一、k 重因式
高代重因式
§1.6 重因式
推论1 推论 若不可约多项 p( x )是 f ( x )的 k 重因式 ( k ≥ 1) ,
p( x )是 f ( x ), f ′( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f ( k −1) ( x ) 的因式，但不是 则 的因式， f (k ) ( x) 的因式. 的因式
说明： 说明： 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关. 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关
§1.6 重因式
二、重因式的判别和求法
1. 若 f ( x ) 的标准分解式为： 的标准分解式为：
f ( x ) = cp r1 1 ( x ) p r2 1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ p rs s ( x )
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§1.6 重因式
作业
P45 16（1） （ ） 17 21 26
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§1.6 重因式
∴ f ′( x ) = p k −1 ( x ) ( kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) )
⇒ p k −1 ( x ) | f ′ ( x ) .
§1.6 重因式
令 h( x ) = kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) ,
Q p( x ) | g( x )且 p( x ) | p′( x ) ,
∴ p( x ) | kg ( x ) p′( x ) , ⇒ p( x ) | h( x )
⇒ p k ( x ) | f ′( x )
∴ p( x ) 是 f ′( x ) 的 k − 1重因式
注意 定理6的逆命题不成立， 定理6的逆命题不成立，即
p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式，但 p( x )未必是 f ( x ) 重因式，
高等代数§1.6 重 因 式
f ( x) 故 f ( x ) 与 ( f ( x ), f ( x )) 有完全相同的不可约因式， f ( x) 且 的因式皆为单因式. ( f ( x ), f ( x ))
例2
解:
f ( x ) x 5 15 x 3 10 x 2 60 x 72 在 求 f '( x ) 5 x 45 x 20 x 60
f ( n1) ( x ) 0.
基本公式:
( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g '( x ) (cf ( x ))' cf '( x ) ( f ( x ) g( x ))' f '( x ) g( x ) f ( x ) g '( x )
称多项式 n1 n 2 f '( x ) nan x ( n 1)an1 x a1 为 f ( x )的一阶微商(导数).
归纳地,可定义 f ( x )的高阶微商.
( k 1)
f ''( x ) ( f '( x ))',, f
(k )
( x) ( f
( x ))',,
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的单因式.
若 k 1, 则称 p( x )为 f ( x )的重因式. （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式.)
例1
2 2 2 设 f ( x ) ( x 2) , p( x ) x 2.
问: p( x ) 是否为 f ( x ) 的重因式? 在 [ x ]中,p( x )是 f ( x )的2重因式. 在 [ x ]中,p( x ) 不是 f ( x )的重因式.
高等代数课程教学大纲.总结
精品文档高等代数（ 1）课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别：专业基础课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4. 备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。
本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。
通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。
通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分教学时数：96 学时，其中理论教学81 学时，实践教学15 学时学分数： 6 学分教学时数具体分配：教学内容理论教学实践教学合计（学时）（学时）（学时）第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标：要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。
2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k 重因式与 k 重根的关系。
重因式的定义
§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1=k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1>k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式；指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的k 重因式的充要条件是存在多项式)(x g ,使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.推论2 不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.。
高等代数第章多项式重因式与重根
p k 1 x k p x g x p x g x
px gx,px p x,
px pxgx, 从而 p x k p x g x p x g x ,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因
式。
证： fxpkxgx,
一、多项式函数
1. 定义：设 fx a 0 a 1 x L a n x n F x ,对
c F , 数 fc a 0 a 1 c L a n c n F称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xFx, 对
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式
fx x 4 2 x 3 1 1 x 2 1 2 x 3 6
fxx22x32
