平面的概念及表示(ppt)
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§14.1 平面及其基本性质
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
一、 平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线 是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点， 则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、 平面的基本性质
3.公理3： 不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质 例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一 直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1： 如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质： 公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用： （1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)
一、 平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线 是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点， 则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、 平面的基本性质
3.公理3： 不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质 例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一 直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1： 如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质： 公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用： （1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
新版高中数学必修2课件：8.4.1平面
平面个数是 1 或 3，如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数 是 1，所以空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是 1 或
3. 答案：B
2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图 中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同 样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
方法归纳 证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在 两点所确定的直线上．
微点 2 线共点问题 例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上，点 H 在 AD 上，且 DF:FC＝DH:HA＝2:3.求证：EF，GH， BD 交于一点．
证明：如图，连接 GE、HF 因为 E，G 分别是 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC，GE＝12AC. 又 DF:FC＝DH:HA＝2:3， 所以 FH∥AC，FH＝25AC，所以 FH∥GE，FH≠GE， 所以 E，F，H，G 四点共面，且四边形 EFHG 是一个梯形． 延长 GH 和 EF 交于一点 O， 因为 GH⊂平面 ABD，EF⊂平面 BCD， 所以 O∈平面 ABD，O∈平面 BCD， 所以点 O 在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在 直线 BD 上． 所以 EF，GH，BD 交于一点．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线 和虚线的区别．
跟踪训练 1 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A___∈_____平面 ABC，A____∉____平面 BCD，BD___⊄_____平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝___A__C___.
平面基本性质.ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
a__lP, b__l_P
例题讲解
例２、求证：两两相交且不过同一个点的三条 直线必在同一平面内。
A C
B
已知 :如图 ,直线 AB、BC、CA两两相交 交 变 直线式点 ”：，如分 果命题条A别 还件、成改B为 、 立为C 吗“。 ？交于同一点的三条 求证：A直B、 线 BC、CA共面。
思考探究
。2020年11月9日星期一2020/11/92020/11/92020/11/9
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/92020/11/92020/11/911/9/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/92020/11/9November 9, 2020
P
l
P
P 且 P l且 P l
作用：用来判定两个平面相交或点在直线上。
例题讲解
B
A
l
a （1）
பைடு நூலகம்
b
lP
a
（2）
例1、如上图，用符号表示图形中点、直线、 平面之间的位置关系。
14.1平面及其基本性质
a b
14.1平面及其基本性质（1）
例1、正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、，试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
14.1平面及其基本性质（1）
❖ （二）平面的表示方法：
❖ 1、几何表示：
①
水平放置①：
③
正视垂直放置②： ② 侧视垂直放置③：
❖ 2、符号表示：
（1）直线AB，直线l，直线a
（2）平面ABCD（顶点字母），
平面αβγ（小写的希腊字母），平面M、N
❖ 3、点、线、面的位置关系（借用集合符号）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
m
（3） l
P
（4）P l,P ,Q l,Q
Q
14.1平面及其基本性质（1）
例3、如图，正方体 ABCDA1B1C1D 1，E,F分别是
B1C1, BB1的中点，问：直线EF和BC是否相交；
如果相交，交点在哪几个平面内？
D1
C1
A1
B1 E
DF C
A
B
14.1平面及其基本性质（1）
(4)_____A _1B_ 1 ______B_1B
【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)
【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：8.4.1 平面
答案 B
[微思考] 1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示 没有.平行四边形. 2.一个平面把空间分成了几部分？
提示 两部分. 3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面. 4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内. 5.基本事实3有什么作用？
点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有 推论2
一个平面 经过两条平行直线，有且只有 推论3 一个平面
图形
作用 定平面的依据
[微判断]
拓展深化
1.一个平面的面积是16 cm2.( × ) 2.直线l与平面α有且只有两个公共点.( × ) 3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.( × ) 4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × ) 5.空间不同三点确定一个平面.( × )
证明 如图所示.由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内， 然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) 答案 D
3.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a⊄α，则A∉α；
②若A∈α，a⊂α，则A∈a；
③若A∉a，a⊂α，则A∉α；
④若A∈a，a⊂α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
平面及表示法
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
； 欧洲杯直播/
；
可当他快到终点时，才发现机会全错过了。 第三个弟子吸取了前边两个弟子的教训。当走过全程三分之一时，即分出大中小三类；再走三分之一时，验是否正确；等到最后三分之一时，他选择了属于大类中的一个美丽的穗。虽说，这穗不是田里最好最大的一个，但对他来说，已经 是心满意足了。 137、科学史上因语文而失误例谈 ①美国化学家路易斯于1916年在一篇中提出了共价键理论，但在本世纪20年代曾一度被称为朗缪尔理论。原因是路易斯虽很聪明，但性格内向，不善言谈，他提出功价键理论后，并未引起多大反响。致使这一理论濒临泯灭的困 境。幸亏三年后，一位思想敏锐的化学家朗缪尔看出了共价键理论的重大意义，于是，一方面凭借生动活泼流畅的文笔在有影响的《美国化学学会志》等刊物发表系列，一方面又以滔滔不绝的口才在国内大型学术会议上多次发表演说，终于使这一理论走出了困境，得到普遍承认。 ②现在举世公认，美国科学家维纳是信息论的创始人，因为他在上世纪50年代对信息论做了系统阐述，并建立了维纳滤波理论和信号预测论。可早在30年代就提出信息论的竟是中国数学家申农。最先提出信息论的却没有成为创始者，其原因固然很复杂，但有一点可以肯定，申农未能充分 利用语文工具对信息论进行系统阐述和广泛宣传，该是原因之一。 ③著名物理学家法拉第，早在1873年就已经发现了电磁感应现象，但由于他在论述这一现象时，用语晦涩，致使这项重大的科学发现在长达26年的确时间里被束之高阁。后来幸亏了酷爱诗歌的物理学家麦克斯韦以他 特有的形象思维和精练的语言，把它描述出来，才使这一重大科学发现公之于众。 138、老报纸的价值 旧报纸，若是卖给收废品的，一斤大约三四毛钱。 但吴江路就有一家老报纸馆专营《人民日报》、《光明日报》、《解放军报》和《文汇报》等老报纸，上世纪60年代的 普通报纸，每张要卖218元，就是上世纪80年代的普通报纸，每张也要卖128元。那些按理说没有收藏价值的普通旧报纸居然还卖得挺火。 原来，商家打出的宣传是这样的：为自己或者是亲人卖一份生日老报纸吧！颜色已发黄的老报纸配以充满怀旧情调的包装，就有一些历史韵味。 顾客主要是二三岁的市民，他们或者购买自己出生那一天的报纸，看看自己出生那天世界发生了哪些事，或者卖来赠送给长辈，以引起长辈对青春的记忆。 这老板叫刘德保，素有收集老报纸的兴趣。