双曲线知识点总结及经典练习题
双曲线知识点总结和典型习题
1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略． ①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在； ③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④双曲线方程λ=-22y x 5等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.y 264＋x 248＝1C.x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. (3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2)B.y 24－x 221＝1(y ＞2)C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2D ．2]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.54 C.43 D.53题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43 B ．53 C ．２ D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
双曲线知识点及练习
双曲线知识点填空:1．双曲线的标准方程: (焦点在y 轴上)； （焦点在x 轴上）2．双曲线标准方程的统一形式： 当 时，此方程表示的是 ；当 相等的时候，双曲线叫做 。
*统一形式的使用是鉴于不知道双曲线或者椭圆的 所处的位置。
3．椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离之 为 |F 1F 2|的常数的点的轨迹叫做椭圆。
其中F 1、F 2叫做 ,|F 1F 2|叫做 。
此常数为2a,则其表达式为：|PF 1|+|PF 2|=所以：当2a> 时，其轨迹是 ；当2a< 时，其轨迹 ；当2a= 时，其轨迹为 。
4．双曲线第一的定义： 与两定点 、 的距离之 的 为 |F 1F 2|的常数的点的轨迹叫做 。
此常数为 ，表达式为：||PF 1| |PF 2||= 。
若当a< 时，其轨迹是 ；当a> 时，其轨迹 ；当a= 时，其轨迹为以 、 为两端点的两条 （即线段|F 1F 2|的 和反向 ） 注意：当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，点p 的轨迹为靠近 的双曲线的 ；当|PF 1|-|PF 2|=-2a 时，点p 的轨迹即为靠近 的另一支（左支）。
a 、b 、c 满足 关系。
椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 为常数（ ），当 ，点的轨迹方程是椭圆；*当 ，点的轨迹方程是双曲线；当 ，点的轨迹方程是抛物线。
5．双曲线的几何性质：（1）双曲线的范围：|x| ,故双曲线是在两条直线 的外侧，是无限延伸的。
（2）顶点坐标（焦点在x 轴上）： ，其中|A 1A 2|叫做 = ；|B 1B 2|叫做 = ；所以半实轴长= ，半虚轴长= 。
（3）渐近线：焦点在x 轴上的渐近线方程： ；y 轴上：（4）双曲线的离心率：e= ,当双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越（5）等轴双曲线：即 = （a=b ）,渐近线方程： ，两条渐近线的夹角为 ，离心率为双曲线练习题:1．θ是第三象限角，方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆4．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是（ ） A ．35 B ．53C ．23D ．32 5．过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．14222=-x y B ．12422=-y x C ．12422=-x yD ．14222=-y x 6．双曲线191622=-y x 右支上一点P 到右准线距离为18，则点P 到右焦点距离为（ ） A ．245 B ．558 C ．229 D ．532 7．过双曲线x 2-22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，这样的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条 8．双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是 （ ）A ．y =±3xB ．y =±31xC ．y =±3xD ．y =±33x 9．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36D ．33 10．设双曲线12222=-by a x （0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 11．11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是 ． 12．双曲线191622-=-y x 的准线方程是 ． 13．焦点为F 1（-4，0）和F 2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是 ．14．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．15．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(12分) 16．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，两准线间距离为29，并且与直线)4(31-=x y 相交所得弦的中点的横坐标是32-，求这个双曲线方程．(12分)(考点:待定系数法,韦达定理,中点公式)17．F 1、F 2是116922=-x y 双曲线的两个焦点，M 是双曲线上一点，且3221=⋅MF MF ，求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）(考点:定义法)18．一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．(14分)(考点:双曲线定义,求直线方程,两点之间距离公式)16．(12分) [解析]：设双曲线方程为12222=-by a x （a >0，b>0），∵两准线间距离为29，∴c a 22⋅=29，得=2a 49c ，c c b 4922-= ① ∵双曲线与直线相交，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-)4(3112222x y b y a x 得0)916(98)9(222222=+-+-a b x a x a b ， 由题意可知0922≠-a b ，且32)9(298222221-=--=+a b a x x 2297b a =⇒ ② 联立①②解得：92=a ，72=b 所以双曲线方程为17922=-y x ． 17．（12分） [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0，-5）、F 2（0，5）， 由双曲线定义得：621=-MF MF ，联立3221=⋅MF MF 得21MF +22MF =100=221F F ， 所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S =162121=⋅MF MF 18．(14分) [解析]：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A （3，0）、B （－3，0） 3,5,2614||||===∴<⨯=-c b a PA PB15422=-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向，∴360tan == AP k ． ∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-==-00)3(315422y x x y y x ⎩⎨⎧==358y x 得 ， 即P 点的坐标为（8，35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）．。
专题65：双曲线基础知识和典型例题(解析版)
专题65：双曲线基础知识和典型例题（解析版）一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称，越大，双曲线的开口越阔离心率渐近线方程三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。
②. 若，设。
③. .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 ====题型一：求双曲线的解析式 例1．求下列双曲线的标准方程.（1）与双曲线216x －24y ＝1有公共焦点，且过点22)的双曲线；（2）以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±2x为渐近线的双曲线.【答案】（1）221128x y -=；（2）22182y x -=. 【解析】 【分析】（1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为222221(200)20x y a a a-=->-，将点(322)代入双曲线方程，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设22221(0,0)x y a b a b -=>>，根据双曲线的渐近线为12y x =±求出2a ，可得答案． 【详解】（1）双曲线221164x y -=的焦点为(±0)，∴设所求双曲线方程为222221(200)20x y a a a-=->-，又点2)在双曲线上，∴22184120a a-=-，解得212a =或30（舍去）， ∴所求双曲线方程为221128x y -=．（2）椭圆2231339x y +=可化为221133x y +=，其焦点坐标为(0)，∴所求双曲线的焦点为(0)，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>双曲线的渐近线为12y x =±，∴12b a =，∴22221014b a a a -==，28a ∴=，22b =， 即所求的双曲线方程为22182y x -=． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．例2．在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点()3,0，()6,3--；（2）焦点在y 轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为()2,5-.【答案】（1）22193x y -=；（2）2212016y x -=. 【解析】【分析】（1）根据题意可设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，将题干中两点坐标代入双曲线的方程，可求出2a 、2b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程；（2）根据题可设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，根据双曲线的定义可求出a 的值，再将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程，求出b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】（1）由于双曲线过点()3,0，则该双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意可得()()2222291631a ab ⎧=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩，解得2293a b ⎧=⎨=⎩， 因此，所求双曲线的标准方程为22193x y -=；（2）由双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =a =222120y x b-=，将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程得()22252120b--=，解得4b =， 因此，所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.题型二：求双曲线的轨迹例3．已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，动点M 满足||||||||MA MB MC MD ⋅=⋅，若||8AB =，||4CD =，求动点M 的轨迹方程．【答案】2260y x -+= 【解析】 【分析】以O 为原点，分别以直线,AB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 的坐标，根据两点间距离公式及MA MB MC MD ⋅=⋅，化简可得M 的轨迹方程． 【详解】以O 为原点，分别以直线,AB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则()4,0A -，()4,0B ，()0,2C ，()0,2D -， 设(),M x y 为轨迹上任意一点，则MA =MB =MC =MD =．因为MA MB MC MD ⋅=⋅，=化简得2260y x -+=，所以动点M 的轨迹方程为2260y x -+=． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轨迹方程的求法，注意建立坐标系时选择合适的原点及坐标轴，属于基础题．例4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】221(0)8y x x -=<【解析】 【分析】设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件和||||MA MB =，得到212MC MC -=，再结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由题意，设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得1122||,||MC AC MA MC BC MB -=-=， 因为||||MA MB =，所以1122312MC AC MC BC -=-=-=， 即212MC MC -=，即动点M 与两定点2C .1C 距离的差是常数2，根据双曲线的定义，可得动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小），其中1a =，3c =，则28b =，所以点M 的轨迹方程为221(0)8y x x -=<.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.题型三：双曲线的最值问题例5．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.【答案】9 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将||||PF PA +的最小值转化为求||4PA PF '++的最小值即可求解.【详解】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，得||24PF PF a '-==，而||5PA PFAF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，考查转化与化归思想，属于基础题.例10．设离心率为3，实轴长为1的双曲线2222:1x y E a b-=（0a b >>）的左焦点为F ，顶点在原点的抛物线C 的准线经过点F ，且抛物线C 的焦点在x 轴上. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥，求MN 的最小值. 【答案】（1）26y x =；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，再由双曲线的性质求得3p =，即可求得抛物线C 的标准方程；（2）设直线():0l x ty m m =+≠，与抛物线方程联立，由韦达定理及弦长公式求解最值即可. 【详解】解：（1）由已知可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，在双曲线E 中有3,21,ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得32c =，点3,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又抛物线C 的准线方程为2px =-，且经过点F ，3p ∴=，∴抛物线C 的标准方程为26y x =.（2）设直线():0l x ty m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则联立26,,y x x ty m ⎧=⎨=+⎩消去x 得2660y ty m --=，故126y y t +=，126y y m =-，且2(6)460t m ∆=-+⨯>，即2320t m +>，由点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上得222121266y y x x m =⋅=，由OM ON ⊥得2121260x x y y m m +=-=， 解得6m =或0m =（舍），则6m =，满足>0∆，则1236y y =-，∴弦长MN =====12≥，当且仅当0t =时取等号，故MN 的最小值为12. 【点睛】本题考查双曲线的基本概念及抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理等核心素养.题型四：直线与双曲线的位置关系例7．平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为双曲线2213y x -=的右顶点．⑴求抛物线C 的方程；⑵经过已知双曲线的左焦点作抛物线C 的切线，求切线方程．【答案】（1）24y x =；（2）(2)2y x =±+ 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点为双曲线2213y x -=的右顶点可得12p =，从而可得结果；（2）先判断直线斜率存在且不为零，再设所求切线为()2y k x =+ ，由()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩及0k ≠得，2480y y k -+=，由判别式为零可得2k =±，从而可得结果. 【详解】⑴依题意，设抛物线C 的方程为22y px =12p=， 所以2p =，抛物线C 的方程为 24y x =⑵双曲线2213y x -=的左焦点为()2,0F -显然2x =-不是抛物线C 的切线，设所求切线为()2y k x =+由()242y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩及0k ≠得，242y y k ⎛⎫=-⎪⎝⎭2480y y k -+=，依题意24480k ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解得2k =±切线方程为)2y x =+【点睛】本题主要考查双曲线的方程及简单性质，待定系数法求抛物线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.例8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y kx =C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）3331,,,1333⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）首先根据离心率可以得到a 与b 的关系是223a b ，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点P 的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C 的方程；（2）联立直线l 与双曲线C 的方程，消去y 项，可以得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于k 的不等式组，通过解不等式组求出k 的取值范围. 