大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )(

0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f

（ ）(0)2f '= （ ）(0)1f '=（ ）(0)0f '= （ ）()f x 不可导

　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=

x x x x x

x βα

（ ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ ）()()x x αβ与是等价无穷小；

（ ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （ ）()x β是比()x α高阶的无穷小 若

()()()02x

F x t x f t dt

=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）

（ ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （ ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（ ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

)

(

)( , )(2)( )(1

0=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设

（ ）22x （ ）2

2

2x +（ ）1x - （ ）2x +

二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

=

+→x

x x sin 2

)

31(lim

,)(cos 的一个原函数是已知

x f x x =⋅⎰x x x

x f d cos )(则

lim (cos cos cos )→∞-+++=

2

2

2

21n n n n n n ππ

π

π

=

-+⎰

2

12

1

2

211

arcsin －

dx x

x x

三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

设函数=()y y x 由方程

sin()1x y

e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .d )1(17

7

x x x x ⎰+-求

．

　求，， 设⎰--⎪⎩⎪

⎨⎧≤<-≤=1 32

)(1020)(dx x f x x x x xe x f x

设函数)(x f 连续，

=⎰1

()()g x f xt dt

，且→=0

()

lim

x f x A x ，A 为常数 求'()g x 并讨论

'()g x 在=0x 处的连续性

求微分方程2ln xy y x x '+=满足

=-

1

(1)9y 的解

四、 解答题（本大题 分）

已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点

M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍

与该点纵坐标之和，求此曲线方程 五、解答题（本大题 分）

过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形

求 的面积 ； 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，

1

()()≥⎰⎰q

f x d x q f x dx

设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0

)(0

=⎰

π

x d x f ，0

cos )(0

=⎰

π

dx x x f 证

明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设

⎰=

x

dx

x f x F 0

)()(）

解答

一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 、 、 、 、

二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

6

e c x x +2

)cos (21 2π

3

π

三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）

解：方程两边求导

(1)cos()()0x y

e y xy xy y +''+++= cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=- 解：7

67u x x dx du ==

1(1)112()7(1)71u du du u u u u -=

=-++⎰⎰原式

1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

解：1

03

30

()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰

3

()x xd e --=-+⎰⎰

00

2

32

cos (1sin )x x

xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰

令

321

4

e π

=

--

解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===

⎰⎰1

()()()x

xt u

f u du

g x f xt dt x

(0)x ≠

02

()()()(0)

x

xf x f u du

g x x x

-'=

≠⎰

2

0()()A

(0)lim lim

22x

x x f u du

f x

g x x →→'===⎰

02

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A

g x A x

→→-'==-

=

⎰，'()g x 在=0x 处连续。

解：2

ln dy y x

dx x +=

2

2

(ln )

dx dx

x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰

2

11

ln 39x x x Cx -=

-+

1

(1),0

9y C =-=，

11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题 分）

解：由已知且

2d x

y y x y

'=+⎰，

将此方程关于x 求导得y y y '+=''2

特征方程：022

=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r