他将老报纸的卖点定位于生日礼物上，可谓别出心裁，既雅致，又有韵味；既可以 满足青年人对出生那个年代的好奇，又会唤起中老年人对逝去岁月的缅怀。三四毛钱一斤的旧报纸得以卖出每张一二百元的高价，价钱翻了千倍以上，可谓极高附加值了！ 139、最大的不幸 一个人在他23岁时为人陷害，在牢房里呆了9年，后来冤案告破，他终于走出了监狱。出 狱后，他开始了常年如一日的反复控诉、咒骂：“我真不幸，在最年轻有为的时候竟遭受冤屈，在监狱度过本应最美好的一段时光。那样的监狱简直不是人居住的地方，狭窄得连转身都困难。唯一的细小窗口里几乎看不到星点灿烂的阳光，冬天寒冷难忍；夏天蚊虫叮咬……真不明白，上 帝为什么不惩罚那个陷害我的家伙，即使将千刀万剐，也难以解我心头之恨啊！” 73岁那年，在贫病交加中，他终于卧床不起。弥留之际，牧师来到他的床边：“可怜的孩子，去天堂之前，忏悔你在人世间的一切罪恶吧……”牧师的话音刚落，病床上的他声嘶力竭地叫喊起来： “我没有什么需要忏悔，我需要的是诅咒，诅咒那些施予我不幸命运的人……” 牧师问：“您因受冤屈在监狱呆了多少年？离开监狱后又生活了多少年？”他恶狠狠地将数字告诉了牧师。 牧师长叹了一口气：“可怜的人，您真是世上最不幸的人，对您的不幸，我真的感到万分 同情和悲痛！但他人囚禁了你区区9年，而当你走出监牢本应获取永久自由的时候，您却用心底里的仇恨、抱怨、诅咒囚禁了自己整整41年！” 140、索尼：不迷信专家 近几年，日本索尼公司在招聘大学生时，对学校名称采取“不准问，不准说，不准写”的“三不”方针。公司认为， 在激烈竞争和多变时代，企业需要各种人才，只有将各种不同的人聚集在一起，才能更好地发挥创造性，开发出新产品。只在少数名牌大学中招聘人才，会使企业失去活力。索尼公司的创始人之一的井深大说：“我从不迷信专家，专家倾向于争辩你为什么不做或不能做某种事情，而我们 经常强调的是从无到有去实干。”因此，索尼喜欢思想敏锐、不墨守成规、勇于探索创新的人，他们鼓励科技人才“跳槽”，可以在公司任何部门寻找新的职位，“毛遂自荐”参与项目的开发研究。公司认为，这种人思想开放，思维活跃，兴趣广泛，具有创造意识和创新精神，是实干家 而不是空谈家，有培养和发展前途，应加以重用。 141、神奇的皮鞋 多明尼奎?博登纳夫，是法国一位年轻企业家、艺术家。他所经营的公司历来就是发展美术业，但始终都是没有看到兴旺的一天。 一天，他在徒步回家的路上，突然，感到脚下有什么绊了一下，低头一看，原 来是一只破旧皮鞋，他刚想抬起脚将它踢开，却又发现这只鞋有几分像一张皱纹满布的人脸。一个艺术的灵感刹那间在他脑海里闪现，他如获至宝，于是赶忙将破旧皮鞋拾起，迫不及待地跑回家，将其改头换面，变成了一件有鼻有眼有表情的人像艺术品。 以后，博登纳夫又陆续捡 回一些残旧破皮鞋，经过他那丰富的想象力和神奇的艺术之手再加工，一双双被遗忘的“废物”先后变成奇妙谐趣的皮鞋脸谱艺术品。后来，博登纳夫在巴黎开设了皮鞋人像艺术馆，引起了轰动，生意异常兴隆。 看来，在现实生活中，在许多人不屑一顾的小小事情里，往往都隐藏 着成功的契机。当然，要获成功，得靠用心发掘。博登纳夫的这一成功，无疑就在于他比别人多了一个“艺术”心眼。 142、我们到底有多美 世界著名法学家德沃金先生到中国一游，并在几所著名法学院巡回讲演。在一次讲演后，与学生们青春激扬的问答恰恰相反，有一个蠢 货突然发问：“你对我们这所大学如何看？”他到这个学校，准确地说，到这个梯形教室，只有几十分钟，始则略有诧异，继则笑笑，充满理解地笑笑，说：“这是个极好的大学！”——他还能说什么呢？！ 这是时下的一种通病。有些人见到洋人，尤其是见到欧美来的西洋人，便 非要拉住人家的手问长问短，非要请教别人自己美不美，非要请教别人我们这里是不是好山好水好地方。真的不懂，我们的学子从幼儿园起就接受爱国主义教育，居然仍旧如此不自信。 但凡有人以中国特色为名，拒绝外国的时候，被拒绝的大多是比较先进的，也是比较合理的。相 反，学习外国坏东西的时候，我们大多不谈中国特色。鼓励汽车消费时也不谈中国特色。养狗成风时也不谈中国特色。近年来中国兴起了养狗热潮，说是西洋人也喜欢养狗，因为狗是人类的朋友。但西洋人有导盲犬，我们有吗？没有。反正街上是见不到一条导盲犬。 143、以德报怨 没有社会效用 过去我们一直以为“以德报怨”是最高的道德境界，可是关于德怨相报的经济学分析却表明，以德报怨的社会效用为0分，一个小偷被抓到了，报之以德，会给他一个错误的暗示，结果鼓励他错上加错。如有人问孔子：“以德报怨，会怎么样呢？”孔子答：“怎么会用 德去报怨呢？！应当以直报怨。报德的对象只能是德而不是怨。”孔子对如何抱怨的方案是“直”，它可以理解为，一是要用正直的方式对待破坏规则的人，二是要直率地告诉对方，你什么地方做错了事。经济学家认为，以直报怨的社会效用是1分，以直报怨的人，既不想迎合你（报 德）；也不想报复你（报怨）；而是让你知道错在哪里，犯了什么规。在道德的范畴内，这种方式也是满不错的。 最糟糕的是以怨报怨，怨怨相报，只能两败俱伤，所以经济学分析给它打了-2分。 144、钱学森的“大成智慧学” 《日报?理论周刊》4月12日刊登中国人民大 学教授钱学敏的文章，介绍了钱学森的“大成智慧学”。 钱老曾说：“人的智慧是两大部分：量智和性智。缺一不成智慧！此为‘大成智慧学’。”什么是“量智”和“性智”呢？钱老认为，现代科学技术体系中的数学科学、自然科学、系统科学、军事科学、社会科学、思维科学、 人体科学、地理科学、行为科学、建筑科学等10大科学技术部门的知识是性智、量智的结合，主要表现为“量智”；而文艺创作、文艺理论、美学以及各种文艺实践活动，也是性智与量智的结合，但主要表现为“性智”。“性智”、“量智”是相通的。 钱老说：“‘量智’主要是 科学技术，是说科学技术总是从局部到整体，从研究量变到质变，‘量’非常重要。当然科学技术也重视由量变所引起的质变，所以科学技术也有‘性智’，也很重要。大科学家就尤其要有‘性智’。‘性智’是从整体感受入手去理解事物，是从‘质’入手去认识世界。中医理论就如此， 从‘望、闻、问、切’到‘辨施治’，但最后也有‘量’，用药都定量的嘛。” 关于“量智”与“性智”、逻辑思维与形象思维不可分离及其在科学与艺术创作过程中的作用，钱老分析：“从思维科学角度看，科学工作总是从一个猜想开始的，然后才是科学论；换言之，科学工作 是源于形象思维，终于逻辑思维。