【详解】（1）由e =2243c a =，所以223a b ，故双曲线方程可化为222213x y b b-=，将点P 代入双曲线C 的方程，解得21b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；（2）联立直线与双曲线方程，22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩()221390k x ⇒---=， 由题意得，()2227213(9)0130k k k ⎧∆=--⨯->⎪⎨-≠⎪⎩， 解得11k -<<且k ≠， 所以k的取值范围为3331,,,1333⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 题型五：弦长问题相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x+=， 2210y y y += 例9．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB . 【答案】（1）2213y x -=；（2）6. 【解析】 【分析】（1）设所求双曲线的方程为223x y λ-=，将点的坐标代入双曲线的方程，求得λ的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线AB 的方程为2y x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得AB . 【详解】（1）设双曲线方程为：223x y λ-=，将点的坐标代入双曲线的方程得3233λ=⨯-=，所以所求双曲线方程为2213y x -=；（2）易知双曲线右焦点的坐标为()2,0，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线AB 的方程为2y x =-，联立22233y x x y =-⎧⎨-=⎩，可得22470x x +-=， 1642772∆=+⨯⨯=，由韦达定理可得122x x +=-，1272x x =-.因此，126AB x x =-==.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考查计算能力，属于中等题.例10直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213yx -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【答案】（1）22233(m k k -=≠；（2）证明见解析，min AB =【解析】 【分析】(1)设点A ()11,x y ,B ()22,x y 联立直线方程y kx m =+和双曲线方程2213yx -=消元化简:()2223230k xkmx m ----=,然后利用韦达定理结合向量垂直即12120x x y y +=,可求得k 和m 满足的关系;(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式AB =然后利用换元配方求解最小值. 【详解】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333k km x x k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB ⊥得()()2212121212·10OA OB x x y y k x x km x x m =+=++++=代入化简可得k 和m 满足的关系为:22233(m k k -=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d ==,由(1)得22233m k -=代入可解得d =为定值; 由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB ==令23kt -=(t≤3)化简可得AB =由t ≤3可得当113t=,t =3时min AB =【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题,解决此类问题通常联立解直线与双曲线方程组成的方程组,消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求,整体代入等解法,是高考常考题型.题型六：双曲线焦点弦问题例11．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．(Ⅰ)求椭圆方程(Ⅱ)过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于,A B 两点，求线段AB 的长【答案】(Ⅰ22)?14x y +=；(Ⅱ8)?5.【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出,a b ，由此能求出椭圆方程；(Ⅱ)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为y x =22440y x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得2580x -+=，由此利用根与系数关系、弦长公式能求出线段AB 的长． 【详解】(Ⅰ)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．∴由已知得c a =1b =， 解得2a =，∴椭圆方程为22 1.4x y +=设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为y x =直线与椭圆联立22440y x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得2580x -+=，由根与系数关系知125x x +=，1285x x =，AB ==85==.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率、直线与椭圆的位置关系，是中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 .题型七：中点弦问题例12已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与椭圆2211814x y +=有共同的焦点，点A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）以(1,2)P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）230x y -+=． 【解析】 【分析】(1)由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C 的焦点坐标，利用点(A 在双曲线C 上，根据双曲线定义122AF AF a -=,即可求出所求双曲线C 的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ， ,A B 代入双曲线方程得2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两方程相减,借助于()1,2P 为中点，可求弦AB 所在直线的斜率，利用点斜式可求其方程. 【详解】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 由双曲线定义122AF AF a -=2a =，所以a =2422b =-=，所以所求双曲线的标准方程为22122x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 在双曲线上，所以2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②， ①－②得()()()()121212120x x x x y y y y -+--+=，所以121212122142y y x x x x y y -+===-+，12AB k =， 故弦AB 所在直线的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质，双曲线的定义、双曲线的方程及“点差法”的应用，属于中档题.对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.题型八：双曲线面积问题例13．已知双曲线C的焦点坐标为1F，2(F ，实轴长为6． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2219x y -= （2）1【解析】 【分析】（1）由题意知，c =3a ＝，求出b ，即可求解对应双曲线方程； （2）由垂直可得22212PF F P +=，再结合第一定义可得126PF PF -=，联立求解求出12PF PF ⋅，即可求解 【详解】（1）由条件得10c =，26a ＝，3a ＝，∴1b ＝，∴双曲线方程为：2219x y -=． （2）由双曲线定义知126PF PF -=且22212(210)PF F P +=，联立解得122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积为：21112PF PF ⋅=． 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，焦点三角形面积的求法，属于基础题例14．如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知12223e e =，1422F F =+．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【答案】（1）221:13+=x C y ，222:13x C y -=；（2）22 【解析】【分析】 (1)由123e e =可推出223a b ,从而()1,0F ,()42,0F b ,因此142F F b =+,推出1b =,a =从而得到12,C C 的方程;(2)设直线AB 的方程为1x my =-,联立22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,利用韦达定理和中点坐标公式求出223,33m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,从而得到直线PQ 的方程为3m y x =-,再联立22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,由韦达定理和弦长公式求出PQ ,再利用点到直线的距离公式求出A 到直线PQ 的距离以及B 到直线PQ 的距离,进而得到四边形APBQ 的面积的最小值. 【详解】(1)∵12e e =,3=,∴44489a b a -=,即223a b ,∴()1,0F ,()42,0F b ,∴1422F F b =+=∴1b =,a =∴1C 的方程为2213x y +=,2C 的方程为2213x y -=.