优选第五章单纯形优化设计法
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第五章 单纯形优化设计法1
E
0 0 0 0 0 0.775 0.129 0.129 0.129 0.129 0.129
F
0 0 0 0 0 0 0.764 0.109 0.109 0.109 0.109
G
H
I
J
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.756 0 0 0 0.094 0.750 0 0 0.094 0.083 0.745 0 0.094 0.083 0.075 0.742
23
上述方法是根据初始点和步长来计算初始单纯形的各 个顶点，各因素的步长是相同的,称作固定步长法或正 规单纯形法。 如二因素实验举例： 因素1：pH，因素2：温度。 初始值x0=(7.0,40);步长a1=0.5, a2=5。 这是几维单纯形？有几个顶点？ 第一个顶点x1=(x11,x12)=(x01+p1,x02+q2)
10
什么是单纯形？ 单纯形（Simplex）是数学里最优化方法中的一个名 词。它是指多维空间的凸多面体，其顶点数比空间维 数多1。
例如：一维空间的单纯形是一条直线，二维空间中是
三角形，三维空间中是四面体。
11
什么是单纯形优化法？
单纯形优化法是一种多维搜索寻优方法。 它是利用单纯形的顶点计算目标函数值,按一定的规则 进行探索性搜索,判断目标函数的变化趋势,确定有利的 搜索方向和步长。 经过不断的迭代，最终使结果收敛
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f 2 ( x) ... Wq f q ( x)
6
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。
优化设计的数学表达（数学模型式）：
最优化单纯形调优法.ppt
例 ：用 单 纯 形 方 法 求 解m i nf ( x) ( x1 1)2 5( x12 x2 )2 ,
(1)取 初 始 点x(0) (2,0)T , 0.5 (2)取 初 始 点x(0) (2,0)T , 1
计 算 到3个 初 始 点 全 部 被 替 代止为。
(V r : 反射点， : 反射系数 ，一般取 1 )
如 果 f (V r ) f (V l )，则 转 step 4.
如 果 f (V r ) f (V s )，则 转 step 5.
V h : V r , 转7.
step4.( 延伸步 )V e V (V V h ) V (V r V ) (V e : 延 伸 点， : 延 伸 系 数，一 般 取 2 )
e3
( 3 , 1 ,1)T 22
1 ( 0,0,1)T 2
( 3 , 1 , 3 )T 。 222
则 S [V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ]构成一个单纯形。
6.单纯形调优法的几何解释
V0
V2
V
Vr
V1
Ve
x*
给定单纯形S [V 0 , V 1 , , V n ]。 设 f (V h ) max{ f (V 0 ), f (V 1 ),, f (V n )}, f (V s ) m ax f (V i ) 。
如 果 f (V e ) f (V r ))，V h : V e;否 则 ，V h : V r . 转 step 7（判断 步） .
step 5.(收缩步)
计算V h argmin{f (V h ), f (V r )},.
V c V (V h V )(V c : 收 缩 步 ，收 缩 系 数 ， 一 般 为1 ).
单纯形优化法
11
constraints or to stay on a high yield portion of a steep slope, but a reduction in size can be made after these problems are encountered. sIndividual optimization of quantitative factors.Then the optimization results are compared and the optimal qualitative factors are determined.
auxiliary response 副反应
4-11（倒2）screening ['skrinɪŋ] n. 筛选；[化]筛分
6-5 precision [prɪ'sɪʒn] n. 精度，[数] 精密度
92页
6'-3 experimental conditions 实验条件 6'-4 sequence ['sikwəns] n. [数][计] 序列 6'-6 slopes [slop] n. 倾斜，斜坡；[数] 斜率；slope的复数形式
第三段 第二段 Define the quantity to be To simplify the optimization it is usually preferable to choose only the
optimized and propose a practical solution.
most important factors.
