非稳态导热的基本概念资料
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非稳态导热
第一节 非稳态导热的基本概念
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 非稳态周非导期周热性期非性稳 非态稳导态热导热（又称为瞬态导热）
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
指物体温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 1.举例说明其过程特点：以采暖设备给室内供热为例，分析
第二节 集中参数法
四、时间常数：
当采用集中参数法分析导热物体时，其过于温度随时间成
指数曲线变化，见图3-5.指数 cV 称hA为时间常数 。当 c
时0， 0，即0.物36体8的过于温度已经降低到初始过于温
度值的36.8％。
热电偶测定流体温度时，其时间常数说明了热电偶对流体 温度变化响应快慢的指标。时间常数越小，热电偶越能迅速反 映出流体温度的变动。
③当两种热阻的数值比较接近，即Bi 为有限值时，其温度分布见图 3-4c。
第二节 集中参数法
一、集中参数法的实质：
当Bi≤0.1时，可忽略物体内部导热热阻而认为其内部温度场
均匀一致，此时的温度为 t而f与空间坐标无关。此简化分析
方法称为集中（总）参数法。因为物体的温度与空间坐标无关， 故集总参数法容易处理形状不规则的物体。
P116图3-4
①1 h
即
i
h
1
h
见图3-4a，由于表面换热热阻可以忽略，一开始平板表面温度就被
冷却到
于 tf。
tf
， 随着时间的推移，平板内各点的温度逐渐下降而趋近
②
1 h
即
i h0
见图3-4b，由于平板导热热阻可以忽略，任一时刻各点的温度一致，
即t=f(τ),并随时间的推移整体下降，逐渐趋近于 。 t f
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 非稳态周非导期周热性期非性稳 非态稳导态热导热（又称为瞬态导热）
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
指物体温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 1.举例说明其过程特点：以采暖设备给室内供热为例，分析
第二节 集中参数法
四、时间常数：
当采用集中参数法分析导热物体时，其过于温度随时间成
指数曲线变化，见图3-5.指数 cV 称hA为时间常数 。当 c
时0， 0，即0.物36体8的过于温度已经降低到初始过于温
度值的36.8％。
热电偶测定流体温度时，其时间常数说明了热电偶对流体 温度变化响应快慢的指标。时间常数越小，热电偶越能迅速反 映出流体温度的变动。
③当两种热阻的数值比较接近，即Bi 为有限值时，其温度分布见图 3-4c。
第二节 集中参数法
一、集中参数法的实质：
当Bi≤0.1时，可忽略物体内部导热热阻而认为其内部温度场
均匀一致，此时的温度为 t而f与空间坐标无关。此简化分析
方法称为集中（总）参数法。因为物体的温度与空间坐标无关， 故集总参数法容易处理形状不规则的物体。
P116图3-4
①1 h
即
i
h
1
h
见图3-4a，由于表面换热热阻可以忽略，一开始平板表面温度就被
冷却到
于 tf。
tf
， 随着时间的推移，平板内各点的温度逐渐下降而趋近
②
1 h
即
i h0
见图3-4b，由于平板导热热阻可以忽略，任一时刻各点的温度一致，
即t=f(τ),并随时间的推移整体下降，逐渐趋近于 。 t f
93非稳态导热收集资料
三、一维非稳态导热的分析解
1.大平板问题的分析解
如果Bi>0.1，则物体内的温度分布不总是均匀的， 不能采用集总参数法进行分析。对于非稳态、一 维、常物性、无内热源的问题，可以采用分析法 进行研究。
问题：无限大平板，厚度2δ ，两侧换热，对
流换热系数为h，0时刻，置于t=tf的流体中， t0=f(0)。 常物性、一维、非稳态、无内热源的导热问题。
2 tf
1 0 t0
Bi 0.1
2
tf
1 0 t0
Bi 0.1
1.若物体内的导热热阻远大于边界上的对流换热热阻，相当于第一 类边界条件；
2.若物体内的导热热阻远小于边界上的对流换热热阻，任一时刻， 物体内的温度接近均匀；
3.若物体内的导热热阻与边界上的对流换热热阻比较接近，界于上 述两种情况之间。
(3) 线算图只适用于Fo 0.2的情况;
(4) 对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分 别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，
解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi、Fo和r/R的函数,
0
f
Bi
,
Fo ,
r R
Bi
hR
n sin(n )cos(n )
f
Bi, Fo
8/21/2019
华北电力大学(北京)动力系热工教研室
3. 诺模图
按分析解第一项绘制的线图
中心过余温度
e m
