天一大联考高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)-名校版

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江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为1，则等于A.10B.12C.13D.14参考答案：B2. 下列函数与相等的是A．B．C．D．参考答案：A3. 设α，β∈(0，)且tanα－tanβ=，则（）A．3α+β=B．2α+β=C．3α－β=D．2α－β=参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．4. 已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是A. B.C.2D.5参考答案：D5. 函数f（x）=2x﹣x﹣的一个零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．【解答】解：由 f（1）=1﹣＜0，f（2）=2﹣＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，故选B．6. 已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心是O，则·=A．B．C．D．参考答案：C7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是A．B． C．D．参考答案：答案：A8. 试在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=﹣4x∴p=2，焦点坐标为（﹣1，0）依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=﹣，则该点坐标为：（﹣，1）．故选A．9. 下列集合运算正确的是（）A．B．C．D．参考答案：D逐一考查所给的选项：A. ，该选项错误；B. ，该选项错误；C. ，该选项错误；D. ，该选项正确本题选择D选项.10. 集合A={x|x≤a}，B={1，2}，A∩B=?，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由已知可得a＜1，且a＜2，进而得到a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x≤a}，B={1，2}，若A∩B=?，则a＜1，且a＜2，综上可得：a∈（﹣∞，1），故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．参考答案：﹣3考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．12. 若函数在上可导，，则______；参考答案：因为，所以，所以，所以。

【精选】天一大联考高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)

天一大联考2016—2017学年高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为A.8B. 7C. 6D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）2=4⨯朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1:1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞ 6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是[)4,y ∈+∞，则7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos 21x f x x x π=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎣⎦ 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，2,cos sin .AB AD CD αβ===+（1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆，椭圆C 的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题(含答案解析)

【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以 .
依题意，，
故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
11．已知函数，， .若，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可知函数的一条对称轴方程为，可得出的表达式，再结合条件可求出的值.
（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的频率；
（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；
（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在（时）内的周数为，求的分布列以及数学期望.
【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析；数学期望 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题.
10．已知数列满足，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
二、填空题
13．的展开式中，含项的系数为______.
【答案】
【解析】求出二项展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.
【详解】
的展开式通项为，
令，得，因此，的展开式中，含项的系数为 .
故答案为： .

2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(理科) (解析版)

