线性方程组的应用
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入为10 x1 ，木工，电工，油漆工 3 人在木工
家工作的天数分别为:2 天，1 天，6 天，则
木工的总支出为 2x1 x2 6x3 .由于木工
总支出与总收入相等，于是木工的收支平衡 关系课描述为
2x1 x2 6x3 10 x1 .
类似地，可以分别建立描述电工，油漆 工的收支平衡关系的 2 个等式
.
大连理工大学出版社
目录
1.工资问题 2.交通流量问题
1. 工资问题
例 3.7.1 现有 1 个木工，1 个电工和 1 个油漆工，3 个人相互 同意彼此装修他们自己的房子.在装修之前，他们达成了如下协议：
(1) 每人总共工作 10 天(包括给自己家干活在内);
~ (2) 每人的日工资据一般的市价在 60 80 元之间；
X 的每 1 个分量即为交通网络未知部分的具体流量， 它有无穷多解.
习题 3.7
某城市对在法定工作年龄的人口来自百度文库 行就业情况统计发现，目前有80% 的人
有工作，其余 20% 人失业. 为了降低失 业率，准备采取一系列措施提高就业率， 估算以后每年大约在已就业的人中有 10% 将失去工作，而失业人口中 60% 将 找到工作. 假设该市的工作适龄人口在 若干年内保持不变，问 3 年后该市工作 适龄人口的失业率是多少？
x9 - x10 -200 ,x6 x7 200 , x7 x8 1000 ,
x10 600
得到所给问题满足如下线性方程组
x3 x6 x8 1000,
x2
x3
x4
300,
x1
x2
800, x9 400,
x4 x5 500, x1 x5 800,
x9 x10 200,
即：
3/ 4
3/4
1/ 3 a 1/ 3b
0
这是一个齐次方程组问题。如果方程组有解，则应该在 非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额。
小结
1.工资问题 2.交通流量问题
分析背景 明确条件 建立数学模型 求解
有一组初始市场分配数据使以后每年的市场分
配成为稳定不变？
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
作答
问题分析与数学模型: 根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成一下转移矩阵 ：
A
1/ 3 /
4 4
1/ 3 2 / 3
根据产品制造之初，市场的初始分配数据可得如下向量：
3/ 5 X 0 2 / 5
所以一年后，市场分配为：
(3) 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等. 他们协商后制定出的工作天数的分配方案如表 1 所示，如何计算出 他们每人应得的工资？
工种
天数
木工
电工
油漆工
在木工家的工作天数
2
1
6
在电工家的工作天数
4
5
1
在油漆工家的工作天数
4
4
3
解 设 x1, x2 , x3 分别表示木工，电工，
油漆工的日工资。木工的 10 个工作日总收
4x1 5x2 x3 10 x2,4x1 4x2 3x3 10 x3
联立得线性方程组为
42xx11
x2 5x2
6x3 x3
10x1, 10x2 ,
4x1 4x2 3x3 10x3.
2. 交通流量问题
例 3.7.2 某城市部分单行街道的交通流量(每小 时通过车数)如图 1 所示，假设 (1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； (2)全部流入 1 个节点的流量等于全部流出此节点的 流量.
建立数学模型确定图 1 所示交通网络未知部分的 具体流量.
100
300
① x4 ④ 400 ⑦
200
x2
x5
x7
300
②
x1
600
⑤
⑧
x8
500
200
400
300
③
x9
⑥
x10
⑨
500
600
700
图1
解 设流入为正，流出为负，由网络流
量假设(1),从 x3 开始，计算得
x3 300 300 300 600 700 500 x8 200 x6 100 0
主观题 10分
有两家公司R和S经营同类的产品，他们相互 竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S 公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R 公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份 额，而S公司占有2/5的市场份额。
问两年后，两家公司所占的市场份额变化
怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否
整理有 x3 x6 x8 1000 ,
利用网络流量假设(2),计算节点①,得
x3 300 x2 x4 0 ， 即 x2 x3 x4 300 .
~ 类似地，计算节点② ⑨,分别得
x1 x2 800 , x9 400 , x4 x5 500 , x1 x5 800 ,
1/ 4 1/ 33 / 5 X1 AX0 3 / 4 2 / 32 / 5
两年后，市场分配为：
X 2 AX1 A2 X 0
以向量Xn记第n年后市场分配的份额，则
X n AX n-1 An X 0 （n=1,2…）
为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的 规律有 ：
1/ 4 1/ 3a a 3 / 4 2 / 3b b
x6 x7 200,
x7 x8 1000,
x10 600.
此方程组的通解为
X 0 k11 k22 ，( k1, k2 为任意常数)
0 800,0, 200,500,0,800,1000,0, 400,600, 1 1,1, 0, 1,1, 0, 0, 0, 0, 0 2 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,1, 0, 0
家工作的天数分别为:2 天，1 天，6 天，则
木工的总支出为 2x1 x2 6x3 .由于木工
总支出与总收入相等，于是木工的收支平衡 关系课描述为
2x1 x2 6x3 10 x1 .
类似地，可以分别建立描述电工，油漆 工的收支平衡关系的 2 个等式
.
大连理工大学出版社
目录
1.工资问题 2.交通流量问题
1. 工资问题
例 3.7.1 现有 1 个木工，1 个电工和 1 个油漆工，3 个人相互 同意彼此装修他们自己的房子.在装修之前，他们达成了如下协议：
(1) 每人总共工作 10 天(包括给自己家干活在内);
~ (2) 每人的日工资据一般的市价在 60 80 元之间；
X 的每 1 个分量即为交通网络未知部分的具体流量， 它有无穷多解.
习题 3.7
某城市对在法定工作年龄的人口来自百度文库 行就业情况统计发现，目前有80% 的人
有工作，其余 20% 人失业. 为了降低失 业率，准备采取一系列措施提高就业率， 估算以后每年大约在已就业的人中有 10% 将失去工作，而失业人口中 60% 将 找到工作. 假设该市的工作适龄人口在 若干年内保持不变，问 3 年后该市工作 适龄人口的失业率是多少？
x9 - x10 -200 ,x6 x7 200 , x7 x8 1000 ,
x10 600
得到所给问题满足如下线性方程组
x3 x6 x8 1000,
x2
x3
x4
300,
x1
x2
800, x9 400,
x4 x5 500, x1 x5 800,
x9 x10 200,
即：
3/ 4
3/4
1/ 3 a 1/ 3b
0
这是一个齐次方程组问题。如果方程组有解，则应该在 非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额。
小结
1.工资问题 2.交通流量问题
分析背景 明确条件 建立数学模型 求解
有一组初始市场分配数据使以后每年的市场分
配成为稳定不变？
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
作答
问题分析与数学模型: 根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成一下转移矩阵 ：
A
1/ 3 /
4 4
1/ 3 2 / 3
根据产品制造之初，市场的初始分配数据可得如下向量：
3/ 5 X 0 2 / 5
所以一年后，市场分配为：
(3) 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等. 他们协商后制定出的工作天数的分配方案如表 1 所示，如何计算出 他们每人应得的工资？
工种
天数
木工
电工
油漆工
在木工家的工作天数
2
1
6
在电工家的工作天数
4
5
1
在油漆工家的工作天数
4
4
3
解 设 x1, x2 , x3 分别表示木工，电工，
油漆工的日工资。木工的 10 个工作日总收
4x1 5x2 x3 10 x2,4x1 4x2 3x3 10 x3
联立得线性方程组为
42xx11
x2 5x2
6x3 x3
10x1, 10x2 ,
4x1 4x2 3x3 10x3.
2. 交通流量问题
例 3.7.2 某城市部分单行街道的交通流量(每小 时通过车数)如图 1 所示，假设 (1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； (2)全部流入 1 个节点的流量等于全部流出此节点的 流量.
建立数学模型确定图 1 所示交通网络未知部分的 具体流量.
100
300
① x4 ④ 400 ⑦
200
x2
x5
x7
300
②
x1
600
⑤
⑧
x8
500
200
400
300
③
x9
⑥
x10
⑨
500
600
700
图1
解 设流入为正，流出为负，由网络流
量假设(1),从 x3 开始，计算得
x3 300 300 300 600 700 500 x8 200 x6 100 0
主观题 10分
有两家公司R和S经营同类的产品，他们相互 竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S 公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R 公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份 额，而S公司占有2/5的市场份额。
问两年后，两家公司所占的市场份额变化
怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否
整理有 x3 x6 x8 1000 ,
利用网络流量假设(2),计算节点①,得
x3 300 x2 x4 0 ， 即 x2 x3 x4 300 .
~ 类似地，计算节点② ⑨,分别得
x1 x2 800 , x9 400 , x4 x5 500 , x1 x5 800 ,
1/ 4 1/ 33 / 5 X1 AX0 3 / 4 2 / 32 / 5
两年后，市场分配为：
X 2 AX1 A2 X 0
以向量Xn记第n年后市场分配的份额，则
X n AX n-1 An X 0 （n=1,2…）
为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的 规律有 ：
1/ 4 1/ 3a a 3 / 4 2 / 3b b
x6 x7 200,
x7 x8 1000,
x10 600.
此方程组的通解为
X 0 k11 k22 ，( k1, k2 为任意常数)
0 800,0, 200,500,0,800,1000,0, 400,600, 1 1,1, 0, 1,1, 0, 0, 0, 0, 0 2 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,1, 0, 0