高中物理竞赛：电场
全国高中物理竞赛静电场训练题答案
1、一半圆均匀带电，电荷线密度为>0，试求该半圆圆心处的场强。
解：我们采用微元法，如图所示，设半圆半径为，微元所对圆心角为，在点的场强为而则根据对称性，半圆上各个微元在点场强的y轴方向分量互相抵消。
点处场强为各个在x轴上分量的和也可表为2、证明：在静电场中没有电荷分布的地方，如果电场线相互平行，则电场强度的大小必处处相等。
解：电场线的性质都可由高斯定理和安培环路定理推出，故此处，可考虑用这两个定理。
先证明同一场线上不同地方的场强相同。
如图（a），取一圆柱面形高斯面，其轴与平行，长，截面积足够小，则可认为上各点电场相同。
因空间无电荷，由高斯定理得其中，分别为圆柱两端面上的场强。
再证明不同电场线上的场强相同。
如图（b），取安培环路为。
、均垂直于电力线，且、的长度足够小，则可认为、段上的场强为定值，分别为，。
由安培环路定理得综上，即可得题中所述场确定为匀强场。
注意，若场区有电荷存在，则即使电场线平行，也不会为匀强场。
电场线可在电荷处中断。
如图（c）。
3、在点电荷的电场中，放入一个半径为的接地导体球，从到导体球球心的距离为，求导体球对的作用力。
解：如图所示，根据对称性，肯定在或其延长线上，设到的距离为，对导体球表面上任意一点A而言，它的电势应该由和的电势叠加而成，由因为导体接地，所以有设为原点，为轴，A点的坐标为，则有因为A点位于球心在原点的球面上，、的一次项及常数项都应该是零，于是有可解得和而“电像”和感应电荷是等效的。
这样，就可以很容易地用库仑定律求得感应电荷对作用力（即导体球对的作用力）的大小为方向指向方向。
4、半径分别为和的两个同心半球面相对放置，如图所示。
两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为和。
求大半球面的直径AOB上电势的分布。
解：半径为的均匀带电球壳内部电势为，外部电势为。
这道题目要解决两个问题：（1）半球壳的电势是多少？（2）两个半球壳的电势如何叠加？完整的半径为的球壳在AOB上产生的电势为鉴于对称性，半个球面对的贡献必为1/2，因此，它在AOB上产生的电势应为完整的半径为的球壳在AOB上离距离小于的范围内（即图中的COD段）的电势为在AOB上，离的距离大于的范围内的电势为半球的贡献同样必为和的1/2。
高二物理竞赛课件：电场的能量(共14张PPT)
球内场强：
球外场强：
Qa
解二：
电场能是以体密度定域分布在空间内的静电能。 思考: 半径为R、带电量为Q的均匀带电球面，其 静电能与球体的静电能相比，哪个大？
四维时空——洛仑兹变换的几何化
坐标变量： x, y, z, ict w
与x, y, z,量纲一致，并反映S中的符号差异 时空间隔：
P
不同惯性系——对应四维时空的 转动操作(投影变化，但时空间 隔不变)，其变换关系即洛仑兹 变换。
1.0103m处，从S观察到这两事件相距2.0103m。试问 由S 系测得此两事件的时间间隔为多少？
解：由洛仑兹变换得
解法二
E
2 0
1
(R2
x x2 )1/ 2
1.当 R x
2.当 R x
E 2 0
(R2
x x2 )1/ 2
1
R2 x2
1
2
1
1 R 2 2 x
E
2 0
1 1
1 2
R x
2
q
4 0x2
电场的能量
电场的能量
带电系统带电: 电荷相对移动外力克服电场力做功电场
能量。
一、点电荷系统的能量
q1
r
q2
电能：
n个点电荷系统的电能： 连续分布带电体的电能：
有电介质时静电场的计算 1. 根据介质中的高斯定理计算出电位移矢量
2. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强
本课程只要 求特殊情况
电介质一点 —— 事件 ——“世界点” 四维时空中的线 —— 事件的进程 ——“世界线”
光锥：离开和到达某世界点的所有世界线 组成的三维曲面
光锥把xy — ct曲面分成了四个区：
高中物理竞赛讲义：电场
专题十一 电场【扩展知识】1．均匀带电球壳内外的电场（1）均匀带电球壳内部的场强处处为零。
（2）均匀带电球壳外任意一点的场强公式为 。
式中r 是壳外任意一点到球心距离，Q 为球壳带的总电量。
2．计算电势的公式（1）点电荷电场的电势若取无穷远处（r =∞）的电势为零，则 。
式中Q 为场源电荷的电量，r 为场点到点电荷的距离。
（2）半径为R 、电量为Q 的均匀带电球面的在距球心r 处的电势 r Q k U （r ≥R ）, （r ＜R ）3．电介质的极化（1）电介质的极化 把一块电介质放在电场中，跟电场垂直的介质的两个端面上将出现等量异号的不能自由移动的电荷（极化电荷），叫做电介质的极化。
（2）电介质的介电常数 电介质的性质用相对介电常数εr 来表示。
一个点电荷Q 放在均匀的无限大（指充满电场所在的空间）介质中时，与电荷接触的介质表面将出现异号的极化电荷q ′（），使空间各点的电场强度（E ）比无介质时单独由Q 产生的电场强度（E 0）小εr 倍，即E 0/E =εr 。
故点电荷在无限大的均匀介质中的场强和电势分别为，。
4．电容器（1）电容器的电容充满均匀电介质的平行板电容器的电容或。
推论：。
平行板电容器中中插入厚度为d1的金属板。
（2）电容器的联接串联：；并联：。