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合，，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．[﹣4，﹣1]D．[﹣4，3）2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（）A．5B．6C．7D．84．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x+cos x，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sin A+sin B）2+cos2C＝1+sin A sin B，则cos B＝（）A．B．C．D．10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（）A．1B．或1C．或1D．1或﹣1二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；（Ⅱ）求输出的y值的分布列；（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝e x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合，，则A∩B＝（）A．[﹣1，3）B．[﹣1，3]C．[﹣4，﹣1]D．[﹣4，3）解：因为，即，解得﹣4≤x＜3，故集合A＝{x|﹣4≤x＜3}，因为，所以x≥﹣1，故集合B＝{x|x≥﹣1}，所以A∩B＝[﹣1，3）．故选：A．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（）A．5B．6C．7D．8解：∵已知的展开式中的通项公式为T r+1＝•x2n﹣3r，由于它的展开式中有常数项，则2n﹣3r＝0，即2n＝3r，即n＝，r＝0，1，2，…，n．故当r＝4时，可得n＝6，故选：B．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有C83＝56种取法，其中任意两只都不成双的情况有C43×2×2×2＝32种，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率P＝＝，故选：C．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x+cos x，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝e﹣x+e x+cos x＝f（x），则f（x）是偶函数，f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣sin x，为奇函数，[f′（x）]′＝e x+e﹣x﹣sin x≥2﹣sin x＞0，即f′（x）为增函数，当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝1﹣1﹣0＝0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价为不等式f（|2m|）＞f（|m﹣2|），即|2m|＞|m﹣2|，平方得4m2＞m2﹣4m+4，即3m2+4m﹣4＞0，得（m+2）（3m﹣2）＞0，得m＞或m＜﹣2，即不等式的解集为，故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sin A+sin B）2+cos2C＝1+sin A sin B，则cos B＝（）A．B．C．D．解：由于a，b，c依次成等差数列，所以可设a＝x，b＝x+d，c＝x+2d，由于△ABC的周长为15，可得：x+d＝5，因为（sin A+sin B）2+cos2C＝sin2A+2sin A sin B+sin2B+1﹣sin2C＝1+sin A sin B，即sin2A+sin A sin B+sin2B﹣sin2C＝0，所以由正弦定理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，可得cos C＝＝＝﹣，即＝﹣，将d＝5﹣x代入到上式中，解得：x＝3，d＝2，∴a＝3，b＝5，c＝7，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝．故选：B．10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．解：在△ABC中，由AB＝AC＝2，BC＝2，得cos A＝＝，∴sin A＝，设△ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，即r＝4，又三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝5，则球心到△ABC外接圆圆心的距离为．则当P到平面ABC距离最大时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，此时P到平面ABC的最大距离为R+3＝8，三棱锥P﹣ABC体积的最大值为V＝．故选：A．11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（）A．1B．或1C．或1D．1或﹣1解：∵sinα﹣cosα＝，sin2α+cos2α＝1，∴8sin2α﹣4sinα﹣3＝0，8cos2α+4cosα﹣3＝0，又cosβ﹣sinβ＝，sin2β+cos2β＝1，∴8cos2β﹣4cosβ﹣3＝0，8sin2β+4sinα﹣3＝0，①若sinα＝cosβ，则α+β＝或，此时sin（α+β）＝1，②若sinα≠cosβ，则sinα，cosβ是方程8x2﹣4x﹣3＝0的根，故sinαcosβ＝﹣，同时cosα，sinβ是方程8x2+4x﹣3＝0的根，故cosαsinβ＝﹣，故sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝﹣，故sin（α+β）的值是1或﹣，故选：C．二、填空题13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），则，，令，则≤t≤2，则＝t+，在t＝1时，取得最小值为2，在t＝或t＝2时，取得最大值为．∴的取值范围是[2，]．故答案为：[2，]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为．解：设点P为（m，n），则﹣n2＝1，即（m﹣n）（m+n）＝2，∴|m+n|＝，双曲线C的两条渐近线方程为x±y＝0，所以d1＝＝，d2＝，所以3d1+d2＝3×+＝×（3|m﹣n|+）≥×2＝2，当且仅当3|m﹣n|＝，即|m﹣n|＝时，等号成立，所以3d1+d2的最小值为2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．【解答】（I）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，DD1⊂平面ADD1，AD⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1（II）解：由（I）知，DA，DB，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（3，0，0），D1（0，0，4），B（0，4，0）．由可得C（﹣3，4，0），所以E（﹣3，4，2）．则，，，设是平面BDE的一个法向量，则，令x＝2，可得设直线AD1和平面BDE所成的角为θ，则．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；（Ⅱ）求输出的y值的分布列；（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．解：（I）当输入x＝12时，因为12能被3整除，所以输出y＝1；当输入x＝20时，因为20不能被3整除，能被4整除，所以输出y＝2．（II）当x为3，6，9，12，15，18，21，24这8个数时，输出y＝1，所以；当x为4，8，16，20这4个数时，输出y＝2，所以；当x为其余12个数时，输出y＝3，所以．故y的分布列为：y123P（III）程序输出y的值为1，2，3的频率分别为，，，可近似地认为都是，与（II）中所得的概率分布相差较大，故推测该同学编写的程序不正确．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝e x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）若a＝0，则f（x）＝ln（x+1），g（x）＝e x．∴，g'（x）＝e x，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，令，则，曲线y＝g（x）在点处的切线方程为，由题意知，整理可得，x0＝0显然不满足，因此；解：（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+1）﹣a，若a＞0，h（0）＝e﹣a﹣a＜e0﹣0＝1，不符合条件；若a＝0，h（x）＝e x﹣ln（x+1），，当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）＝1，符合条件；若a＜0，则h（x）＝e x﹣a﹣ln（x+1）﹣a＞e x﹣ln（x+1）≥1，符合条件．∴a的取值范围是（﹣∞，0]．选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。