例1.6.2：求多项式 f x3pxq有重因式的条件。
p0 3x 9q
2p
3x2 p
3x2 9q x 2p
重因式和重根
1.6重因式和重根1.判别下列多项式有无重因式?若有,求其重数.(1)32234()f x x x x =+-+;(2) 321()f x x x x =--+;(3) 4323431()f x x x x x =++++(4) 543257248()f x x x x x x =-+-+-解: (1) 2343()f x x x '=+-,于是1((),())f x f x '=,所以32234()f x x x x =+-+没有重因式;(2) 2321311()()()f x x x x x '=--=+-显然1x -是()f x 的因式,因此是()f x 的二重因式.(3)324983()f x x x x '=+++,由于1(,)f f x '=+,所以1x +是()f x 的二重因式;(4)4325202144()f x x x x x '=-+-+由于22((),())()f x f x x '=-,所以543257248()f x x x x x x =-+-+-有3重因式2x -;此时 3221()()()f x x x x =-++2.确定a 的值,使3231()f x x x ax =-+-有重因式236()f x x x a '=-+,由于1213()()()()()f x f x x x a '=-++-所以当3a =时,()f x 有3重因式1x -;3.确定a 、b 的值,使1x -至少是111()()n n f x axbx n +=++>的二重因式.11()()n n f x n ax nbx -'=++,于是有1010(),()f f '==所以 1010()n a n b a b ++=⎧⎨++=⎩1,a n b n ⇒=-=- 4.求43242037309()f x x x x x =++++在Q 上的标准分解式.32321660743028303715()()f x x x x x x x '=+++=+++而2253(,)f f x x '=++所以2222253123()()()()f x x x x x =++=++5.设不可约多项式()|()p x f x ,且是()f x '的1k -重因式,证明()p x 是()f x 的k 重因式.因为()|()p x f x 所以()p x 是()f x 的因式,设()p x 是()f x 的s 重因式,由定理1.6.2,则()p x 一定是()f x 的1s -重因式,于是11s k -=-,所以k s =,即()p x 是()f x 的k 重因式.6.证明:1x -是21112()()n n n f x x nx nx n +-=-+-≥的三重因式.212211()()()n n n f x nx n n x n n x --'=-++-212211[()()]n n nx x n x n -+=-++- 2122111[()()()]n n nx x n x -+=--+- 由于111|n x x +--所以1x -是()f x '的因式;考虑 12211()()n g x x n x n +=-++-则 1212121111()()()()()()n n g x n x n x n x x n -'=+-+=+--≥ 所以1x -是()g x '的因式;故它至少是()f x '的二重因式;再令11()n h x x -=-,则21()()n h x n x -'=-,于是1x -不再是()h x '的因式, 所以1x -只是()h x 的单因式,亦即只是()g x '的单因式,也亦即是()g x 的二重因式.所以1x -是()f x '的二重因式,从而1x -是21112()()n n n f x x nx nx n +-=-+-≥的三重因式.7.a 、b 满足什么条件,下列有理系数多项式才能有重因式.(1)33x ax b ++; (2)44x ax b ++3223333(),()()f x x ax b f x x a x a '=++=+=+ 若0a b ==则()f x 有3重因式x ;当0a ≠时,()f x '只有单因式;如果()f x '在Q 上不可约,则()f x 不可能有重因式;如果()f x '在Q 上可约,则因式只能是x ±的形式,此时如果()f x 有重因式,则0(f ±=所以此时有2340b a +=,即33x ax b ++有重因式的充要条件是2340b a +=(2) 4334444(),()()f x x ax b f x x a x a '=++=+=+ 当0a b ==时,则()f x 有4重因式x ;当0a ≠时,()f x '只有单因式;如果()f x '在Q 上不可约,则()f x 不可能有重因式; 如果()f x '在Q 上可约,则因式只能是x +2x -+的形式,此时如果()f x有重因式x +则0(f =所以此时有3480b a -=;如果()f x有重因式2x -+,则4224()(f x x ax b x =++=-+而这个等式不可能成立,所以44x ax b ++有重因式的充要条件是3480b a -=8.如果24211|x A x B x -++,求A 、B因为24211|x A x B x -++ ,所以10A B ++=; 其次设42422211111()()()A x B x A x A x A x A ++=-++=--- 所以欲使24211|x A x B x -++⇔10A -=12,A B ⇒==-9.设1|()n x f x -,证明1|()n n x f x -显然令n x y =,于是有1110|()|()()n n x f x y f y f -⇔-⇔= 但1|()n x f x -所以10101()()|()n n nf f x f x =⇒=⇒-10.设233121|()()x x f x xf x +++,证明1211|(),|()x f x x f x --设332121()()()()f x xf x x x g x +=++,令21()h x x x =++于是()h x 的根必为3312()()f x xf x +的根,而21()h x x x =++的根满足3211,ωωω==--所以 33121262612212011011100()()()()()()()()()f f f f f f f f f ωωωωωωωω⎧+=+=⎧⎪⇒⎨⎨--=+=⎪⎩⎩ 122110()()f f ⇒-=11112102110()(())()()f f f ωω⇒+=⇒+= 但121010()f ω+≠⇒=进一步有210()f =,即1211|(),|()x f x x f x --11.设()|()n f x f x ,证明()f x 的根只能是零或者n 次单位根.这里1n >由于()()()n f x f x g x =,若0()f c =则0()n f c =,进一步有 20()n f c = … 所以23,,,n n n c c c c 都是()f x 的根,由于()f x 不是零多项式,所以()f x 的次数有限, 于是23,,,n n n c c c c 不能互不相同.于是必有某个k 使110()k k n n c c c c -=⇒-= 所以 ()f x 的根只能是零或者n 次单位根。
高等代数第章多项式重因式与重根
解： f'x 5 x 4 1 2 x 3 3 x 2 1 0 x 6 ,
利用辗转相除法求得：