（3）电容器的能量。
【典型例题】1.如图所示，在半径R=1m的原来不带电的金属球壳内放两个点电荷，其电量分别为q1=-3×10-9C和q2=9×10-9C。
它们与金属球壳内壁均不接触。
问距球壳中心O点10m处的场强有多大？2．真空中，有五个电量均为Q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、、、、，彼此内切于P点，如图所示。
设球心分别为O1、O2、O3、O4和O5，求O5与O4间的电势差。
3．三个电容器与电动势为E的电源连接如图所示，C3=2C1=2C2=2C。
开始时S1、S2断开，S合上，电源对C1、C2充电，断开S。
然后接通S1，达静电平衡后，断开S1，再接通S2。
高二物理竞赛课件：电场 电场强度
或
E
E
2 x
E
2 y
tg E y E x
例5-2 求电偶极子轴线的延长线和中垂线上的场强。
电偶极子：一对等值异号的点电荷构成的电荷系：
电偶极矩：
P
p ql
r
-q
q
l
(r>>l)
（1）延长线上的场强:
E
q
4 0 r l
22
q
E 4 0 r l 22
EP
E E
q
4 0
2rl r4
1 1 l 2 4r2
2
2ql
4 0 r 3
p
2 0 r 3
r
-q
O
q E－ P E＋
l
（2）中垂线上的场强：
q
E E 4 0 r2 l 2 4 2
E＋
EP 2E cos
ql
4 0
r2 l2
32
4
E
P
E－ r
ql
4 0 r 3
p
4 0 r 3
－q
O
l
q
dV
dq dV
体分布
dS
dq dS
面分布
dl
dq dl
线分布
E
dE
dq q 40r 2
rˆ
矢量积分
用积分法计算场强的解题步骤:
10 选择电荷元 dq;(视为点电荷)
20 建立坐标系,写出dq 与座标变量的关系，写出p点 处 dE 的大小
dq
dE 4 0r 2
30 画出p点处 dE 的方向
Fn q
n i 1
Fi q
n i 1
Ei
n
高中物理竞赛辅导--电场
高中物理竞赛热学电学教程 第四讲物态变化 第一讲 电场电场§1、1 库仑定律和电场强度1．1．1、电荷守恒定律大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。
我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移，静电感应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。
此外，液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。
1．1．2、库仑定律 真空中，两个静止的点电荷1q 和2q 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正比，和它们之间距离r 的平方成正比；作用力的方向沿它们的连线，同号相斥，异号相吸式中k 是比例常数，依赖于各量所用的单位，在国际单位制（SI ）中的数值为：229/109C m N k ⋅⨯=（常将k 写成041πε=k 的形式，0ε是真空介电常数，22120/1085.8m N C ⋅⨯=-ε）库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：（1）电荷是点电荷；（2）两点电荷是静止或相对静止的；（3）只适用真空。
条件（1）很容易理解，但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元（可视作点电荷）的集合，再利用叠加原理，求得非点电荷情况下，库仑力的大小。
由于库仑定律给出的是一种静电场分布，因此在应用库仑定律时，可以把条件（2）放宽到静止源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用，因为有推迟效应。
关于条件（3），其实库仑定律不仅适用于真空，也适用于导体和介质。
当空间有了导体或介质时，无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷，此时必须考虑它们对源电场的影响，但它们也遵循库仑定律。
1．1．3、电场强度电场强度是从力的角度描述电场的物理量，其定义式为式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。
借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为22r Q k q r Qq k q F E ===式中r 为该点到场源电荷的距离，Q 为场源电荷的电量。
高中物理竞赛讲座11(电场1word)
5、两根均匀带电平行无限长直导线端点连线中点的场强。 例：有两根均匀带电的半无穷平行直导线（电荷线密度均为 ）端点连线垂直于这两条导线， 如图所示，LN 的距离为 2R。求 LN 的中点 O 处的电场强度。 答案： E
2k R
6、均匀带电的带空腔的球体，空腔内的电场
csg.竞赛.电场. 3 / 17
csg.竞赛.电场. 4 / 17
