四川省高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省达州市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省达州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若a＜b，d＜c，且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，则a，b，c，d大小关系是（）A . d＜a＜c＜bB . d＜c＜a＜bC . a＜d＜b＜cD . a＜d＜c＜b2. （2分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A . 5B . 7C . 6D . 43. （2分）在等差数列中每一项均不为0，若，则t=（）A . 2011B . 2012C . 2013D . 20144. （2分）随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（）A . 3000元B . 2400元C . 1600元D . 1000元5. （2分）设等差数列的公差为d，若的方差为2，则d等于（）A . 1B . 2C . ±1D . ±26. （2分）已知数列中，,，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .7. （2分）已知各项均为正数的等比数列{}中,则（）A .B . 7C . 6D .8. （2分）(2017·赣州模拟) 在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD、BA、BC构成以2为公比的等比数列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，则三角形ADE的面积为（）A . 31.2B . 32.4C . 33.6D . 34.89. （2分） (2016高一下·奉新期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且b=1，则△ABC面积的最大值为（）A .B .C .D . 110. （2分） (2016高二上·葫芦岛期中) 设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ，+∞]11. （2分）△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量,.若使则角C的大小为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知等差数列{an}的公差d≠0，Sn为其前n项和，若a2 ， a3 ， a6成等比数列，且a10=﹣17，则的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2018·丰台模拟) 已知定义域为的奇函数，当时，．①当时，的取值范围是________；②当函数的图象在直线的下方时，的取值范围是________．14. （1分）(2017·常德模拟) 已知数列{an}中，a1＜0，an+1= ，数列{bn}满足：bn=nan（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，当n=7时Sn有最小值，则a1的取值范围是________．15. （1分） (2018高二下·葫芦岛期末) 设函数，则满足的的取值范围是________.16. （1分）(2013·浙江理) △ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）已知g（x）=f（x）+mx﹣6，求当m为何值时，g（x）为偶函数；（3）若g（x）=f（x）+mx﹣6在[1，2]上最小值为h（m），试讨论h（m）﹣k=0的零点个数（k为常数）．18. （10分） (2020高二上·吴起期末) 解答下列两题:（1）解不等式:（2）已知 , ,求的最小值.19. （5分）在雅安发生地震灾害之后，救灾指挥部决定建造一批简易房，供灾区群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；（2）一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？20. （10分） (2016高二下·昆明期末) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosA ﹣bsinC=0．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，b+c=5，求a．21. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？22. （10分） (2016高二上·赣州期中) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos （A+B）=1（1）求角C的大小；（2）若c= ，求△ABC周长的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。
四川省成都市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省成都市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）对于下列四个命题,；,；,．其中的真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p42. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A .B .C . 6D .3. （2分）条件，条件，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 点P（﹣3，1）在椭圆 =1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为 =（2，﹣5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分）已知椭圆的焦点，， P是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）方程x=所表示的曲线是（）A . 双曲线B . 椭圆C . 双曲线的一部分D . 椭圆的一部分7. （2分）(2017·凉山模拟) 已知命题p：函数f（x）=|cos2x﹣sinxcosx﹣ |的最小正周期为π；命题q：函数f（x）=ln 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）A . p∧qB . p∨qC . （￢p）∧（￢q）D . p∨（￢q）8. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）设，向量，，，且，，则（）A .B .C .D . 1010. （2分） (2016高二上·吉安期中) 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，• =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .11. （2分） (2015高二上·福建期末) 直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）A . x2=12yB . x2=8yC . x2=6yD . x2=4y12. （2分）设双曲线的半焦距为c，直线l过两点，若原点O到l的距离为，则双曲线的离心率为（）A . 或2B . 2C . 或D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·承德期末) 若抛物线上一点到焦点的距离为5，以为圆心且过点的圆与轴交于两点，则 ________．14. （1分） (2019高二上·上海期中) 已知，，若在曲线上恰有4个不同的点，使，则的取值范围是________.15. （1分） (2019高二上·唐山月考) ，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________.16. （1分） (2016高二上·临川期中) 过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣6x+a）的定义域为R，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若“p或q”为真，“p且q“为假，求实数a的取值范围．18. （5分）解不等式（Ⅰ）若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜求实数m的取值范围；（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣5|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．19. （10分）已知动圆P过点A（﹣2，0）且与圆B：（x﹣2）2+y2=36内切．（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）若轨迹E上有一动点Q，满足∠AQB=60°，求|QA|•|QB|的值．20. （5分）在四棱柱中，底面为矩形，面⊥平面， = == ， =2，是的中点．（Ⅰ）求证：⊥ ；（Ⅱ）求BD与平面所成角的正弦值．21. （10分）(2020·漳州模拟) 已知直线与轴，轴分别交于，，线段的中垂线与抛物线有两个不同的交点、．（1）求的取值范围；（2）是否存在，使得，，，四点共圆，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
四川省成都市郫都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市郫都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列调查中，适合用普查的是（）A ．了解我省初中学生的家庭作业时间B ．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量C ．了解一批电池的使用寿命D ．了解某市居民对废电池的处理情况2．若随机事件A ，B 满足()23P A =，()12P B =，()56P A B +=，则()P AB =（）A ．16B ．13C ．12D ．233．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（）A ．盛李豪的平均射击环数超过10.6B ．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C ．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D ．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差4．下列命题中正确的是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =- ，平面α的法向量为()6,4,1m =-，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+ ，则12m =-5．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A ．3BC D ．6．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A ．事件B 与C 互斥B ．()58P A B ⋃=C ．()()()()P ABC P A P B P C =D ．,,A B C 两两相互独立7．钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）A ．6B ．14C D ．48．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知12,1===AB AD AA .动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎡⎢⎣C ．⎤⎥⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦二、多选题9．某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（）A ．该学校高一学生共800人B ．志愿服务小组共有学生96人C ．志愿服务小组中高三学生共有20人D ．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为22510．下列对随机事件,A B 概率的说法正确的有（）A ．若,AB 相互独立，则(()()P AB P A P B =B ．若,A B 互斥，则()()()P AB P A P B =C ．()()()P A P AB P AB =+D ．()1()P A B P AB +=-11．若一个平面α与棱长为2的正方体的六个面都相交，且它们相交所成的二面角分别为(16)i i θ≤≤，则下列说法正确的是（）A ．621sin 2i i θ==∑B ．621sin 4i i θ==∑C ．