fx ,f'x x 2 2 x 1 x 1 2
把 f x 单因式化，得
fx f,x fx x 3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 由于 fx,fxx12,
故 x 1 是 f x 的3重因式，x 2 2 是 f x 的单因式，
使 f 2 7 ,f 1 2 ,f2 1 。
解一（待定系数法）：设所求的多项式
fxax2bxc,
由已知条件得线性方程组：
4a 2b c 7
abc 2
4 a 2 b c 1
解之得
a
7 6
b
3 2
c
2 3
解二（利用Lagrange公式）：
利用Lagrange插值公式可得：
b0 a0 b 1
b 2 LL b n 1
r
于是得 q x b 0 x n 1 b 1 x n 2 L b n 2 x b n 1 ,
ran cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 fxx5 x3 2 x2 8 x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x 与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x 是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
k1,L , ks 重。
要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
多项式理论
注：
①
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) 的最大公因式一定存在．
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示．
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
ai x i 称为i次项，a i 称为i次项系数． ① an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
3．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ]
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g( x )h( x )
则称 g( x ) 整除 f ( x ), 记作 g( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时， 称 g( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g( x ) 的倍式．
② g( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g( x ) | f ( x ).
③ 允许 g( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
区别：
重因式
k
记住设法
其中 p( x ) | g ( x ) .
f ( x ) p k 1 ( x ) kg( x ) p( x ) p( x ) g( x )
pk 1 ( x ) | f ( x ) .
§1.6 重因式
令 h( x ) kg( x ) p( x ) p( x ) g( x ) ,
ri 1 时， pi ( x ) 为单因式 ; ri 1 时, pi ( x ) 为重因式 .
§1.6 重因式
2. 定理6
若不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的 k 重因式 ( k 1 ), 则它是 f ( x )的微商 f ( x ) 的 k 1重因式.
证: 假设 f ( x ) 可分解为
的 k 重因式.
§1.6 重因式
推论1 若不可约多项式 p( x )是 f ( x )的 k 重因式 ( k 1) ,
( k 1) p ( x ) f ( x ), f ( x ), , f ( x ) 的因式，但不是 则 是
f (k ) ( x) 的因式.
推论2
不可约多项式 p( x ) 是 f ( x )的重因式
例1. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式.
f ( x ) x 5 10 x 3 20 x 2 15 x 4
§1.6 重因式
推论5 不可约多项式 p( x )为 f ( x ) 的 k 重因式
p( x )为 ( f ( x ), f ( x )) 的 k 1 重因式.
（若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式)
§1.6 重因式
数分高代定理大全
数分高代定理大全高等代数》第一章带余除法对于P[X]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x) 0，一定有P[x] 中的多项式q(x),r(x)存在，使 f (x) q(x)g(x) r(x)成立，其中(r (x)) (g(x)) 或者r(x) 0，并且这样的q(x), r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f (x),g(x)，其中g(x) 0,g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零.定理2对于P[x]中任意两个多项式f (x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f (x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x) 使d(x) u(x) f (x) v(x)g(x).定理3 P[x]中两个多项式f (x)，g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使u(x)f(x) v(x)g(x) 1 .定理4 如果(f(x),g(x)) 1，且 f (x) |g(x)h(x)，那么f(x)|h(x).定理5 如果p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x) ，由P(x) | f (x)g(x) 一定推出p(x) | f (x)或者p(x) |g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式f (x)都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，如果有两个分解式f (x) P1(X)P2(X)L P s(x) q(x)q2(x)L q(x),那么必有s t，并且适当排列因式的次序后有P i(x) Cjq(x),i 1,2,L ,s,其中C i(i 1,2丄,s)是一些非零常数.定理6如果不可约多项式p(x)是f (x)的k重因式(k 1),那么它是微商f (x)的k 1重因式.定理7 (余数定理)用一次多项式x 去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f().