 2 2 2 D E D + E － 4F x+ + y+ = ． 2 2 4
x －4 与已知条件形 式 一 致； （ 2 ） 课 本 也 是 这 种 形 2 式， 课本是正确的！ 对于这一观点， 笔者不敢苟同． 换句话说， 这根 ． 本就不是什么问题 产生困惑的原因可能是觉得答 案应该是唯一的， 非此即彼． 其实不然． x －4 x 无论是 还是 － 2 ， 笔者认为都是正确的， 2 2
x － 16 应该 2x + 8
2
x －4 x 还是等于 － 2 ？ 对于此问题， 作者比较 2 2 x －4 这 个 答 案， 理 由 基 于 以 下 两 点： （ 1 ） 2
倾向 于
它们的本质是相同的． 因为对代数式或二次根式运 x －4 算结果的 要 求 是： 化 简 到 最 简 形 式 即 可． 和 2 x － 2 这 2 种形式都已经是最简形式了， 因此它们 2 都是正确的． 2 深层思考 这一困惑的产生不是偶然的， 它也不是个例， 因此有必要对此进行深入思考． 2． 1 产生这类困惑的原因 在现实中， 包括上述问题在内的困惑层出不
图1
图2
程． 当 λ ≠ － 1 时， 方程（ 2 ） 可化为 D + D E 1 + λE 2 F 1 + λF 2 λ 2 1 x2 + y2 + x+ y+ = 0． 1 +λ 1 +λ 1 +λ 要证明该方程表示圆， 则只需证明
当点 P 在圆内时， 如图 2 所示， 过点 P 引线段 PC N （ 此时， 的垂线， 交圆 C 于点 M， 弦 MN 是圆内过 点 P 的最短弦） ． 由垂径定理知 | PM | 2 = MC2 － PC2 = R2 － PC2 ， 从而 | PM | 2 = D E D + E － 4F － x0 + + y0 + 2 2 4 2 2 － （ x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F ） ，
C， R ） ． 当定点 的距离， 径指圆的半径 ） ， 记做 J （ P ， P 在定圆外时， J （ P， C， R） ＞ 0， 即过定点所引圆的 切 线 长 的 平 方； 当 定 点 P 在 定 圆 内 时， J（ P， C， R） ＜ 0 ， 即过定点所引圆的最短弦的一半的 平 方 的 相 反 数； 当 定 点 P 在 定 圆 上 时， J（ P， C， R ） = 0 ． 反之， 结论同样成立． 因此无论点在 J （ P， C， R ） 总存在， 圆所在平面的什么位置， 且是 C， R ） 有最小 点到圆心距离的单调增函数， 故 J （ P，
2 值－R ， 没有最大值， 且无上界． 2 2 到圆 C1 ： x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0（ 半径为 r1 ） 2 2 与圆 C2 ： x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 （ 半径为 r2 ） 的 y） 的轨迹方程为 距径平方差之比为 － λ 的点 S（ x，
(
) (
)
令
D + E － 4F = R2 ， 不 妨 设 点 P 的 坐 标 为 （ x0 ， 4
2
2
y0 ） ． 当点 P 在圆外时， 如图 1 所示， 过点 P 引圆 C M， N 为切点． 由切线性质得 的切线， PM2 = PC2 － R2 = D 2 E 2 D2 + E 2 － 4 F x0 + + y0 + － = 2 2 4 2 x2 0 + y 0 + Dx 0 + Ey 0 + F ，
2 1 2 1 2 1 2 1
λ ≠ － 1 的方程 （ 2 ） 对应的曲线上的点亦可类似地 讨论切线长的关系， 方程 （ 1 ） 正好给出了它们之间 的关系． （ 2 ） 由于方程 （ 1 ） 的分母不能为 0 ， 因此满足 方程（ 2 ） 的解对应的点不能落在圆 C2 上， 自然圆 C2 的方程无法用方程 （ 2 ） 表示． 当 λ = 0 时， 方程 （ 2 ） 表示的曲线显然是圆 C1 ； 若把方程（ 2 ） 改写成