若正方体的每条棱与平面α所成角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为D ．若正方体的每个面与平面α所成角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为三、填空题12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为.13．已知一组数据12,,,n x x x ⋯的平均数为10，方差为2，若这组数据1221,21,x x --⋯，21n x -的平均数为a ，方差为b ，则a =b =.14．两条异面直线a ，b 所成的角为60︒，在直线a 上取点A ，E ，在直线b 上取点B ，F ，使AB a ⊥，且AB b ⊥.已知6,8,14AE BF EF ===，则线段AB 的长为.四、解答题15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，L ，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值及样本成绩的第75百分位数；(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z 和方差2s .17．如图，在四棱锥,P ABCD PA -⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1,CD AB BC ===，1,,PA AB BC N =⊥为PD 的中点.(1)求证://AN 平面PBC ;(2)求点N 到平面PBC 的距离;(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是26，若存在，求出DMDP的值，若不存在，请说明理由.18．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组（岁）本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p 3[35,40)1000.54[40,45)a 0.45[45,50)300.36[55,60)150.3（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n 、p 、a 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．19．已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量,a b的夹角，记作,a b ，.定义a 与b 的“外积”为a b ⨯ ，且a b ⨯是一个向量，它与向量,a b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面,ABCD 4,DP DA ==E 为线段A 上一点，||AD BP ⨯=(1)求AB 的长；(2)若E 为A 的中点，求平面PEB 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)若M 为线段PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=，求||λ.。
四川省高二上学期期中数学试卷 (理科)
四川省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·鸡西期末) 对于任意实数，下列结论：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则 .正确的结论为（）A . ②④B . ③C . ②③D . ①2. （2分）各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，a3 ， a5 ， a6成等差数列，则 =（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·清远期末) 下列命题中正确的是（）A . 在中，是为等腰三角形的充要条件B . “”是“ ”成立的充分条件C . 命题“ ”的否定是“ ”D . 命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”4. （2分）一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（）A . 2B . 3C .D .5. （2分）(2020·海南模拟) 已知的三个内角的对边分别为，且满足，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·江西模拟) 已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·青岛模拟) 已知 x＞1，y＞1，且 lg x，，lg y 成等比数列，则 xy 有（）A . 最小值10B . 最小值C . 最大值10D . 最大值8. （2分）设计用32m2的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是（）A . （38﹣3 ）m3B . 16m3C . 4 m3D . 14m39. （2分） (2019高二上·郾城月考) 已知的最小正周期是，且，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·会宁期末) 若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（）A . m≥﹣3B . m≤﹣3C . ﹣3≤m＜0D . m≥﹣411. （2分） (2016高一下·老河口期中) 已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（）A . 8B . 6C . 3D . 412. （2分）已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A . 当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B . 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C . 无论k为何值，均有2个零点D . 无论k为何值，均有4个零点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·大庆月考) 已知，方程表示双曲线，则是的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）14. （1分） (2016高三上·定州期中) 数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：an+m=an+am+nm，则a100=________．15. （1分） (2016高二上·宁县期中) 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为________ km．16. （1分） (2015高一下·广安期中) 已知△ABC，若存在△A1B1C1 ，满足 = = =1，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是________：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°；④A=75°，B=65°，C=45°．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC．（1）求A；（2）若a= ，△ABC的面积为，求b+c．18. （5分）解关于x的不等式：＞1（a∈R，且a≠0）．19. （10分） (2019高一下·安庆期末) 已知正项数列前项和为，（1）求的值，并求数列的通项公式 ;（2）设，数列前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合.20. （5分） (2020高二下·天津期末) 已知数列的前n项和为，，设 .（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）设，求的前n项和，若对于任意恒成立，求的取值范围.21. （10分） (2015高二上·潮州期末) 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）若，，求a．22. （5分） (2018高一上·上海期中) 已知命题，命题关于的不等式的解集为。
四川省高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一上·天门月考) 已知集合 （），，则A. B . （0，1）C.D.2. （2 分） 某学校有体育特长生 25 人，美术特长生 35 人，音乐特长生 40 人．用分层抽样的方法从中抽取 40 人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为（ ）A . 8，14，18B . 9，13，18C . 10，14，16D . 9，14，173. （2 分） (2020 高三上·宁城月考) 设 ， 是两个不同的平面， 论中正确的是（ ）是两条不同的直线，则下列结A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则5. （2 分） 已知△ABC 所在平面上的动点 M 满足 2=-第 1 页 共 22 页， 则 M 点的轨迹过△ABC 的（ ）A . 内心 B . 垂心 C . 重心 D . 外心6. （2 分） 定义点 P（x0 ， y0）到直线 l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为： 点 P1、P2 到直线 l 的有向距离分别是 d1、d2 ． 以下命题正确的是（ ）A . 若 d1=d2=1，则直线 P1P2 与直线 l 平行 B . 若 d1=1，d2=﹣1，则直线 P1P2 与直线 l 垂直 C . 若 d1+d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 垂直 D . 若 d1•d2≤0，则直线 P1P2 与直线 l 相交．已知7. （2 分） (2017·江西模拟) 已知实数 x，y 满足 A.，则 z=log （2|x﹣2|+|y|）的最大值是（ ）B. C . ﹣2 D.2 8. （2 分） 下列四个命题正确有（ ）个 ① a∥b，b∥c⇒ a∥c ② a⊥b，b⊥c⇒ a∥c ③ a∥α，b⊂ α⇒ a∥b ④ a∥b，b∥α⇒ a∥α第 2 页 共 22 页A.1 B.2 C.3 D.49. （2 分） (2016 高二上·襄阳期中) 已知点 A（ AB 相交，则直线 l 倾斜角 α 的取值范围是（ ）+1，0），B（0，2）．若直线 l：y=k（x﹣1）+1 与线段A.[ ， ]B . [0， ]C . [0， ]∪[ ，π）D . [ ，π）10. （2 分） (2019·赤峰模拟) 如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）的所有棱长都相等，,分别为的中点，现有下列四个结论：①平面②③平面④异面直线与所成的角为 ，其中正确结论的个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个11. （2 分） 在正方体中， 为的交点，则 与 所成角的（ ）A.B.C.第 3 页 共 22 页D. 12. （2 分） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二上·佛山期中) 已知 ________.是边长为 2 的正三角形，则它的平面直观图的面积为14. （1 分） 如图所示，已知线段 AB，BD 在平面 α 内，AB⊥BD，AC⊥BD，∠CAB=60°，AB=1，CA=2，BD=3， 则线段 CD 的长为________．15. （1 分） (2016 高二上·平阳期中) 过点 P（1，﹣2）且垂直于直线 x﹣3y+2=0 的直线方程为________16. （1 分） (2019 高一下·鹤岗期中) 在数列 中，，项________．三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)第 4 页 共 22 页，则数列 的通17. （10 分） (2018 高一上·海珠期末) 已知的三个顶点（1） 求 边上高所在直线的方程；（2） 求的面积 ．18. （10 分） (2019 高三上·深圳月考) 如图，平面四边形 ABDC 中，∠CAD＝∠BAD＝30°.（1） 若∠ABC＝75°，AB＝10，且 AC∥BD，求 CD 的长； （2） 若 BC＝10，求 AC＋AB 的取值范围． 19. （10 分） 如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，平面 A1BC 丄侧面 A1AB B1 ， 且 AA1=AB=2．（1） 求证：AB 丄 BC；（2） 若直线 AC 与面 A1BC 所成的角为 ，求四棱锥 A1﹣BB1C1C 的体积．20. （5 分） (2019 高二下·九江期末) 已知数列 满足，．(Ⅰ)求的值，猜想数列 的通项公式并用数学归纳法证明；(Ⅱ)令，求数列 的前 项和 .21. （5 分） (2016 高二上·重庆期中) 如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1 ， D 是棱 AA1 的中点．第 5 页 共 22 页（Ⅰ）证明：平面 BDC1⊥平面 BDC （Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．22. （10 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 如图，在四棱锥中，底面，，，点 为棱 的中点.（1） 证明： （2） 求三棱锥面；的体积．第 6 页 共 22 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、第 7 页 共 22 页考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 8 页 共 22 页答案：7-1、 考点：第 9 页 共 22 页解析： 答案：8-1、 考点： 解析：第 10 页 共 22 页答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