定理8 P[x]中n次多项式(n 0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算•定理9如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n 1个不同的数1, 2丄n 1 有相同的值，即f( i) g( i),i 1,2,L n 1,那么f(x) g(x).代数基本定理每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根•复系数多项式因式分解定理每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积•实系数多项式因式分解定理每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积•定理10 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式•定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积•定理12设f (x) a n X n a n 1x n 1 L a°是一个整系数多项式，而 -是它的有理s根，其中r,s互素，那么必有s|a n,r|a°.特别地，如果f (x)的首项系数a n 1，那么f(x)的有理根是整根，而且是a o的因子•定理13 (艾森斯坦(Eisenstein )判别法) 设f (x) a n x n a n农1 L a o是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得1. p I a n ；2・p I a n 1, a n 2 丄，a o ；3. p2| a o那么f(x)在有理数域上是不可约的第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个n 级排列与排列12L n 都可以经过一系列对换互变，并且所作 对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理4 （克拉默法则） 如果线性方程组X i d 1,X 2,L ,X n 虫，其中d j 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项d d db i ,b 2,L ,b n 所成的行列式，即立: a“A iCiAja l1 a i2L a21a22LM Ma n1an2La k2A i2 La2lA 2 j La kn A inanlA nj，A j 表示元素a j 的代数余子式，则下列公式成 d,当k 0,当k i, i. d,当l 0,当lj，j. a nx1a^x ? La ?1 X [ a ?2 X 2 LL L L La n1X 1a n2X2L的系数矩阵A的行列式d Aa1n X n b 1,a 2n Xnb 2,a nn Xnb nan a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2n MMM a n1an2Lann那么该线性方程组有解,并且解是唯一的，解可以通过系数表为定理3设da i na2nM0，a 11L兀 1 bj a,j 1 La ina21La 2, j1 b 2a2, j 1La2nM M M M Man1L an, j 1 b nan, j 1L ann非零解，那么必有A 0.定理6 (拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意取定了 k(1 k n 1)个行. 由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列 式D.第三章定理1在齐次线性方程组a 〔1 x 〔a^x ?La 1n X n0, a 21X*22 X 2 L a2n Xn0,L L L Lan1 X 1a n2X2La nn Xn中，如果s<n ,那么它必有非零解定理2设a i ，a 2L ，a ^与b i ，b 2，L ，b r 是两个向量组，如果d j,j 1,2,L , n.定理 5如果齐次线性方程组a*ii X 1 a^x ? a in X n a 21 X 1 a 22 X 2 L L L La2n Xn0, 0,a n1X1an 2X 2ann Xn的系数矩阵的行列式那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有定理7 两个n 级行列式D 1乘积等于一个n 级行列式CD 2的第j 列的对应元素乘积之和:a11a 12L ama21 a22L a 2n M MMan1an2LannC 12 L C 1 nC 22LC 2n，其中MM C n2LC nnC jj3i2b 2j和D 211 b21M b n1 b12 b22Mb n2bm2nM b nnC ij 是D 1的第i 行元素分别与L a in b nj.c 11 C 21M1 ）向量组a 1,a 2L ,s^可以经bbQLg 线性表出， 2）r>s ,那么向量组％a 2L ,a 「必线性相关.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理4矩阵的行秩与列秩相等.定理5 n ' n 矩阵aiia 12 L a 1n . a 21AM a22L a2nMMan1an2Lann的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n . 定理6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有r +1级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理）线性方程组3n X 1 a^2 X 2 L a 1n X n821X 1 822X 2 L a 2n Xn»有解的充分必 要 条件为 J 它的系数矩阵L L L L8n1X 1 8n2X 2 La nn X nb na11 ^2L a 1nan 厲2La1n bA a21a22ALa2n与增广矩阵Aa 21a22L a 2nP 有相同的秩。
高等代数习题及答案
高等 代数试卷一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每题1 分，共 10分）1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。
（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。
（ ）3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。
（ ）4、 Wx 1 , x 2 , x 3 x iR, i 1,2,3; x 1x 2x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。
（）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。
（ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。