(2)依题意,直线AB 的方程可设为1x my =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()223220m y my +--=, ∴12223m y y m +=+,12223y y m -=+,∴()12122623x x m y y m -+=+-=+,∴AB 中点坐标为223,33m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭, ∴直线PQ 的方程为3m y x =-, 由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ,可得()2239m x -=, ∴230m ->且2293x m =-,2223m y m=-,∴PQ ==设A 到直线PQ 的距离为d ,则B 到直线PQ 的距离也为d ,∴2d =,∵()()1122330mx y mx y ++<,∴21232m y y d +-===,又∵12y y -===∴2d =∴四边形APBQ的面积11222S PQ d =⋅⋅=⋅=∴当0m =时,S 取得最小值,且minS =即四边形APBQ 面积的最小值为【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,考查计算能力,需要学生对相关知识熟练掌握且灵活应用,难度较大.题型九：双曲线求参数例15．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2）66⎡⎢⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+ ，直线与曲线联立，根据韦达定理，将斜率k 用t 表示，利用基本不等式即可得结果. 试题解析：(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30︒知3tan30b a =︒=，即223a b =， 又22c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+.联立221622x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223420t y ty ++-=， 由12243t y y t -+=+得122123x x t +=+， ∴2262,33t E t t -⎛⎫⎪++⎝⎭， 又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623tt t k t t -+==+--+. ①当0t =时，0k =；②当0t ≠时，2166t k t t t==≤++，即k ⎛∈ ⎝⎦. 综合①②可知，直线1F E 的斜率k的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 例16．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135x y m m +=--表示双曲线. （1）若1a =，p 和q 均为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(3,4)；（2）5[,3]4. 【解析】 【分析】（1）化简命题p 和命题q ，求出1a =时命题p 的表示，根据题意即可求出m 的范围. （2）由q 是p 的充分不必要条件得q p ⇒但p q ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，从而得出答案. 【详解】由22540m am a -+<，得()(4)0m a m a --<， 因为0a >，所以4a m a <<，即命题p :4a m a <<.由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可得：(3)(5)0m m --<解得35m <<，即命题q ：35m <<.（1）若1a =，则命题p ：14m << ， 因为命题p 和q 均为真命题，所以1435m m <<⎧⎨<<⎩，所以34m <<，所以符合题意的m 的取值范围为：(3,4).（2）若q 是p 的充分不必要条件，则有：q p ⇒但pq ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，即{|35}m m << {|4}m a m a <<所以345a a ≤⎧⎨≥⎩，解得534a ≤≤所以实数a 的取值范围是5[,3]4. 【点睛】本题第一问以命题为背景考查一元二次不等式，双曲线标准方程的性质，第二问考查必要不充分条件，属于中档题.题型十：双曲线离心率问题例17．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.【解析】 【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =， 又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22cb c =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.例18．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e = 【解析】 【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12F F P 为等腰三角形， 又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =. 在1RT MFO △中，222211MF OF OMc a b =-=-=，所以14PF b =.因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+. 所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.题型十一：双曲线渐近线问题例19．已知双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,且离心率为54e =,求双曲线C的方程及其渐近线方程.【答案】双曲线C 的方程为221169x y -=,渐近线方程为34y x . 【解析】 【分析】椭圆22:14924x y E +=的焦点为(5,0)-和(5,0),可得5c =,根据双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,可得双曲线C 的离心率为54c e a ==,即可求得答案.【详解】椭圆22:14924x y E +=的焦点为(5,0)-和(5,0),∴5c =,双曲线C 的离心率为54c e a ==, ∴4a =,3b =,双曲线C 的焦点在x 轴上,∴双曲线C 的方程为221169x y -=,渐近线方程为34yx . 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程及其渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.例20．12F F 、为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线与点P 且1230PF F ∠=，求双曲线的渐近线方程．【答案】y = 【解析】 【分析】设2=PF m ，在12Rt PF F ∆中，根据1230PF F ∠=，可以求出112PF F F 、的长，根据双曲线的定义可以求出2a m =，求出离心率，利用c =a b 、之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设2=PF m ，所以1=2PF m ，122F F c ==，由双曲线定义可知：122PF PF a m -==2222222312c a b b e e a a a +∴=====+222b a ∴=ba∴=y =. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 题型十一：双曲线定值问题例21．已知O 为坐标原点，F 是抛物线C ：24x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q .（1）是否存在过点F ，斜率为k 的直线l ，使得抛物线C 上存在两点关于直线l 对称？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，M 【解析】 【分析】(1)． 先假设存在，设直线l 的方程为1y kx =+，若A,B 两点关于直线l 对称，则直线AB 的方程为1y x m k=-+，联立直线AB 与抛物线方程，求A ，B 两点的中点N ，再将N 带入直线l 中，在判断是否能求出k 的范围；(2)． 将抛物线化为二次函数形：24x y =，利用导数的几何意义，求得切线MQ ，结合Q 点的宗坐标值，求得Q 的横坐标；最后根据0FM QH ⋅=，列出关于关于M 点横坐标x 的方程，并求解即可。
双曲线知识点总结及练习题
、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹2a F1F2 （a为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
差的绝对值。
（2）2a v|F i F2|。
当|MF1|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两b。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上要注意两点：（1）距离之V二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在X轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：芯a(a> 0,（1）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。
a不一定大于边之差小于第三边当2a > IF1F2时，动点轨迹不存在。
a2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e> 1）时，这个动c 点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线b> 0)2 2 2 2(2)与双曲线冷占1共焦点的双曲线系方程是二2y1a2 b2八2 k b2 k2 2(3 )双曲线方程也可设为：—乂l(mn 0)m n三、双曲线的性质标准方程(焦点在x轴) 标准方程(焦点在y轴)双曲线第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2)的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
