数学物理方法 2 复变函数的积分
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13
证明： ( z)dz = l u( x, y)dx v( x, y)dy i l v ( x, y)dx u( x, y)dy f
l
格林公式
Q P l Pdx Qdy = ( x y )dxdy S
积分值的实部:由格林公式化成面积分
例3 求
l
1 n 1 dz , l 为以 z0 为中心 , r 为半 ( z z0 )
y
径的正向圆周, n 为整数 . 解
z
积分路径的参数方程为
z0
o
r
l : z = z0 re i
(0 2π),
x
l
2π 1 ire i dz = n1 i ( n1) d n1 0 r ( z z0 ) e i 2π in = n e d , r 0
l : z = 2e i
(0 2π),
i
f z = z = 2e , dz = 2ie i d
l
z dz = 0 2 2ie i d
2π
2π
y
( 因为 z = 2 )
0
= 4i (cos i sin )d
= 0.
f z = z
o
r
x
10
z = z e i
v( x, y)dx u( x, y)dy = 0
l
14
B
B
z0
l1 l2
z1
l1
z0
l2
z1
推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有 关。 z1 f ( z )dz = f ( z )dz = f ( z )dz
l1 l2
z0
例1 计算积分
z =1
AEFADBCDA
AD
AD
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz = 0.
l1 DA l
f ( z )dz
DA
f ( z )dz = 0,
l1
f ( z)dz f ( z)dz. = 0
l
l
f ( z )dz = f ( z )dz,
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性 质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。
重点： 1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式。 难点： 复合闭路定理与复积分的计算。
2
2.1复变函数的积分 ——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
（一）积分的定义 设函数 w = f ( z ) 定义在区域 B 内, l 为区域 B 内起点为 a 终点为 b 的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 l 任意分成 n 个弧段, 设分点为 a = z0 , z1 , L, zk 1 , zk ,L, zn = b , 在每个弧段 zk 1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 k ,
l
f ( z )dz = f ( z )dz
k =1 lk
n
其中 l 是由 l 1 , l 2 , L, l
n
等光滑曲线依次
7
相互连接所组成的按段 光滑曲线.
(2)若l和l-是同线段但走向相反,则
l
l
f ( z )dz = f ( z )dz;
l
(3)常数因子可以移到积分号外
l
f ( z )dz =
l
l1
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
l2 ln
l2
l3
l1
B
19
e 例2 计算积分 dz , 为正向圆周 z = 2 和负 z y = 1 所组成 . 向圆周 z l
1
z
解 l1 和 l2 围成一个圆环域,
o
在l上， f z = z = (3 4i )t ,
dz = ( 3 4i )dt ,
y
4i
l
zdz = (3 4i ) 2 tdt
1 0
= ( 3 4i )2 tdt
0
1
3,4
·
( 3 4i ) 2 = . 2
பைடு நூலகம்
o
3
x
9
例2 计算 l z dz , 其中 l 为 : 圆周 z = 2. 解 积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为
Cf (z)dz = C
l
l
f (z)dz, 其中C为复常数
(4)函数的和的积分等于各函数积分之和
f (z) g(z)dz =
(5)积分不等式
l
f (z)dz g(z)dz;
l
l
f ( z )dz f ( z ) d z
l
特别地，若在l上有 f ( z) M ，l的长记为l，则 性质(5)成为
a
2 i , n = 0 1 = 故 n 1 dz a) n 0. 0, l (z
22
（五）柯西定理小结
1. 单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲 线的积分为零。 2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的 和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分
l l
6
积分的计算法2:参数方程法 设路径l的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β) 由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
f ( z )dz =
l
f [ z( t )]z ( t )dt
(三)性质： 设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则
(1)全路径上的积分等于各段上积分之和
11
当 n = 0 时, 1 2π l ( z z0 ) dz = i 0 d = 2i; 当 n 0 时,
y
z
z0
o
r
x
l
1 i 2π dz = n (cos n i sin n )d = 0; n1 ( z z0 ) r 0
2i , 1 = 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 = r
l
b
l
f ( z )dz = lim f ( k ) zk . a
n k =1
n
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
o
x
4
关于定义的说明: (1) 如果 l 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 f ( z )dz .
l
注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者 左侧的曲线为正 (2) 如果 l 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数
l2
ez 函数 在此圆环域和其边界 z 上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路,
1
2
x
ez 根据闭路复合定理, dz = 0. z
20
例3 求
l
1 l 为含 a 的任一简单闭路 , n 1 dz , (z a) y
l
n 为整数 .