证明存在满足方程（ 1 ） 的点， 那么即证明了该不等 式成立． 考虑到对于任意的点 S， 有 J（ S， C1 ， r1 ） ≥ － r2 J（ S， C2 ， r2 ） ≥ － r2 1， 2， J（ S， C1 ， r1 ） 从而 的取值范围为 R， 故对于任意的实 J（ S， C2 ， r2 ） y1 ） ， 在平面内必有一点 S1 （ x1 ， 使得 数 λ， J （ S1 ， C1 ， r1 ） －λ = = J （ S1 ， C2 ， r2 ） x + y + D1 x 1 + E 1 y 1 + F 1 ． x + y + D2 x 1 + E 2 y 1 + F 2 由此可知方程（ 1 ） 有解， 从而方程 （ 2 ） 有解． 因此方 程（ 2 ） 确实是某个圆的方程！ 把直线看成半径无 限大的圆， 则当 λ = － 1 时， 方程 （ 2 ） 也表示是圆． 当圆 C1 与圆 C2 有公共点时， 方程 （ 2 ） 所表示的圆 过它们的公共点． 即使圆 C1 与圆 C2 相离或内含， 方程（ 2 ） 仍然能够保持其本质意义． 故把方程 （ 2 ） 称为交点圆系方程是比较片面的 ！ 用方程（ 1 ） 能够轻松解释下列现象： （ 1 ） 当 λ = － 1 时， 方程 （ 2 ） 表示两圆的根轴， J （ S0 ， C1 ， r1 ） y0 ） 满足： 1 = ， 根轴上的点 S0 （ x0 ， 从而 J （ S0 ， C2 ， r2 ） J （ S0 ， C1 ， r1 ） = J （ S0 ， C2 ， r2 ） ． y0 ） 落在两圆外时， 当点 S0 （ x0 ， 由它引两圆的切线 对于 长相等． 这是很多参考资料都有的结论． 其实，
穷． 譬如， 有一部分教师特别有兴趣研究线段是否 a （ b + c ） 是否是多 虚轴是否包含原点、 包含端点、 x 项式、 算不算分式等无关大体的问题． x +1 － x
(
) (
)
－λ =
x 2 + y 2 + D1 x + E 1 y + F 1 ． x 2 + y 2 + D2 x + E 2 y + F 2
（ 1）
因此
2 2 2 2 x2 0 + y 0 + Dx 0 + Ey 0 + F = PM = PC － R ．
无论实数 λ 为何值， 式（ 1 ） 变形整理得 2 2 x + y + D1 x + E 1 y + F 1 + λ （ x 2 + y 2 + E 2 x + E2 y + F2 ） = 0 ， （ 2） 即为熟悉的交点圆系方程． 交点圆系方程的几何意 义自然而出： 表示到两圆的距径平方差之比为 － λ 的点的轨迹方程！ 下面我们 证 明： 方 程 （ 2 ） 一 定 是 某 个 圆 的 方
于是 2 2 2 2 x2 0 + y 0 + Dx 0 + Ey 0 + F = － | PM | = PC － R ． 当定点 P 在圆上时， 亦有 2 2 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F = 0 = PC2 － R2 ．
2 2 因此我们可以把表达式 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F 定 义为点 P 到圆 C 的距径平方差 （ 距是指点到圆心
则当 λ2 = 0 ， λ1 ≠0 时， 就能够表示圆 C2 ． （ 3 ） 由 J （ S， C1 ， r1 ） → SC2 C2 ， r2 ） 1 及 J （ S， →SC2 ， 得 J （ S0 ， C1 ， r1 ） r1 →0 SC2 1 ＞ 0， → J （ S0 ， C2 ， r2 ） r2 →0 SC2 2 因此到两定点的距离之比为定值 （ 正数 ） 的点的轨 迹是圆， 这可以作为圆的第二定义． 参 考 文 献
r2 →0
2
r1 →0
［ 1］ 刘薇， — — 陆丽滨． 两圆无交点， 圆系为何意— J］ ． 中学教研 记一次对虚圆系的探究过程［ （ 数学） ， 2010 （ 1 ） ： 1 2．一则困惑 Nhomakorabea引
发
的
思
考
●何少军 1 问题提出 1］ 文献［ 中提出了这样一个问题： 等于
（ 诸暨教师进修学校
浙江诸暨 311800 ）
2 2
(
) (
2
)
2
=
(
D 1 + λD 2 1 +λ
) (
2
+
E 1 + λE 2 1 +λ
)
2
－4
F 1 + λF 2 ≥0 1 +λ
（ 把点看成半径为 0 的圆 ） 即可． 此不等式不易得 证， 而它实际上是要证明方程 （ 2 ） 有解． 如果能够
第4 期
何少军： 一则困惑引发的思考
· 19·
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中学教研 （ 数学）
