复变函数的极限与连续性
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1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数基础
（）, （0 )
当
0
z z0
时, 有
f (z) A ,
则称A为
f
( z )当z
z0时的极限，记作
lim
z z0
f (z) A
或当z z0时，f (z) A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f (z)就落入A的
A
一个预先给定的
z1 (z 1)(z 1)
z2 3 lim
z1 z 1 2
zi
例5.
lim
zi
z(z2
1)
例6. lim z Re(z)
z0
z
例7. 设函数 f (z) 在 z0连续且 f (z0 ) 0 , 则必可找到 z0的小邻域, 在这邻域内 f (z) 0 .
例8. 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
z z0
4)
设
lim
z z0
h(
z
)＝h0
,
lim
h h0
f (h)＝A,则
lim f [h(z)] A lim f (h)
z z0
h h0
以上定理可用定理1证,也可用极限定义证!
其他性质
1) 若f (z)在 z0处有极限,其极限是唯一的.
2) lim f (z) 0 lim f (z) 0;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y
02-1.5复变函数的极限与连续性教学课件
复变函数与积分变换沈阳工业大学理学院第三节复变函数一、区域二、复变函数三、复变函数的极限三、复变函数的连续性1．极限的定义定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域0<z−z0<ρ内有定义，若存在一确定的数A，使得对于任意给定的ε>0，存在δ(ε)，0<δ≤ρ，使得当0<z−z0<δ时，有f(z)−A<ε，则称A为f(z)当z→z0时的极限，记作limz→z0f z=A或记作三、复变函数的极限当z→z0时，f(z)→A.3. 极限存在的充要条件定理：设函数f z=u x,y+iv x,y,A=a+ib,z0=x0+iy0,则limz→z0f(z)=A⇔lim(x,y)→(x0,y0)u(x,y)=a,lim(x,y)→(x0,y0)v(x,y)=b说明：这个定理是将复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限问题转化为两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y)的极限问题.四、复变函数的连续性若lim z→z 0f z =f z 0，则称函数f z 在点z 0处是连续的.若f z 在区域D 内处处连续，称f z 在D 内连续.1．连续的定义2. 连续的充要条件定理：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z 0=x 0+iy 0处连续的充要条件是二元函数u x,y ,v x,y 在x 0,y 0处连续.若lim z→z 0f (z)=f(z 0)，z ∈C ，则称f(z)在曲线C 上z 0处连续.例2．讨论函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2−y2)的连续性.二元函数u=ln(x2+y2)在除了(0,0)外处处连续,解：v=x2−y2在复平面上处处连续，故函数f(z)在复平面上除(0,0)外处处连续.定理(1)连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数；(2)连续函数的复合函数是连续函数；(3)f z在有界闭区域D上连续，则f z在D上是有界的;(4)f z在曲线段或包括端点在内的曲线段上连续，则f z在曲线段上有界.谢谢观看！。
第2章 复变函数
( x, y ) Î E .
(1)
其中 u = u ( x, y ) 和 v = v( x, y ) 是一对二元实函数, 它们分别称为 f ( z ) 的实部和虚部, 分别记 为 Re f ( z ) 和 Im f ( z ). 这说明一个复函数等价于一对二元实变量的实函数. 复函数的形如(1)式的表示形式对应于复数的代数形式. 对应于复数的指数形式, 相应地可 以将复函数表示为指数形式:
f ( z) > M ,
则称当 z 0 时, f ( z ) 趋近于无穷大 记为 lim f ( z ) = ¥.