n
2
a 2
2sin(n )
f Bi, Fo
0
n sin(n ) cos(n )
非稳态传热
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
t
t(x,τ)
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
t
t(x,τ)
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
非稳态导热——精选推荐
∞ t
tw＝ tf
τ3
τ1 τ2
t0
τ3 τ4 τ1 τ2
∞
x
x a有限厚物体
∞ b半无限厚物体
图 有限厚与无限厚物体
§11.2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关，因此，也称为
当 Bi → 0时，⇒ rλ << rα，因此，可以忽略导热热阻(薄材)
物体内有均匀的温度分布
第一类边界条件（流体温 度等于壁面温度）
0 < Bi < ∞
14
（4） 薄材的判断方法
Bi
=
αδ λ
≤ 0.1
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
对厚为2δ的无限大平板; 对半径为δ的无限长圆柱
零维问题(薄材)，薄材的温度分布可用常微分方程描述。
α tf
2 温度分布
Q
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
τ = 0时，t = t 0
将其突然置于温度恒为 t f 的流 体中。
宗燕兵
20
当物体被冷却时（t>tf）,由能量守恒可知
常
Aα
(t
−
t
f
)
=
-
ρVc
dt
dτ
(τ = 0，t = t0 )
如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，
Bi →0，可理解为物体热导率λ→∞；
也可理解为h→0；
或者材料的厚度δ →0。 这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上λ→∞或h→0
3.1 非稳态导热过程的类型和特点
非稳态导热过程 的类型和特点
1. 非稳态导热的基本概念
（1）定义 ：
物体的温度随时间而变 化的导热过程称非稳态导热。
t f (r， )
（2）分类：
a) 瞬态非稳态导热：物体的温度随 时间的推移逐渐趋近于恒定的值； 如钢坯在炉内的加热室式热处理炉 炉壁的导热
b) 周期性非稳态导热：物体的温度 随时间而作周期性的变化；如太阳 辐射使得地球表面温度变化（1天内 、一年内）
（3）瞬态非稳态导热的特点：
三个阶段： a) 非正规状况阶段: 温度分布主要受初始温度分布控制
非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2为零；
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（3）瞬态非稳态导热的特点：
b) 正规状况阶段: 温度分布不受初始温度影响，主要
取决于边界条件及物性
正规状况阶段： Φ1继续减小，Φ2逐渐增大。
c) 新的稳态
Φ1－－板左侧导入的热流 Φ2－－板右侧导出的热流
（4）周期性非稳态导热过程的特点：
a）温度波的衰减 b）温度波的延迟
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THANKS
1. 非稳态导热的基本概念
（1）定义 ：
物体的温度随时间而变 化的导热过程称非稳态导热。
t f (r， )
（2）分类：
a) 瞬态非稳态导热：物体的温度随 时间的推移逐渐趋近于恒定的值； 如钢坯在炉内的加热室式热处理炉 炉壁的导热
b) 周期性非稳态导热：物体的温度 随时间而作周期性的变化；如太阳 辐射使得地球表面温度变化（1天内 、一年内）
（3）瞬态非稳态导热的特点：
三个阶段： a) 非正规状况阶段: 温度分布主要受初始温度分布控制
非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2为零；
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（3）瞬态非稳态导热的特点：
b) 正规状况阶段: 温度分布不受初始温度影响，主要
取决于边界条件及物性
正规状况阶段： Φ1继续减小，Φ2逐渐增大。
c) 新的稳态
Φ1－－板左侧导入的热流 Φ2－－板右侧导出的热流
（4）周期性非稳态导热过程的特点：
a）温度波的衰减 b）温度波的延迟
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THANKS
传热学课件 第三章 非稳定导热
2
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
0e
特征尺寸
V A
hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算
0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv
hV A
h d 2 l 4 dl 2 d 2 4
h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2
exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv
传热学非稳态导热
第三章非稳态导热Transient Conduction第五讲13.1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热的概念非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的导热过程。
稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的导热过程。
对于非稳态导热，物体内各点的热流密度随时间改变不？第五讲2二、应用背景•加热炉、连铸、连轧，加热时间和工件质量•改变材料的力学特性热处理（淬火、正火、回火）；•机加工，零件的热应力、热变形；•微电子器件，瞬态、交变工作状态下的寿命、热应力；•热力设备的启动与停机；•表面处理、光盘的读写；•航天器的升空与降落过程；•子弹出膛时的升温过程；•。
第五讲3第五讲4工程上典型温度变化率的数量级第五讲6第五讲7第五讲8第五讲9无限大平板的初始温度为t 0。
τ= 0时刻，其左边温度突然上升为t 1并保持不变，右侧与温度为t 0的空气接触。
平板内温度变化过程？三、非稳态导热过程的特点第五讲10该阶段的温度变化规律是讨论的主要内容11二、非稳态导热问题作集总参数处理的条件•物体的尺寸比较小；•材料的热导率比较大；•表面传热系数比较小。
上述三条均为相对概念，并不能严格说明何时可以采用集总参数法。
那么应该用什么参数来作为判断准则呢？第五讲13第五讲16•Bi →∞导热热阻起决定作用，对流热阻极小，t w →t ∞, 第一类边界条件的瞬态问题•Bi →0 导热热阻极小，内部温度趋于一致•Bi 有限大小，内外热阻都起作用不同Bi数平板内温度变化（初温t 0、环境温度t ∞）第五讲24ρcV /hA 具有时间的量纲，称为时间常数τc.0/0.368θθ=用集总参数法分析时物体过余温度的变化曲线当τ=τc 时，第五讲26M ：与物体的几何形状有关的常数平板：M=1圆柱：M=1/2球：M=1/3四、集中参数法的适用范围当Bi V <0.1M时，物体内各点间的过余温度的偏差将小于5%。
五、多集总系统由两个或两个以上子系统构成的系统（如两个接触良好的固体或盛在容器中的液体)，集总参数法可以应用于其子系统。
4.1 非稳态导热基本概念
第四章 4.1节 （8）
1
4.1 非稳态导热的基本概念
4.1.1 非稳态导热问题的类型
• 瞬态导热（transient conduction）: 物体内温度 随时间连续升高（加热过程）或连续下降 （冷却过程），直至逐渐趋近于某个新的平 衡温度值
• 周期性导热（periodic unsteady conduction）: 多半由边界条件的周期性变化引起
第四章 4.1节 （8）
3
4.1.2 瞬态导热过程的基本特征
试分析：无限大 平壁一侧流体温 度突然跃升，另 一侧温度不变， 整个平壁经历的 温度变化过程。
第四章 4.1节 （8）
4
注意：3 时刻特指温度扰动刚刚传到平壁右表面
的那个时刻，称为穿透时间；
瞬态导热过程热量传递的基本特征：
1.平壁内一定位置在瞬态过程开始后一定时间 才出现温度变化，这种现象叫做热量传递的 “滞后效应”。
6
传入平壁的净热量？
两条线所夹的 面积代表平壁在 整个瞬态过程中 蓄存的总热量。
第四章 4.1节 （8）
7
瞬态导热过程热量传递的基本特征：
3. 整个瞬态导热过程分成具有不同特点 的两个阶段，即 初始阶段 ( initial regime ) 和 正规状况阶段（ regular regime），初始阶段也可以称为非正 规状况阶段。
第四章 4.1节 （8）
2
求解瞬态导热问题的两个主要目的:
• 确定物体内某给定位置达到预定温度所
需要的时间，以及在这段时间内热源所 提供的总热量 为拟定加热或冷却工 艺条件提供必要的依据
• 确定经历一定时间后，物体内温度场的
分布状态以及它相对时间的变化速率 掌握物体内的温度分布状况并校核 热应力
V4第三章-非稳态热传导-2014
1/ h /
6 6
1/ h / （ 2）
即对流换热热阻远大于导 热热阻，此时传热热阻主 要是边界对流换热热阻， 因而可认为同一时刻平壁 内部温度是相同的，而平 壁表面和流体间存在明显 温差，这一温差随着时间 推移和平壁总体温度降低 而逐渐减小。
1/ h /
半径为 r 的圆柱 半径为 r 的球体
V
r 2l r A 2 rl 2
4 V
r 3 2 A 4 r 3
r3
（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足BiV≤0.1M， 就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。 与形状有关的无量纲量 无限大平板 M 1 1 无限长圆柱 M 2 球
毕渥数,无量纲特征数 傅里叶数
V
e Bi 0
FoV