06
基本可行解
在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解，称基本可行解，简
第5章-单纯形法
所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行
基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个
基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中
要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
xm a x m ,m 1 m 1 a m ,n xn bm ,
x j 0. j 1, 2, , n
以下用 xii1,2, ,m表示基变量，用 x jj m 1 ,m 2 , ,n
表示非基变量。
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai,m1xm1ai,m2xm2 ai,nxn
i1
a1j
,cma2j
amj
c1,c2, ,cmpj
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
从最优解判别定理知道，当某个σj＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σj＞0，则为了使目标函数 增加得更大些，一般选其中的σj最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个
基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中
要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位 矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，
xm a x m ,m 1 m 1 a m ,n xn bm ,
x j 0. j 1, 2, , n
以下用 xii1,2, ,m表示基变量，用 x jj m 1 ,m 2 , ,n
表示非基变量。
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai,m1xm1ai,m2xm2 ai,nxn
i1
a1j
,cma2j
amj
c1,c2, ,cmpj
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
从最优解判别定理知道，当某个σj＞0时，非基变量xj变为基变量不取 零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基 变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的σj＞0，则为了使目标函数 增加得更大些，一般选其中的σj最大者的非基变量为入基变量，在本例题 中σ2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。
最优化方法线性规划的单纯形法PPT课件
的边界线平行。将等值线沿梯度▽Z =（10，2）正方向平移 至B点时与可行域OABC的整条边界线AB重合。
这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值， 因而都是最优解。
第18页/共52页
x2 5x1+x2=15
10 C
x1=4
maxZ 10x1 2x 2
Z=
Z x1
，Z x 2
第22页/共52页
例6 max z=x1+2x2 －x1 + 2x2≥1 x1 + x2≤－2 x1、x2≥0
无可行解。
x2
x1 2x2 1
1
A
O 12 －1
x1
x1 x2 2
23
第23页/共52页
以上几种情况的图示如下：
可行域有界—唯一最优解 可行域有界—多个最优解 24 第24页/共52页
x6
100
2x3 2x4 x5 x6 3x7 100
3x1 x2 2x3
3x5 x6 4x8 100
x j 0，j 1,28 且, 为整数
➢ 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产，
使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
➢ 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
➢ 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
第14页/共52页
线性规划的一般数学模型
目标函数
max(min)Z=c1x1+c2x2 + +cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( , )b1
满足约束条件
a21x1 a22x2 a2n xn ( , )b2
30x1 2 0x2 160
这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值， 因而都是最优解。