（1）方向关系：沿电场线方向各点的电势降低。电势降低最快的方向为电场的方向，电场线垂 直于等势面。 （2）该式适用于：匀强电场， 为沿 E 方向的距离。 （3）若为一般电场： U AB Edl 注意:E 和 同线
A
B
（4）静电场环路定理：由上知，在静电场中沿任一环路，有 E d 0 ，即电势的变化为 0 4、带电量为 Q 的点电荷电场的电势
2q UP R
解：设想一个与 ACB 完全相同的半球面和 ACB 组成一个完整的均匀带电球面，由对称性可知， 拼上的半个球面在 P 点产生的电势与半球面 ACB 在 Q 点产生的电势相等。设拼上的半球面在 P 点产
csg.竞赛.电场. 5 / 17
生的电势为 U P ，则 U P U Q 故
WAB EP EPA EPB Aq B q q q q q
2、叠加原理：任何静电场都可以认为是由点电荷的电场的电势的叠加 四、静电平衡 1、电荷分布 2、电势分布 3、电场分布 五、电容器和静电能
第一讲 电场的性质
FK Q1Q 2 1 QQ 1 = 2 2 r 4 0 r
（2）球内场强 E
kQ r R3
4、均匀带电园环轴线上的场强
例：半径 R 的圆环均匀带电，电荷量为 Q，求圆环轴线上与环心 O 的距离为 x 的 P 点的电场强 度 答案： EP
物理竞赛题：《电场》
物理竞赛练习题《电场》班级____________座号_____________姓名_______________1、半径为R的均匀带电半球面，电荷面密度为σ，求球心处的电场强度。
2、有一均匀带电球体，半径为R，球心为P，单位体积内带电量为ρ，现在球体内挖一球形空腔，空腔的球心为S，半径为R/2，如图所示，今有一带电量为q，质量为m的质点自L点（LS⊥PS）由静止开始沿空腔内壁滑动，不计摩擦和质点的重力，求质点滑动中速度的最大值。
3、在-d ≤x ≤d 的空间区域内，电荷密度ρ>0为常量，其他区域均为真空。
若在x =2d 处将质量为m 、电量为q （q <0）的带电质点自静止释放。
试问经多长时间它能到达x =0的位置。
4、一个质量为M 的绝缘小车，静止在光滑水平面上，在小车的光滑板面上放一个质量为m 、带电量为+q 的带电小物体（可视为质点），小车质量与物块质量之比M ：m =7：1,物块距小车右端挡板距离为l ，小车车长为L ，且L =1.5l 。
如图所示，现沿平行于车身方向加一电场强度为E 的水平向右的匀强电场，带电小物块由静止开始向右运动，之后与小车右挡板相碰，碰后小车速度大小为碰前物块速度大小的1/4。
设小物块滑动过程中及其与小车相碰过程中，小物块带电量不变。
（1）通过分析与计算说明，碰撞后滑块能否滑出小车的车身？（2）若能滑出，求由小物块开始运动至滑出时电场力对小物块所做的功;若不能滑出，求小物块从开始运动至第二次碰撞时电场力对小物块所做的功。
E物理竞赛练习题 《电势和电势差》班级____________座号_____________姓名_______________1、两个电量均为q =3.0×10-8C 的小球，分别固定在两根不导电杆的一端，用不导电的线系住这两端。
将两杆的另一端固定在公共转轴O 上，使两杆可以绕O 轴在图面上做无摩擦地转动，线和两杆长度均为l =5.0cm 。
高二物理竞赛：电场的能量PPT(课件)
二 电场能量
W e1 2Q UQ SDU E d
W e 1 2 Q U 1 2S U 1 2 D S E d 1 2 D E V
电场能量体密度
we
We V
1 DE 2
电场能量体密度的公式适用于任何电场.
3
总电场能量 WeVdWeV1 2DEdV
在真空中 D0E W eV1 20E2dV
U U U 电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值. E( i j k) + + + + + + + + + x y z 这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
解 解法一：直接计算定域在电场中的能量.
EgradU U
电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值. 电势梯度的单位为伏特/米(V/m)
13
五 静电场中的导体 导体的静电平衡 EE 0E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
空腔内无带电体的情况 S E d S0 ，q i0
空腔内有带电体情况
S1 EdS0，qi0
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受
外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必
处处相等.
40r2
5
得静电场能量
We V 120E2dV 2 00 R (4Q 0 r R 3 )2 4r2 d r 2 0R (4Q 0 r2)2 4r2 d r
8Q 02R6
Rr4drQ2
0
80
dr R r2
Q2 Q2
400R 80R
3Q 2
20 0R
6
*解法二：当带电球体的半径为r时带有电量
Qr 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.