exp BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
14
傅里叶数的物理意义：
Fo
a
2
2 a
[s]
Fo为两个时间之比，是非稳态导 热过程的无量纲时间。
[m2]
[m2/s]
毕渥数的物理意义：
第三章 非稳态热传导
1
3-1
非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的基本概念
★非稳态导热 ：温度场随时间变化的导热过程。 ★非稳态导热的类型： （1）周期性非稳态导热： 在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸 壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。 （2）非周期性非稳态导热： 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工 件的加热或冷却、太阳辐射加热建筑物墙体等。
5 2015-5-24 5
（1）1/ h / 即对流换热热阻远小于平 板内的导热热阻，可认为 平壁表面温度一开始就和 流体温度基本相同，第三 类边界条件转化为第一类 边界条件。此时传热热阻 主要是导热热阻，因此平 壁内部存在温度梯度，并 随时间推移，平壁总体温 度逐渐降低。
第三章 非稳态导热
7
非稳态导热的基本概 念
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
8
无限大平壁的瞬态导 热
第三章
非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时间而变化 的导热过程。非稳态导热根据温度场随时 间变化规律的特点分类：
1.周期性非稳态导热：物体的温度随 时间而作周期性的变化（夏季或冬季房屋 外温度以24h的周期变化） 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值
1
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
28
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
35
绝 热 面
tf=60 ℃
h=500 W/(m2· K)
δ=40mm
x
500 0.04 0.313 （1） Bi 63.9
h
63.9 5 m2 /s a 1.882 10 c 7823 434
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
*
12
n n为下面超越方程的根 ctg n h
非稳态导热的基本概 念
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
8
无限大平壁的瞬态导 热
第三章
非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时间而变化 的导热过程。非稳态导热根据温度场随时 间变化规律的特点分类：
1.周期性非稳态导热：物体的温度随 时间而作周期性的变化（夏季或冬季房屋 外温度以24h的周期变化） 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值
1
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
28
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
35
绝 热 面
tf=60 ℃
h=500 W/(m2· K)
δ=40mm
x
500 0.04 0.313 （1） Bi 63.9
h
63.9 5 m2 /s a 1.882 10 c 7823 434
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
*
12
n n为下面超越方程的根 ctg n h
第三章 非稳态导热
2 、无限长圆柱体或球体
(r , ) a hR r r f ( 2 , , ) f ( Fo, Bi, ) 0 R R R
=
m a 1 f1 ( , 2 ) f1 ( , Fo) 0 hR R Bi
r 1 r f2 ( , ) f2 ( , ) m hR R Bi R
习题：3-13，3-15
（5）
3-3 一维非稳态导热的分析解
一、无限大平板的分析解
一块厚为 2 的无限大平板为例，
t ( x, )
1、导热微分方程式及定解条件
t
t ( x, )
导热微分方程式，由式（2-8）得 t 2t 0 ）（3-11） a 2 ，（ 0 x ， x 初始条件：（1）t ( x,0) t0 ，（ 0 x ）（3-12） 边界条件：（1）t ( x, ) 0 x x0 （3-13）
二、求解一维非稳态导热问题的图线法
诺谟图：（1）按分析解第一项计算绘制的图线 m (0, ) 中心位置温度随时间变化量（x=0时） 0 ( x,0)
( x, ) f ( 1 ) 任意位置与中心位置的温度比值 m (0, ) 式（3-23）与x无关