解 因为 a 在曲线 l 内部,
故可取很小的正数 , 使 l 1 : z a = 含在 l 内部,
f (z)dz = ?
l
由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区 域的点，所以围道积分不一定为零. 那么如何计算?
16
A
B
E
C
l
l1
D
F
或 又
作割线把原来以围线l和内边界为l1 的二连通区域转化为除原来围线和内 边界线以外和割线AD与DA组成的新 边界的单连通区域。则 由柯西定理 f ( z )dz = 0,
l1
f (z)dz =
l
l1
f ( z)dz,
17
l与l1方向相反，但与 l-1方向相同。
A
B
E
C
l
l1
D
F
l
f ( z )dz =
l1
f ( z )dz ,
•
此式说明,在区域内的一个解析函数沿 着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作 连续变形而改变它的值,只要在变形过程中 曲线不经过函数的奇点. • ------闭路变形原理
B B
l
A
Sl
R
CR
23
A
思考题
复函数 f ( z ) 的积分定义式 f ( z )dz 与一元 函数定积分是否一致?
l
答:
若 l 是实轴上区间 [ , ], 则
f ( z)dz =
l
f ( x )dx,
如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分, 要受积分路
a
a
l1
x
1 l l 1 为边界的复连通域 n1 在以 (z a)
内处处解析 ,
21
由复合闭路定理,
1 1 ( z a)n1 dz = ( z a)n1 dz l l1
小圆的参数方程:
i
y
l
a
l1
z = a e 0 此结论非常重要, 闭曲线x 2 π, 不必 in i 2π ie 1 2π 是圆, a也不必是圆的圆心, ie dz = d = 0 n d ( z a)n1 0 ( e只要a在简单闭曲线内即可. i n 1 ) l1
定积分的定义 .
5
(二).积分的计算法
积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分
注意到：
f z = u x, y iv x, y ; d z = d x id y
代入积分定义有：
f ( z )dz = u iv dx idy
l l
= udx vdy i udx vdy
18
(多连通域柯西定理) 设B是以 C = l l1 ln
边为界的n+1闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑 闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f (z)在 B 边界上连续，在B内解析，则有
C
f ( z)dz = 0
其中C取关于区域B的正向，或写为：
线的限制, 必须记作
f ( z )dz.
l
24
思考题
应用柯西定理应注意什么?
答:
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
1 1 3 例: f ( z ) = 在圆环域 z 内; z 2 2
(2) 注意定理的不能反过来用.
即不能由 f ( z )dz = 0, 而说 f ( z ) 在 C 内处处解析.
o
y
l
b
a
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
x
3
作和式 S n = f ( k ) ( zk zk 1 ) = f ( k ) zk ,
k =1 k =1
n
n
这里 zk = zk zk 1 , 当 n 无限增加 , 如果不论对 l 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 l 的积分 , y 记为
v u l u( x, y )dx v ( x, y)dy = Sl ( x y )dxdy
柯西-黎曼条件 v u u u u v , 连续，且 ( ) ( ) = 0 u = v x y y y y x x y l u( x, y)dx v( x, y)dy = 0 u = v y x u v u v u u 同理 , 连续，且 =0 v y x y x x
1 dz . 2z 3
y
解
1 函数 在 z 1内解析 , 2z 3 根据柯西定理, 有 1 z =1 2z 3 dz = 0.
·
o
r =1
15
x
（二）复连通域柯西定理 下图表示一个由边界L和l1 构成的闭二连通区域B. 设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.