z z0
(2) 设 w = f ( z ) 是定义在 E 上的复函数, 无穷远点 ¥ 是 E 的聚点(即对任意 r > 0, ¥ 的
r 邻域 { z : z > r } 中包含 E 中的点), 是一复数. 若对任意 > 0, 存在 r > 0, 使得当 z Î E 并且 z > r 时, 有
复变函数的连续性
定是 E 的聚点. 若
z z0
lim f ( z ) = f ( z0 ),
则称 f ( z ) 在点 z0 处(相对于集 E )连续. 若 f ( z ) 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f ( z ) 在 E 上连 续. 例6 例 5(2)的结论表明多项式函数在复平面上处处连续. 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是定义在 E 上的复函数, z0 = x0 + iy0 是 E 的聚 定理 2.1.2
于是 f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 )
1 f ( z0 ) . 2
1 f ( z0 ) . 即 2
复变函数的极限和连续性
设复变函数 f ( z ) 当 z → z 0 时的极限存在 , 此极限值与 z
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
复变函数与积分变换
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时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
复变函数与积分变换
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结 束
第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
复变函数与积分变换
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时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
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第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .
复变函数论第1章第3节
z → z0 z∈E
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
复变函数第二章 1-2
二、连续性 定义 6.2 若 lim f ( z ) = f (z0 ) , 则称 f ( z ) 在 z0 点连续 ; z→ z
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
复变函数的极限与连续
§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数
盐城工学院基础部应用数学课程组
z Re( z ) 例1 计算函数 f ( z ) 在 z 0 的极限. z
解 设z x iy，则 f ( z )
x2 x y
2 2
i
xy x2 y2
u( x, y )
x2 x y
2 2
, v( x, y)
2 2
xy x2 y 2
根据复数的乘法公式可知,
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成 w 平面上与实轴交角为 2 的角形域 .
盐城工学院基础部应用数学课程组
定义虽然在形式上相同 , 但在实质上要求苛刻得多
.复变函数、极限、连续的等价条件 2.
① 一个复变函数对应于两个二元实变函数； ② 复变函数的极限存在等价于两个二元实变函数 极限同时存在； ③ 复变函数连续等价于两个二元实变函数同时连续.
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作业
习题一: 31,32
盐城工学院基础部应用数学课程组
z 2 . 例3 计算 lim z i z 1 z 2 z 2 i 2 1 3i 在z i处连续， 故 lim . 解 因为 z i z 1 z 1 i 1 2
盐城工学院基础部应用数学课程组
2.连续函数的性质 (1)连续函数的和差积商仍然连续；
f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z)
盐城工学院基础部应用数学课程组
1 例1 证明 w 是定义在除原点外的整个复平面上 z 的复变函数.
证 令z x iy,
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
复变函数的极限与连续性
在
处是连续的。
例 多项式函数
在复平
上是连续函数。
例 有理分式函数
，其中
为多项式函数在复平面上使分母不为零的点处是连续
的。
例 函数
单击此处添加副标题
一 函数的极限
如图:
定义1
为定复数，
在
的某个去心邻域内
有定义，
设函数
总
存在一个正数
如果对于任意给定的
使得当
时，
恒有
那么称
为函数
当
趋向于
时的极限。
记作
注意： 趋向于 的方式是任意的。 定理1 设 则 的充要条件为 且 定理2 设 则
不存在，其中
例 解 因此 不存在。 说明 由于
二 函数的连续性
定理3
在点
处连续的充要条件是
在
处都连续。
定理4
处连续函数的和、差、积和商
(分母不为零)仍为
处连续函数。
（1）在
定义2
则称函数
处是连续的，
在
如果
在区域
上每一
点都是连续的，
如果函数
上的连续函数。
则称函数为区域
（2）如函数
在
处连续，函数
在
处连续，则复合函数
处是连续的。
例 多项式函数
在复平
上是连续函数。
例 有理分式函数
，其中
为多项式函数在复平面上使分母不为零的点处是连续
的。
例 函数
单击此处添加副标题
一 函数的极限
如图:
定义1
为定复数，
在
的某个去心邻域内
有定义，
设函数
总
存在一个正数
如果对于任意给定的
使得当
时，
恒有
那么称
为函数
当
趋向于
时的极限。
记作
注意： 趋向于 的方式是任意的。 定理1 设 则 的充要条件为 且 定理2 设 则
不存在，其中
例 解 因此 不存在。 说明 由于
二 函数的连续性
定理3
在点
处连续的充要条件是
在
处都连续。
定理4
处连续函数的和、差、积和商
(分母不为零)仍为
处连续函数。
（1）在
定义2
则称函数
处是连续的，
在
如果
在区域
上每一
点都是连续的，
如果函数
上的连续函数。
则称函数为区域
（2）如函数
在
处连续，函数
在
处连续，则复合函数
复变函数的极限.ppt
z z0
六、复变函数的连续性(P22)
哈 尔
如果 lim z z0
f (z)
f (z0 ),则称f (z)在z0处连续.