（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（ ） 8、线性变换的属于特色根0 的特色向量只有有限个。
（ ）9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）nn10、若1, 2,, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且xi i，那么x i 2 。
i 1i 1（ ）二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后边的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每题1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ；② f 1 , f 2 , , f n1f i , f j 1, ij ,i , j 1,2,, n ；③ f x , g x f x g x , g x ；④若 f x , g x1f xg x , f xg x1 。
2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等；② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。
1.k 重因式 2.艾森斯坦判别法
在数学领域中，k重因式和艾森斯坦判别法是两个重要且常被讨论的主题。
通过深度和广度的评估，我们可以更好地理解这些概念的含义和应用，同时也能加深我们对数学领域的认识。
让我们从k重因式开始。
k重因式是指在多项式中重复出现k次的因式，其中k是一个自然数。
在代数学中，因式分解是一个非常重要且基础的概念，而k重因式则是这个概念的延伸和拓展。
对于一个多项式，我们可以通过因式分解的方法将其分解成若干个一次或高次的不可约因式的乘积。
而在这个过程中，如果某个因式重复出现了k次，那么我们就称它为k重因式。
在代数学的求解问题中，对多项式进行因式分解可以帮助我们更好地理解和解决问题，而k重因式的概念则可以帮助我们更深入地分析多项式的结构和性质。
接下来，让我们转而讨论艾森斯坦判别法。
艾森斯坦判别法是一种用于判断整数是否为质数的方法，也是数论领域中的重要工具之一。
这种方法的核心思想是，通过对给定的整数进行特定的变换和计算，来判断其是否能够被一个较小的质数整除。
如果能够被整除，那么这个整数就不是质数；反之，则可能是质数。
艾森斯坦判别法的应用范围非常广泛，它不仅可以用于数论领域的证明和推导，还可以在计算机科学和密码学等领域中发挥重要作用。
通过对k重因式和艾森斯坦判别法的深度和广度评估，我们能够更好地理解和应用这些数学概念。
无论是在代数学的求解问题中，还是在数论和密码学领域中，这些概念都具有重要的意义和价值。
希望通过本文的阐述，读者能够对这些概念有更深入的理解，并能够灵活运用于实际问题中。
我个人认为，数学是一门非常美妙和神奇的学科，它的深度和广度远远超出我们的想象。
k重因式和艾森斯坦判别法只是数学领域中的冰山一角，我们还有很多有趣和重要的数学概念等待去探索和理解。
希望大家能够保持对数学的热爱和好奇心，不断深入学习和思考，发现其中的乐趣和魅力。
总结回顾：本文通过对k重因式和艾森斯坦判别法的深度和广度评估，介绍了这两个数学概念的含义、应用和意义。
重因式定理和推论证明
重因式定理和推论证明以重因式定理和推论证明为标题，本文将详细介绍重因式定理和其推论证明的相关知识。
一、重因式定理的概念重因式定理是代数学中的重要定理之一，它表明任何一个多项式都可以被唯一地分解成若干个一次或多次幂的不可约多项式的乘积。
具体地说，对于任意一个多项式P(x)，存在唯一的一组不可约多项式f1(x), f2(x), ..., fn(x)使得P(x) = f1(x) * f2(x) * ... * fn(x)。
二、重因式定理的证明为了证明重因式定理，首先需要定义什么是不可约多项式。
不可约多项式是指不能再被分解为更小次数多项式乘积的多项式。
例如，x^2 + 1就是一个不可约多项式。
证明的核心思想是反证法。
假设存在一个多项式P(x)不能被分解为不可约多项式的乘积，即P(x)无法满足重因式定理。
那么我们可以推导出矛盾的结论。
我们假设P(x)是次数最高为n的多项式，且无法被分解为不可约多项式的乘积。
那么P(x)至少有一个因式g(x)，且次数小于n。
接下来，我们可以用P(x)除以g(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)。
根据带余除法，我们有P(x) = g(x) * Q(x) + R(x)，其中R(x)的次数小于g(x)。
现在我们来观察余式R(x)。
如果R(x)为0，则P(x)可以被分解为不可约多项式的乘积，与我们的假设相矛盾。
所以我们得出结论，R(x)不能为0。
因为R(x)的次数小于g(x)，所以我们可以继续重复上述步骤，将g(x)替换为R(x)进行除法运算。
每次运算后，我们可以得到一个次数更低的余式，且不能为0。
由于多项式的次数是有限的，所以这个过程必定会停止。
最终我们会得到一个次数为0的余式，即一个常数。
我们得到了一个矛盾的结论：多项式P(x)可以被分解为不可约多项式的乘积。
三、推论证明基于重因式定理，我们可以得出一些重要的推论。
1. 唯一性：根据重因式定理，多项式的分解是唯一的。
也就是说，如果将一个多项式分解为不可约多项式的乘积，那么这个分解是唯一的。
重因式
27q 2 只需 p 2 0, 即 4 p3 27q2 0, 4p 2 2 p 重因式是 x q 3
3
例3 用分离因式法（单因式化法）求多项式
f x x5 3x4 x3 5x2 6x 2
在Q上的标准分解式。
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
如果 f x 的标准分解式为：
k2 f x an p1k1 x p2 x
psks x ,
则 p1 x , , ps x 分别是 f x 的因式，且分别为
k1 ,
, ks 重。
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要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
f x g x f x g x f x g x ;
2、 cf x cf x ; 3、
解：
f ' x 5x4 12x3 3x2 10x 6,
' 2
利用辗转相除法求得：
f x , f x x把 f Fra bibliotekx 单因式化，得
2 x 1 x 1
2
f x x3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 f x , f x
2
x 3
2
3 f x px q 有重因式的条件。 例2 求多项式 9q 1 2 3 3x p x x px q p 0 3x 3 2p 9q p 2 3 3x x x x 2p 3
1-6重因式
1.若d ( x ) = 1, 则f ( x )无重因式；
2.若d ( x ) ≠ 1, 则d ( x )的每个不可约因式都是f ( x ) 的重因式；
高等代数
例1 设p( x )是f ′( x )的k − 1重因式，证明： (1) p( x )未必是f ( x )的k 重因式；
(2) p( x )是f ( x )的k 重因式 ⇔ p( x ) | f ( x ).