四川省成都市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省成都市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·肇庆期末) 集合M={-1，0，1}，N={x∈Z|-1＜x＜1}，则M∩N等于（）A . {-1，0，1}B . {-1}C . {1}D . {0}2. （2分）(2020·柳州模拟) 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先了解到该地区老中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健走”活动情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）．A . 简单随机抽样B . 按性别分层抽样C . 按年龄段分层抽样D . 系统抽样3. （2分）下列命题正确的是（）A . 如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面B . 如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线C . 如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面D . 如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线4. （2分）(2017·大理模拟) 如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（）A . 5B . 9C . 45D . 905. （2分）已知点G是的重心，若，，则的最小值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·西安期末) 在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A . 2B .C .D . 17. （2分） (2017高三上·唐山期末) 设实数满足约束条件，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·江西模拟) 下列命题中的假命题是（）A . ∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx0B . ∀x∈（﹣∞，0），ex＞x+1C . ∀x＞0，5x＞3xD . ∃x0∈R，lnx0＜09. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若则11. （2分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是（）A . ①B . ②C . ③D . ④12. （2分）给出下列命题，其中正确的命题个数是（）①如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．A . 3B . 2C . 1D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′=O′C′=1，则△ABC的面积为________．14. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为________．15. （1分）若直线ax+2y+2=0与直线x﹣y﹣2=0垂直，则a=________．16. （1分） (2017高一下·安徽期中) 数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=3n﹣1，则{an}的前60项和________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一下·广东期末) 已知中，，， .（1）求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.18. （10分） (2015高二上·湛江期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，cos2C+2 cosC+2=0．（1）求角C的大小；（2）若b= a，△ABC的面积为 sinAsinB，求sinA及c的值．19. （5分）(2019·台州模拟) 如图棱锥的底面是菱形，，，侧面垂直于底面，且是正三角形.（Ｉ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2016高一下·黔东南期末) 已知{an}是各项均为正数的数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a5﹣3b2=7.2a +（2﹣an+1）an﹣an+1=0（n∈N*）（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn ，n∈N* ，求数列{cn}的前n项和．21. （10分） (2016高三上·湖北期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，直线PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=4BE=4．（1）求证：直线DE⊥平面PAC．（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．22. （15分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 ．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC ．（3）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
四川省宜宾市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省宜宾市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）直线xcosα+ y+2=0的倾斜角的取值范围（）A . [0， ]B . [ ，）∪（， ]C . [ ， ]D . [0，]∪[ ，π）2. （2分）下列说法中：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为（0，b，c）；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为（a，0，c）．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A . 若，垂直于同一平面，则与平行B . 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C . 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D . 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4. （2分）已知点A（1，1），B（3，5），若点C（﹣2，y）在直线AB上，则y的值是（）A . ﹣5B . 2.5C . 5D . ﹣2.55. （2分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为A .B .C .D .6. （2分）已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）以下四个结论：①若a⊂α，b⊂β，则a，b为异面直线；②若a⊂α，b⊄α，则a，b为异面直线；③没有公共点的两条直线是平行直线；④两条不平行的直线就一定相交．其中正确答案的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个8. （2分）直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A . 2,B . -2,-C . -,-3D . ﹣2，﹣39. （2分）(2020·湖南模拟) 已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与均为正方形，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）已知平面α的一个法向量=（﹣2，﹣2，1），点A（﹣1，3，0）在α内，则P（﹣2，1，4）到α的距离为（）A . 10B . 3C .D .11. （2分） (2016高二上·铜陵期中) 不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（）A . ﹣2≤a≤2B . 0≤a≤2C . ﹣1≤a≤3D . 1≤a≤312. （2分） (2017高三上·邯郸模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则（）A . n=4，V=10B . n=5，V=12C . n=4，V=12D . n=5，V=10二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为________14. （1分）过点（3,1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为________.15. （1分）(2014·大纲卷理) 设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为________．16. （1分）(2019·鞍山模拟) 三棱锥中，底面满足，，点在底面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到底面的距离为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·上饶模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧面ABB1A1是菱形，侧面BCC1B1是正方形，点A1在底面ABC的投影为AB的中点D．（1）证明：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（2）设P为B1C1上一点，且，求二面角A1﹣AB﹣P的正弦值．18. （5分）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当|PQ|=2时，求直线l的方程19. （10分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC= ，AB=2，AC=2，PA=2．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．20. （10分） (2016高一下·宁波期中) 已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l过点P（2，3）且与圆M 交于A，B两点，且|AB|=2 ．（1）求直线l方程；（2）设Q（x0，y0）为圆M上的点，求x02+y02的取值范围．21. （10分）(2017·重庆模拟) 在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=A′A=A′C，A′在底面ABC上的射影为AB的中点D，E为线段BC的中点．（1）证明：平面A′DE⊥平面BCC′B′；（2）求二面角D﹣B′C﹣B的正弦值．22. （10分） (2016高二上·杭州期中) 已知圆C1：x2+y2﹣3x﹣3y+3=0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（1）求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．（2）求过两圆交点且面积最小的圆的方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
四川省2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试题含答案
四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高二数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线2025π:cos4l x =的倾斜角为（）A.π2 B.2025π4 C.π4D.0【答案】A 【解析】【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.【详解】因为2025πcos 4为常数，故直线2025π:cos 4l x =的倾斜角为π2.故选：A.2.直线3230x y +-=与320x y +=之间的距离为（）A.5B.13C.9D.13【答案】D 【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.【详解】因为直线3230x y +-=和320x y +=平行，由两条平行直线间的距离公式可得13d ===．故选：D ．3.圆221:4C x y +=与圆222:(2)(3)9C x y -+-=的公切线条数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.【详解】圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(2)(3)9C x y -+-=，则圆心()22,3C ，半径23r=，则12CC ==15<，即211212r r C C r r -<<+，故圆1C 与圆2C 相交，其公切线条数为2．故选：C ．4.过点()1,3P -作圆22(1)(1)2x y -++=的切线，则切线的斜率为（）A.1-或7-B.1- C.2-或7- D.2-【答案】A 【解析】【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出1k =-或7k =-．【详解】因为圆22(1)(1)2x y -++=的圆心为()1,1-，易知过点()1,3P -的切线l 斜率存在，设l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=，则d ==，解得1k =-或7k =-．故选：A ．5.若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（）A.12B.14C.15D.16【答案】B【解析】【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为6636⨯=个．其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有：()()()()()()()()()1,1,3,3,5,5,1,3,1,5,3,1,3,5,5,1,5,3，共9个，故91364P ==．故选：B ．6.在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为11B C 的中点，则平面ABQ 与平面11ACC A 夹角的余弦值为（）A.63B.4C.15D.5【答案】D 【解析】【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面ABQ 与平面11ACC A 夹角的余弦值.【详解】1,,DA DC DD 两两垂直，故以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =，取1BB 的中点为P ，连接CP ，则()()()10,1,0,1,1,,1,1,0,0,0,02C P B D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,1,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,0,0，()11,0,1A ，则11,0,1,1,0,,0,22QB CP QB CP QB CP ⎛⎫⎛⎫=-=∴⋅=∴⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10,1,0,1,0,,0,2AB CP CP AB CP AB⎛⎫==∴⋅=∴⊥ ⎪⎝⎭又因为QB CP ⊥，CP AB ⊥，AB BQ B = ，,QB AB ⊂平面ABQ ，故⊥CP 平面ABQ ，所以11,0,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为平面ABQ 的一个法向量，设平面11ACC A 的一个法向量为(),,n x y z =，则11001000x n AC x y y z n AA z =⎧⎧⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎩，所以()1,1,0n =-- ()1,1,0n =--为平面11ACC A 的一个法向量，设平面ABQ 与平面11ACC A 的夹角为α，则P cos 5C nCP nα⋅=== ，故平面ABQ 与平面11ACC A夹角的余弦值为5．故选：D．7.如图，E 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部（含表面）一动点，则EA EB ED ++的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，然后根据模的坐标求法求出最值即可.【详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0A B D ，设()(),,01,01,01E x y z x y z ≤≤≤≤≤≤，则()(),,,(1,,),,1,EA x y z EB x y z ED x y z =---=---=---，则()13,13,3EA EB ED x y z ++=---.故EA EB ED ++= 1x y z ===．故选：C ．8.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为腰长为1的等腰直角三角形，且AB AC >，侧面11ACC A 为正方形，2,AB AE P =为平面1A BC 内一动点，则PA PE +的最小值是（）A.62B.32C.D.265【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设A 关于平面1A BC 的对称点为A '，利用对称点A 、A '到平面1A BC 距离相等，得出A 关于平面1A BC 的对称点为A '，利用对称点求出最短路径即可【详解】由题意，以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ，则()()()()1111,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,,,022A B C A E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()()110,1,0,1,0,1,0,0,1CB CA AA ===，设A 关于平面1A BC 的对称点为(),,,0A x y z z >'，则()()11,,1,1,,A A x y z AA x y z =---'=-'，设平面1A BC 的法向量()111,,n x y z =，则10,0,CB n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,y x z =⎧⎨+=⎩令11x =，则110,1y z ==-，所以()1,0,1n =-为平面1A BC 的一个法向量，所以A 与A '到平面1A BC的距离112AA n A A n d n n ⋅⋅==='=，即1x z -+=①，又AA n '∥，所以1,x z y -=-⎧⎨=⎩②，所以由①②得211z -=，又由0z >可得0,0,1x yz ===，所以()0,0,1A '，所以2PA PE PA PE A E +=+≥===''，当且仅当,,A P E '三点共线时取等号，所以PA PE +的最小值为62．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系O xyz -中，下列叙述正确的是（）A.点()1,1,0-与点()1,1,0关于x 轴对称B.点()3,1,6--与点()3,1,6-关于z 轴对称C.点()2,5,7与点()2,5,7-关于平面xOy 对称D.坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分【答案】AC 【解析】【分析】ABC 选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC 正确，B 错误；D 选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分.【详解】A 选项，点()1,1,0-与点()1,1,0关于x 轴对称，A 正确；B 选项，点()3,1,6--关于z 轴的对称点是()3,1,6，B 错误；C 选项，点()2,5,7与点()2,5,7-关于平面xOy 对称，C 正确；D 选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为8个部分，D 错误．故选：AC ．10.已知直线()1:120l ax y a -+-=在x 轴上的截距大于0，直线2:240l x y +-=与y 轴交于点B ，则（）A.0a < B.1l 恒过定点2,1C.点B 到直线1l 的距离可能为3 D.不存在a 使得12//l l 【答案】BD 【解析】【分析】运用截距概念求解即可判断A 、C ；运用消去参数判断B ；根据1l 恒过定点判断D 【详解】对于A ，把0y =代入()120ax y a -+-=，得210a x a -=>，所以0a <或12a >，A 错误；对于B ，将直线()120ax y a -+-=改写为()()210x a y -+-+=，所以2010x y -=⎧⎨-+=⎩，所以21x y =⎧⎨=⎩，所以1l 恒过定点()2,1C ，B 正确；对于C ，对于2:240l x y +-=，令0x =可得()0,2B ，易得当1BC l ⊥时，点B 到直线1l 的距离取得最大值=，C 错误；对于D ，因为直线1l 恒过的定点()2,1C 也在直线2l 上，即12,l l 至少有一个交点C ，D 正确．故选：BD ．11.已知平面内一动点M 到坐标原点的距离为1，以M 为圆心、1为半径的动圆与圆22:(1)(2)5N x y -+-=交于,A B 两点，则（）A.存在唯一的圆M ，使得,A B 两点重合B.1MN ⎤∈-⎦C.若ABN 存在，则其不可能为等边三角形D.tan ANB ∠的最大值为43【答案】BCD 【解析】【分析】由给定条件可得坐标原点与点,A B 之一重合，利用动圆M 与圆N 的位置关系判断A ；由圆上的点与定点距离最值判断B ；求出AB 最大值判断C ；由余弦定理求解判断D.【详解】依题意，坐标原点与点,A B 之一重合，不妨设坐标原点为A ，圆22:(1)(2)5N x y -+-=的圆心(1,2)N ，半径，对于A ，当动圆M 与圆N 内切或外切时，均有,A B 两点重合，A 错误；对于B ，点M 在以A 为圆心、1为半径的圆上运动，||AN =||1]MN ∈+，B 正确；对于C ，||BN =，要使ABN 为等边三角形，则||AB =，而2||||||AB MA MB ≤+=，当且仅当点,,A M B 共线时取等号，则ABN 不可能为等边三角形，C 正确；对于D ，要使tan ANB ∠最大，即ANB ∠最大，只需||AB 取最大值2，此时2223cos5ANB ∠=，44sin ,tan 53ANB ANB ∠=∠=，D 正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量()()2,1,3,,21,3a b m n =-=+ 满足a b ⊥ ，则m n +=______．【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.【详解】因为a b ⊥ ，故()()2,1,3,21,322190m n m n -⋅+=++-=，解得4m n+=．故答案为：413.已知圆P 过()()()1,1,7,3,5,7---三点，则圆P 的面积为______．【答案】25π【解析】【分析】设圆的一般方程，将3点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.【详解】设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入()()()1,1,7,3,5,7---三点坐标可得110,499730,2549570,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩解得4,6,12,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆P 的方程为2246120x y x y +-+-=，其标准方程为22(2)(3)25x y -++=，故其面积2π25πS r ==．故答案为：25π14.在正三棱锥P ABC -中，AB AP =⊥平面PBC ，点P 在底面ABC 内的投影为点,O M 是平面ABC 内以O 为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值最大为______.