滨 工
如果f (z)在区域G内每一点均连续，则称
程
大 学
f (z)在G内连续。
定理3 f (z) u( x, y) iv( x, y)在点z0 x0 iy0
尔
滨 工
例3
考察函数w z2
程 大
w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
学
因此w z2对应u x2 y2, v 2xy
复 变
例4
函
数
与
积
分
变
换
将定义在全平面除原点区域上的一对
二元实变函数
u
x
2x 2
y
2
，v
x2
y
y2 ，x2
y2
大 学
z z0
z z0
z z0
复 2. lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
变
z z0
z z0
z z0
函
数
与 积 分 变 换
3.
lim
f (z)
lim
z z0
f (z)
(lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
证明函数f (z)
z 在z 0时极限不存在. z
哈 尔
证
设z x iy,
滨
工 程 大 学
f (z)
z z
x2 x2
1.22复变函数的极限与连续性
记作 lim f (z) A. (或 f (z) zz0 A) zz0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
当 动点z进入点z0的邻域时，对应的函数值 f (z) 就进入点A的邻域．
2. 极限计算的性质
定理
设 f (z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0,
今后不再区别函数与映射.
四、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f (z) 在 z0 的去心邻域 0 z z0 内有定义,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地
必有一正数 , 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A , 那么称A为 f (z)当 z 趋向于z0 时的极限.
r
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时,
f (z)趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴 arg z 0 趋于零时, f (z) 1,
沿 arg z π 趋于零时, f (z) 0, 2
故 lim f (z) 不存在. z0
五、复变函数的连续性
1. 函数连续的定义:
如果 lim zz0
v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续,
f (z) 在复平面内除原点外处处连续.
例4：求lim z 1
zi z 2
解： z 1 在点z i处连续，
z2
lim z 1 zi z 2
i 1 3 i i2 5 5
小结与思考
1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 2. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
当 动点z进入点z0的邻域时，对应的函数值 f (z) 就进入点A的邻域．
2. 极限计算的性质
定理
设 f (z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0,
今后不再区别函数与映射.
四、复变函数的极限
1.函数极限的定义:
设函数 w f (z) 在 z0 的去心邻域 0 z z0 内有定义,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地
必有一正数 , 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A , 那么称A为 f (z)当 z 趋向于z0 时的极限.
r
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时,
f (z)趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴 arg z 0 趋于零时, f (z) 1,
沿 arg z π 趋于零时, f (z) 0, 2
故 lim f (z) 不存在. z0
五、复变函数的连续性
1. 函数连续的定义:
如果 lim zz0
v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续,
f (z) 在复平面内除原点外处处连续.
