几何证明选讲训练

几何证明选讲专题

1．如图所示，在四边形ABCD 中，//,//EF BC FG AD ，则

EF FG

BC AD

+=

1 由平行线分线段成比例可知

,EF AF FG FC BC AC AD AC ==，所以1EF FG AF FC

BC AD AC

++==

2．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2,AE EB DE =与AC 交于点F ，若

AEF ∆的面积为6cm 2，则ABC ∆的面积为 cm 2

72 不妨设,AEF ABC ∆∆,AE AB 边上的高分别为12,h h ，因为四边形ABCD 为平行四边 形，:1:2,AE EB =，所以12:1:3,:1:3,:1:4AE AB EF FD h h ===，所以

:1:12AEF ABC S S ∆∆=，从而ABC ∆的面积为72 cm 2

3．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于

5 由直角三角形射影定理2

CD BD DA =⋅可知2DA =，10AB =，即半径为5 4．如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线,,PAB PCD AB 是圆O 的直径，若

4,5,3PA PC CD ===，则CBD ∠=

30 由割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即4(4)5(53)AB ⨯+=⨯+，得6AB =

即圆O 的半径为3，因为弦3CD =，所以60COD ∠=

，从而1

302

CBD COD ∠=

∠= 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2,PA AC =是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，

1PB =，则圆O 的半径R =

由切割线定理知2PA PB PC =⋅，即221PC =⨯，4PC =，所以AC =

6．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于E ，4,8PC PB ==，则CD =

245

由切割线定理知2

PC PA PB =⋅得2,826PA AB ==-=，圆O 半径为3，连接CO ，则在直角三角形PCO 中，有3512,235CO CP OP CE CE ⨯⋅=⋅=

=+，从而24

5

CD = 7．如图，,AB CD 是圆O 的两条弦，交点为E 且AB 是线段CD 的中垂线，已知

6,AB CD ==AD 的长度为

由条件可知AB 为圆O 的直径，所以3r =，连接OD ，则2OE ==，

所以5,AE AD ==

=

8．如图，在梯形ABCD 中，////AD BC EF ，E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H ，若5,7AD BC ==，则GH =

1 由条件可知EF 为梯形ABCD 的中线，且1

(57)62

EF =

+=；由相似三角形的相似比可知,57EG BG GF DG BD BD ==，从而6157EG EG -+=，解得52EG =，同理可解得

5

2HF =，所以1GH =

9．如图，圆的内接ABC ∆的C ∠的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知3BD =，

7,5CE BC ==，则线段BE =

21

5

因为CD 为C ∠的平分线，所以BCE ECA ∠=∠，又圆周角EBA ECA ∠=∠，所以BCE EBA ∠=∠，又E E ∠=∠，所以EBC EBD ∆∆ ，从而BE BD EC BC =，即3

75

BE =，

所以21

5

BE =

10．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BC 是直径，MN 切圆O 于A ，25MAB ∠=

， 则D ∠=

115 连接AC ，由条件可知25C MAB ∠=∠= ，又BC 为直径，所以90BAC ∠= ，、

从而180902565B ∠=--= ，又180B D ∠+∠= ，所以115D ∠=

11．如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则

BF

BC

=

1

2

过E 作//EG DC 交BC 于G ，因为E 是BD 的中点，D 是AC 的中点，所以1124EG DC AC ==，BG GC =，又11

43

FG FC GC ==，所以

21

32

BF BG FG GC FC =-==

12．如图，圆'

O 和圆O 相交于A 和B ，PQ 切圆O 于P ，交圆'

O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ，3,15,MN NQ ==则PN =

由割线定理、切割线定理，有2NM NQ NB NA NP ⋅=⋅=，所以2315PN =⨯，

即PN =13．如图，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆上两点，如果46E ∠=

32DCF ∠= ，则A ∠的度数是

因为,EB EC 是圆O 的两条切线，所以EB EC =，又46E ∠=

，所以

1

(18046)672EBC ECB ∠=∠=-= ，又32DCF ∠= ，所以

180673281BCD ∠=--= ，从而1808199A ∠=-=

14．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距

离为3AB =，则切线AD 的长为

依题意，2BC ==，所以5AC =，由215AD AB AC =⋅=

，

得AD =15．如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心

O ，若12,PF PD ==

则EFD ∠的度数为

30

由切割线定理得2

PD PE PF =⋅2163

412

PD PE PF ⨯⇒===8EF ⇒=,4OD =, ∵OD PD ⊥,1

2

OD PO =

∴30P ∠= ,60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠=