2011届高三数学期末复习综合试卷(3)

2011届高三数学期末复习综合试卷（3）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．集合{3,2},{,},a A B a b ==且{2},A B = 则A B = . 2．给出如下三个命题，其中不正确．．．的命题的个数是___ ___. ①若“p 且q”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若x ≥2且y≥3，则x +y≥5”的否命题为“若x ≥2且y≥3，则x +y ＜5”； ③四个实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的必要不充分条件是ad=bc ； ④在△ABC 中，“︒>45A ”是“22sin >A ”的充分不必要条件． 3. 设复数1(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += . 4．在等比数列{}n a 中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 .5. 设ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ，且CcA a sin cos =，那么A = .6．若1a = ,b =若()a b a -⊥ ，则向量a 与b 的夹角为 .7. 在等式tan95tan35tan35- 中，根号下的 表示的正整数是 . 8. 已知函数()ln 2x f x x =+,若2(2)(3)f x f x +<，则实数x 的取值范围是 .9．矩形ABCD 中，AB x ⊥轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数()sin ,0y a ax a R a =∈≠的一个完整周期图 象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 .10．直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足1()2OP OA AB AC =++,则AP= .11．若三条直线10,280350x y x y ax y ++=-+=+-=和共有三个不同的交点，则实数a 满足的条件 是___ ___12．椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的左焦点为F ，其左准线与x 轴的交点为A ，若在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是13. 不等式223()a b b a b λ+≥+对任意,a b R ∈恒成立,则实数λ的最大值为 .14. 已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = .二．解答题（本大题共6小题，共90分，写出准确的计算过程及文字说明）15．（本题满分14分）如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅ （1）若BP PA =，求x ，y 的值；（2）若3BP PA = ，||4OA = ，||2OB =，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB ⋅ 的值。

16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、；（1）设向量)sin ,(sin C B =，向量)cos ,(cos C B =，向量)cos ,(cos C B -=， 若)//(+，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b ．17．（本题满分15分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为23，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点， 点O 到直线AB 的距离为556。

（1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点， 满足EP ⊥EQ ，求⋅的取值范围。

在平面直角坐标系xOy 中,已知直线028322:=++-y x l 和圆08:221=+++F x y x C ．若直线l 被圆1C 截得的弦长为32． （1）求圆1C 的方程；（2）设圆1C 和x 轴相交于A 、B 两点，点P 为圆1C 上不同于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 交y 轴 于M 、N 点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论； （3）若RST ∆的顶点R 在直线1x =-上，S 、T 在圆1C 上，且直线RS 过圆心1C ，030SRT ∠=，求 点R 的纵坐标的范围． 19．（本题满分16分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，若111,3(23)3n n a tS t S t -=-+=（t 为正常数，n =2,3，4…）。

(1)求证：{n a }为等比数列；(2)设{n a }公比为)(t f ，作数列{}n b 使)2)(1(,111≥==-n b f b b n n ，试求n b ， 并求)(12221254433221*∈-++-+-+-N n b b b b b b b b b b b b n n n n在区间D 上，如果函数()f x 为增函数，而函数1()f x x为减函数，则称函数()f x 为“弱增”函数．已知函数()1f x =． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数；（2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立，求实数,a b 的取值范围．附加（强化班完成）：已知函数2()f x ax x =-⋅，(),)g x a b =∈R .(1)当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围；(2)求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是 的最小值； (3)对满足(II )中的条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|D x x =∈R 且2,}x k k ≠∈Z 上的函数()h x ： 使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =.2011届高三数学期末复习检测答案1.{}1,2,3;2. 3; 3 .1; 4 .4;5.4π ;6.4π; 7.3 ; 8.(1,2); 9. 10 .111. 1633a a a ≠≠-≠且且 12. [12，1） 13.2; 14.53n -.15. （1）∵BP PA =，∴BO OP PO OA +=+ ，即2OP OB OA =+，3分 ∴1122OP OA OB =+ ，即12x =，12y = 5分（2）∵3BP PA = ， ∴33BO OP PO OA +=+ ，即43OP OB OA =+ 7分∴3144OP OA OB =+ 8分∴34x =，14y = 9分31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-10分131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅ 221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=- 14分 16．解：（1）)cos sin ,cos (sin C C B B y x ++=+，..........................2分 由)//(+，得cos (sin cos )cos (sin cos )0C B B B C C +++=， 即sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=-. ..........................5分所以sin sin sin cos cos sin tan tan 2cos cos cos cos B C B C B CB C B C B C++=+==-； .................7分 （2）由已知可得，sin cos 3cos sin A C A C =-， ..........................9分则由正弦定理及余弦定理有：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅， .....................11分化简并整理得：2222a c b -=，又由已知228a c b -=，所以228b b =，解得40()b b ==或舍，所以4b = ． .......................... 14分17. (1)由离心率23==a c e ，得 2112=-=e ab ∴ b a 2= ① ∵原点O 到直线AB 的距离为556∴55622=+b a ab ② ， 将①代入②，得92=b ，∴362=a 则椭圆C 的标准方程为193622=+y x（2）∵ EQ EP ⊥ ∴ 0=⋅EQ EP ∴ 2)(EP EQ EP EP QP EP =-⋅=⋅设),(y x P ，则193622=+y x ，即4922x y -= ∴6)4(434996)3(222222+-=-++-=+-==⋅x x x x y x ∵ 66≤≤-x ， ∴ 816)4(4362≤+-≤x 则⋅的取值范围为[]816，　。

18．解：（1）圆F y x C -=++16)4(:221F -=++-+16)328328(32，12=F ∴圆1C 的方程为12)4(22=++y x（2）设)0)(,(000≠y y x P ，则4)4(2020=++y x∴600+=x y k PA 则)6(6:00++=x x y y l PA ，M )66,0(00+x y ∴则)2(2:00++=x x y y l PB ，N )22,0(00+x y圆2C 的方程为20000200002)22266()22266(+-+=+++-+x y x y x y x y y x化简的012)2266(000022=-+++-+y x y x y y x 令0=y ，得32±=x 又点)0,,32(-在圆1C 内所以当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 经过圆1C 内一定点)0,32(- （3）设(1,)R t -，作1C H RT ⊥于H ，设1C H d =，由于0130C RH ∠=，12RC d ∴=，由题得2d ≤，14RC ∴≤4≤，t ≤≤ ∴点A 的纵坐标的范围为⎡⎣19．(1)解: t S t tS a n n 3)32(3,111=+-=-(*∈≥N n n ,2)t S t tS n n 3)32(321=+-∴--(*∈≥N n n ,3)两式相减得………………4分 又时2=n ,22213(1)(23)13232333t a t ta t t a t a t+-+⋅=++∴=∴=(注:未证明tt a a 33212+=扣2分) ………………7分∴{}n a 是以1为首项,tt 332+为公比的等比数列. ………8分 (2).32332)(3tt t t f +=+=,)2(32,33211≥=-∴+=∴--n b b b b n n n n ………………11分 }{n b ∴是以1为首项,32为公差的等差数列,312+=∴n b n ………………………12分)(12221254433221*∈-++-+-+-N n b b b b b b b b b b b b n n n n＝)()()(12122434312+--++-+-n n n b b b b b b b b b＝91282)(34)(34231435242n n n b b b n n --=+-=++-+ …………………………16分 20．（1）显然()f x 在区间(0,1]为增函数，……..1分11()(1f x x x ===……..4分 1()f x x∴为减函数. ∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ……………………..5分 （2）21()()f x f x -===..8分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,2>,.……..9分21()()f x f x ∴-2112x x <-. .……..10分 （3） 当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立. 当0x =时,不等式显然成立. ……..12分当(]0,1x ∈时.等价于:1(),1(),a f x xb f x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ……..14分由(1)1()f x x为减函数, 111()2f x x -≤<，1,12a b ∴≥≤.……..16分 附加：(1)当0b =时，()24f x ax x =-，…………………………………………………1分若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意；………3分113(23)023(3,)3n n n n ta t a a t n t a t---+=+∴=≥为正常数若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减，必须满足0,42,2a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩ ……………………………………………………………………5分∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是[]0,1 …………………………………6分 (2)若0a =，()f x =-，则()f x 无最大值，………………………7分故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <且11b ≤，…8分此时，0x =()f x 有最大值．………………………………………9分又()g x 取最小值时，0x a =，………………………………………………………10分a =∈Z，则2a ，…………11分∵0a <且11b ≤≤，∴)20a a <≤∈Z ，得1a =-，………………12分 此时1b =-或3b =．∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---.……………………………13分 (3)当整数对是()()1,1,1,3---时，()22f x x x =--(2)()h x h x += ，()h x ∴是以2为周期的周期函数，………………………14分又当()2,0x ∈-时，()()h x f x =,构造()h x 如下：当()22,2,x k k k ∈-∈Z ，则， ()()()()()222222h x h x k f x k x k x k=-=-=----，故()()()()2222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z …………………16分。