【答案】3【解析】【分析】过点O 作AB 的平行线交BC 于点E ，以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设()[)cos ,sin ,0,0,2πM ααα∈，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】正三棱锥P ABC -中，因为AP ⊥平面PBC ，又,PB PC ⊂平面PBC ，因此,PA PB PA PC ⊥⊥，故PB PC ⊥，故22sin60223PA PB PC AB AO AB =====︒=，则PO ==，延长CO 交AB 于点D ，过点O 作AB 的平行线交BC 于点E ，易知,,OD OE OP 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(1,,,0,0,A B P ，设()[)cos ,sin ,0,0,2πM ααα∈，则(cos ,sin ,PM αα=，()0,AB =，设直线PM 与AB 所成的角为θ，则3cos 3PM AB PM ABθα⋅===≤，当π2α=或3π2时，取最大值3．故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()()()2,2,2,6,4,2A B C ---三点，点P 在圆22:4E x y +=上运动．（1）若直线PA 与圆E 有唯一公共点，求PA ；（2）求222PA PB PC ++的最小值．【答案】（1）2（2）56【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线PA 与圆E 相切，且唯一公共点为点P ，由勾股定理求出切线长；（2）设s ，且224x y +=，表达出2228012PA PB PCy ++=-，而22y -≤≤，故当2y =时，取得最小值56．【小问1详解】由题意知，圆E 的圆心为()0,0E ，半径2r =，故2AE ==>，由题意可得直线PA 与圆E 相切，且唯一公共点为点P ，在Rt APE 中，由勾股定理可得2PA ==．【小问2详解】设s ，且224x y +=，故222222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-+-++()22312681268128012x y y y y =+-+=+-=-，而22y -≤≤，当2y =时，222PA PB PC ++取得最小值56．16.已知在ABC V 中，()()()0,0,2,0,1,3,,A B C D E ，分别在线段,AC AB 上，且//DE BC ．（1）求AC 边上的高所在直线的斜截式方程；（2）若ADE V 的面积为ABC V 面积的14，求直线DE 的一般式方程.【答案】（1）1233y x =-+；（2）330x y +-=.【解析】【分析】（1）由AC 的斜率和垂直关系可得AC 边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可.（2）先由题意得12AD AE AC AB ==，即E 为AB 的中点，接着由中点坐标公式、直线BC 的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线DE 的方程，再转化成一般式即可.【小问1详解】由题直线AC 的斜率为130310k -==-，所以AC 边上的高所在直线的斜率为1113k -=-，所以AC 边上的高所在直线的方程为()1023y x -=--，化为斜截式为1233y x =-+.【小问2详解】因为ADE V 的面积为ABC V 面积的1,,4D E 分别在线段,AC AB 上，且//DE BC ，所以1,2AD AE E AC AB ==为AB 的中点，即()1,0E ，又直线BC 的斜率为30312-=--，所以直线DE 的斜率也为3-，所以直线DE 的方程为()031y x -=--，即330x y +-=，所以直线DE 的一般式方程为330x y +-=.17.如图，在四面体OABC 中，3OA = ，且26,,3OA OB OA OC CD CB G ⋅=⋅== 为AD 的中点，点H 是线段OA 上的动点（含端点）．（1）以{},,OA OB OC 为基底表示OG ；（2）求DH OH ⋅的最小值．【答案】（1）111236OG OA OB OC =++ （2）-1【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理得到2133AD OA OB OC =-++ ，111236OG OA AG OA OB OC =+=++ ；（2）设()01OH OA λλ=≤≤ ，得到2133DH OA OB OC λ=-- ，求出()29601DH OH λλλ⋅=-≤≤ ，当13λ=时，DH OH ⋅ 取得最小值1-.【小问1详解】由题意可得()2233AD AC CD AC CB OC OA OB OC =+=+=-+- 2133OA OB OC =-++ ，所以11212233OG OA AG OA AD OA OA OB OC ⎛⎫=+=+=+-++ ⎪⎝⎭111236OA OB OC =++ ；【小问2详解】设()01OH OA λλ=≤≤ ，因为()2133DH OH OD OA OA AD OA OA O B A OC O λλ⎛⎫=-=-+=--++ ⎪⎝⎭ 2133OA OB OC λ=-- ，所以2212()3333DH OH OA OB OC OA OA OA OB OA OC λλλλλ⎛⎫⋅=--⋅=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭()29601λλλ=-≤≤，故当13λ=时，DH OH ⋅ 取得最小值，最小值为1196193⨯-⨯=-．18.已知在空间直角坐标系中，点()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,2,1,1O P Q R --．（1）证明：,,OP OQ OR 不共面；（2）求点O 到平面PQR 的距离；（3）设S 为平面PQR 上的一个动点，且222PS = ，求,PO PS 的夹角θ取得最小值时，OS 的值．【答案】（1）证明见解析（2）11（3）62【解析】【分析】（1）用反正法证明即可；（2）求出OP 和平面PQR 的一个法向量，利用空间向量求解即可；（3）求出OP 和平面PQR 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求解余弦值，进而可知正弦值，利用向量的模长公式求解即可.【小问1详解】由题意假设存在,a b ∈R ，使得OR aOP bOQ =+成立，则()()()2,1,11,0,10,1,1a b =-+-，即()()2,1,1,,a b a b =--，可得2,1,1,a b a b =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩此方程组无解，所以假设不成立，故,,OP OQ OR 不共面．【小问2详解】由题意可得()()()1,0,1,1,1,2,3,1,0OP PQ PR =-=-= ，设平面PQR 的法向量为 =s s ，所以20,30,x y z x y +-=⎧⎨+=⎩令1x =-，则3,1y z ==，故平面PQR 的一个法向量为()1,3,1n =-，故点O 到平面PQR 的距离21111OP n d n ⋅== ．【小问3详解】设,OP n 的夹角为α，则cos OP n OP nαα⋅==== 所以min π2θα=-，所以OS OP PS =+=2=．19.现定义：若圆A 上一动点M ，圆A 外一定点N ，满足MN 的最大值为其最小值的两倍，则称N 为圆A 的“上进点”．若点G 同时是圆A 和圆B 的“上进点”，则称G 为圆“A B ⊗”的“牵连点”．已知圆221:(1)(1)3A x y +++=．（1）若点C 为圆A 的“上进点”，求点C 的轨迹方程并说明轨迹的形状；（2）已知圆22:(2)(2)1B x y -+-=，且,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”．（ⅰ）求直线PQ 的方程；（ⅱ）若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线1:3l y kx =+与H 交于,I J 两点，探究当k 不断变化时，在y 轴上是否存在一点W ，使得0IW JW k k +=（IW k 和JW k 分别为直线IW 和JW 的斜率）恒成立？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）轨迹方程为22(1)(1)3x y +++=，点C 的轨迹是以()1,1A --为半径的圆．（2）（ⅰ）0x y +=；（ⅱ）存在，()0,3W 【解析】【分析】（1）由“上进点”的定义知C 是圆A 的“上进点”，则()2CA r CA r +=-，（其中r 是圆A 的半径），由此得点C 的轨迹.（2）（ⅰ）由“牵连点”的定义知，若,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”，则,P Q 均同时为圆A 与圆B 的“上进点”，所以,P Q 应为圆A 、圆B 的“上进点”所成的两轨迹（圆）的交点，由此可求直线PQ 的方程；（ⅱ）先求出圆H 的方程，设()()112212,,,,0I x y J x y x x ≠，假设y 轴上存在点()0,W t ，使得0IW JW k k +=.则1212t 0y t y x x --+=，联立221,31,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩结合韦达定理可求解.【小问1详解】因为点C 为圆A的“上进点”，所以233CA CA ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，即CA =，所以C 的轨迹方程为22(1)(1)3x y +++=，所以点C 的轨迹是以()1,1A --【小问2详解】（ⅰ）∵P 为圆“A B ⊗”的“牵连点”，∴P 同时为圆A 与圆B 的“上进点”，由P 为圆B 的“上进点”，得()121PB PB +=-，所以3PB =，即点P 在圆22(2)(2)9x y -+-=上，由P 为圆A 的“上进点”，得点P 在圆22(1)(1)3x y +++=上；∴点P 是圆22(1)(1)3x y +++=和22(2)(2)9x y -+-=的交点．因为,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”，所以直线PQ 即为圆22(1)(1)3x y +++=和22(2)(2)9x y -+-=的公共弦所在直线，两圆方程相减可得0x y +=，故直线PQ 的方程为0x y +=．（ⅱ）设22(1)(1)3x y +++=的圆心为()1,1S --22(2)(2)9x y -+-=的圆心为()2,2T ，半径为3．直线ST 的方程为y x =，与y 0x +=联立得PQ 的中点坐标为()0,0，点S 到直线0x y +=的距离为=，则12PQ ==，所以圆H 的方程为221x y +=．假设y 轴上存在点()0,W t 满足题意，设()()112212,,,,0I x y J x y x x ≠．则0IW JW k k +=，即1212t 0y t y x x --+=，整理得()()21120x y t x y t -+-=．将11223,113y kx y kx =+=+，代入上式可得211211033x kx t x kx t ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭①，联立221,31,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得()222810,Δ039k x kx ++-=>，所以1212222839,11k x x x x k k -+=-=++，代入（1）并整理得2203k kt -+=，此式对任意的k 都成立，所以3t =.故y 轴上存在点()0,3W ，使得0IW JW k k +=恒成立.。
四川省成都市高二年级上学期期中考试数学(理科) 含答案 (7)
高二年级上学期期中考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A.l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B.l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D.l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面[来源:学,科,网Z,X,X,K]3．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 4．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ） A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣26．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ） A.B.C. D.7．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．58．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=9．10．如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影 为底面的中心）S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成 立的个数为（ ） （1）EP ⊥AC ；（2）EP ∥BD ； （3）EP ∥面SBD ；（4）EP ⊥面SAC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．1 BC ．2 D11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为错误！未找到引用源。