第18页/共52页
x2 5x1+x2=15
10 C
x1=4
maxZ 10x1 2x 2
Z=
Z x1
，Z x 2
第22页/共52页
例6 max z=x1+2x2 －x1 + 2x2≥1 x1 + x2≤－2 x1、x2≥0
无可行解。
x2
x1 2x2 1
1
A
O 12 －1
x1
x1 x2 2
23
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以上几种情况的图示如下：
可行域有界—唯一最优解 可行域有界—多个最优解 24 第24页/共52页
x6
100
2x3 2x4 x5 x6 3x7 100
3x1 x2 2x3
3x5 x6 4x8 100
x j 0，j 1,28 且, 为整数
➢ 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产，
使所消耗的资源数最少的数学规划问题。
➢ 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
➢ 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
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线性规划的一般数学模型
目标函数
max(min)Z=c1x1+c2x2 + +cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( , )b1
满足约束条件
a21x1 a22x2 a2n xn ( , )b2
30x1 2 0x2 160
第五章单纯形优化设计法课件
空间的活动范围。
3. 目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目 标。如：产率，回收率，分离度等。 在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的 优劣，故目标函数也可称评价函数。 目标函数的一般表示式为：
f(x)f(x1,x2,...xn)
优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标 函数达到最佳值，即使：
事实上，n+1个点的选取，一般只需先确定一个初始点 x0=（x01,x02,…,x0n）T，其中x01,x02,…,x0n分别为n个因 素的某一初始水平。然后对每一因素，根据经验确定 一个步长，即该因素相对于初始水平变化的幅度。 譬如考虑pH这一因素，若初始水平为pH=7.0，步长为 0.5，则表示pH这一因素从7.0起按0.5的间距改变pH值 来进行试验。 如果再考虑反应温度，假定初始水平为40oC，步长为5 度，则表示温度从40度起按5度的间距改变温度进行试 验。
各条边长相等的单纯形叫正规单纯形。 如：当n＝2时，等边三角形就是正规单纯形。
在n维空间中单纯形的每个顶点可以用对应的坐标表示，
如二维空间的单纯形的三个顶点可用三角形的坐标表示：
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。
（x ,x ），（x ,x ），（x ,x ）。 三维空间的单纯形就是四面体，
0.2588a
3
0.9428a
0.2357a
4
0.9256a
0.2185a
5
0.9121a
0.2050a
6
0.9011a
0.1940a
7
0.8918a
0.1847a
8
0.8839a
0.179a
10
0.8709a
优化设计--线性规划单纯形法
x[i]=b[t]/a[t][i];}
printf("x1=%f x2=%f x3=%f x4=%f x5=%f \n",x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]);
printf("w(x)=%f\n",w(0,0,0,0,0));
}
printf("最优解：x*=x=(%f,%f,%f,%f,%f) \n",x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]);
float a[3][5]={{9,4,1,0,0},{3,10,0,1,0},{4,5,0,0,1}};
float b[3]={360,300,200};
float cl,al[3],x[5]={0,0,0,0,0};
int i,j,r,l,t,f;
while(c[0]<0||c[1]<0||c[2]<0||c[3]<0||c[4]<0)
#include<math.h>
#define w(x1,x2,x3,x4,x5) (c[0]*x1+c[1]*x2+c[2]*x3+c[3]*x4+c[4]*x5+c[5])
int min5(float *x);
int min3(float a,float b,float c);
int min5(float a[5])
printf("函数值：w(x)=%f\n",-(w(0,0,0,0,0)));
运行结果：
for(i=1;i<3;i++)
if(x[min]>x[i]&&x[i]>0);0)
{min=1;