其解为： e 0
hA exp( ) cV
说明：1） V A 具有长度的量纲，记作 l ，则 hA hV A2 h(V / A) a BiV FoV （3-6） 2 2 cV A cV (V / A)
a 一般地： Bi , Fo 2 l hl
只有两边同为某一常数时，该式才成立
只与 x 有关
分析解为
n n 1
( x , ) t ( x , ) t 0 t0 t
非稳态导热
非稳态导热的基本概念例1：设一平壁，初始温度为t0，突然将其投入到温度为t∞的流体中对其进行对称加热。
例2：设一平壁，初始温度为t0，在τ=0时使其左边温度恒为t1，右侧与温度t0的流体进行换热。
非稳态导热的特点：物体内各点温度随时间变化在热量传递过程中，由于温度的变化物体要积蓄（或放出）热量，即使是一维无限大平板对每个于热流垂直的面上热流也不相等。
工程上研究非稳态导热往往要解决以下几个问题：物体中某一部分的温度从初始值上升或下降到某一给定值所需要的时间；物体在非稳态导热过程中的温度分布；从某一时刻起经过一定时间后表面所传递的热量。
求解办法：在给定单值性条件求解导热微分方程。
当一物体表面突然被加热或被冷却时，物体中各点的温度变化及其分布取决于：物体表面与周围环境的热交换条件；换热越强烈，单位时间进入物体的热量（或物体放出）就越多。
物体内温度变化就越剧烈。
物体内部导热条件；导热热阻越小，则为传递一定热量所需的温度梯度就越小。
集总参数法的特点：是一种理想化模型；物体内热阻忽略不计；物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相同的温度；通过表面传递的热量立即设整个物体的温度同时发生变化；把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
有可能用集总参数法的条件（定性）：物体的导热系数要相当大；几何尺寸要相当小；表面换热要弱；表面积要大。
求解示例：问题的提出：有一任意形状的物体，体积为V，表面积为A，具有均匀的初始温度t0,在初始时刻将其置于温度为t∞的流体中，设t0＞t∞，表面与流体的对流换热系数为h,物体的参数为ρ、c,导热系数非常大。
求：1.物体内的温度随时间的变化；物体中任意时刻的热流；到某一时刻的总传热量；到某一温度所需的时间。
解：建立物力数学模型讨论：时间常数当时，物体内的过余温度达到初始时的36.8%毕渥数傅立叶数：能用集总参数法处理的条件（定量），要使各点的过余温度偏差小于5%，则要求：1.如Bi 定义为，（L为特征尺度）则要求：Bi≤0.1例题：用电热偶测量管道内气流的温度。
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
3-1非稳态导热
二、Fo准则对温度分布的影响
2 sin n x, x 2 a cos n exp n 2 0 n 1 n sin n cos n 2 Fo a
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
[ A1 cos( 1 x)]
[ A2 cos( 2 x)]
[ An cos( n x)]
a 2
2
….
n ( x, ) e
a n
2
将无穷个解叠加就得到无限大平板内温度场的分布：
( x, ) e
n1
a n
2
[ An cos( n x)]
三、 周期性非稳态导热过程简介
夏季室外空气温度以一 天24小时为周期变化； 室外墙面温度也以24小 时为周期变化，但比室 外空气温度变化滞后一 个相位、振幅有所减小 室内温度稳定（空调） ；墙内各处温度由于受 室外温度周期变化的影 响，也以同样周期变 化；振幅减小
学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
温度变化到达右壁面后初始温度分布的影响消失温度分布主要取决于边界条件及物性非稳态导热过程的温度变化瞬态导热过程三个阶段非正规状况阶段起始阶段正规状况阶段新的稳态1板左侧导入的热流量2板右侧导出的热流量阴影部分代表平壁升温过程积聚的能量
第三章 非稳态导热
适用条件：一维稳态、无内 热源、恒壁温、λ=常数
4.导热系数与温度成线性关系时的处理方法
0 (1 bt)其中0－系数， (m C) W
可通过以下方法处理：
b－常数
若已知t1及t2，则 m 0 (1 btm ) 常数 t1 t2 其中tm 。 2
五、显式、隐式差分方法优缺点
优点可以利用上一时间的温度一次性算出下一时间 的所有各节点值。 隐式差分方法恰好与显式相反。 缺点：Δx与Δτ的取值有一定限制。
例题：厚度为20mm的平壁状核反应堆燃料 元件，它的二个端面受到均匀冷却，冷却液的温 度t∞=250℃，h=1100W/(m2℃)，燃料元件的导 热系数为 30W/(m℃) ，导温系数为a=10-5m2/s。 试计算燃料元件从具有均匀内热源Φ1=107 W/m3 的稳态运行条件变成Φ2= 108W/m3以后2秒钟时 各结点温度为多少？
n
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2
2
（x, ) 因此 是F0和Bi以及 的函数,即 0 x