四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学) 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线30x +=的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个白球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()2,4,2c =- ，且a b ⊥ ，b c ∥，则a b + 等于（）A ．B ．3C D ．45．甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．乙跑步里程的极差等于31B ．甲跑步里程的中位数是245C ．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为1s ，2s ，则12s s >D ．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为1m ，2m ，则12m m >6．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为()A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝07．若圆C ：()()22212x y -+-=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),M a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（）A ．B C ．4D ．8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，90BAD∠=，1160BAA DAA ∠=∠= ，12AB AD AA ===，则异面直线1B D 与11A C 所成角的余弦值为（）A B C ．34D ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C ．已知数据1x ，2x ，L ，10x 的极差为6，方差为2，则数据121x +，221x +，L ，1021x +的极差和方差分别为12，8D ．数据1x ，2x ，L ，10x 的平均数为90，方差为3；数据1y ，2y ，L ，15y 的平均数为85，方差为5，则1x ，2x ，L ，10x ，1y ，2y ，L ，15y 的平均数为87，方差为10.210．已知直线l ：50x y -+=与圆C ：22270x y x +--=，下列说法正确的是（）A ．点()3,1A 在圆C 外B ．直线l 与圆C 相离C ．点P 为圆C 上的动点，点Q 为直线l 上的动点，则PQ 的取值范围是)+∞D ．将直线l 下移4个单位后得到直线l ＇，则圆C 上有且仅有3个点到直线l ＇的距离为11．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），下列结论正确的是（）A ．E CB F ，，，四点共面B ．在线段CD 上存在点M ，使AF AM⊥C ．若四边形ABCD 的边界及其内部有一点P ，且FP =则点PD ．点N 是线段CF 上的动点，则N 到直线AG 三、填空题12．已知随机事件A ，B ，C ，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.6P A =，()0.3P C =，则()P AB =.13．已知点()4,2A ，()0,3B 和直线l ：310mx y m --+=（R m ∈），直线l 与线段AB 有公共点，则m 的取值范围是.14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；(2)若在[)60,70和[)70,80的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自[)70,80组的概率.16．如图，四边形11A ABB 是圆柱的轴截面，C 是下底面圆周上一点，点D 是线段BC 中点(1)证明：直线1AC ∥平面1AB D ；(2)若2CA =，4CB =，12BB =，求点1A 到平面1AB D 的距离．17．已知圆C 过点()1,0A -和点()3,2B -，且圆心C 在直线260x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,2E -的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，且MN =l 的方程.18．在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD CD ⊥，2PD AD ==，4DC =，1AB =，PD CD ⊥.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在点E ，使得平面BDE 与平面PCD 的夹角的余弦值为13，若存在，确定点E 的位置，若不存在，说明理由.19．在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为12，高二、高三对高一和行政组的胜率均为23，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.(1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；(2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；(3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．以椭圆221259x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）A ．216y x =B ．28y x =-C ．216y x =-D ．216x y =-【答案】C【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.【详解】由椭圆221259x y +=可得4=c ， 所以左焦点坐标为(4,0)-，所以以(4,0)-为焦点的抛物线的标准方程为216y x =-， 故选：C.2．曲线221x xy y ++=（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不具有对称性【答案】C【分析】将点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --分别代入方程，即可检验对称性. 【详解】对于A ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于x 轴对称，A 错误； 对于B ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于y 轴对称，B 错误； 对于C ，将点(,)x y --代入曲线方程得：221x xy y ++=， 所以曲线221x xy y ++=关于原点对称，C 正确，D 错误. 故选：C3．已知圆()221:125C x y ++=，圆()222:11C x y -+=，动圆M 与圆2C 外切，同时与圆1C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2219x y +=D ．22198x y【答案】D【分析】画图，分析出121262C M C M C C +=>=，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出23,8a b ==，得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：15C M MQ =-，21C M MP =+，其中MQ MP =， 所以12125162C M C M MQ MP C C +=-++=>=，由椭圆定义可知：动圆圆心M 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，设22221x ya b+=，则26,1a c ==，解得：2223,918a b a c ==-=-=，故动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y .故选：D4．已知双曲线1C 过点)5,4，且与双曲线2C ：22152x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的焦距为（ ） A ．7 B ．14 C 21D ．221【答案】B【分析】首先设出与2C 共渐近线的双曲线方程，再代入点)5，，求出λ，从而求出1C 的方程，进而求解.【详解】设双曲线1C ：()220152x y λλλ-=≠≠且，将()5，代入可得516752λ-=-=.故双曲线1C ：2211435y x -=，则14357c =+，则焦距214c =. 故选：B5．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．6．直线l 过点()0,3与圆C ：222220x y x y +---=交于,A B 两点且AB =l 的方程为（ ）A ．34120x y +-=B ．34120x y +-=或4210x y ++=C ．0x =D ．0x =或34120x y +-=【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】将圆C ：222220x y x y +---=的方程化为 22(1)(1)4x y -+-=， 则圆心C 的坐标为(11)，，半径为2. 当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为0x =时，代入圆的方程得2220y y --= ，解得11y =2,1y =，此时||1(1AB == 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+ ，由||AB =，得圆心C 到直线l 22(3)1 ，1=，解得34k =-，故此时直线的方程为334y x =-+ ，即34120x y +-=，综上可得，直线l 的方程为0x = 或34120x y +-=， 故选：D.7．执行如图的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S 的最大值，再与1进行比较即可.【详解】不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：平移直线20x y +=，当直线经过(1,0)A 时，2S x y =+有最大值，最大值为21021⨯+=>， 故选：C8．若椭圆22134x y +=的动弦AB 斜率为1，则弦中点坐标可能是（ ）A ．()34-，B ．3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()43-， D ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则由已知得，2211134x y +=，2222134x y +=， 两式作差可得，22221212034x x y y --+=，整理可得121212124433y y x x x x y y +-=-=-+-.AB 中点D 的坐标为()00,x y ，则有0043y x =-. 又点D 在椭圆的内部，所以02y < 故选：B.9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．8B ．213C ．41D ．6【答案】B【分析】依题意得点A 坐标，作点O 关于l 的对称点B ，则||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，求AB 即为最小值．【详解】如图所示：作点O 关于l 的对称点B ，连接,PB AB ，设点(),A x y ，不妨设0y >由题意知()1,0F ，直线l 方程为=1x -，则||15AF x =+=，得4x = 所以24416y =⨯=，得4y =由||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，当,,A B P 三点共线时取等号， 又()()222224425213AB y x =++++== 所以||||PA PO +的最小值为213故选：B【点睛】关键点点睛：作点O 关于l 的对称点B ，将PO 化为PB ，利用三点共线是求得最小值的关键点．10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=，则PD 的最大值为（ ） A ．3 B 210C 39D ．2【答案】B【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，长轴长为433，然后以线段AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值. 