printf("x1=%f x2=%f x3=%f x4=%f x5=%f \n",x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]);
printf("w(x)=%f\n",w(0,0,0,0,0));
}
printf("最优解：x*=x=(%f,%f,%f,%f,%f) \n",x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]);
float a[3][5]={{9,4,1,0,0},{3,10,0,1,0},{4,5,0,0,1}};
float b[3]={360,300,200};
float cl,al[3],x[5]={0,0,0,0,0};
int i,j,r,l,t,f;
while(c[0]<0||c[1]<0||c[2]<0||c[3]<0||c[4]<0)
#include<math.h>
#define w(x1,x2,x3,x4,x5) (c[0]*x1+c[1]*x2+c[2]*x3+c[3]*x4+c[4]*x5+c[5])
int min5(float *x);
int min3(float a,float b,float c);
int min5(float a[5])
printf("函数值：w(x)=%f\n",-(w(0,0,0,0,0)));
运行结果：
for(i=1;i<3;i++)
if(x[min]>x[i]&&x[i]>0);0)
{min=1;
优化设计-单纯形法
x0[1]=0.5*(x0[1]+xe[1]);
x1[0]=0.5*(x1[0]+xe[0]);
x1[1]=0.5*(x1[1]+xe[1]);
x2[0]=0.5*(x2[0]+xe[0]);
x2[1]=0.5*(x2[1]+xe[1]);
}
float max(float x,float y)
{if (x>y)return x;
else {fh=f0; fe=f1; xh=x0; xe=x1; p[0]=0;p[1]=1;p[2]=1;} }
else { fh=f2; fe=f1; xh=x2; xe=x1; p[0]=1;p[1]=1;p[2]=0;} }
else { if(f0<f2)
{ if(f1<f2){fh=f2; fe=f0; xh=x2; xe=x0; p[0]=1;p[1]=1;p[2]=0;}
step3:
{ if(fn4>fh) {sx(); goto step4;}
else {xh[0]=xn4[0];xh[1]=xn4[1];fh=f(xh); goto step4;} }
step4:
eh();
printf("%d\t[%.4f%.4f][%.4f%.4f] [%.4f %.4f] %.4f\n",k,x0[0],x0[1],x1[0],x1[1],x2[0],x2[1],fn1);
1)用单纯形法求法min（x12+2x22-4x1-2x1x2），已知α=1，β=0.5，γ=2，ε=0.005。
程序如下：
#include "stdio.h"
#include "math.h"
x1[0]=0.5*(x1[0]+xe[0]);
x1[1]=0.5*(x1[1]+xe[1]);
x2[0]=0.5*(x2[0]+xe[0]);
x2[1]=0.5*(x2[1]+xe[1]);
}
float max(float x,float y)
{if (x>y)return x;
else {fh=f0; fe=f1; xh=x0; xe=x1; p[0]=0;p[1]=1;p[2]=1;} }
else { fh=f2; fe=f1; xh=x2; xe=x1; p[0]=1;p[1]=1;p[2]=0;} }
else { if(f0<f2)
{ if(f1<f2){fh=f2; fe=f0; xh=x2; xe=x0; p[0]=1;p[1]=1;p[2]=0;}
step3:
{ if(fn4>fh) {sx(); goto step4;}
else {xh[0]=xn4[0];xh[1]=xn4[1];fh=f(xh); goto step4;} }
step4:
eh();
printf("%d\t[%.4f%.4f][%.4f%.4f] [%.4f %.4f] %.4f\n",k,x0[0],x0[1],x1[0],x1[1],x2[0],x2[1],fn1);
1)用单纯形法求法min（x12+2x22-4x1-2x1x2），已知α=1，β=0.5，γ=2，ε=0.005。
程序如下：
#include "stdio.h"
#include "math.h"
优化设计3 单纯形法
3) 压缩 若映射点的函数值f(Xr)小于最差点的函数值f(Xh)但大于次差 点的函数值f (Xg)，即当 f ( X g ) f ( X r ) f ( X h )
表示Xr点走的太远，应沿着XrXb缩回一些（压缩), 并且得到 的压缩点为
Xc Xb c(X r Xb ) c为压缩系数，取值c＝0.25~0.75, c取0.5叫正压缩；
压 缩 机 研 究 所 CRI
X b
2 n
n i0
(X
(i)
Xh)
Xh
n i0
X
(i)
2 X h
0 0
2 0
0 2
0 2 0
2 2
X r Xb ( Xb X h ) (1 ) Xb X h
2 0 4 2 2 0 4
映射系数取1