2024学年天一大联盟高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2024学年天一大联盟高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．134-B ．54C ．5D ．1542．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 3．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=4．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（） A ．2()1f x x =+B ．727)2(f x x x =+-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 5．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>6．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞7．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．8．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020219．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A ．52B ．23C ．8D ．8311．若2m ＞2n ＞1，则（） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞12．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河南省天一大联考高三上学期期末考试理科数学试题(带答案)

第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．的展开式中，含项的系数为______.
14．设实数、满足，则的最大值为______.
15．已知长方体的体积为，，平面，若点到直线的距离与到直线的距离相等，则的最小值为______.
16．已知函数，若函数仅有个零点，则实数的取值范围为______.
【详解】
依题意，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由题意可知，由得出，可得出，由此可得出，进而得解.
【详解】
由题意可知，由得出，
，即，因此， .
故选：C.
【点睛】
本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出，考查计算能力，属于基础题.
2020届河南省天一大联考高三上学期期末考试
理科数学试题
第I卷（选择题)
，，则（）
A． B．
C． D．
2．设复数，则（）
A． B． C． D．
3．已知向量，，，则为（）
A． B． C． D．
4．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；

河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)-优质版

天一大联考高三年级上学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为 A.8 B. 7 C. 6 D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2log n a 的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 354.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞6.已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN的最小值是A. 55C. 1D.2 7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8.函数()cos 21x f x x x π=+的图象大致是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎣⎦ 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()2111,0222,20x x x x x f x x x x ⎧⎛⎫+--<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-<≤⎩，则函数()()4log g x f x x =-的零点个数是A. 4B. 7C. 8D.9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()3021n x dx =-⎰，则n的展开式中2x 的系数为 . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16.已知数列{}n b 是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{}n a 满足()12n n n a a n N *+-=∈，且137a b =，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，2,cos sin .AB AD CD αβ===+（1）求角β的大小；（2）求四边形ABCD 周长的取值范围.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求二面角P EF B --的余弦值.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为2，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；（3）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列和数学期望().E X20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()()ln 1,0,x H x f x e x m =--∈，求证：()2m H x <.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题(解析word版)