【详解】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴23a =223b ac =-=所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，113333OE OC ===故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，2233CE OC ==2226DE CD CE =- 因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值. 设(),,0P x y ，则3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则2222223423123543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝⎭， 当333y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值， 即22max3233516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭， 因此可得2241640999PD ≤+=，故PD 210. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用. 11．已知圆221(2)4C x y -+=：，()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：，过圆2C 上一点P 作圆1C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】本题首先可以通过圆2C 的方程得出圆2C 的圆心轨迹，然后画出圆2C 的圆心轨迹图像以及圆1C 的图像，通过图像可以得出线段PA 的取值范围以及PE PF ⋅的解析式，最后通过函数性质即可得出结果．【详解】由()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：可得： 圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设()20A ，，则[]46PA d =∈，，由图可知：()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==--， ()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由()2223212f d d d =+-在[]1636，上为增函数可知， 当216d =时，PE PF ⋅取最小值6，故选A ．【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．12．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为aB ．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为9【答案】B【分析】根据题意可知，H 是1F Q 的中点，因此可得，OH 为△12QF F 的中位线，可求2F 到直线l 的距离判断A 选项；利用双曲线的定义，即可求得a ，b 和c 的值，求得双曲线的离心率，可判断B 选项；求得12sin PF F ∠，利用正弦定理即可求得△12PF F 的外接圆半径，可判断C 选项；利用三角形的面积公式，即可求得△12PF F 的面积，可判断D 选项． 【详解】由题意，()1,0F c -到准线0bx ay +=的距离122-===+bc bcF H b cb a ，又1FOc =，∴OH a =，如图过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，由2//OH F Q ，O 为12F F 中点，则OH 为△12QF F 的中位线，所以1F H HQ =，即H 是1F Q 的中点，因为12F H HP =，2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =，1||3=PF b ，因此2F 到直线l 的距离为2a ，故A 错误； 在2QPF △中，2222425+==b a PF ，又12||||2PF PF a -=，得到352b a -=， 解得3b =，2a =，13c =13c e a ==B 正确； 121sin sin aPF F HFO c∠=∠=，设△12PF F 的外接圆半径R ， 因此212||551322sin 13PF R PF F ==∠，所以513R =C 错误；△12PF F 的面积1121211||||sin 3231822a S F P F F PF F b c ab c=∠=⨯⨯⨯==．故D 错误. 故选：B ．二、填空题13．若4进制数2m 01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则m =______. 【答案】3【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解【详解】将4进制数2m 01（4）化为十进制数为01231404424177m ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得3m =. 故答案为：3【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题. 14．设:411p x -≤；2:2110q x a x a a ．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，可得q 是p 的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.【详解】由题意得，命题:411p x -≤，解得102x ≤≤，记1|02A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，即()[(1)]0x a x a --+≤， 解得：1a x a ≤≤+，记{}|1B x a x a =+≤≤， 又因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，即q 是p 的必要而不充分条件，所以A 真包含于B ，所以0112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩（等号不同时成立），解得102a -≤≤，所以实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线()152x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则MF MN +的最小值为______．【答案】3##3【分析】根据题意先确定出N 点的轨迹为圆，再由抛物线的定义转化||MF ，所求最小值转化为圆上动点到抛物线准线距离的最小值即可得解.【详解】由2:4C y x =知，焦点(1,0)F ，准线l 的方程为=1x -， 由()152x m y m +-=-可得5(2)0x y m y --++=，由5020x y y --=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点(3,2)P -，设PF 中点为E ，则(2,1)E ，由题意知NF PN ⊥， 所以N 的轨迹为以PF 为直径的圆， 则圆的方程为22(2)(1)2x y -++=，过M 作MD l ⊥于D ，则||||MF MN MD MN +=+，所以由图知，当M 运动到M '时，N 运动到N '，,,,D M N E '''共线时，||||MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上动点N 到准线的距离的最小值，即[](1)32E x r ---=故答案为：3216．已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若122π3F PF ∠=，则1211e e ⋅的最大值为______．23【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PF PF 用12,a a 来表示，然后在12PF F △中用余弦定理求出12,e e 的关系，然后再用基本等式求解.【详解】设12,PF m PF n == 因为点P 在椭圆上，所以12m n a +=① 又因为点P 在双曲线上，所以22m n a -=② 则①+②得12m a a =+；①-②12n a a =-在12PF F △中由余弦定理得：2221222cos 3F F m n mn π=+- 即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+-- ⎪⎝⎭即2221243c a a =+，即22122234a a c c=+即2212314e e =+由基本不等式得：222212121231312342e e e e =+≥⋅= 所以12112323e e ⋅≤221231e e =即123e e 时成立.23三、解答题17．已知命题 p : “方程22112x y mm+=-表示双曲线”，命题:q : 方程2211x y m m +=-表 示椭圆”(1)若 p q ∧为真命题，求m 的取值范围; (2)若 p q ∨为真命题，求m 的取值范围.【答案】(1)110122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，(2)()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，【分析】(1)先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∧为真命题求出结果即可； (2) 先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∨为真命题求出结果即可. 【详解】（1）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∧为真，则有m A B ∈⋂，即112m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∨为真，则有m A B ∈⋃，即()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 18．已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形P ACB 面积的最小值． 【答案】(1)()()22139x y -+-=(2)【分析】（1）设出圆心坐标(),3,0a a a >，判断出圆的半径，利用直线0x y -=截圆所得弦长列方程来求得a ，从而求得圆C 的方程. （2）先求得PACB S PA r r =⋅=，通过求PC 的最小来求得PACB S 的最小值.【详解】（1）依题意，设圆C 的圆心坐标为(),3,0a a a >，半径为3a ，(),3a a 到直线0x y -=的距离为d ==，所以=1a ，所以圆C 的方程为()()22139x y -+-=.（2）由（1）得，圆C 的圆心为()1,3C ，半径=3r ，PACB S PA r r =⋅=，所以当PC 最小时，PACB S 最小.()1,3C 到直线40x y ++==所以PC 的最小值为所以四边形P ACB 3=19．已知平面内两个定点(2,0)A -，(2,0)B ，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，且2||MN AN BN =⋅.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)若直线:1l y kx =+与曲线E 有且仅有一个交点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)224x y -=(2)1k =±或k =【分析】（1）设点M 坐标为(,)x y ，然后求出MN 、AN 、BN 的坐标，然后根据2||MN AN BN =⋅可得答案；（2）由2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩可得()221250k x kx ---=，然后分210k -=、210k -≠两种情况求解即可. 【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则(,0)N x ，(0,)MN y =-，(2,0)AN x =+，(2,0)BN x =-， 2||MN AN BN =⋅，224y x ∴=-，即：224x y -=，∴点M 的轨迹方程为224x y -=；（2）将直线方程与曲线方程联立2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩，()221250k x kx ∴---=， ①当210k -=，即1k =±时，直线l 与曲线E 渐近线平行，满足②当()2221042010k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩时，直线l 与曲线E 相切，满足题意，解得k =综上，k 的取值范围为1k =±或k =20．