Fr F ( X (r) ) 20 Fl
压 缩 机 研 究 所 CRI
不规则单纯形的计算步骤：
设目标函数f(X)为n维函数，即X为n维向量，因此单纯形应有
n十1个顶点x1,x2,….xn+1。构造初始单纯形时，先在n维空间
中选取初始点
X
0 1
(尽量靠近最优点)，从
X
0 1
出发沿各坐标轴方
向ei以步长h找到其余n个顶点
X
0 j
(j=2,3,…..n+1)
2）膨胀 如果求得的映射点后，Xr比Xl点还好，即 f (X r ) f (Xl ) 则表明所取的探索方向正确，可进一步扩大效果，继续沿 XhXr向前进行扩张，在更远处取一点Xe，并使
X e X b e( X b X h )
压 缩 机 研 究 所 CRI e为扩张系数， e＝1.2~2,一般取2(正膨胀） 所得到的相应单纯形XeXlXg为新的单纯形。 如果 f(xe) > f(Xr) ，说明向前膨胀不利，仍取映射单纯形{Xr， Xl, Xg}. 构成新的单纯形并由新的单纯形继续搜索。
表示Xr点走的太远，应沿着XrXb缩回一些（压缩), 并且得到 的压缩点为
Xc Xb c(X r Xb ) c为压缩系数，取值c＝0.25~0.75, c取0.5叫正压缩；
压 缩 机 研 究 所 CRI
X b
2 n
n i0
(X
(i)
Xh)
Xh
n i0
X
(i)
2 X h
0 0
2 0
0 2
0 2 0
2 2
X r Xb ( Xb X h ) (1 ) Xb X h
2 0 4 2 2 0 4
映射系数取1
Fr F ( X (r) ) 20 Fl
压 缩 机 研 究 所 CRI
不规则单纯形的计算步骤：
设目标函数f(X)为n维函数，即X为n维向量，因此单纯形应有
n十1个顶点x1,x2,….xn+1。构造初始单纯形时，先在n维空间
中选取初始点
X
0 1
(尽量靠近最优点)，从
X
0 1
出发沿各坐标轴方
向ei以步长h找到其余n个顶点
X
0 j
(j=2,3,…..n+1)
2）膨胀 如果求得的映射点后，Xr比Xl点还好，即 f (X r ) f (Xl ) 则表明所取的探索方向正确，可进一步扩大效果，继续沿 XhXr向前进行扩张，在更远处取一点Xe，并使
X e X b e( X b X h )
压 缩 机 研 究 所 CRI e为扩张系数， e＝1.2~2,一般取2(正膨胀） 所得到的相应单纯形XeXlXg为新的单纯形。 如果 f(xe) > f(Xr) ，说明向前膨胀不利，仍取映射单纯形{Xr， Xl, Xg}. 构成新的单纯形并由新的单纯形继续搜索。
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
第五章 单纯形法ppt课件
➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)
第五章 单纯形法
Cj→ 50 100 0
0
0
↓
x1
x2
S3
S4
S5
解
50 x1 1 0 1 0 -1
50
0 S4 0 0 -2 1 1
50
100 x2 0 1
00
1
250
Zj 50 100 50 0 Cj-Zj 0 0 -50 0
50 -50
27500
此时，Cj-Zj≤0 则此时为最优解。 即：x1=50 x2=250 S3=0 S4=50 S5=0
y1
5 2 42
y2
3 1 14
y3
3 1 25
≥60 ≥40 ≥35
食品单价
≤≤ ≤ ≤
minZ
1.5 0.7 0.9 1.2
max
W
原规划与对偶规划之间的关系
1.原规划若有n个变量，则对偶规划有n个约束条件；原规 划有m个约束条件，则对偶规划有m个变量。
2.若原规划的目标函数是求极大值，则对偶规划的目标函 数是求极小值，且这两个极值相等。
本题解题过程
由题：
Cj列表示每一个基变量对目标函数的贡献
初始表最右端bi列，表示的是各松弛变量的最大 值，即相应资源的约束条件的上限
初始表提供的基本可行解为
x1= x2=0 不生产A、B
S3=5
闲置的药品A的生产能力
S4=4
闲置的药品B的生产能力
S5=5
闲置的电力资源
例2某：医院营养室专门为病员制作甲、乙、丙三种
营养食品，其中每种食品都要包含两种主要营 养素A、B，具体数据如下表，而且A营养素的 供应量为12千克，B营养素的供应量为20千克， 试问该营养室每天制作甲、乙、丙三种食品各 多少份才能使其利润最高？
运筹学5-单纯形法
Max Z C B B 1b C N C B B 1 N X N X B B 1 NX N B 1b s .t X B 0 , X N 0
令 x3 0 x4 0
6 x1 2 x2 24
15 3 X 0 0 4 4
T
为基本可行解，B12为可行基
则
3 1 对于基阵 B13 6 0 3x1 x3 15
令 x2 0 x4 0
为基本可行解，B13为可行基
6 x1 24
X1
X(1)
单纯形法小结： 单纯形法是这样一种迭代算法——如下图… 当Zk中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基本可 行解Xk即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
X1
保持可行性
X2
保持可行性
X3
保持可行性 ...
保持可行性
Xk
保持单调增
保持单调增
保持单调增
保持单调增 ...