形象思维是源于艺术，所以科学工作是先艺术，后才是科学。相反，艺术工作必须对事物有个科学的认识，然后才是艺术创作。在过去，人们总是只看到后一半，所以把科学和艺术分了家，而其实是分不了家的；科学需要艺术，艺术也需要科学。” 145、平常心 三伏天，禅院的草地枯黄了一大片。“快撒些草籽吧，好难看啊！”小和尚说。“等天凉了。”师父挥挥手，“随时。” 中秋，师父买了一大包草籽，叫小和尚去播种。秋风突起，草籽飘舞。“不好，许多草籽被吹飞了。”小和尚喊。“没关系，吹走的多半是空 的，撒下去也不会发芽。”师父说，“随性。” 撒完草籽，几只小鸟即来啄食。“要命了！草籽都被鸟吃了！”小和尚急得跳脚。“没关系，草籽多，吃不完！”师父继续翻着经书，“随遇。” 半夜一场骤雨。一大早，小和尚冲进禅房：“师父！这下完了，好多草籽被雨水冲 走了！”“冲到哪儿，就在哪儿发芽！”
平面的基本性质及三大公理ppt课件
直线与平面的关系：l ,l
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 公理1:如果一条直线上的
字 两个点在平面内,那么这条
语 言
直线上所有的点都在这个 图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语 言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
证明： AB , AC
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界）
（没有质量）
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当 平 面 水 平 放 置 的 时，候 通 常 把 平 行 四 边 形 的 锐 角 画 成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 公理1:如果一条直线上的
字 两个点在平面内,那么这条
语 言
直线上所有的点都在这个 图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语 言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
证明： AB , AC
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界）
（没有质量）
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当 平 面 水 平 放 置 的 时，候 通 常 把 平 行 四 边 形 的 锐 角 画 成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
中职教育数学《平面及基本性质》课件
例、求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法：利用推论２
Ｂ
Ｃ
题目变型：两两相交且不过同一点的三条直线共面。
如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，
Ｐ为棱ＢＢ１的中点，画出 由Ａ１，Ｃ１，Ｐ三点所确定
的平面 与长方体表面的交线．
分析：因为点Ｐ既在平面
证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义， 直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平 面α。
设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A 和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1， 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。
反馈练习
1、选择题:
D （１)两个平面的公共点的个数可能有......( )
图形语言：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面α、平面AC 、平面ABCD
表示：1、通常用希腊字母 , , 等来表示，如：
平面 ，2、用表示平行四边形的两个相对顶点的字母 来表示，如：平面AC．3、用平面的顶点字母表示，如 平面ABCD
(1) 当平面是水平放置的时候，通常把平行 四边形的锐角画成45°，横边画成邻边长的2倍。
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
点B不在平面α上： 记为：B∈ α α
B A
文字叙述
图形表示
符号表示
直线l在平 面α内
l α
直线l在平
l
l
面α外
α
α
直线l1 l2交于 点Ｐ
平面α 、 ß相 交于直线 l
P l1
l2
l
l l1 l2 P
平面的概念
直线l于平面相交于点A，记作l A
平面与平面相交与直线 l，记作 l。
相交两平面：
β α
B α A
β
α B β a A 图2 α a β B
A
相交两平面的画法
E M F
N
α∩β=AB 两个平面的交线必须画出,被别的平面遮盖的部分线段,画成虚线或不画.
相交面画法：
平面是不加定义的基本概念，平面没有厚薄， 它向四周无限延展.
例1、判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 : ( ( ( ( ) ) ) ) )
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； 2、平面有边界； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、菱形的面积是 4 cm 2；
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