M MF1 MF2 2a 2a |证|y yF2F iF i第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。
定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e ( e 1 )叫做双曲线的离心率。
双曲线知识点总结及经典练习题
双曲线知识点总结及经典练习题圆锥曲线（三）------双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线•即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若|^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3•若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二・冈珂|，则动点轨迹不存在；5 •若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1•当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中/二F十沪.2•当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中r a—沖+护注意：1 •只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2•在双曲线的两种标准方程中，都有''-；3•双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质一 f y(1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。
双曲线知识点及经典题型
双曲线知识点及经典题型1. 双曲线的定义与基本性质1.1 定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的定义可以通过焦点和准线来描述。
给定两个不重合的点F和F’，以及一个与两个焦点的连线垂直且交于O点的直线l，双曲线是满足离心率e大于1的所有点P，使得PF’ - PF = 2a（其中a为常数）。
1.2 基本性质•双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
•双曲线有两个顶点V和V’，位于x轴上方和下方。
•双曲线关于x轴和y轴对称。
•双曲线在顶点处与x轴和y轴相切。
2. 双曲线的标准方程双曲线有两种标准方程形式：横轴双曲线和纵轴双曲线。
2.1 横轴双曲线横轴双曲线的标准方程为：x2 a2−y2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。
2.2 纵轴双曲线纵轴双曲线的标准方程为：y2 a2−x2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。
3. 双曲线的图像及性质3.1 横轴双曲线的图像及性质横轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。
离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。
横轴双曲线的渐近线方程分别为y = ±(b/a)x。
3.2 纵轴双曲线的图像及性质纵轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。
离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。
纵轴双曲线的渐近线方程分别为x = ±(b/a)y。
4. 双曲线的经典题型4.1 确定双曲线方程已知焦点F和F’，准线l以及顶点V的坐标，求双曲线的方程。
例题：已知焦点F(3, 0)和F’(-3, 0)，准线l过原点O(0, 0)，顶点V位于x轴上方。
求双曲线的方程。
解答：首先，我们可以确定横轴双曲线的方程形式为x 2a2−y2b2=1。
根据焦点和准线的定义，焦距为PF′−PF=2a，其中P为横轴双曲线上的任意一点。
由于焦点F和F’的横坐标相等，所以a = 3。
由于准线l过原点O(0, 0)，所以准线l的方程为y = kx（k为常数）。
双曲线专题知识点梳理(优秀经典专题练习及答案详解)
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x aby ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．12.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．84.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝15.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．6.已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.567.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？双曲线专题参考答案参考答案：1.【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.【答案】 D2.【解析】 设右焦点为F ′，依题意，|PF |＝|PF ′|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF ′|＋4＋|P A |＝|PF ′|＋|P A |＋4≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9.【答案】 93.【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B4.【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A5.【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y 28＝1，所以a ＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或206.【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62，|MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝52 6.而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C. 【答案】 C7.【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y23＝1(x >1)．8.【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x1＋x2＝－2kk2－3，x1x2＝2k2－3，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以2k2－3＋1＝0，解得k＝±1.。
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
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、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹（PFJ PF2|| 2a F1F2（a为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a v|F i F2|。
当|MF i|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF i|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F i所对应的一支；当2a=|F i F21时，轨迹是一直线上以F i、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a > |F i F2|时，动点轨迹不存在。
a22、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e>i）时，这个动c点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线。
b。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在x轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：%a(a> 0, b> 0)（i）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。
a不一定大于2 1共焦点的双曲线系方程是 二 -a 2 k2 2 (2)与双曲线冷爲 a b2b^k1(3 )双曲线方程也可设为:2仝 1(mn 0) nx a sec x a cos椭圆为y b tan y b sin［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的 思想方法。
3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 六、焦半径公式2 2双曲线 笃 每 1 (a >0, b >0)上有一动点 M (x 0, y 0)a b左焦半径：r= | ex+a | 右焦半径：r= | ex-a |当M （x o ,y 。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。
2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。
3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。
4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。
由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。
5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。
6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。
高二数学双曲线知识点及例题