l1 B G
l L
l
f ( z )dz Ml
8
例1 计算 zdz , l : 从原点到点 3 4i 的直线段 . l 解:采用参数方程方法 y=3x/4,令x=t. x = 3t , 直线的参数方程: 0 t 1, y = 4t ,
l 方程 : z =x +iy =(3 4i )t ,
n = 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
12
2.2 柯西定理 (一)单连通区域柯西定理 讨论复变函数积分值与积分路径的关系 定理1：单连通区域柯西定理
如果函数f (z)在闭单连通域 B上解析，则沿B上任一分段光 滑闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
l
B
l
f ( z )dz = 0
证明： ( z)dz = l u( x, y)dx v( x, y)dy i l v ( x, y)dx u( x, y)dy f
l
格林公式
Q P l Pdx Qdy = ( x y )dxdy S
积分值的实部:由格林公式化成面积分
例3 求
l
1 n 1 dz , l 为以 z0 为中心 , r 为半 ( z z0 )
y
径的正向圆周, n 为整数 . 解
z
积分路径的参数方程为
z0
o
r
l : z = z0 re i
(0 2π),
x
l
2π 1 ire i dz = n1 i ( n1) d n1 0 r ( z z0 ) e i 2π in = n e d , r 0
l : z = 2e i
(0 2π),
i
f z = z = 2e , dz = 2ie i d
l
z dz = 0 2 2ie i d
2π
2π
y
( 因为 z = 2 )
0
= 4i (cos i sin )d
= 0.
f z = z
o
r
x
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z = z e i
v( x, y)dx u( x, y)dy = 0
l
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B
B
z0
l1 l2
z1
l1
z0
l2
z1
推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有 关。 z1 f ( z )dz = f ( z )dz = f ( z )dz
l1 l2
z0
例1 计算积分
z =1
AEFADBCDA
AD
AD
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz = 0.
l1 DA l
f ( z )dz
DA
f ( z )dz = 0,
l1
f ( z)dz f ( z)dz. = 0
l
l
f ( z )dz = f ( z )dz,
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性 质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。
重点： 1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式。 难点： 复合闭路定理与复积分的计算。
2
2.1复变函数的积分 ——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
（一）积分的定义 设函数 w = f ( z ) 定义在区域 B 内, l 为区域 B 内起点为 a 终点为 b 的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 l 任意分成 n 个弧段, 设分点为 a = z0 , z1 , L, zk 1 , zk ,L, zn = b , 在每个弧段 zk 1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 k ,
l
f ( z )dz = f ( z )dz
k =1 lk
n
其中 l 是由 l 1 , l 2 , L, l
n
等光滑曲线依次
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相互连接所组成的按段 光滑曲线.
(2)若l和l-是同线段但走向相反,则
l
l
f ( z )dz = f ( z )dz;
l
(3)常数因子可以移到积分号外
l
f ( z )dz =
l
l1
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
l2 ln
l2
l3
l1
B
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e 例2 计算积分 dz , 为正向圆周 z = 2 和负 z y = 1 所组成 . 向圆周 z l
1
z
解 l1 和 l2 围成一个圆环域,
o
在l上， f z = z = (3 4i )t ,
dz = ( 3 4i )dt ,
y
4i
l
zdz = (3 4i ) 2 tdt
1 0
= ( 3 4i )2 tdt
0
1
3,4
·
( 3 4i ) 2 = . 2
பைடு நூலகம்
o
3
x
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例2 计算 l z dz , 其中 l 为 : 圆周 z = 2. 解 积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为
Cf (z)dz = C
l
l
f (z)dz, 其中C为复常数
(4)函数的和的积分等于各函数积分之和
f (z) g(z)dz =
(5)积分不等式
l
f (z)dz g(z)dz;
l
l
f ( z )dz f ( z ) d z
l
特别地，若在l上有 f ( z) M ，l的长记为l，则 性质(5)成为
a
2 i , n = 0 1 = 故 n 1 dz a) n 0. 0, l (z
22
（五）柯西定理小结
1. 单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲 线的积分为零。 2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的 和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分
l l
6
积分的计算法2:参数方程法 设路径l的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β) 由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
f ( z )dz =
l
f [ z( t )]z ( t )dt
(三)性质： 设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则
(1)全路径上的积分等于各段上积分之和
11
当 n = 0 时, 1 2π l ( z z0 ) dz = i 0 d = 2i; 当 n 0 时,
y
z
z0
o
r
x
l
1 i 2π dz = n (cos n i sin n )d = 0; n1 ( z z0 ) r 0
2i , 1 = 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 = r
l
b
l
f ( z )dz = lim f ( k ) zk . a
n k =1
n
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
o
x
4
关于定义的说明: (1) 如果 l 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 f ( z )dz .
l
注:闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察者 左侧的曲线为正 (2) 如果 l 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数
l2
ez 函数 在此圆环域和其边界 z 上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路,
1
2
x
ez 根据闭路复合定理, dz = 0. z
20
例3 求
l
1 l 为含 a 的任一简单闭路 , n 1 dz , (z a) y
l
n 为整数 .