Z1
Z2
Z3
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的 基本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
第五章 单纯形法
1. 线性规划问题的解 2 单纯形法 3 求初始基的人工变量法
1.线性规划问题的解
Max
(1) 解的基本概念
Z CX AX b X 0
1 2 3
s.t
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系 m m 数矩阵A(假定 m n )的任意一个 阶的非奇异(可逆)的子方阵B(即 )， B 0 称为线性规划问题的一个基阵或基。
XB Z CX C B C N X CB X B CN X N N C B B 1b B 1 NX N C N X N
第五章单纯形优化设计法2专选课件
很显然图c的 分离度最差，即x2是最差点xW，应丢弃。 那么另两点的重心指标是:
x pn 1 i n 0x i x w x 0 2 1x 1,1 x 0 2 2x 1 2 6.3 ,9 4 .9
首先计算xR。
xR＝xP＋（xP- xW)=2xp-xw，即：
xR＝(2×69.3-60.4，2×4.9-30.0)T=(78.2, -20.2)T 可见：xR出现了负值，超出了约束条件，因此规定此 点为最差点。假如按照基本单纯形法，则将最差点扔 去，但此时形成死循环。
x5 x6 x7
x8 x9 x10
顶 x01 x11 x21 x31 x41 点 =50 =89 =60 =65 =64
坐 标
x02
x12
xx51 x61 x71 x81 x91 x101
=71 =74 =73 =77 =79 =84
x52 x62 x72 x82 x92 x102
• 测定原理：
• 偶氮氯膦-mA （CPA-mA）是变色酸双偶氮氯膦类 的衍生物。具有很强的螯合性和优异的光度特性。该 试剂已广泛用于稀土、钙、铋、钛、锆、铜、铁等多 种元素的测定。但用于测定锇的分析方法尚未见报道。
• 试验表明.在碱性介质中.微量Os（IV）显著地催化 KIO4对偶氮氯膦-mA的氧化褪色反应。基于此，建 立了测定痕量锇的催化光度法.
这样，初始单纯形的三个顶点x0、x1、x2就确定下来。
根据这三个点进行试验，得出的样品分离色谱图分别 如下：
1.邻硝基苯甲醛;2.邻硝基－苯基肉桂酸 流动相（CH3OH:2%NaAc:H2O）：
a. 50:1:49(x0)；b. 89:9:2(x1)；c. 60:30:10(x2). (V/V).
单纯形优化法与设计方法
➢ 一般在任意n个因素时
➢
=(a1, a2, a3, … an)
▪
=(a1+p1,a2,a3,… … an)
▪
=(a1,a2+p2,a3,… … an)
▪
…………
▪
(n)=(a1,a2, … an-1+pn-1, an)
▪
(n+1)=(a1,a2,a3,… … an+pn)
➢ （二）、双水平单纯形法
➢ （一）直角单纯形法
➢
我们考虑双因素模型，开始不从正三角形出发，而是从一
个直角三角形出发，其顶点取值如下：
➢
=(a1,a2)
➢
=(a1+p1,a2)
➢
=(a1,a2+p2)
➢
用图表示如下
因素2
a2+p2
a2
a1a1+p1源自a1+2p1因素1
➢ 同样比较三个顶点响应值的结果，若最坏，则新点 就用对称公式
§7-3 改进单纯形法
▪ 为了解决优化结果精度和优化速度的矛盾，可以采 用可变步长推移单纯形，此即改进单纯形法，既能 加快优化速度，又能获得较好的优化精度。
▪ 改进单纯形法是1965年J．A．Nelder等提出来 的，它是在基本单纯形法的基础上引入了反射、扩 大、收缩与整体收缩规则，变固定步长为可变步长， 较好地解决了优化速度与优化精度之间的矛盾，是 各种单纯形优化法中应用最广泛的一种单纯形优化 方法。
➢
=+-=(a1+p1,a2+p2)
➢ 在得到点后，再用、、三点试验，比较其结果，
若最坏，则取其对称点做新试验点
➢
=+-=(a1+2p1,a2)
最优化方法线性规划单纯形法ppt(共76张PPT)
ii) 如果任何替换都产生不了新的BFS，则问题无界.
