复变函数的极限与连续性

z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中
o
xo
u
(1) 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
0,
（）, 使0 （0 )
z z0
时,恒有
f (z) A
则 称A为
f
(
z)当z
z0时Fra Baidu bibliotek
的
极
限
，
记
作lim zz0
f (z)
A
或 当z z0时 ，f (z) A
几何意义:
y
(z)
v
(w)
w f (z)
当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)在z0处 连 续;
若 在 区 域D内 处 处 连 续 ， 则 称f (z)在D内 连 续;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
在 曲 线C上 点z0处 连 续.
定理3
例1 证明 f (z)=argz 在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，