2011 年
解 析 交 点 圆 系 方 程 的 几 何 意 义
— — —读《两圆无交点， 圆系为何意》 有感
●姚华鹏
（ 中山纪念中学 广东中山 528454 ）
1］ 笔者阅读了文献［ 后， 对作者的研究精神深 表敬意． 不过， 笔者认为文中给出的结论似乎有些 牵强， 以至于作者自己也承认结论没有实际意义 ． “两圆相离、 因此， 笔者对 内含时， 圆系方程没有实 际意义” 的说法心存疑虑． 很多中学数学竞赛资料 提到交点圆系方程， 但是均未能给出交点圆系方程 特撰 的由来． 对此笔者近期思索了一些相关问题， 文与大家商榷， 以期通过定义距径平方差揭开圆系 方程的面纱． 2 2 若圆 C 的 方 程 为 x + y + Dx + Ey + F = 0 （ D2 + E 2 － 4 F ＞ 0 ） ， 配方后成为标准方程， 即 2 2 2 2 D E D + E － 4F x+ + y+ = ． 2 2 4
x －4 与已知条件形 式 一 致； （ 2 ） 课 本 也 是 这 种 形 2 式， 课本是正确的！ 对于这一观点， 笔者不敢苟同． 换句话说， 这根 ． 本就不是什么问题 产生困惑的原因可能是觉得答 案应该是唯一的， 非此即彼． 其实不然． x －4 x 无论是 还是 － 2 ， 笔者认为都是正确的， 2 2
x － 16 应该 2x + 8
2
x －4 x 还是等于 － 2 ？ 对于此问题， 作者比较 2 2 x －4 这 个 答 案， 理 由 基 于 以 下 两 点： （ 1 ） 2
倾向 于
它们的本质是相同的． 因为对代数式或二次根式运 x －4 算结果的 要 求 是： 化 简 到 最 简 形 式 即 可． 和 2 x － 2 这 2 种形式都已经是最简形式了， 因此它们 2 都是正确的． 2 深层思考 这一困惑的产生不是偶然的， 它也不是个例， 因此有必要对此进行深入思考． 2． 1 产生这类困惑的原因 在现实中， 包括上述问题在内的困惑层出不
图1
图2
程． 当 λ ≠ － 1 时， 方程（ 2 ） 可化为 D + D E 1 + λE 2 F 1 + λF 2 λ 2 1 x2 + y2 + x+ y+ = 0． 1 +λ 1 +λ 1 +λ 要证明该方程表示圆， 则只需证明
当点 P 在圆内时， 如图 2 所示， 过点 P 引线段 PC N （ 此时， 的垂线， 交圆 C 于点 M， 弦 MN 是圆内过 点 P 的最短弦） ． 由垂径定理知 | PM | 2 = MC2 － PC2 = R2 － PC2 ， 从而 | PM | 2 = D E D + E － 4F － x0 + + y0 + 2 2 4 2 2 － （ x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F ） ，
C， R ） ． 当定点 的距离， 径指圆的半径 ） ， 记做 J （ P ， P 在定圆外时， J （ P， C， R） ＞ 0， 即过定点所引圆的 切 线 长 的 平 方； 当 定 点 P 在 定 圆 内 时， J（ P， C， R） ＜ 0 ， 即过定点所引圆的最短弦的一半的 平 方 的 相 反 数； 当 定 点 P 在 定 圆 上 时， J（ P， C， R ） = 0 ． 反之， 结论同样成立． 因此无论点在 J （ P， C， R ） 总存在， 圆所在平面的什么位置， 且是 C， R ） 有最小 点到圆心距离的单调增函数， 故 J （ P，
2 值－R ， 没有最大值， 且无上界． 2 2 到圆 C1 ： x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0（ 半径为 r1 ） 2 2 与圆 C2 ： x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 （ 半径为 r2 ） 的 y） 的轨迹方程为 距径平方差之比为 － λ 的点 S（ x，
(
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)
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D + E － 4F = R2 ， 不 妨 设 点 P 的 坐 标 为 （ x0 ， 4
2