高中物理奥林匹克竞赛专题——电场强度(共33张PPT)
y E
EB
E E
1 4πε0
q r 2
e
1 4πε0
q r 2
e
e e
r rr r
E
r y r
. q e e q
-
O
+
x
r0
r r r
y2 ( r0 2
E E y r0
E E
1 4πε0 1
4πε0
)2 p rp3 y3
13
例3：
X
真空中有一电荷均匀分布的细直棒, 带电量为Q(Q＞
i
Qi ri2
ei
F Fi
i
E
F
Fi
q0 i q0
Q1
e1
Q2
r1 e2 r2
P
e3
r3
q0
EF33 EF22
Q3
EF11
6
电荷连续分布的电场
dE
1 4πε0
dq r2
er
E dE
1 er dq
4πε0 r 2
电荷体密度 dq ρdV
E
V
1 4πε0
ρer r2
电荷线密度 dq λdl
E
1 l 4 πε0
λer r2
dl
dl
r
dE P
9
五 电偶极子的电场强度
电偶极子的轴 r0 电偶极矩(电矩) p qr0
q
q
-
r0
+
10
（1）轴线延长线上一点的电场强度
E
1 4πε0
q (x r0
2)2 i
1 q E 4πε0 (x r0 2)2 i
Ex
dEx
高中物理竞赛——静电场习题
高中物理竞赛——静电场习题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。
【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。
如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS 1和ΔS 2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P 点激发的场强分别为ΔE 1 = k 211r S ∆σΔE 2 = k 222r S ∆σ为了弄清ΔE 1和ΔE 2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然211r cos S α∆ = ΔΩ = 222r cos S α∆ 所以 ΔE 1 = k α∆Ωσcos ，ΔE 2 = k α∆Ωσcos ，即：ΔE 1 = ΔE 2 ，而它们的方向是相反的，故在P 点激发的合场强为零。
同理，其它各个相对的面元ΔS 3和ΔS 4 、ΔS 5和ΔS 6 … 激发的合场强均为零。
原命题得证。
【模型变换】半径为R 的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。
【解析】如图7-6所示，在球面上的P 处取一极小的面元ΔS ，它在球心O 点激发的场强大小为ΔE = k 2RS ∆σ ，方向由P 指向O 点。
无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x 方向、y 方向上的对称性，Σix E = Σiy E= 0 ，最后的ΣE = ΣE z ，所以先求ΔE z = ΔEcos θ= k 2Rcos S θ∆σ ，而且ΔScos θ为面元在xoy 平面的投影，设为ΔS ′所以 ΣE z = 2Rk σΣΔS ′ 而 ΣΔS ′= πR 2【答案】E = k πσ ，方向垂直边界线所在的平面。
〖学员思考〗如果这个半球面在yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个81球面，每个81球面在x 、y 、z 三个方向上分量均为41 k πσ，能够对称抵消的将是y 、z 两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE x …〖答案〗大小为k πσ，方向沿x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。
高中物理竞赛 电场竞赛自招内容讲解 电场强度叠加原理
电 场 强 度 叠 加 原 理1．点电荷的场强：电荷Q ，空间r 处204r r Q q F E πε=＝2．点电荷系：在点电荷系Q 1，Q 2，…，Q n 的电场中，在P 点放一试验电荷q 0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为∑=i F F，因而P 点的电场强度为 ∑∑∑===i ii E qF qF qF E＝即 ∑∑304rrQ E E i i πε ＝＝ 点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。
这就是电场强度的叠加原理。
3．连续分布电荷激发的场强将带电区域分成许多电荷元d q ，则⎰⎰=0204r r dq E d E πε＝其中，对于电荷体分布，d q =ρd v ， ⎰⎰⎰v r r dv E 0204 περ＝ 对于电荷面分布，d q =σds ，0204r r ds E s⎰⎰πεσ＝ 对于电荷线分布，d q =λd l ，⎰l r rdl E 0204πελ＝其中体密度 dVdQV Q V =∆∆→∆lim＝ρ 单位C/m 3； 面密度 dSdQS Q S =∆∆→∆lim＝σ 单位C/m 2； 线密度 dldQl Q l =∆∆→∆lim＝λ 单位C/m 。
五、 电场强度的计算：1．离散型的：∑∑304rrQ E E i i πε ＝＝ 2．连续型的：⎰⎰=0204r r dq E d Eπε＝空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。
如果给定电荷的分布，原则上就可以计算出任意点的电场强度。
计算的方法是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。
计算的步骤大致如下：● 任取电荷元d q ，写出d q 在待求点的场强的表达式；● 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； ● 进行积分计算；● 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； ● 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。
例1． 电偶极子（Electric Dipole ）的场强。
高二物理竞赛课件：电场和电场强度
2.多个点电荷产生的电场
空间存在n个点电荷q1 ,q2 ,…,qn 求它们在空间电场 中任一点P 的电场强度：
3.任意带电体产生的电场
5
E
E3
E2 E1
r1
q1
P
r2
r3
q2
q3
E
F
F1
F2
Fn
q0 q0 q0
q0
n
E1 E2 ...... En Ei i 1
E
n Ei
E dE
p
dqx
x 2p rdr
dE
4π0 (r2
x2
)
3 2
42π 0
(r
2
x2
3
)2
x
E dE x
2 0
R rdr
0
(r 2
x2
3
)2
R r dq
dr
x
2 0
[1
(R2
x
2
)
1 2
]
E
qx
4π 0 (R2
x124) 32
E
2 0
[1
(R2
x
x2
)
1 2
]
讨论：
1.当 x R 时 E
大小：等于单位电荷在该点所受电场力的大小； 方向：与正电荷在该点所受电场力的方向一致。
电场是一个矢量场(vector field )
电荷在场中受到的力： F qE 4
三、电场强度的计算
1.点电荷的电场强度
F
E
1
4π
0
F
q0
qq0 r2
rˆ
1
4π 0
q r2
rˆ
高二物理竞赛课件：电场线
典型带电体的电势分布
点电荷 q 场中的电势分布： V q
4 0 r
均匀带电球面场中电势分布：
V内
q
4 0 R
恒量
V外
q 1
40r r
例 在氢原子内,电子和质子的间距为 5.31011m .