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
从公式中可知：
对于无限大圆柱体或球体，也可用查图方式求得。
适用条件： （1）适用于恒温介质的第三类边界条件或第一类边界 条件的加热及冷却过程。 （2）Fo>0.2，否则过于密集，误差太大，用解析解 求。
三
二维及三维非稳态导热问题的求解
y
有 一 矩 形 截 面 （ 2δ1×2δ2 ） 的 长 柱 ， 原来具有均匀温度 t0 ， 现将它突然浸没在温度 为t∞ 的流体中。流体与 长柱表面之间的换热系 数h 保 持 不 变。 试 分析 矩形截面的温度分布情 况。
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Bi0 是一个极限情况， 工程上把Bi<0.1看作是接近这种 极限的判据。 Bi<0.1时，平壁中 心温度与表面温度的差别5%， 接近均匀一致
—— 可用集总参数法求解
48-17
六、非稳态导热的研究目的
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
T f (x, y, z, ) ; Q f( )
非稳态导热的导热微分方程式：
在紧靠平壁左侧的区域温度首先上升，其余部分仍然保持为原 来的温度。经过某一时刻，壁内温度分布如曲线
H-B-K、H-C-K
2. 发展阶段
随着时间的推移，温度变化波及 的范围逐渐扩大,平壁内自左向右 ，各截面温度依次升高，温度变化 一层一层地传播到平壁的右侧表面
H-D-J、H-E-J、H-F-K
3.稳态导热过程 经过足够长的时间 (理论上为无限 长时间 )，壁内温度分布将成为一 条直线HGL。
例如：墙体温度昼夜的变化
非周期性---随时间推移趋于稳定
初
正
始
规
阶
阶
段
段
例如：热铁块投入凉水中
48-6
三、瞬态导热过程简介
平壁内温度场的变化过程
设有一定壁厚的平壁， 初始温度为Ti ，将其左侧 表面的温度突然加热升高 到Tw并维持不变，而右侧 表面仍与温度为 Ti的空气 相接触。
1. 非正规阶段—初始阶段
48-19
思考：
影响平壁内温度变化 的因素？
材料的热物性 边界条件 初始条件 时间
四、导温系数（热扩散率）
一维非稳态导热微分方程：
cp
T
2T
qv
若 cp 为常数，则引入导温系数 a
T
a2T
qv
c p
a CP ——物体的导热能力/储热能力
48-10
a CP
表征物体传递温度变化的能力
越大，cP越小，越大
金属工件的热处理 精密机床的热变形
民用： 地球气温的变化
医学上激光手术
48-4
二、非稳态导热的定义和特点
定义：物体的温度随时间而发生变化的导热过程
特点：
T= f()
1
（2）
T 0
在垂直热量传递方向上，每一截面上导热量不等
两个位置间的物体内能随时间变化
不能用热阻分析法！
分类
非稳态导热
周期性---随时间周期性变化
T
O
T
48-12
无限大平板在冷却时，第三类边界条件:
T0 T
x
,
- T
x
x
h(T
x
T )
T x
- T
T x T
x x
h
即： T tg
x x
48-13
T tg
T x
x x
x, h
T
x,
而 tg Txx'x' Th
任何时刻，壁表面温度分布的切线都通过坐标为 （+ /h，T）的O’点
— 第三类边界条件的定向点
48-14
毕渥准则
Bi
1
h h
物体的内部导热热阻 物体的表面对流传热热阻
x' h Bi
任何时刻，壁表面温度分布 的切线都通过坐标O’点
（+ /Bi ， T） — 第三类边界条件的定向点
48-15
Bi 1
温度分布
定向点O’: （ + /Bi
，T）
Bi
1 h h
传热学
Heat Transfer
南京航空航天大学 能源与动力学院
第三章 非稳态导热
主要内容
非稳态导热的基本概念 零维问题的分析法——集总参数法 典型一维物体非稳态导热的分析解 半无限大物体的非稳态导热 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
48-3
§3-1 非稳态导热的基本概念
一、应用背景 工业： 动力机械的启动、停机
Bi∞
当 Bi 时，意味着表面传热
系数 h （Bi=h/ ），对流
换热热阻趋于0。平壁的表面温 度几乎从冷却过程一开始，就
立刻降到流体温度 T 。
定向点O’就在平壁表面上
48-16
定向点O’: （ + /Bi ，T）大、导热 热阻 0,物体内的温度分布趋于 均匀一致。 定向点O’在无限远处
c T
(
x
T ) x
y
(
T ) y
z
(
T z
)
qv
+ 一定的初始条件和边界条件
唯一解
解的唯一性定理
求解方法：
分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法
分子动力学模拟
例如： 200C, 水 23空 c水 3447c空
所以不考虑对流换热时，
同的水层和空气层,要达到同样的温度场,空气所需时 间比水快150倍。
a与的关系：
（1）稳态导热温度分布：仅与导热系数有关
（2）非稳态导热温度分布，一般既与 有关 ，又与a有关
48-11
五、毕渥数Bi 对温度分布的影响
一块无限大平板放置在温度为 T ，对流换热系数为 h 的介质中冷却，其温度分布具有怎样的特征？