语言内容位置关系文字语言图形语言符号语言点与直线的位置关系点与平面的位置关系点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线a与b相交于点a上记作不在直线上记作在直线上记作不在平面上记作在平面内记作不在平面直线内记作在平面直线记作相交于点和直线直线记作相交于点于平面直线记作相交与直线与平面平面ab相交面画法
(4) _______ A1B1
_______ BB1
(5) A1B1 ________ , BB1 ________
A1B1 ________
2．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的 关系，并画出图形．
(1) A , B
(2)l , m
区别：① 平面图形的点都在一个平面内，
而立体图形的点不全在一个平面内； ② 平面图形由点、线构成，而立体图
形是由点、线、面构成。
平面图形
2、空间图形 立体图形 3、立体图形的研究方法：
《画法几何》课件——4平面及其表示方法
单选题 2分 1、正垂面的正面投影积聚为直线。
B 正确 A 错误
提交
单选题 2分 2、如图所示，已知平面的水平投影和侧面投影，则平面为：
A 水平面 B 侧平面 C 正垂面 D 侧垂面
提交
投影面平行面
主讲人
平面的投影
平面对投影面的各种相对位置
平面倾角：是指平面与某一投影面所成的二面角，分别用
C
B
K A L
F N
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
• 求两平面的交线
c′
k
1
m
m
k
1
c
b′ PV n 2 l
QV e
a′
b2
e a l
两一般位置平面相交， 求交线步骤：
1．用求直线与平面交点 的方法，作出两平面的
两个共有点K、E。
2．连接两个共有点，
画出交线KE。
注意：交线为粗实线。
• 两平面相交，判别可见性
❖ 水平投影积聚成一条直线 abc
❖ V和Ｗ投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角、γ角的真实大小
侧垂面的投影特性
❖ 侧面投影积聚成一条直线abc ❖ V和H投影都是类似的三角形△abc, △abc ❖ 反映倾角α 、角的真实大小
α
❖ 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直 线,并反映该平面对其他两个投影面的倾角 ❖ 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
●b
a● ●c
c
●
● b′ ●b
●c
直线及线外一点
两平行直线
两平行相交
平面图形
9
用迹线表示平面 V
X
Z
平面基本性质第二课时PPT课件
因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、 b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个， 过直线a、b的平面只有一个。
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
a // b 有且只有一个平面，使a ,b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
（3）空间四点中，三点共线是这四个点共面的( ) A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分条件，也非必要条件
直 l在 线 内 平l， 面 ， 记 l不 直 作 在 内 线平 l， ；
直 l 和 线 m 相 直 A ， 交 线 l m 记 于 A （ A 是 作 点 A 的简
直 l于 线 平 相面 交 A ， 于 l记 点 A 作
平与 面平 相面 交l， 与记 直 作 线 l。
公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
符号语言 作用
怎样的直线a我们就说它在平面外？
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
符号语言 作用
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
求证：过点A和直线a可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么
A∈β， a β，因为B∈a，C∈a，所以B∈β，C∈β.(公理1)故不
共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面 β重合.(公理3)
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
a // b 有且只有一个平面，使a ,b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
（3）空间四点中，三点共线是这四个点共面的( ) A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分条件，也非必要条件
直 l在 线 内 平l， 面 ， 记 l不 直 作 在 内 线平 l， ；
直 l 和 线 m 相 直 A ， 交 线 l m 记 于 A （ A 是 作 点 A 的简
直 l于 线 平 相面 交 A ， 于 l记 点 A 作
平与 面平 相面 交l， 与记 直 作 线 l。
公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
符号语言 作用
怎样的直线a我们就说它在平面外？
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
符号语言 作用
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
求证：过点A和直线a可以确定一个平面
唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么
