优选第五章单纯形优化设计法

优化算法： 1）解析法（一阶、二阶导数）； 2）直接法（ 单纯形法等）。 事实上，前面讲均匀设计法时，对建立的模型求最佳 条件就是采用的求导数法； 而单纯形法正是这一章要重点讲的。 另外像遗传算法，这也是最近十几年化学计量学中的 一个很重要的领域，也属于直接法。
什么是单纯形？ 单纯形（Simplex）是数学里最优化方法中的一个名 词。它是指多维空间的凸多面体，其顶点数比空间维 数多1。 例如：一维空间的单纯形是一条直线，二维空间中是 三角形，三维空间中是四面体。
空间的活动范围。
3. 目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目 标。如：产率，回收率，分离度等。 在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的 优劣，故目标函数也可称评价函数。 目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标 函数达到最佳值，即使：
b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函 数，则为二次规划问题。
优化分类： 1）无约束优化:在没有限制的条件下，对设计变 量求目标函数的最佳值； 2）约束优化:在可行域内对设计变量求目标函数 的最佳值。 这些名词是不是很抽象？其实这个很简单，很容 易理解。具体到我们要解决的实际问题时，基本都是 约束优化。 比如我们要解决化学问题，必须结合考虑，不能出 现负浓度值、pH只能在0～14之间，某些反应的温度必 须控制在一定范围等等，这些就是约束条件。
事实上，n+1个点的选取，一般只需先确定一个初始点 x0=（x01,x02,…,x0n）T，其中x01,x02,…,x0n分别为n个因 素的某一初始水平。然后对每一因素，根据经验确定 一个步长，即该因素相对于初始水平变化的幅度。 譬如考虑pH这一因素，若初始水平为pH=7.0，步长为 0.5，则表示pH这一因素从7.0起按0.5的间距改变pH值 来进行试验。 如果再考虑反应温度，假定初始水平为40oC，步长为5 度，则表示温度从40度起按5度的间距改变温度进行试 验。
什么是单纯形优化法？ 单纯形优化法是一种多维搜索寻优方法。 它是利用单纯形的顶点计算目标函数值,按一定的规则 进行探索性搜索,判断目标函数的变化趋势,确定有利的 搜索方向和步长。 经过不断的迭代，最终使结果收敛 到最优解。 单纯形优化法实际上由两部分组成： 一是初始单纯形的生成，即找出初始的n+1 个顶点； 二是其迭代过程。初始单纯形的取法对迭代过程的收 敛性影响很大。
x x1 x2 ... xn T
2. 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些 限制条件称作约束条件，简称约束。
性能约束 约束 （按性质分） 侧面约束
针对性能要求
只对设计变量的取值范围限制 （又称边界约束）
约束 等式约束
h(x)=0
（按数学表 不等式约束
达形式分）
g(x)≤0
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计
一.单纯形优化法的寻优过程概述： 首先，单纯形优化法从初始n+1个顶点出发，从比较 初始的n+1次试验的目标值的优劣，判断目标函数变 化的大致趋势，作为寻优方向的参考。 然后，逐步淘汰其中目标值最差的试验点，增加可能 改进目标值的新的试验点，如此不断搜索，逐步达到 目标的最优值，从而确定各因素的最佳水平组合。
优选第五章单纯形优化设计法
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什么是优化？ 简单说优化就是如何把事情做的更好。 在化学试验条件选择里，就是指如何得到最佳的试 验条件。 优化设计的三要素： 设计变量、约束条件、目标函数。 1. 在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直 处于变化的参数称为设计变量。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量 表示：
opt f (x1, x2,, xn ) s.t gi (x1, x2,, xn ) 0 (i 1,m)
hj (x1, x2,, xn ) 0 ( j 1,l)
优化设计数学模型的分类： (1) 按设计变量和参数的性质分：
Hale Waihona Puke Baidu
确定型模型
设计变量和参数取值确定
随机型模型
设计变量和参数取值随机
(2) 按目标函数和约束函数的性质分： a.目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数, 称 为线性规划问题;
单纯形优化法的基本思想：
给定初始点X0 ，产生初始单纯形S0，通过反射、扩 张、压缩、收缩一系列动作将单纯形翻滚、变形， 从而产生一系列单纯形，并逐渐向极小点靠拢。 更具体说就是：对n 维空间的n+1 个点(以它们为顶 点形成一个n 维单纯形)的目标函数值进行比较，丢 弃其中的最“坏”点，代之以适当的新点，形成新 的单纯形。重复比较，逐步逼近最优点，如图。
各条边长相等的单纯形叫正规单纯形。 如：当n＝2时，等边三角形就是正规单纯形。
在n维空间中单纯形的每个顶点可以用对应的坐标表示， 如二维空间的单纯形的三个顶点可用三角形的坐标表示： （x11,x12），（x21,x22），（x31,x32）。 NOTE：在坐标中下标中的第一个数字为顶点代号，第二 个数字为变量（因素）代号。每个顶点的坐标表示试验 中各因素的取值。 因此对于n个因素的试验设计问题，n维空间中单纯形 的一个顶点就表示一次试验，该顶点（x1,x2,…,xn）即 为这n个因素的某一种因素水平的搭配方式。
单纯形优化法示意图
单纯形优化的特点： 优化方法简便，信息量多，对于因素较多的试验设计 问题尤为适用。
第二节 基本单纯形
对n个因素的试验优化问题，单纯形就是在n维空间中 由不处于同一超平面上的n+1个顶点构成的凸多面体。 故此，一维空间的单纯形是一条直线， 二维空间的单纯形就是三角形， 三维空间的单纯形就是四面体， 高于三维空间的单纯形一般只能以数学解析式表示。
f (x) Opt 单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题 目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复 合的目标函数，如采用线性加权的形式，即：
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。
优化设计的数学表达（数学模型式）：
大量研究表明，对于多因素试验设计，单纯形优化法 具有试验次数少，信息量多，收敛于最优目标速度快 等优点，是一种优化的试验设计方法。
二.初始单纯形的确定
如前所述，要完成单纯形优化过程，首先必须构造一个 初始单纯形。 那么，对于n个因素的实验设计问题，首先要确定n＋1 个试验点，这n＋1个点的各因素通常可根据化学工作 者的化学知识和实践经验来选取。 对于所进行的试验，化学工作者一般都有某些先验知识， 能提出试验条件的某些假设条件。