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
第五章单纯形法
17
基解：在约束方程组(1.7)中，令所有非基变量为 xm+1=xm+2=…=xn=0零，以因为有|B|≠0，根据 克莱姆法则，由m个约束方程可解出m个基变量的唯 一解XB=(x1,…,xm)T。将这个解加上非基解中变量 取0的值有X=（x1,x2,…,xm,0,0,…,0）T，称X为线 性规划问题的基解。显然在基解中变量取非零值的个 数不大于方程数m，故基解的总数不超过Cnm个。
基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,…,xjm）T，非基变量构成
的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=ΣPjxj=BXB=b，于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的一个基本解。
基可行解：若基本解中XB=B-1b≥0，则称该解为基可行解，这时
基B也称为可行基。
减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有 ⑷令变xj量= xxjj无- x约j束，。对模型中的变量进行代换。
(5)对于x≤0的情况,令x =-x,显然x ≥0。
12
(6)对于b<0的情况，不等式两边同乘以-1
例：将下述线性规划化为标准型
max z x1 2x2 3x3
同理,取B5=（P2,P4）,可得x2 =3,x4=18, x1 =x3 =0是基可行解。
同理,取B6=（P3 , P4 ）,可得x3=15,x4=24, x1 =x2 =0是基可行解。
22
可行域极点的数量
如果线性规划有50个变量，20个约束条件，全部是等号约
束。按照以上的算法，每计算一个基础解，要从50个变量中选
4.711 03 1.510 6 （年） 360204365
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单纯形优化法的基本思想：
给定初始点X0 ，产生初始单纯形S0，通过反射、扩 张、压缩、收缩一系列动作将单纯形翻滚、变形， 从而产生一系列单纯形，并逐渐向极小点靠拢。 更具体说就是：对n 维空间的n+1 个点(以它们为顶 点形成一个n 维单纯形)的目标函数值进行比较，丢 弃其中的最“坏”点，代之以适当的新点，形成新 的单纯形。重复比较，逐步逼近最优点，如图。
优化算法： 1）解析法（一阶、二阶导数）； 2）直接法（ 单纯形法等）。 事实上，前面讲均匀设计法时，对建立的模型求最佳 条件就是采用的求导数法； 而单纯形法正是这一章要重点讲的。 另外像遗传算法，这也是最近十几年化学计量学中的 一个很重要的领域，也属于直接法。
什么是单纯形？ 单纯形（Simplex）是数学里最优化方法中的一个名 词。它是指多维空间的凸多面体，其顶点数比空间维 数多1。 例如：一维空间的单纯形是一条直线，二维空间中是 三角形，三维空间中是四面体。
空间的活动范围。
3. 目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目 标。如：产率，回收率，分离度等。 在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的 优劣，故目标函数也可称评价函数。 目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标 函数达到最佳值，即使：
事实上，n+1个点的选取，一般只需先确定一个初始点 x0=（x01,x02,…,x0n）T，其中x01,x02,…,x0n分别为n个因 素的某一初始水平。然后对每一因素，根据经验确定 一个步长，即该因素相对于初始水平变化的幅度。 譬如考虑pH这一因素，若初始水平为pH=7.0，步长为 0.5，则表示pH这一因素从7.0起按0.5的间距改变pH值 来进行试验。 如果再考虑反应温度，假定初始水平为40oC，步长为5 度，则表示温度从40度起按5度的间距改变温度进行试 验。
优选第五章单纯形优化设计法
1
什么是优化？ 简单说优化就是如何把事情做的更好。 在化学试验条件选择里，就是指如何得到最佳的试 验条件。 优化设计的三要素： 设计变量、约束条件、目标函数。 1. 在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直 处于变化的参数称为设计变量。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量 表示：