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y0 ） ． 当点 P 在圆外时， 如图 1 所示， 过点 P 引圆 C M， N 为切点． 由切线性质得 的切线， PM2 = PC2 － R2 = D 2 E 2 D2 + E 2 － 4 F x0 + + y0 + － = 2 2 4 2 x2 0 + y 0 + Dx 0 + Ey 0 + F ，
2 1 2 1 2 1 2 1
λ ≠ － 1 的方程 （ 2 ） 对应的曲线上的点亦可类似地 讨论切线长的关系， 方程 （ 1 ） 正好给出了它们之间 的关系． （ 2 ） 由于方程 （ 1 ） 的分母不能为 0 ， 因此满足 方程（ 2 ） 的解对应的点不能落在圆 C2 上， 自然圆 C2 的方程无法用方程 （ 2 ） 表示． 当 λ = 0 时， 方程 （ 2 ） 表示的曲线显然是圆 C1 ； 若把方程（ 2 ） 改写成
证明存在满足方程（ 1 ） 的点， 那么即证明了该不等 式成立． 考虑到对于任意的点 S， 有 J（ S， C1 ， r1 ） ≥ － r2 J（ S， C2 ， r2 ） ≥ － r2 1， 2， J（ S， C1 ， r1 ） 从而 的取值范围为 R， 故对于任意的实 J（ S， C2 ， r2 ） y1 ） ， 在平面内必有一点 S1 （ x1 ， 使得 数 λ， J （ S1 ， C1 ， r1 ） －λ = = J （ S1 ， C2 ， r2 ） x + y + D1 x 1 + E 1 y 1 + F 1 ． x + y + D2 x 1 + E 2 y 1 + F 2 由此可知方程（ 1 ） 有解， 从而方程 （ 2 ） 有解． 因此方 程（ 2 ） 确实是某个圆的方程！ 把直线看成半径无 限大的圆， 则当 λ = － 1 时， 方程 （ 2 ） 也表示是圆． 当圆 C1 与圆 C2 有公共点时， 方程 （ 2 ） 所表示的圆 过它们的公共点． 即使圆 C1 与圆 C2 相离或内含， 方程（ 2 ） 仍然能够保持其本质意义． 故把方程 （ 2 ） 称为交点圆系方程是比较片面的 ！ 用方程（ 1 ） 能够轻松解释下列现象： （ 1 ） 当 λ = － 1 时， 方程 （ 2 ） 表示两圆的根轴， J （ S0 ， C1 ， r1 ） y0 ） 满足： 1 = ， 根轴上的点 S0 （ x0 ， 从而 J （ S0 ， C2 ， r2 ） J （ S0 ， C1 ， r1 ） = J （ S0 ， C2 ， r2 ） ． y0 ） 落在两圆外时， 当点 S0 （ x0 ， 由它引两圆的切线 对于 长相等． 这是很多参考资料都有的结论． 其实，
穷． 譬如， 有一部分教师特别有兴趣研究线段是否 a （ b + c ） 是否是多 虚轴是否包含原点、 包含端点、 x 项式、 算不算分式等无关大体的问题． x +1 － x
(
) (
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－λ =
x 2 + y 2 + D1 x + E 1 y + F 1 ． x 2 + y 2 + D2 x + E 2 y + F 2
（ 1）
因此
2 2 2 2 x2 0 + y 0 + Dx 0 + Ey 0 + F = PM = PC － R ．
无论实数 λ 为何值， 式（ 1 ） 变形整理得 2 2 x + y + D1 x + E 1 y + F 1 + λ （ x 2 + y 2 + E 2 x + E2 y + F2 ） = 0 ， （ 2） 即为熟悉的交点圆系方程． 交点圆系方程的几何意 义自然而出： 表示到两圆的距径平方差之比为 － λ 的点的轨迹方程！ 下面我们 证 明： 方 程 （ 2 ） 一 定 是 某 个 圆 的 方
于是 2 2 2 2 x2 0 + y 0 + Dx 0 + Ey 0 + F = － | PM | = PC － R ． 当定点 P 在圆上时， 亦有 2 2 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F = 0 = PC2 － R2 ．
2 2 因此我们可以把表达式 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F 定 义为点 P 到圆 C 的距径平方差 （ 距是指点到圆心