高二数学双曲线知识点及例题一知识点1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x ay ba b 2222100()，（2）焦点在y 轴上的：y ax ba b2222100()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b24. 双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x ay ba b ()yxF 1F 2A 2A 1O1范围：，或x a x a<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0）线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
41离心率：ec a e()e 越大，双曲线的开口就越开阔。
5渐近线：y b a x=62准线方程：xac5．若双曲线的渐近线方程为：xa b y则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222by ax 【典型例题】例1.选择题。
121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m ym m A m B m m ..2121或C m mD m R..21且2022.abax byc 时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.s i n s i nc o s 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）x y A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，xyP F F F PF 则△F 1PF 2的面积为（）A B C D (9)633393例2. 已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945例3.已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin BCA 35，求顶点A 的轨迹方程。
双曲线基本知识点及例题
1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。
2. 已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角。
3. 在面积为1的△PMN中，，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。
4. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，求的值。
5. 已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与点B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积。
6. P为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。
7. 已知两定点A（－1，0），B（1，0）及两动点M（0，y1），N（0，y2），其中，设直线AM与BN的交点为P。
（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F，求k 的取值范围。
8. 直线只有一个公共点，求直线l的方程。
1. 解：∵双曲线方程为，∴＝13，于是焦点坐标为设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于，∴故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。
2. 解：设实轴与渐近线的夹角为，则∴∴两条渐近线的夹角为［点评］（1）离心率e与。
（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。
3. 解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设，（如图所示）则解得设双曲线方程为，将点∴所求双曲线方程为点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。
4. 解：∵P在椭圆上，，又∵点P在双曲线上，，①、②两式分别平方得两式相减得，∴5. 解：∵，由∵与椭圆有两个公共点，设为：∴又点F2到直线BF1的距离说明：本题也可用来解。
6. 略解1设为椭圆上任意一点，则又两圆半径分别为，，故此两圆内切。
略解2如图，∴此两圆内切7. 解：（1）由题意得AM的方程为，BN的方程为：。
两式相乘，得（2）由8. 解：由（1）∴此时直线l：x＝3与双曲线只有一个公共点（3，0）；（2）当b≠0时，直线l方程为。
双曲线练习题带答案,知识点总结(基础版)
双曲线重难点复习一．知识点总结双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭圆的离心率，ce a=且1e >.e 越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e =渐近线方程为y x =±3.y y=0b ax x y x a b±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，线方程。
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.122ta 5n2.PF F S b θ= 焦点三角形的面积22222222222222226.1010x y x y a b a b x y x y b a b aλλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.1.已知F 为双曲线C ：116922=-y x 的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5,0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 442．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的焦距为20x y +=垂直，则双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 2214y x -= C. 22331205x y -= D. 22331520x y -= 【答案】A【解析】由题可知2c =，则c =．渐近线方程为12y x =，则12b a =．又222c a b =+可得，224,1a b ==．所以双曲线的方程为2214x y -=；故本题答案选A ．视频3．已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 12【答案】A【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ |,根据双曲线的定义，||PF 1|−|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |=1.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.4.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为( ) A ．．4 D ．85.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为（A （B （C ）1或1-（D ）2或2- D6．已知双曲线x 2－23y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF的最小值为________．-27.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B. 8与双曲线622=-y x的左支交于不同的两点，（）A ．()11-， C【答案】C试题分析：联立方程2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()2214100k x kx ---=…① 若直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根k 9．经过双曲线4−y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A ,B 两点，若 AB =4，则这样的直线的条数为（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条 【答案】B【解析】由双曲线x 24−y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为2b 2a=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.10．P 是双曲线C :x 2−y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ,F 2是双曲线C 的右焦点，则 PF 2 + PQ 的最小值为（ ） A.22B. 2C. 3 2D. 2+22【答案】C【解析】由题知|PF 2|−|PF 1|=2a =2 2，则|PF 2|+|PQ |=|PF 1|+|PQ |+2 2，由对称性，当F 1,P ,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ |最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O |=2知|F 1Q |= 2 则|PF 2|+|PQ |的最小值为3 2．故本题答案选C ．11．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的点，12,F F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12•0PF PF = ，若12F PF ∆的面积是9，则a b +的值等于（） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B【解析】双曲线的离心率是5344c b a a ==⇒=，120PF PF ⋅=1212,PF PF PFF ∴⊥∴ 的面积121219182S PF PF PF PF =⋅=∴⋅=，． 在12PF F 中，由勾股定理可得222222*********||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，34b a ∴=∴=，，7a b ∴+=，故选 C ．12．