( f ( x ), f ′( x )) 的结果写出来 的结果写出来.
例
有无重因式. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式
f ( x ) = x 5 − 10 x 3 − 20 x 2 − 15 x − 4
推论5 推论 不可约多项式 p( x )为 f ( x ) 的 k重因式
高等代数
⇔ p( x )为 ( f ( x ), f ′( x )) 的 k − 1 重因式. 重因式.
为不可约多项式， 其中 pi ( x ) 为不可约多项式， 则 pi ( x ) 为 f ( x ) 重因式. 的ri + 1 重因式.
说明
高等代数
根据推论3、 可用辗转相除法 可用辗转相除法， 根据推论 、4可用辗转相除法，求出 ( f ( x ), f ′( x )) 是否有重因式． 来判别 f ( x )是否有重因式．若有重因式 ，还可由
小结
1、重因式的定义与性质定理及推论 、 2、重因式的求法 、
高等代数
作业： P45 16 作业： 练习： 练习： P45 16
高等代数
注: 1)此规定来源于数学分析，目前只看作一个形 1)此规定来源于数学分析 此规定来源于数学分析，
式的定义。 式的定义。 2)基本公式 基本公式： 2)基本公式：
高等代数课件--§1.6 重因式
k(k1)重因式, 则p(x)是f (x), f (x),…,
f (k1)(x)的因式, 但不是f (k)(x)的因式．
推论2
不可约多项式p(x)是f(x)的重因式
的充分必要条件是p(x)是f(x)与f (x)的公因式 推论3 多项式f (x)没有重因式的充分必
二、重因式的判别和求法
如果我们知道多项式的标准分解式，则
其重因式就非常容易知道是什么，但是多
项式的标准分解式并不容易得到，因此，
我们需要考虑其它的方法求重因式。
导数
设多项式为f(x)=anxn+ an1xn1+…+ a1x+a0， 称多项式 nanxn1+(n1) an1xn2+…+ 2a2x+a1 为f (x)的导数，记为f (x)。
4x8。
解：因为f (x)=4x3＋15x2＋12x4, 由辗转
相除法得
( f(x), f (x))= x2+4x+4=(x+2)2
所以 f(x)=(x+2)2(x2+x2) =(x+2)3(x1)例3ຫໍສະໝຸດ 设f(x)P[x], 证明
f (x)| f(x) f(x) =a(xb)n,a,b P
要条件是( f(x), f (x))=1.
推论4
设f(x)P[x], 若
m1
( f1 x , f 2 ( x )) p1
x p2 x ps x
m2 ms
其中p1(x), p2(x),…, ps(x)是互不相同的首项系 数为1的不可约多项式 ，则pi(x)为f(x)的mi+1 重因式, i =1,2,…, s .
重因式
显然，如果 f (x) 的标准分解式为
f ( x) cp ( x) p ( x) p ( x)，
r1 1 r2 2 rs s
那么 p1(x) , p2(x) , … , ps(x) 分别是 f (x) 的 r1 重， r2 重 , … , rs 重因式. 指数 ri = 1 的那些不可约因式 是单因式；指数 ri > 1 的那些不可约因式是重因式.
数等于零.
2. 重因式的判定定理
定理 6 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k
重因式(k 1)，那么它是导数 f (x) 的 k - 1 重因式.
证明 由假设， f (x) 可以分解为
f ( x ) = p k( x ) g ( x ) ,
其中 p (x) 不能整除 g(x). 因此
p11 ( x) p22 ( x) pss ( x) .
于是
f ( x) cp1 ( x) p2 ( x) ps ( x) . ( f ( x), f ( x))
这是一个没有重因式的多项式，但是它与 f (x) 具 有完全相同的不可约因式.
因式重数的有效办法. 因此，这是一个去掉
因为没有一般的方法来求一个多项式的标准分
解式，判别有没有重因式的问题就需要用另外的方 法解决.