求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.
解 me 9.110 31kg e 1.6 1019 C
电场线
按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相 等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小．
点
电
荷 的
dl2 dl1
等 势
E2 E1
面
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
+
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
电场强度与电势梯度
U AB （VB VA） E l
El cos
解
E V
y
V
4π
q
0(x2
R2 )1 2
E
Ex
V x
z
o
r
Px
x
q
x
4π
0
(x2
R2
)1
2
qx
4π 0(x2 R2)3 2
小结
一、静电场环路定理： LE dl 0
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反 映了静电场是保守力场，是有势场。
二、 电势、电势能、电势差
"0"
电势能： EPA q0 A E dl No
E Ey
0
0
2dEy
高二物理竞赛课件：电场、电场强度
l2 4
)
2 r2 l 2
4
ql
p
4πε0r 3 4πε0r 3
E,
p 始终反方向，所以：
p
E 4πε0r 3
E
α EQ
E
r- r r+
α
-q
+q
o
例：求长为L，线电荷密度为λ的均匀带电直线中
垂面上一点的场强。 例
y
由对称性： E y dE y 0
dq
λdl
dEx 4πε0r 2 cos θ 4πε0r 2 cos θ
E λ sinθ1 λ
L
2πε0a 2πε0a L2 ( 2a )2
讨论： (1) 当 a << L 时，带电细棒可当作无限长。
此时：θ1→π/ 2, sinθ1→1
λ E
2πε0a
(2) 当 a >> L 时，带电细棒可当作点电荷。 此时：θ1→0 , sinθ1→L / 2a
λL q E 2πε0a 2a 4πε0a2
例9-2
例：求半径为R，带电量为q (q>0)的均匀带电圆环
轴线上一点的场强。
由对称性： EV dEV 0
adq dEx dE cos θ 4πε0r 3
E
dE x
4πε0 (
a R2
a2
3
)2
dq
dq
r
R o
θ a
P dEx x
dEV dE
4πε0 (
aq R2
a2
3
)2
讨论：
由电场强度的定义：一点电荷q在电场中所受的电
场力：
F qE
点电荷的电场、电场强度叠加原理：
高中物理竞赛辅导--电场
高中物理竞赛热学电学教程 第四讲物态变化 第一讲 电场电场§1、1 库仑定律和电场强度1．1．1、电荷守恒定律大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。
我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移，静电感应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。
此外，液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。
1．1．2、库仑定律真空中，两个静止的点电荷1q 和2q 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正比，和它们之间距离r 的平方成正比；作用力的方向沿它们的连线，同号相斥，异号相吸式中k 是比例常数，依赖于各量所用的单位，在国际单位制（SI ）中的数值为：229/109C m N k ⋅⨯=（常将k 写成041πε=k 的形式，0ε是真空介电常数，22120/1085.8m N C ⋅⨯=-ε）库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：（1）电荷是点电荷；（2）两点电荷是静止或相对静止的；（3）只适用真空。
条件（1）很容易理解，但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元（可视作点电荷）的集合，再利用叠加原理，求得非点电荷情况下，库仑力的大小。
由于库仑定律给出的是一种静电场分布，因此在应用库仑定律时，可以把条件（2）放宽到静止源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用，因为有推迟效应。
关于条件（3），其实库仑定律不仅适用于真空，也适用于导体和介质。
当空间有了导体或介质时，无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷，此时必须考虑它们对源电场的影响，但它们也遵循库仑定律。
1．1．3、电场强度电场强度是从力的角度描述电场的物理量，其定义式为式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。
借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为22r Q k q r Qqk q F E ===式中r 为该点到场源电荷的距离，Q 为场源电荷的电量。
高二物理竞赛课件：电场的能量
电场的能量
一、电容器的能量 将dq由 b 板移到 a 板，外力需作功 带电电容器的能量为
§6-8 电场的能量
讨论:
(1)并联可获得较大的电容
(2)串联时等效电容比每一电容器的电容小, 但电容器组的耐压能力提高
R 3 R2
r2
R
r
1
1
另解：两电容的串联
R 3 R2
r2
R
r
1
1
代入
即可得
[例]电容为 C 的空气平板电容器，两极板间 距离为 d，若在此电容器中插入一相对介电
系数为 r 的纸片，这时电容器的电容变为
C’,试证纸片厚度为证:设极板面积为S源自得证另证 同样可证
二、电场的能量 以平板介质电容器为例 单位体积的能量(电场能量密度)为
§6-8 电场的能量
讨论： (1)
对任意电场适用
(2)电场具有能量是电场物质性的一种表现
§6-8 电场的能量
[例9]真空中一个半径为R的薄球壳，其上带 有均匀分布的电荷Q，求静电场的总能量 解：电场分布在球壳的外部空间
静电场的总能量为
§6-8 电场的能量
[例10]空气平板电容器的极板面积为S，极板 间距为d，其中插入一块厚度为d’的平行铜板 。现在将电容器充电到电势差为U，切断电 源后再将铜板抽出。试求抽出铜板时外力所 作的功 解：法1 电容储存能量的观点
外力的功等于抽出铜 板前后该电容器电能 的增量
§6-8 电场的能量
抽出铜板前的电容 抽出铜板后电容为 极板上的电荷不变
§6-8 电场的能量
法2 电场是能量携带者的观点
铜板抽出前后: 不变
不变
§6-8 电场的能量
2024-2025学年高二上学期物理竞赛课件：电场线和电场强度通量
在电场中的受力
F qE
q为正，方向相同；q为负，方向相反。
3
1. 电荷及其特性
2. 3.
库仑定律
1
F12 4π
电场和电场强度
0Eqr1q2 2Fer q0
12
点电荷
q
E 4π 0r 2 er
点电荷系
E
n i 1
qi
4π 0ri2
eri
连续带电体
dq
E Q4π 0r 2 er
4
例 求电偶极子在均匀外电场中受到的作用， 并分析电偶极子在非均匀外电场中的运动。
稳定平衡
F 。-q
+q。
E
π
F
π
2
p
-+
F
F
E
π, M 0
非稳定平衡
6
在非均匀外电场中
电偶极子所受合力不为零，
力矩不为零。
F
qE
(
q)
E
M pE
F
p
。-q
+。q
F
E
电偶极子在非均匀外电场中既转动又平动。
7
几种常见电场的电场线图
（a）点电荷的电场线
（b）一对带等量异号电 荷的平行板电场线
电场线和电场强度通量
电场线和电场强度通量
1. 电场线（电力线） 用一族空间曲线形象描述场强分布。
定义：
（1）电力线上每一点切线方向与同一点场强 方向一致。
（2）在场中任意一点，垂直穿过单位面积的
电力线根数 （电力线数密度）等于同一
点的场强大小。
dN E
dS
S
E
2
点电荷在电场中的受力
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高中物理竞赛：电场一、知识网络或概要：1、 库仑定律、电荷守恒定律2、 电场强度、电场线、点电荷场强、场强叠加、均匀带电球壳内外场强3、 电场中导体、静电屏蔽4、 电势、电势差、等势面、点电荷电场电势公式、电势叠加原理、电势能5、 电容、电容器的连接、平行板电容器的电容公式，电容器充电后的电能、电介质的极化、介电常数二、知识点剖析与训练一、221r q q k F =库仑定律描述的是真空中的两个点电荷间的相互作用力。
当带电体不可以看作点荷时，应把带电体“分割”成许多小的部分（每一小部分可看作点电荷），对每一小部分应用库仑定律求出静电力，最后求各小部分所受静电力的合力。
库仑定律中的r 是两个“电荷”中心间的距离。
若两带电小球中心间的距离r 不是远大于球的半径，则球上的电荷分布不均匀，那么带电小球不能看作点电荷，就不能用库仑定律计算库仑力的大小，是讨论此时的库仑力与能看作点电荷算出的库仑力是偏大还是偏小？二、只要有电荷存在，在电荷的周围就存在着电场。
静止电荷在真空中产生的电场，叫静电场。
该电荷称为真空中静电场的场源电荷，电场对放入电场中的电荷有力的作用。
在点电荷组成的电场里，任一点的场强等于各个点电荷单独存在时各自在该点产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。
三、几种典型电场的场强：（1）点电荷电场：2rQ k E = （2）均匀带电球壳内外的电场：设有带电量为Q ，半径为R 有均匀带电球壳。
由电场线的分布可知，只要球壳内没有电荷，壳内就没有电场线分布，即内部的场强E 内=0（r<=R ）对于球壳外，电场线分布与点电荷Q 在球心处的电场线一样。
因此壳外的场强E 外为：2r Q kE =（r>R ）思考与讨论：场源电荷与检验（试探）电荷、感应电荷、净电荷、束缚电荷的区别？ 常见的电场的电场线分布如下图所示：特点：1、“疏密”反映大小；2、“切线”反映该处磁场的方向；3、“箭头”始于正电荷止于负电荷；4、任意两条电场线都不会相交；5、电场线不是“封闭曲线”。