A∈β， a β，因为B∈a，C∈a，所以B∈β，C∈β.(公理1)故不
共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面 β重合.(公理3)
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数
平面的特征.ppt
l
Al
A
l Al
2.点和平面的关系 (1)点在平面内 ？ A A 3.直线和平面的关系？
(1)直线在平面内
(2)点在平面外 A
A
(2)直线在平面外
l
l
A
l
l
l
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把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来. l a A B l a A B l
LOGO
2.1.1
平面
高一数学备课组
2016年5月11日
生活与数学
生活中有哪些给事物给我们以平面的形象？
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平整的纸张
教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面
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探究发现1 平面的概念及其表示
平静的海面
1.概念
平整的纸张 桌面、黑板面
平面的形象
2.几何特征
l P
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随堂练习：如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系． l a
a P l b
A
B
（ 1） （ 2） 分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间 练习：P43 、1 、2 、3 、4
的位置关系，然后用符号表示出来。 l , a A, a B 解：在（1）中， l , a , b , a l P, b l P 在（2）中，
推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
直观感知
探究3：
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板 所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？
为什么？
高一数学人教A版必修二课件：2.1.1 平面
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 答案:D
解析:两两相交不共点的三条直线,可确定一个平面;两两相 交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面;若三 条直线不在一个平面内,每两条可确定一个平面,共确定3个平
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平 面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC,P∈α.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证,点Q和R均在这条交线上.
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
【例2】 过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相 交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
思路分析:根据条件P,A,B确定一个平面,再证直线l,PA,PB在 这个平面内.
证明:如图,∵点P,A,B不共线,
∴点P,A,B确定一个平面α.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
二、点线共面问题 解决点线共面问题的基本方法
一 二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
怎样证明多点或多线共面? 提示:要证明多点或多线共面,首先根据确定平面的条件找 到平面,再结合公理1证明其余的点或线也在这个平面内.
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
案例探究 误区警示 思悟升华
易错考点:共面问题判断中的解题误区 下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
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公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面. .C
图形表示：
α .A .B
说明：
①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；
②这是确定一个平面的依据; ③“有且只有”和“确定”的含义包括两方 面,一是存在性,二是唯一性;
④这三点必须是不共线的;
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面.
.C
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
A· A·
A 点 A在 平 面 内
A 点 A 不 在 平 面 内
· A
a
b
a
b A
直线a、b相交 于点A
a
a 直 线 a在 平 面 内
图形语言
a
a
A·
符号语言 文字语言(读法)
直线a与平面
a// 无公共点
a A直线a与平面
相交于点A
l
平面、 相 l 交于直线l
②这是判断两个平面相交的依据.
β
图形表示：
α
P. l
公 理 3 P , 且 P l , 且 P l .