二、重因式的判别法
1. 多项式的导数
设有多项式 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 . 我们定义它的导数是 f (x) = nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + … + a1 . 这种规定自然是来源于数学分析，但是在目前的
( f m (x) ) = m ( f m -1(x) f (x) ) . 同样可定义高阶导数的概念. 导数 f (x) 称为 f (x) 的一阶导数； f (x) 的导数 f (x) 称为 f (x) 的
不可约多项式称为的k重因式
§1-6 重因式Def 9. 不可约多项式称为的k重因式,如果.如果k=0, 称不是的因式 ;如果k=1,称为的单因式; 如果k>1,称为的重因式;如果的标准分解式为：,则分别是的重因式.注意:因式不一定是一次式(是不可约多项式)介绍多项式的导数、多项式的髙阶导数及导数的运算Theorem 6：如果不可约多项式P(x)是的一个k(k>1)重因式。
那么P(x)是的导数的一个k-1重因式。
特别，多项式的单因式就不是导数的因式。
推论1：如果不可约多项式那么的因式。
推论2：不可约多项式的充分必要条件是推论3：多项式f(x)没有重因式的充分且必要条件是f(x)与它的导数互素。
例1：设P(x)是多项式的导数的一个k-1重因式.证明：1） P(x)末必是多项式f(x)的k重因式；2） P(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)│f(x).解：1）反例：2）例2：证明：不能有重因式。
判断一个多项式有没有重因式的方法1．可用的辗转相除法得到2．通过的标准因式分解得到设的标准分解式为：于是，与具有相同的不可约多项式因式，但没有重因式的多项式。
例3：判断下列多项式有没有重因式1.；没有重因式2.有2重因式例4. a,b 应该满足什么条件多项式有重因式.解：令由于例5. 证明：不能有重根。
证明：＝，所以不能有重因式.从而不能有重根. 作业：P45-17、P46-18、19、20。
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□
有无重因式.若有 若有,求出其重 例1. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式 若有 求出其重 因式. 因式
f ( x ) = x 5 − 10 x 3 − 20 x 2 − 15 x − 4
k −1重因式. 重因式.
□
3
(推论 1)
, p(x)是 f (x)的 k(≥1)重因式 ⇒ p(x)是 f (x), f / (x), ⋯ 是 的 ( 是
f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式. 因式， 的因式.
证明： 据定理 6，p(x) 是 f / (x) 的 k −1重因式， f // (x) 的 k − 2 重因式， 证明： 因式， 因式，
( pk (x)g(x))/ = pk−1(x)(kg(x) p/ (x) + p(x)g/ (x)) → pk−1(x)| f / (x) .
令 h(x) = kg(x) p/ (x) + p(x)g/ (x) → p(x)| p(x)g/ (x), 但是
p(x)|kg(x) p/ (x) → p(x)|h(x) → pk (x)| f / (x) ，即 p(x)是 f / (x) 的
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法
一、k 重因式
p(x)称为f (x)的k重因式，是指 重因式， p(x)不可约; pk(x)| f (x), 而 pk+1 (x) 不可约; 不能整除f (x).
定义9 定义9 注：⑴ k = 0, p(x) 非 f (x) 的因式； 的因式； ⑵k = 1, ⑶k＞1, k
显然成立） 证明： 证明： ⇒ 即定理 6 （ p| f 显然成立）.
定 6 ⇒ p| f → 若 p(x) 是 f (x) 单 式 理 p(x) 非 f / (x) 因 →
的因式， 与题设矛盾, 故 p(x) 是 f (x) 的重因式， 重因式， 的因式， 与题设矛盾, 不妨设 p(x) 是 f (x) 的 k/ 重因式 → 据题设， p(x) 是 f / (x) 的 k/ －1 重因式 → 再由题设得 据题设，
重因式， 重因式，这与题设矛盾 → ( f (x), f / (x)) =1.
⇐ ( f (x), f / (x)) =1 → f (x), f / (x) 无公因式是不可约多项式
推 2 论 f (x) 无重因式. → 无重因式.