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =（）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B .【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-.故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（）A ．BC ．2D【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（） A ．7 B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，22303q m ==+=.故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8114S a =+，则（） A ．282a a += B ．284a a +=C ．272a a +=D ．274a a +=【答案】B【解析】由8114S a =+可得出234567814a a a a a a a ++++++=，再利用等差数列的基本性质可得出结果. 【详解】依题意，81234567814S a a a a a a a a -=++++++=，故()287142a a +=，即284a a +=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知实数a 、b 、c 满足134a =，1610b =，5log 50c =，则（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】A【解析】利用幂函数的单调性得出a 、b 、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出c 与2的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】幂函数16y x =在()0,∞+上为增函数，且1111636610416642<=<=，即2b a <<；对数函数5log y x =在()0,∞+上为增函数，55log 50log 252c ∴=>=. 因此，c a b >>. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx xx xx x e e e e f x f x e ee e --------====-+++，该函数为奇函数，又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-，内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数，所以，函数()1 lg1xf xx+⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减；对于C选项，作出函数()224,04,0x x xf xx x x⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D选项，函数()(2ln11f x x=-的定义域为(][),11,-∞-+∞，()()((()22ln11ln11f x x x f x-=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x=-()2,+∞上单调递增，外层函数lny u=也为增函数，所以，函数()(2ln11f x x=-()2,+∞上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．已知长方体1111ABCD A B C D-的表面积为208，118AB BC AA++=，则该长方体的外接球的表面积为（）A．116πB．106πC．56πD．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AAAB BC BC AA AB AA++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果. 【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.9．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P 、P '关于x 轴对称.若12P F PF '⊥，12214PF PF k k k =⋅，其中1PF k 、2PF k 、1k 分别表示直线1PF 、2PF 、l 的斜率，则双曲线C 的离心率为（）A B C D ．【答案】A【解析】设直线2PF 的斜率为k ，根据12P F PF '⊥以及1P F '与1PF 关于x 轴对称，可得出11PF k k =，由此可得出2241b a=，由此可计算出双曲线C 的离心率. 【详解】不妨设直线2PF 的斜率为k ，由题易知0k ≠，且直线1P F '与1PF 关于x 轴对称，11P F PF k k '∴=-，因为12P F PF '⊥，所以直线1P F '的斜率为1k -，即111P F PF k k k '=-=-，11PF k k∴=，由12214PF PF k k k =⋅可得241b a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即2214b a =，所以，双曲线C 的离心率为e ==.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（）A ．58 B ．34C ．54D ．52【答案】C【解析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【解析】先求出p 的值，得出抛物线C 的方程为24x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出2MF NF MN +=，然后在MNF ∆中利用余弦定理可求出cos MFN ∠的最小值，由等号成立的条件可知MNF∆为等边三角形，可设直线2l的方程为1y =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP . 【详解】依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+. 因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y =+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x+=)1313214y y x x +=++=，故16MP =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为32，24AB BC ==，E ∈平面11ABB A ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则1D E 的最小值为______. 【答案】4【解析】根据长方体的体积得出14AA =，然后以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()2,,E y z ，根据已知条件得出24y z =+，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出1D E 的最小值.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为111132ABCD A B C D V -=，24AB BC ==，所以14AA =.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,E y z ，则点E 到直线1AA 的距离为y ，点E 到直线CD 的距离为24z +，故24y z =+.而()10,0,4D ，故()22214428244D E y z z z =++-=-+≥，故1D E 的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩，则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点，则ln m em e m<<，如下图所示，显然m ee m<成立，下面解不等式lnmme<，即ln1mm e<，构造函数()ln xF xx=，0x>，()1ln xF xx-'=，令()0F x'=，得x e=.当0x e<<时，()0F x'>，当x e=时，()0F x'<.所以，函数()y F x=在x e=处取得最大值，即()()max1F x F ee==，所以，当0m>且m e≠时，不等式ln1mm e<恒成立，此时，0m e<<.当m e>时，1me>，若函数()y h x=的图象与直线mye=有1个交点，则有lnmme≤，即ln1mm e≥，由上可知，m e=（舍去）.综上所述，0m e<≤.故答案为：(]0,e.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m与e的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，()sin2A B A+=，5b=，3AC MC=，2ABM CBM∠=∠.（1）求ABC∠的大小；（2）求ABC∆的面积.【答案】（1）34π；（2）52.【解析】（1）设CBMθ∠=，由3AC MC=可得出12BMCBMAS CMS AM∆∆==，再由()sin A B A +=，结合正弦定理得出AB =，代入12BMC BMA S CM S AM ∆∆==可求出cos θ的值，进而可求得ABC ∠的值；（2）在ABC ∆中，利用余弦定理可求出a 的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积. 【详解】（1）因为3AC MC =，所以点M 在线段AC 上，且2AM CM =，故12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，① 记CBM θ∠=，则1sin 2BMC S BC BM θ∆=⋅⋅，1sin 22BMA S AB BM θ∆=⋅⋅. 因为()sin A B A +=，即sin C A =，即AB =，结合①式，得12BMCBMAS S ∆∆===，可得cos 2θ=.因为()0,θπ∈，所以4πθ=，所以334ABC πθ∠==；（2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠，即))222522a a =++⋅⋅，解得a =故1135sin sin 2242ABC S ac ABC a π∆=∠=⋅⋅=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率；（2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数；（3）由题意可知34,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=；（2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）；（3）依题意，34,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为X1234P240110000102925001323500018925008110000故()364105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．如图，五面体ABCDEF 中，2AE EF =，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE .45DAE DEA CFB EAB FBA ∠=∠=∠=∠=∠=︒，AB EF ，点P是线段AB 上靠近A 的三等分点.（Ⅰ）求证：DP 平面CBF ；（Ⅱ）求直线DP 与平面ACF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）33819【解析】（Ⅰ）根据题意，分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MP ，MN . 由题可知AD DE =，90ADE ∠=︒.设1AD DE ==，则2AM =由平面DAE ⊥平面ABFE ，得DM ⊥平面ABFE ，同理CN ⊥平面ABFE .，从而//DM CN .，则//DM 平面CBF ；由cos45AM AP =︒，所以90AMP ∠=︒，所以AMP ∆是以AP为斜边的等腰直角三角形，再由45MPA ∠=︒，45FBA ∠=︒，得到//MP FB .则//MP 平面CBF .，再由面面平行的判断定理得到平面//DMP 平面CBF ，从而得证。