例4：求lim z 1
zi z 2
解： z 1 在点z i处连续，
z2
lim z 1 zi z 2
i 1 3 i i2 5 5
小结与思考
1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点. 注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样, 只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行 了. 2. 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
1-2复变函数的极限
2
哈 尔 滨 工 程 大 学
w ( z 3 ) (1 i ) { 2[cos
2
4
i sin 2 4
4
]}
2
( 2 ) [cos(
2
2 4
) i sin(
)] 2 i
复 变 函 数 与 积 分 变 换
由 乘 法 的 辐 角 公 式 ： Argw Arg z Arg z , 通 过 映 射 w z , z的 辐 角 增 大 一 倍 ,
外点
z 0 内点
P
复 变 函 数 与 积 分 变 换
边界与边界点: 设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界
闭 包 ： 区 域 D与 它 的 边 界 一 起 称 为 D 的 闭 包 ,
哈 尔 滨 工 程 大 学
*
w f (z)
定义域
函数值集合
复 变 函 数 与 积 分 变 换
w 称 为 z的 象 , z 称 为 w的 原 象 . (z) y v w=f(z)
(w)
G*
z
o
G x
w=f(z) w o u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔 滨 工 程 大 学
函数，映射，变换都是一种对应关系的
反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
哈 尔 滨 工 程 大 学
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。
哈 尔 滨 工 程 大 学
w ( z 3 ) (1 i ) { 2[cos
2
4
i sin 2 4
4
]}
2
( 2 ) [cos(
2
2 4
) i sin(
)] 2 i
复 变 函 数 与 积 分 变 换
由 乘 法 的 辐 角 公 式 ： Argw Arg z Arg z , 通 过 映 射 w z , z的 辐 角 增 大 一 倍 ,
外点
z 0 内点
P
复 变 函 数 与 积 分 变 换
边界与边界点: 设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界
闭 包 ： 区 域 D与 它 的 边 界 一 起 称 为 D 的 闭 包 ,
哈 尔 滨 工 程 大 学
*
w f (z)
定义域
函数值集合
复 变 函 数 与 积 分 变 换
w 称 为 z的 象 , z 称 为 w的 原 象 . (z) y v w=f(z)
(w)
G*
z
o
G x
w=f(z) w o u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
哈 尔 滨 工 程 大 学
函数，映射，变换都是一种对应关系的
反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
哈 尔 滨 工 程 大 学
区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。
1-6复变函数的极限和连续性
, ∃δ > 0 , 当z ∈ N δ ( z0 ) 时
f ( z ) − f ( z0 ) ≤ f ( z ) − f ( z 0 ) < ε
故 0< f ( z0 ) 2 < f ( z0 ) - ε < f ( z ) ≤ f ( z0 ) + ε
∴ f ( z) ≠ 0
25
32. 试证 arg z 在原点与负实轴上不连续 .
那末 lim f ( z ) = A 的充要条件是
z → z0 x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u0 ,
x → x0 y → y0
lim v ( x , y ) = v0 .
证明:书上26页 证明:书上26页 26
4
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
8
当 z 沿不同的射线 arg z = θ 趋于零时, f ( z )趋于不同的值 . 例如 z 沿正实轴 arg z = 0 趋于零时, f ( z ) → 1,
π 沿 arg z = 趋于零时 , f ( z ) → 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
z→0 →
9
1z z 例2 设 f ( z ) = − ( z ≠ 0 ) 2i z z 证 明 ： 当 z → 0时 ， f ( z )的 极 限 不 存 在
2
= ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = z1 z1 + z2 z2 − z2 z1 − z1 z2
1-4复变函数及其极限与连续
2
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
26
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的 (2) 有理分式函数 w P (z) , 其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
Co
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
22
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
26
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n , 对复平面内的 z都所是有连点 ;续的 (2) 有理分式函数 w P (z) , 其中 P(z)和Q(z)都是多 , 项式
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
w z21
o
z 2w1
y
A
B z123i
Co
x
z212i
C A
v
w 212i
o
u
B w 123i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
8
(2)函数 wz2构成的. 映射
显z然 平将 面 z 1 i,上 z 2 1 2 的 i,z 3 1 点 映w 射 平成 面 w 1 上 1 ,w 2 的 3 4 i,w 3 点 1 .
22
定理二
设 lim f (z) A, limg(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
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z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
0,
（）, 使0 （0 )
z z0
时,恒有
f (z) A
则 称A为
f
(
z)当z
z0时
的
极
限
，
记
作lim zz0
f (z)
A
或 当z z0时 ，f (z) A
几何意义:
y
(z)
v
(w)
w f (z)
当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)在z0处 连 续;
若 在 区 域D内 处 处 连 续 ， 则 称f (z)在D内 连 续;
若z、z0
C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
在 曲 线C上 点z0处 连 续.
定理3
例1 证明 f (z)=argz 在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，