四、电势、电势差、等势面电势反映电场能的性质。
电场力做功电势能减小，克服电场力做功电势能增加。
1、电势：电场中某点处电荷的电势能ε与它的电量q 之比值叫做场中该点的电势U 。
即：U=ε/q2、电势叠加原理：任意带电体电场中某点的电势，等于带电体上各部分电荷单独存在时，在该点产生电势的代数和。
3、电势差：电场中两点电势的差值。
若场中A 、B 两点的电势分别为U A 、U B ，则两点的电势差记作U AB ，U AB =U A —U B 。
4、几种典型电场的电势：（1）点电荷电势：如图所示，空间有一点电荷，电量为Q ，先计算AB 两点的电势差。
设A 、B 到Q 的距离分别为r A 、r B ，把检验电荷q 从A 移到B 电场力做功为W ，由于是变力做功，不能直接求W ，现把AB 分成n 段，当n 足够大时，W 可表示为： )11()()()(11122111BA nB n B A A r r kQq r r r r kQq r r r r kQq r r r r kQq W -=-++-+-=-- 由电势差定义得：B A BA AB U U r kQ r kQ q W U -=-== 若以无穷远处为零电势，即把∞→B r 0=B U 。
则A A r kQ U =由于A 是任意的，所以点电荷的电势为rkQ U =。
（2）均匀带电球壳电场的电势： 与场强公式相类似，根据点电荷的电势，可得半径为R 的均匀带电球壳电场的内、外电势分别为R kQ U =内（r<=R ），rkQ U =外（r>R ） 5、等势面：(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面叫等势面．(2)等势面的特点：①等势面一定跟电场线垂直；②在同一等势面上移动电荷电场力不做功；③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面：④任意两个等势面都不会相交；⑤等差等势面越密的地方电场强度越大．注意如下几个细节：〈一〉．电势能：1.定义：因电场对电荷有作用力而产生的由电荷相对位置决定的能量叫电势能。
2.电势能具有相对性，通常取无穷远处或大地为电势能的零点。
3.电势能大小：电荷在电场中某点的电势能在数值上等于把电荷从这点移到电势能为零处电场力所做的功。
4．电场力做功是电势能变化的量度：电场力对电荷做正功，电荷的电势能 ；电荷克服电场力做功，电荷的电势能 ；电场力做功的多少和电势能的变化数值相等，这是判断电荷电势能如何变化的最有效方法。
〈二〉．电势是相对的，只有选择零电势的位置才能确定电势的值，通常取无限远或地球的电势为零。
电势是标量：只有大小，没有方向，但有正、负之分，这里正负只表示比零电势高还是低。
电势高低判断：顺着电场线方向电势越来越 。
这是判断电荷电势如何变化或高低的主要的方法。
〈三〉．电势差：1.电势差的定义式： 。
注意：电势差这个物理量与场中的试探电荷无关，它是一个只属于电场的量。
电势差是从能量角度表征电场的一个重要物理量。
电势差由电场的性质决定，与零电势点选择无关。
2.电场力做功： W AB = QU AB 注意： ①电场力做功与路径无关；②利用上述结论计算时，均用绝对值代入，而功的正负，借助于力与移动方向间关系确定；或者将电性、电势差的正负一并带入可直接求出！3.电场方向是指向电势降低最快的方向。
在匀强电场中，电势降低是均匀的；匀强电场中，沿场强方向上的两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积。
U=E •d〈四〉．将电荷引入电场这样的题型：将电荷引入电场后，它一定受电场力EQ ；且一定具有电势能；在电场中移动电荷电场力做的功W=QU ，只与始末位置的电势差有关。
在只有电场力做功的情况下，电场力做功的过程是电势能和动能相互转化的过程。
W = -ΔE =ΔE K ；无论对正电荷还是负电荷，只要电场力做正功，电势能就减小；克服电场力做功，电势能就增大；⑷每道题都应该画出示意图，抓住电场线这个关键。
（电场线能表示电场强度的大小和方向，能表示电势降低的方向。
有了这个直观的示意图，可以很方便地判定点电荷在电场中受力、做功、电势能变化等情况。
）Ⅱ、电场“力”与 “能”的属性从高考到竞赛训练题1、如右图所示，绝缘细线上端固定，下端挂一轻质绝缘金属小球a ，在它的左侧有一绝缘金属球b ，开始时a 、b 都不带电，现使b 球带电，则( )A ．a 、b 间不发生相互作用B ．b 立即排斥aC ．b 将吸引a ，且吸后不放D ．b 先吸引a ，接触后立即排斥开2．如图所示，半径相同的两个金属小球A 、B 带电量的绝对值相等，相隔一定距离，两球之间的相互引力的大小是F ，现让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A 、B 两球接触后移开．这时，A 、B 两球之间的相互作用力的大小是( )3．如下图所示，完全相同的金属小球A 和B 带等量异种电荷，中间连接着一个轻质绝缘弹簧，放在光滑绝缘水平面上，平衡时弹簧的压缩量为x 0，现将不带电的与A ，B 完全相同的金属球C 与A 球接触一下，然后拿走，重新平衡后弹簧的压缩量为x ，则( )A ．x=021xB ．