天一大联考海南省2018-2019 学年第一学期高三期末考试数学( 理科)试题及答案

天一大联考海南省2018—2019学年第一学期高三期末考试数学(理科)·答案及评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.⎝⎛⎭⎫－255，55 14.94 15．20 16.6π三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【命题意图】考查解三角形．【解析】 (Ⅰ)因为sin B －3cos B ＝0，所以tan B ＝ 3.在△ABC 中，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2分) 因为cos A ＝－17<0，所以A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437. (4分) sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314. (6分) (Ⅱ)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ， (9分) 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ·a sin B sin A·sin C ＝63. (12分) (未判断B ∈(0，π)和A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，扣1分；仅判断一处，也扣1分)18．【命题意图】考查数据的平均数、方差、中位数以及随机变量的分布列和数学期望．【解析】 (Ⅰ)x －男＝94＋77＋80＋81＋82＋88＋84＋948＝85. (2分，算式和结果各计1分) s 2男＝18[(94－85)2＋(77－85)2＋(80－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(84－85)2＋(94－85)2] ＝35.75. (4分，算式和结果各计1分)将女生数据由小到大排列为76,79,80,83,85,89,90,97，(5分，非必要步骤，没有不扣分)其中位数为83＋852＝84. (6分) (Ⅱ)记“从女生中抽取1人，其评分不低于90分”为事件A ，(7分)则P (A )＝28＝14. (8分) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X ～B ⎝⎛⎭⎫4，14， (9分，非必要步骤，没有不扣分) 所以P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫14k ⎝⎛⎭⎫1－144－k ，k ＝0，1，2，3，4. (10分) 分布列为：(11分) E (X )＝4×14＝1. (12分) 19．【命题意图】考查椭圆的定义和直线与圆锥曲线的位置关系．【解析】 (Ⅰ)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意，知|PC 1|＝r ，|PC 2|＝26－r ，(1分) 所以|PC 1|＋|PC 2|＝26>23，所以圆心P 的轨迹为椭圆． (2分) 设曲线E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，所以2a ＝26，c ＝3， (4分) 所以曲线E 的方程为x 26＋y 23＝1. (5分) (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝2， (6分)则A (2，2)，B (2，－2)，所以∠AOB ＝π2，所以OA ⊥OB . (7分) 当直线l 的斜率存在时，不妨设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线与圆相切，所以d ＝|m |1＋k2＝2，所以m 2＝2＋2k 2. (8分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. (9分) 所以Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)．因为m 2＝2＋2k 2，所以Δ＝8(4k 2＋1)>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2. (10分) 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－6k 2－61＋2k 2＝3（2＋2k 2）－6k 2－61＋2k 2＝0. (11分) 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以OA ⊥OB . (12分)20．【命题意图】考查空间线、面垂直关系的证明以及二面角的求法．【解析】 (Ⅰ)如图，连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝F ，连接DF .∵四边形BCC 1B 1是正方形， ∴BC 1⊥B 1C 且F 为BC 1的中点. (1分)∵D 是AA 1的中点，∴DB ＝DC 1，∴BC 1⊥DF . (2分)又∵DF ，B 1C ⊂平面B 1DC ，DF ∩B 1C ＝F ，∴BC 1⊥平面B 1DC . (3分，条件不全扣1分) ∵DB 1⊂平面B 1DC ，∴BC 1⊥DB 1. (4分)(Ⅱ)方法一：点E 为线段BC 的中点时DE ∥平面BA 1C 1. (5分)连接EF ，A 1F ，易知EF 綊12CC 1，A 1D 綊12CC 1，∴EF 綊A 1D . ∴四边形EF A 1D 为平行四边形． (6分)∴A 1F ∥DE .又∵A 1F ⊂平面BA 1C 1，DE ⊄平面BA 1C 1，∴DE ∥平面BA 1C 1.