已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)求直线P A 与PB 的斜率之积；(2)任意过Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与x 轴不重合的直线交椭圆E 于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆恒过点A ．【答案】(1)23-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数a 的值，则得到顶点坐标，设出点P ，利用椭圆方程和斜率公式，可得答案；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.【详解】（1）由椭圆22:132x y E +=，可得223,2a b ==，则()A，)B ．设点(),P x y ，则有22132x y +=，即()222221333x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()22222323333PA PBx y k kx x -⋅====---．（2）证明：设()11,M x y ，()22,N x y ， 因为MN 与x轴不重合，所以设直线):MN l x ty t =∈R ，由222360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，化简得()2214423025t y +-=； 由题意可知0∆>成立，且1221225231442523y y t y y t ⎧⎪⎪+=⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩；()()11221212AM AN x y x y ty ty y y ⎛⋅=+=++ ⎝⎭⎝⎭()()2121248125t y y y y =+++，将韦达定理代入上式，可得()2221444825510232325t t t -++⋅+=++，所以AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ．21．设抛物线()220y px p =>的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA l '⊥于A '，定点()0,1K 使KA AA '+有最小值2．(1)求抛物线的方程；(2)当KA KB λ=（R λ∈且1λ≠）时，是否存在一定点T 满足TA TB ⋅为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x =(2)存在定点19,48T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得TA TB ⋅为定值8564．【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；（2）由已知可得，直线AB 经过K 点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到124y y t +=，124y y t =，表示出TA TB ⋅，整理完成得到()()22214222m t n T T m t m A B n =-+-⋅+++，可知当所有t 的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T 的坐标和该定值.【详解】（1）设抛物线焦点为F ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的定义有AA AF '=，则2KA AA KA AF KF '+=+≥即()2200122p KF ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2p =±（舍去负值），则抛物线的方程为24y x =．（2）∵KA KB λ=，∴K 、A 、B 三点共线． ∴设直线AB 方程为()1x t y =-， 设()11,A x y ，()11,B x y ，(),T m n ，联立()241y x x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y ty t -+=，()24440t t ∆=-⨯>，则0t <或1t >.124y y t +=，124y y t =，()111x t y =-，()221x t y =-， 且有()()()()1212TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--， 而()()()()1212TA TB ty m t ty m t y n y n ⋅=-+-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()22212121t y y t m t n y y m t n =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()()()222144t t t m t n t m t n =+-+++++⎡⎤⎣⎦()()22214222m t n m t m n =-+-+++，因为，t 的任意性，要使该值为定值，需满足 140220m n m -=⎧⎨-+=⎩，可得1498m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时8564TA TB ⋅=. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3()00,M x y 是C 上的动点，以M 为圆心作一个半径2r =的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，若存在圆M 与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP ，OQ 的斜率都存在且分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值； (3)证明：22OP OQ +为定值？并求OP OQ ⋅的最大值． 【答案】(1)221205x y +=； (2)证明见解析； (3)证明见解析，最大值为252．【分析】（1）由存在圆M 与两坐标轴都相切确定圆心M 坐标，由离心率及点M 坐标即可列方程组求参数；（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得1k ，2k 是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点()00,M x y 在椭圆C 上可得12k k 为定值；（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由（2）得22221212116y y x x =，结合()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，可得221220x x +=，22125y y +=，即有2225OP OQ +=，当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得OP OQ ⋅的最大值.【详解】（1）由椭圆的离心率2231c b e a a ==-224a b =，又存在M 与两坐标轴都相切，则此时圆心()2,2M ±±， 代入222214x y b b +=，解得：25b =，则220a =，∴椭圆方程：221205x y +=．（2）因为直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =与圆M 相切， 由直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=，同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0可得1k ，2k 是方程()22200004240x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-，因为点()00,M x y 在椭圆C 上，所以2254x y =-，所以1214k k =-．（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 因为1214k k =-，所以22221212116y y x x =，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221220x x +=，所以22222212121255105444x x x x y y ++=-+-=-=，所以2225OP OQ +=．当直线落在坐标轴上时，显然有2225OP OQ +=， 综上，2225OP OQ +=，所以()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=， 所以OP OQ ⋅的最大值为252． 【点睛】（2）中由判别式为0可得1k ，2k 是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.。
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四川省高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）参数方程为参数)的普通方程为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知向量，，其中| = ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则向量与的夹角是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2020高一下·宜宾期末) 设等差数列的前n项和为，若，则满足的最小正整数的值为（）
A . 1010
B . 1011
C . 2020
D . 2021
4. （2分）(2016·河北模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻的对称轴的距离为
．若角φ的终边经过点P（1，﹣2），则f（）等于（）
A .
B .
C . ﹣
D . ﹣
5. （2分） (2016高三上·北区期中) 已知，则的值为（）
A .
B . ．
C . ．
D . ．
6. （2分） (2019高二上·北京月考) 设数列是公差的等差数列，为前n项和，若
，则取得最大值时，n的值为（）
A . 5
B . 6
C . 5或6
D . 11
7. （2分） (2020高一下·太原期中) 已知且 ,则
的值是（）
A . 3
D . -3
8. （2分）中，，则此三角形有（）
A . 一解
B . 两解
C . 无解
D . 不确定
9. （2分）设=（1，2s inα），=（，），=（，）且﹣∥，则锐角α为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 75°
10. （2分） (2016高一下·吉林期中) △ABC中，若c= ，则角C的度数是（）
A . 60°
B . 120°
C . 60°或120°
D . 45°
11. （2分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴（含坐标原点）上滑动，则
的最大值为（）
C . 1
D . 2
12. （2分）函数的部分图象如右图，则，可以取的一组值是（）.
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2020高三上·天津月考) 若，且，则 ________.
14. （2分）(2020·天津模拟) 如图，在中，，D,E分别边AB,AC 上的点, 且，则 ________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为________.
15. （1分）(2017·葫芦岛模拟) 若x，y满足约束条件，等差数列{an}满足a1=x，a5=y，其前n项为Sn ，则S5﹣S2的最大值为________．
16. （1分）已知△ABC中，a=1，C=45°，S△ABC=2，则b=________
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分） (2019高三上·浙江月考) 已知数列为等差数列，是数列的前n项和，且，
，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，证明：．
18. （10分） (2019高一下·宾县期中) 已知中，分别为角的边，且
，且
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
19. （5分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．
20. （10分） (2019高一下·揭阳期中) 已知向量，，且 .
（1）求，并求在上的投影；
（2）若，求的值，并确定此时它们是同向还是反向？
21. （5分）已知函数f（x）=﹣sin2x+msinx+2，当x∈[ ， ]时函数有最大值为，求此时m的值．
22. （10分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知函数 .
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求 .。