若双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的一条渐近线被圆 x −2 2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 2 33【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 a >0,b >0 的渐近线方程为bx ±ay =0，圆心 2,0 到渐近线距离为d = 2−12= 3，则点 2,0 到直线bx +ay =0的距离为d =22=2b c= 3，即4(c 2−a 2)c =3，整理可得c 2=4a 2，双曲线的离心率e = c 2a = 4=2．故选A ．13．右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率是（）C. 2D.【答案】A14．右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，且120AOB ∠= ，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 【答案】C 【解析】如下图：，（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）B. ()1,2C.D. ()2,+∞ 【答案】D【解析】AB 是双曲线通径，即2222a a cbc a +<=-，2220c ac a -->，即，故选D ．16．设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（）A. 92B. 2C. 32D. 54【答案】B【解析】设12,m MF n MF ==，所以1122122{{ 2m n a m a am n a n a a+==+∴-==-，由1290F MF ∠= 得()()()()222222212121222c m n a a a a a a =+=++-=+，222222212121222222121122a a a a c a a c c c e e +∴=+∴==+=+，1234e e =∴= 17．已知双曲线C :x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)，F 1,F 2分别为其左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ,B 两点，若|AB |:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 4C. 13D. 15 【答案】A 【解析】∵|AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，不妨令 AB =3， BF 2 =4，|AF 2|=5， ∵|AB |2+|BF 2|2=|AF 2|2 ，∴∠ABF 2=90∘又由双曲线的定义得：|BF 1|−|BF 2|=2a ，|AF 2|−|AF 1|=2a ∴|AF 1|+3−4=5−|AF 1|,∴|AF 1|=3 ，|BF 1|−|BF 2|=3+3−4=2a ,∴a =1在RtΔBF 1F 2 中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52， 又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52,∴c = 13 所以双曲线的离心率e =c = 13 ，故选C.18．已知12,F F 是双曲线的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且则该双曲线的离心率为B. D. 2【答案】A则A. 19．已知F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3A B F A = ，则此双曲线的离心率为__________．【解析】F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，。
双曲线练习题带答案,知识点总结(提高版)
双曲线重难点复习一．知识点总结双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）的点的轨迹叫做双曲线. 集合语言表示为：{}12122,2P M MF MF a a F F =-=<.当双曲线焦点在x 轴上时当双曲线焦点在y 轴上时标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b -=>> 图形范 围 x a ≤-，或x a ≥y a ≤-，或y a ≥对称轴 x 轴、y 轴x 轴、y 轴对称 中心 坐标原点(0,0)O 坐标原点(0,0)O 实轴 虚轴 实轴长2a ，虚轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b顶点 坐标 (,0)a ±(0,)a ±焦点 坐标 (,0)c ±，其中222c a b =+(0,)c ±，其中222c a b =+渐近线0x y a b ±=，即x a b y ±= 0y x a b ±=，即x ba y ±= 通径 22b a 22b a离心率(c e a =其中1)e > (c e a=其中1)e > 1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭圆的离心率，ce a=且1e >. e 越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率2e =渐近线方程为y x =±3.y y=0b ax x y x a b±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，线方程。
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.122ta 5n2.PF F S b θ=焦点三角形的面积22222222222222226.1010x y x y a b a b x y x yb a b aλλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.221(2)45x y x -=≥ 2．已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH|=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 12【答案】A【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ|,根据双曲线的定义，||PF 1|−|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH|=1.故选A. 点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.3．已知双曲线x 2－23y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF 的最小值为________．-24．经过双曲线x 24−y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A,B 两点，若|AB |=4，则这样的直线的条数为（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条 【答案】B【解析】由双曲线x 24−y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为2b 2a=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B. 5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则k 取值范围为（A．()11-， C【解析】试题分析：联立方程2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()2214100k x kx ---=…① 若直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负k 6l 是双曲线C 的一条渐近线， P 在l 上的射影为Q,F 2是双曲线C 的右焦点，则|PF 2|+|PQ |的最小值为（ ） A. √22 B. √ C. 3√ D. 2+√22【答案】C1.2222若动圆M 与圆C:(x +3)+y =9外切，且与圆C:(x -3)+y =1内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程【解析】由题知|PF 2|−|PF 1|=2a =2√2，则|PF 2|+|PQ|=|PF 1|+|PQ|+2√2，由对称性，当F 1,P,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ|最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O|=2知|F 1Q|=√2 则|PF 2|+|PQ|的最小值为3√2．故本题答案选C ．7．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的点， 12,F F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12•0PF PF =，若12F PF ∆的面积是9，则a b +的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B【解析】双曲线的离心率是5344c b a a ==⇒= ， 120PF PF ⋅= 1212,PF PF PF F ∴⊥∴ 的面积121219182S PF PF PF PF =⋅=∴⋅=，．在12PF F 中，由勾股定理可得222222221212124||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，34b a ∴=∴=，，7a b ∴+=， 故选 C ． 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1D.x 22－y 25＝1 答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.9．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)离心率为√3，左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ,|F 2Q|=2，则双曲线方程为 A.B.C.D.【答案】B【解析】因为F 1PF 2的平分线为l ，故点F 1关于l 的对称点为Q 必在PF 2的延长线上，且|PQ|=|PF 1|，由于F 2Q =2，故|PQ|−|PF 2|=|QF 2|=2，即|PF 1|−|PF 2|=2，由双曲线的定义可得2a =2，则a =1，又e =ca =√3，故c =√3⇒b =√3−1=√2，应选答案B 。