(7分，条件不全扣1分) 连接C 1E ，依题意可知，AE ⊥EC ，AE ⊥CC 1，CC 1∩EC ＝C ，∴AE ⊥平面C 1CE . (8分) 又EC 1⊂平面C 1CE ，∴AE ⊥EC 1. (9分)∴∠C 1EC 即为二面角C 1－AE －C 的平面角． (10分)在△C 1EC 中，易求得cos ∠C 1EC ＝5，∴二面角C 1－AE －C 的余弦值为5. (12分) 方法二：找点E 并证明DE ∥平面BA 1C 1的过程同方法一． (7分)如图所示，以E 为坐标原点，以EB ，AE ，EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，C (－1，0，0)，C 1(－1，0，2)，A (0，－3，0)，所以C 1E →＝(1，0，－2)，C 1A →＝(1，－3，－2)． (8分)∵CC 1⊥平面ABC ，∴平面AEC 的一个法向量为CC 1→＝(0，0，2)． (9分)设平面C 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E →＝0，n ·C 1A →＝0得n ＝(2，0，1)． (10分) ∴|cos 〈n ，CC 1→〉|＝|n ·CC 1→||n ||CC 1→|＝55， (11分)由题知二面角C 1－AE －C 为锐角，所以二面角C 1－AE －C 的余弦值为55. (12分) （结果正确，未说明是锐角，不扣分）21．【命题意图】考查极值、最值，并考查分离常量和设而不求的思想．【解析】 (Ⅰ)由题可知f (x )＝e x －ax －1的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . (1分) 当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在R 上单调递增． (2分)当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >ln a ，令f ′(x )<0，解得x <ln a . (3分)所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a )上单调递减． (4分)(导数不等式带等号，单调区间在ln a 处取闭，也算对)(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可知当a ＝1时，f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )min ＝f (0)＝e 0－0－1＝0. (5分)所以e x －x －1≥0，所以e x ≥x ＋1. (6分)(ⅱ)令g (x )＝ln(x ＋1)－(1＋ax －e x )，则g ′(x )＝1x ＋1＋e x －a . (7分) 由(ⅰ)知e x ≥x ＋1，又x >0，所以1x ＋1＋e x ≥1x ＋1＋x ＋1>2. (9分，两次放缩各计1分) 又由已知a ≤2，所以g ′(x )>0. (10分)所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (0)＝0， (11分)所以ln(x ＋1)－(1＋ax －e x )>0，即ln(x ＋1)>1＋ax －e x . (12分)22．【命题意图】考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查极径的运用．【解析】 (Ⅰ)直线l 与曲线C 1相交． (1分)理由如下：因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以ρ2＝4ρcos θ. (2分) 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. (未化成标准形式不扣分) 所以曲线C 1是圆心为(2，0)，半径r 为2的圆． (3分)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝t ，化为普通方程为x ＋y －1＝0. (4分) 圆心C 1到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22，可知d <r ，所以直线l 与曲线C 1相交． (5分)另解：同上得到直线l 和曲线C 1普通直角坐标方程，（3分）联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝4x ，消去y 得2x 2－6x ＋1＝0，（4分）因为∆＞0，方程有两个互异的实根，故直线l 与曲线C 1相交. (5分)(Ⅱ)设A ，B ，C 三点的极坐标分别为(ρ1，φ)，⎝⎛⎭⎫ρ2，φ＋π4，⎝⎛⎭⎫ρ3，φ－π4. (6分) 因为A ，B ，C 三点在曲线C 1上，所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，ρ3＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4. (7分) 所以2|OA |＝2ρ1＝42cos φ， (8分)|OB |＋|OC |＝ρ2＋ρ3＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝42cos φ. (9分)故|OB |＋|OC |＝2|OA |. (10分)23．【命题意图】考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式．【解析】 (Ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，x >2.(3分) 由f (x )≤5得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ＋1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤2，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≤5，(4分) 分别得－2≤x ≤－1或－1<x ≤2或2<x ≤3， (5分)所以f (x )≤5的解集为{x |－2≤x ≤3}． (6分)(作出f (x )的图象进行判断，同样算对)(Ⅱ)f (x )＝|x ＋a 2|＋|x －a －1|≥|(x ＋a 2)－(x －a －1)| (8分)＝|a 2＋a ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34≥34. (10分)。