【练习】1. 判断下列说法是否正确？
(1)两个平面相交至少有两个公共点; √
(2)两个平面相交,它们只有有限个公共点;×
(3)过一条直线的平面有无数个; √
(4)两个平面的交线可能是一条线段; × (5)两个相交平面有不在同一直线上的公共点×;
(3)直线a在平面α内； a
(4)点O不在平面α内； O (5)直线b不在平面α内； b
A ,
(6)点A在平面α内，但不在平面β内； A
(7)直线a经过平面α外一点M；Ma,M
(8)直线l在平面α内，又在平面β内l。,l
长方体是我们非常熟悉的空间几何 图形.你能发现图中的点、线、面之间 有哪些位置关系呢？
D1 A1
C1 B1
D A
C B
三、点、线、面的基本位置关系的符号表示
从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合，因此它们之间的关系亦可借用集合中 的符号来表示。
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
·A
a A∈ a 点A在直线a上
·A a A a 点A不在直线a上
C
A
B
推论2 经过两条相交直线，有且只有一
个平面。
A
C
B
推论3 经过两条平行直线，有且只有一
个平面。
A CB
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共
点,那么它们有且只有一条过公共点的公共
直线
β
图形表示：
α
P. l
公 理 3 P , 且 P l , 且 P l .
说明：
①这条公共直线叫做这两个平面的交线, 称这两个平面相交, 记作α∩β= l .
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
A
B l
一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线 的两点在一个平面内,
A
B
那么这条直线上的所有 α
点都在这个平面内.
图形表示
公 理 1 A l ,B l ,且 A ,B l .
说明：
①也叫做直线在平面内或平面经过直线。
②这是判断一条直线是否在平面内的依据
③用图形表示时,表示直线的线段一定要画 在表示平面的平行四边形内部.
观察下图，你能得到什么结论？
B
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
BACFra bibliotekAC
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
D
C
α
A
B
2字母表示：(注意:“平面”二字不能省略) ①用希腊字母α,β,γ…来表示;例:平面α
②用图形的顶点字母来表示;例:平面ABCD;
③用平行四边形的一条对角线的顶点字母来 表示;例:平面AC;
长方体是我们非常熟悉的空间几何图 形，有8个顶点，12条棱，6个面。你能发 现图中的点、线、面之间有哪些位置关系 呢？请举例说明.
(6)两个平面有无数个公共点,则它们重合。×
判断题：
（1）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平
面。
（╳ ）
（2）若平面和有一条公共直线L和一个公共点P，
则PL ；
(√ )
（3）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内
（╳ ）
（4）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内
（╳ ）
（5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面
例1、如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系
α lβ
a
α a
l
B
β
A
b
解 :在 ( 1 ) 中 , l ,a A ,a B 在 (2)中 ,l,a,b,
laP,lbP
四、练习: 1.将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A、B在直线a上； Aa,Ba
(2)点C在平面α内； C
D1
C1
A1 B1
D A
C B
例2 三个平面可以将空间分为多少部分？
β
β
B
B
l
l
α
α
α
β
A
A
4或6或7或8部分
作业：P51 1、2、8
平面
P51 作业
C
D
1. l
A
B
2
A
A
B
B
8.解:共分为:3×9=27部分.
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
A
B l
α .A .B
【练习】判断下列说法是否正确？
(1)三点确定一个平面; × (2)一个圆周上的三点可以确定一个平面;√
(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,
那么这两个平面就重合; √
公理2 经过不共线的三点，有且只有一
个平面。
α
A.
.C .B
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，
有且只有一个平面。
重合
（╳ ）
二 、选择题
1．经过同一条直线上三个点的平面 （ C ）
A 有且只有1个 B 有且只有3个
C 有无数个
D 只有0个
2．直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中
两条直线的平面共有（ B ）
二、平面的表示方法
β
β
α
P. l
α
α
1几何表示：一般用平行四边形表示;但在特 殊情况下,也可以用三角形或其它图形来表示.
注意：(1)当平面水平放置时，通常把平行 四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的 2倍长；
(2)画直线与平面或平面与平面相交时，被 遮挡的部分画成虚线或不画。
二、平面的表示方法
平面的概念及表示 (ppt)
平面的概念及表示
一、平面的特征 “平面”是最基本的几何概念，对它只能 描述而不加定义。
特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚
薄【”练习】判断下列说法是否正确？
(1)平行四边形是一个平面. × (2)一个平面的面积是100cm2. × (3)两个平面叠在一起比一个平面厚×. (4)一个平面把空间分成了两部分. √