x>021xC ．x<021x D ．x= x 0 4．如图所示，A 、B 、C 是电场线，某带负电粒子(不计重力)以V 0的速度从M 点进入电场，沿虚线路径从N 点离开电场，分别用E ，U 和ε代表场强、电势及带电粒子的电势能，正确的是( )5． 已经证实，质子、中子都是由上夸克和下夸克的两种夸克组成的，上夸克带电为23e ，下夸克带电为13e -，e 为元电荷，如果质子是由三个夸克组成的，且各个夸克之间的距离都为l ,151.510l m -=⨯,则质子内相邻两个夸克之间的静电力（库仑力）可能值为( )（k=9.0×1 09N ·m 2／c 2）A ．46N ，引力；23N ，斥力B ．46N ，斥力；23N ，斥力C ．46N ，斥力；23N ，引力D ．46N ，引力；23N ，引力6.中子内有一个电荷量为+23e 的上夸克和两个电荷量为13e 的下夸克，一种简单的模型是三个夸克都在半径为同一圆周上，如图1所示，图2给出的四幅图种，能正确表示各夸克所受静电作用力的是（ ）7． 某静电场x 沿方向的电势分布如图所示，则( )A ．在0—x 1之间不存在沿x 方向的电场。
B ．在0—x 1之间存在着沿x 方向的匀强电场。
C ．在x 1—x 2之间存在着垂直于x 方向的匀强电场。
D ．在x 1—x 2之间存在着沿x 方向的非匀强电场。
8．如图所示，点电荷A 、B 各带电9Q 和－Q ，相距r ，现要引入第三个点电荷C ，问C 应满足什么条件才能使：（1）若A 、B 均固定，要C 处于平衡。
（2）若A 、B 不固定，要求A 、B 、C 均处于平衡。
9、两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别是m 1和m 2，带电量分别为q 1和q 2，用绝缘线悬挂，因静电斥力，使两球悬线偏离竖直方向，如图所示，悬线与竖直方向向成的夹角分别为α1和α2，且两球在同一水平面上，则下列结论正确的是：ADA 、若α1=α2，则m 1=m 2A B 9Q -Q r α1 α2B 、若m 1＜m 2，则α1＜α2C 、若α1=α2，则q 1=q 2D 、α1、α2的大小关系由两球质量决定，与q 1、q 2大小无关10、真空中有两根绝缘杆组成的V 字形装置，处在竖直平面内，杆上各穿一个质量都为m ，带电量均为Q 的小球，α=450如图所示，球可沿杆无摩擦下滑，问两球相距多远时速度最大？11、如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球面的中心O 处的电场强度等于E 0。
（1）证明半球面底部的平面是等势面；（2）两个平面通过同一直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面。
试求所分出的这部分球面上的电荷在O 处的电场强度E 。
12、无限长均匀带电细线弯成如右上图所示形状，AB 为半径等于R 的半圆弧，AA ′∥BB ′，求圆心O 处的场强。
m mα α13、真空中有三个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为42R R R 、、，彼此内切与P 点，如图所示，球心分别为321O O O 、、，三个球相切但是互相绝缘。
求3O 与Ｏ1间的电势差为?14、如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A 处放有带电量为－q 的点电荷.（1）试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度； （2）试求感应电荷在导体外P ′点产生的电场强度（P与P ′点对导体板右表面是对称的）；（3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直；（4）试求导体上的感应电荷对点电荷－q 的作用力；（5）若在切断导体板与地的连线后，再将+Q 电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡（略去边缘效应）15、如图所示，两块竖直放置的平行金属板A 、B 之间距离为d ，两板间电压为U ，在两板间放一半径为R 的金属球壳，球心到两板的距离相等，C 点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A 板的一端，试求A 板与点C 间的电压大小为多少？16、一根对称的“∧”形玻璃管置于竖直平面内，管所有空间有竖直向上的匀强电场，带正电的小球在管内从A 点由静止开始运动，且与管壁的动摩擦因数为μ，小球在B 端与管作用时无能量损失，管与水平面间夹角为θ，AB 长L ，如图所示，求从A 开始，小球运动的总路程是多少？（设小球受的电场力大于重力）17、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球（如右上图所示），整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 的大小？带电体在电场中从高考到竞赛训练题1、在右图所示的电路中，电容器A 的电容C A =30微法，电容器B 的电容C B =10微法。