双曲线个人总结知识,知识点及练习题
例1、已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程例2、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．例3、(12分)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使AP →·PQ →＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例4、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．练习1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22 C ．4D ．4 22．(2011山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 3.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线x 24－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线P A 1，PO ，P A 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，18)C ．(0，14)D ．(0，12)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( )A.32B.23C.54D.455．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．2 27．方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 5x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．10．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．双曲线考纲：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．一、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．1．与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a＜|F1F2|时，轨迹才是双曲线．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．二、双曲线的标准方程及其简单几何性质1、标准方程，2图形，3性质（范围、对称性、定点、渐近线、离心率、实虚轴、a、b、c间的关系）三、等轴双曲线等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝a2，其离心率为e＝，渐近线方程为考点1。
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圆锥曲线（三）------双曲线
知识点一：双曲线定义
平面与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 注意：
1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：
，这
可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若
（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；
3. 若常数a 满足约束条件：
，则动点轨迹是以F 1、F 2为
端点的两条射线（包括端点）；
若常数a 满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在
轴上时，双曲线的标准方程：
，其中.
注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有
；
3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为
正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，
；当
的系数为正时，
焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，
.
知识点三：双曲线性质
1、双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，
或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线
（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，
坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为
|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
（4）离心率：
②双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得
，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
（4）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方
程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线。
双曲线的渐近线求法：(1)已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程
为，则其渐近线方程为
注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为
，则可设双曲线方程为
，根据已知条件，求
出
即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为
（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
.
注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线与的区别和联系 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()22
2210,0x y a b a b
-=>> ()22
2
210,0y x a b a b
-=>> 围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点
()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A
轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==+
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
离心率 ()2
211c b e e a a
==+>
渐近线方程
b y x a
=±
a y x b
=±
2、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 巩固练习
1、已知点P(x ,y )的坐标满足
，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线中的一支
C ．两条射线
D ．以上都不对
2、求与双曲线22
1164
x y -
=有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
3．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
总结升华：求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。
双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、
y2的系数的正负。
4．方程表示双曲线，数m的取值围。
【变式1】k＞9是方程表示双曲线的（）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【变式2】求双曲线的焦距。
【变式3】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（）A．－2 B．1 C．－1 D．
【变式4】（2011 ）设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知双曲线方程，求渐近线方程。
（1）；（2）；（3）；（4）
6．根据下列条件，求双曲线方程。
（1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。
总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。
若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.
【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（）
A、B、C、D、
【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【变式3】以为渐近线的双曲线方程不可能是（）
A．4x2―9y2=1 B．9y2―4x2=1
C．4x2―9y2=λ（λ∈R且λ≠0）D．9x2－4y2=λ（λ∈R且λ≠0）
【变式4】双曲线与有相同的（）
A．实轴B．焦点C．渐近线D．以上都不对
7．已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。
8.若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______
9.双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为________
10.已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两
个焦点，并且，求的面积。