□
该性质的逆否命题： 该性质的逆否命题： f (x) 有重因式 ⇔ ( f (x), f / (x)) ≠1. 说明， 有无重因式， 推论 3 说明， 判别 f (x) 有无重因式， 可通过求最大公因式 辗 （ 转相除）来判定，进而说明，重因式与系数域的变化无关. 转相除）来判定，进而说明，重因式与系数域的变化无关.
f 不可约因式的有效方法 的有效方法， 的不可约因式的有效方法，g(x) = 的次数显然比 f (x) 的次 / (f, f )
数要低，其不可约因式便于计算. 例1 数要低，其不可约因式便于计算. 一般讲， 的逆不成立. 例如: 一般讲，定理 6 的逆不成立. 例如: 取 f (x) =
1 (x −1 k +1， ) k
2）（定理 6） p(x)是 f (x)的 k(≥1)重因式 ⇒ p(x)是 f / (x) 的 k −1重 是 的 ( 是 因式，特别：当 p(x)是 f (x)的单因式 ⇒ p(x)非 f / (x) 的因式. 因式，特别： 是 的单因式 非 因式. 证明： 证明： 据题设 → f (x) = pk (x)g(x), p(x)| g(x) → f / (x) =
5
(推论 3) f (x) 无公因式
⇔ ( f (x), f / (x)) =1.
定 证明： 证明： ⇒ 假 ( f (x), f / (x)) = d(x) ≠1 → ∂d ≥1，即存在不可约多
推 2 p 的 因 → 项式 p(x)| d(x), 即 (x)是 f (x), f / (x) 公 式 论 p(x)是 f (x)的 是 的
r r r r 定 6 f = apr1 p22 ⋯pss 理 ( f , f / )= pr1−1 p22 −1⋯pss −1 → → 1 1
f = ap p2 ⋯ps 是无重因式的多项式， 无重因式的多项式， 但与 f (x) 有完全相 1 / (f, f )
同的不可约因式 这里实际上给出了去掉因式重数 给出了去掉因式重数, 同的不可约因式 → 这里实际上给出了去掉因式重数,计算 f (x)
二、重因式的判别和求法பைடு நூலகம்
1.定义 1.定义 设 f(x) = anxn + an－1xn－1 + ··· + a1x1 + a0 , 规 定f /(x) = nanxn－1 + (n－1)an－1xn－2 + ··· + 2a2x + a1 为 f(x) 的一阶微商 一阶微商（导数），f /(x)的微商(f /(x))/ = f //(x) 一阶微商 为f(x) 的二阶微商 二阶微商等，f(x) 的k阶微商 阶微商记为f (k)(x) . 二阶微商 阶微商 简单性质: 简单性质 1) (f + g)/ = f / + g / ； (cf ) / = cf / ； (fg)/ = f /g + fg / ； (f m(x))/ = m(f m－1(x)f /(x). 如上定义仅是一种形式的定义，并未赋予微商具体 的，如同“数学分析”类似的意义. 又f (k)(x) ≠f k(x) . ∂f = n, 则有 ∂f / = n－1；∂ (f (n)) = 0；f (n+1) = 0. 例 f(x) = 3x4－5x3＋2x－1，f /(x) = 12x3－15x2＋2 .
p(x) 是 f (x) 的单因式； 的单因式； p(x) 是 f (x) 的重因式.
r1 r2 rs
) ⑷设f (x)典型分解为 f ( x ) = cp 1 ( x ) p 2 ( x ) 鬃 p s ( x, 重因式( 1,为单因式 为单因式， 则pi是f (x) 的 ri重因式(ri = 1,为单因式，ri ＞1, 1,2,…,s. 为重因式), 为重因式),i = 1,2, ,s.
f (3) (x) 的 k −3重因式，…， f (k−1) (x) 的 k −(k −1 =1重因式, f (k) (x) ) 因式， 重因式,
重因式，即结论成立. 的 k − k = 0 重因式，即结论成立. 4 (推论 2) p(x)是 f (x)的重因式 是 的
⇔
□ p(x)是 f (x), f / (x) 的公因式. 是 因式.
) 重因式， 则 p(x) = x −1是 f (x) = (x −1 k−1 的k −1重因式， 但非 f (x) 的
何条件下成立？ 因式 → 何条件下成立？
补充命题 命题） 3 （定理 6 补充命题）
p| f ； p(x)是 f (x)的 k 重因式 ⇔ 是 的 p(x) 是 f / (x)的k −1重 式 因 .
证明： 证明： ⇒ p(x)是 f (x)的重因式 → p(x)是 f / (x) 的因式 → p | f , f / , 是 的 是 因式. 即 p(x)是 f (x), f / (x) 的公因式. 是
⇐ p(x)是 f (x), f / (x) 的公因式 → 是
p(x)必定不是 f (x)的单因式（否则将推出 p(x)不是 f / (x) 的因式，出现 必定不是 因式， 必定不 的 因式（否则将推出 不 矛盾） 矛盾）→ p(x)是 f (x)的重因式. 是 的重因式. □