各条边长相等的单纯形叫正规单纯形。 如：当n＝2时，等边三角形就是正规单纯形。
在n维空间中单纯形的每个顶点可以用对应的坐标表示， 如二维空间的单纯形的三个顶点可用三角形的坐标表示： （x11,x12），（x21,x22），（x31,x32）。 NOTE：在坐标中下标中的第一个数字为顶点代号，第二 个数字为变量（因素）代号。每个顶点的坐标表示试验 中各因素的取值。 因此对于n个因素的试验设计问题，n维空间中单纯形 的一个顶点就表示一次试验，该顶点（x1,x2,…,xn）即 为这n个因素的某一种因素水平的搭配方式。
b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函 数，则为二次规划问题。
优化分类： 1）无约束优化:在没有限制的条件下，对设计变 量求目标函数的最佳值； 2）约束优化:在可行域内对设计变量求目标函数 的最佳值。 这些名词是不是很抽象？其实这个很简单，很容 易理解。具体到我们要解决的实际问题时，基本都是 约束优化。 比如我们要解决化学问题，必须结合考虑，不能出 现负浓度值、pH只能在0～14之间，某些反应的温度必 须控制在一定范围等等，这些就是约束条件。
大量研究表明，对于多因素试验设计，单纯形优化法 具有试验次数少，信息量多，收敛于最优目标速度快 等优点，是一种优化的试验设计方法。
二.初始单纯形的确定
如前所述，要完成单纯形优化过程，首先必须构造一个 初始单纯形。 那么，对于n个因素的实验设计问题，首先要确定n＋1 个试验点，这n＋1个点的各因素通常可根据化学工作 者的化学知识和实践经验来选取。 对于所进行的试验，化学工作者一般都有某些先验知识， 能提出试验条件的某些假设条件。
x x1 x2 ... xn T
2. 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些 限制条件称作约束条件，简称约束。
性能约束 约束 （按性质分） 侧面约束
针对性能要求
只对设计变量的取值范围限制 （又称边界约束）
约束 等式约束
h(x)=0
（按数学表 不等式约束
达形式分）
g(x)≤0
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计
单纯形优化法示意图
单纯形优化的特点： 优化方法简便，信息量多，对于因素较多的试验设计 问题尤为适用。
第二节 基本单纯形
对n个因素的试验优化问题，单纯形就是在n维空间中 由不处于同一超平面上的n+1个顶点构成的凸多面体。 故此，一维空间的单纯形是一条直线， 二维空间的单纯形就是三角形， 三维空间的单纯形就是四面体， 高于三维空间的单纯形一般只能以数学解析式表示。
f (x) Opt 单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题 目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复 合的目标函数，如采用线性加权的形式，即：
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。
优化设计的数学表达（数学模型式）：
opt f (x1, x2,, xn ) s.t gi (x1, 源自2,, xn ) 0 (i 1,m)
hj (x1, x2,, xn ) 0 ( j 1,l)
优化设计数学模型的分类： (1) 按设计变量和参数的性质分：
确定型模型
设计变量和参数取值确定
随机型模型
设计变量和参数取值随机
(2) 按目标函数和约束函数的性质分： a.目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数, 称 为线性规划问题;
一.单纯形优化法的寻优过程概述： 首先，单纯形优化法从初始n+1个顶点出发，从比较 初始的n+1次试验的目标值的优劣，判断目标函数变 化的大致趋势，作为寻优方向的参考。 然后，逐步淘汰其中目标值最差的试验点，增加可能 改进目标值的新的试验点，如此不断搜索，逐步达到 目标的最优值，从而确定各因素的最佳水平组合。
什么是单纯形优化法？ 单纯形优化法是一种多维搜索寻优方法。 它是利用单纯形的顶点计算目标函数值,按一定的规则 进行探索性搜索,判断目标函数的变化趋势,确定有利的 搜索方向和步长。 经过不断的迭代，最终使结果收敛 到最优解。 单纯形优化法实际上由两部分组成： 一是初始单纯形的生成，即找出初始的n+1 个顶点； 二是其迭代过程。初始单纯形的取法对迭代过程的收 敛性影响很大。