解 因为 a 在曲线 l 内部,
故可取很小的正数 , 使 l 1 : z a = 含在 l 内部,
f (z)dz = ?
l
由于围线l所包含的面积范围内含有不属于区 域的点，所以围道积分不一定为零. 那么如何计算?
16
A
B
E
C
l
l1
D
F
或 又
作割线把原来以围线l和内边界为l1 的二连通区域转化为除原来围线和内 边界线以外和割线AD与DA组成的新 边界的单连通区域。则 由柯西定理 f ( z )dz = 0,
l1
f (z)dz =
l
l1
f ( z)dz,
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l与l1方向相反，但与 l-1方向相同。
A
B
E
C
l
l1
D
F
l
f ( z )dz =
l1
f ( z )dz ,
•
此式说明,在区域内的一个解析函数沿 着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作 连续变形而改变它的值,只要在变形过程中 曲线不经过函数的奇点. • ------闭路变形原理
B B
l
A
Sl
R
CR
23
A
思考题
复函数 f ( z ) 的积分定义式 f ( z )dz 与一元 函数定积分是否一致?
l
答:
若 l 是实轴上区间 [ , ], 则
f ( z)dz =
l
f ( x )dx,
如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分, 要受积分路
a
a
l1
x
1 l l 1 为边界的复连通域 n1 在以 (z a)
内处处解析 ,
21
由复合闭路定理,
1 1 ( z a)n1 dz = ( z a)n1 dz l l1
小圆的参数方程:
i
y
l
a
l1
z = a e 0 此结论非常重要, 闭曲线x 2 π, 不必 in i 2π ie 1 2π 是圆, a也不必是圆的圆心, ie dz = d = 0 n d ( z a)n1 0 ( e只要a在简单闭曲线内即可. i n 1 ) l1
定积分的定义 .
5
(二).积分的计算法
积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分
注意到：
f z = u x, y iv x, y ; d z = d x id y
代入积分定义有：
f ( z )dz = u iv dx idy
l l
= udx vdy i udx vdy
18
(多连通域柯西定理) 设B是以 C = l l1 ln
边为界的n+1闭连通区域，其中l1，l2，…，ln是简单光滑 闭曲线l内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若f (z)在 B 边界上连续，在B内解析，则有
C
f ( z)dz = 0
其中C取关于区域B的正向，或写为：
线的限制, 必须记作
f ( z )dz.
l
24
思考题
应用柯西定理应注意什么?
答:
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
1 1 3 例: f ( z ) = 在圆环域 z 内; z 2 2
(2) 注意定理的不能反过来用.
即不能由 f ( z )dz = 0, 而说 f ( z ) 在 C 内处处解析.
o
y
l
b
a
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
x
3
作和式 S n = f ( k ) ( zk zk 1 ) = f ( k ) zk ,
k =1 k =1
n
n
这里 zk = zk zk 1 , 当 n 无限增加 , 如果不论对 l 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 l 的积分 , y 记为
v u l u( x, y )dx v ( x, y)dy = Sl ( x y )dxdy
柯西-黎曼条件 v u u u u v , 连续，且 ( ) ( ) = 0 u = v x y y y y x x y l u( x, y)dx v( x, y)dy = 0 u = v y x u v u v u u 同理 , 连续，且 =0 v y x y x x
1 dz . 2z 3
y
解
1 函数 在 z 1内解析 , 2z 3 根据柯西定理, 有 1 z =1 2z 3 dz = 0.
·
o
r =1
15
x
（二）复连通域柯西定理 下图表示一个由边界L和l1 构成的闭二连通区域B. 设f(z)在B内解析,在闭区域边界上连续.
l1 B G
l L
l
f ( z )dz Ml
8
例1 计算 zdz , l : 从原点到点 3 4i 的直线段 . l 解:采用参数方程方法 y=3x/4,令x=t. x = 3t , 直线的参数方程: 0 t 1, y = 4t ,
l 方程 : z =x +iy =(3 4i )t ,
n = 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
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2.2 柯西定理 (一)单连通区域柯西定理 讨论复变函数积分值与积分路径的关系 定理1：单连通区域柯西定理
如果函数f (z)在闭单连通域 B上解析，则沿B上任一分段光 滑闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
l
B
l
f ( z )dz = 0