页岩孔隙结构及多层吸附分形模型

页岩孔隙结构及多层吸附分形模型

分形是1975年由美国学者Mandelbrot [1]首先提出的。自然界中的物体形态各异，结构复杂，组合多样，远远超出了一般意义上研究的规则形状范畴。因此，仅仅采用理想的规则模型研究这些非均质性强、结构差异大的目标有很大的局限性，而这些复杂结构往往表现出

分形特征中的幂律关系[2]。Katz 等[3]把分形几何理论用来分析多孔介质内部的几何结构。他

们的研究表明；多孔介质的孔隙空间和孔隙界面都具有分形结构，有相同的分形维数，并且可以由分形维数来预测多孔介质的孔隙度。目前在多孔介质孔隙、渗流、吸附等方面已有许多基于分形几何学的研究。

在本章节中，将分别对多孔介质分形孔隙结构模型和具有分形表面的多层吸附分形模型进行研究，在已有模型的基础上进行修正，通过理论分析和实验验证将模型应用于泥页岩的孔隙结构和吸附特性研究上，分析分形维度对泥页岩多孔介质各种物性参数的影响。 多孔介质孔隙结构模型

Menger 海绵模型是应用最为广泛的多孔介质分形模型，Menger 海绵模型是在Sierpinski 方毯的基础上在三维空间中的扩展[4]。Menger 海绵模型能够对许多多孔介质进行有效的表

征。Jin Yi [5]改变了Menger 海绵模型的构造过程，构造出了具有连通结构的“SmVq ”孔隙

模型，同时给出了模型分形维度的计算公式： ()332log 23log log log m q mq N D m m +−== (1)

其中，D 是分形维数；N 代表剩余的小立方体个数；m 是每边分割的分数。

采用该方法构造孔隙结构模型：1、将边长为R 的正方体分成

个小立方体，每个小立方体边长为，沿贯穿每个面中心的相互垂直轴线挖去q 个小立方体；2、在得到的小立方体基础上，重复步骤1。

图1 两次迭代后的SmVq 模型截面图

Hunt [6]指出，多孔介质多为固体介质和孔隙两相组成。如果多孔介质具有分形特征那么要么是孔隙分形要么是固相介质分形。在分形模型建立的过程中，一般对固相介质进行分形

描述，其思路为：在每次迭代过程中，模型由相同大小的颗粒组成而孔隙尺寸则不相同，此时固相介质分布呈现分形特征，尽管孔隙在几何表现上不是分形模型，但是其数量~尺寸分布却呈现出幂律指数关系并且分形维度和固相介质相同，所以用一个分形维度可以同时表示固相颗粒和孔隙分布的分形结构，尽管他们表述的途径不同。因此，式(1)中的D 值可以表示孔隙分布的分形维度。

对于孔隙分布具有分形特征的多孔介质，其大于某一孔径的孔隙数量N 与孔径r 之间

遵从以下关系[7]：

()()max

r D r N r f x dr ar −≥==∫ (2)

其中 a 是相关系数，f (x)为孔径分布密度函数，可表示为：

()()1D dN r f r Dar dr −−≥==− (3) 孔隙累计体积()V r ≤： ()()min 3r r V r f r r dr β≤=∫ (4)

式(4)中，β 是与孔隙形状有关的因素。Kat [3]提出了基于分形维度计算孔隙度φ 的方法, Y u B [8]给出了更一般的形式：

min max e D D r r φ− = (5)

其中 e D 是几何空间的分形维数，三维空间 3e D =，min r 、 max r 表示孔径分布区间。 通常，在孔径分布区间内min max r r 。某些情况下，孔径分布呈现出多分维的现象，此时孔隙度可表示为： 1233min1min 212max1max 2D D r r r r φφφ−− =+=+ (6)

式(6)假设在孔径分布范围内有两个分形维度：1D 和 2D ，在每段分布区间内，孔隙度均可以通过(5)式分别算出。

根据式(4)，可以得到孔隙在分形几何分布下的孔径分布与累积孔隙体积关系式，对其求导可以得到：

2D dV Da r dr β−=− (7) 对于SmVq 模型，通过对比不同

值对分形维度的影响（图2A ），可以看到，分形维度随着值的增大而减小，这是因为值越大，模型越接近完全孔隙化，相应的固相介

质减少，其复杂程度随之减小，所以分形维度变小；同时，对于固定的

值，随着m 值的增加（q 值同样增加）分形维度增加，这是因为m 值的增大相当于测量精度的增加，这与盒维数计算中度量尺寸的选取道理类似。

图2B显示的是对于同一m值，随着q值的增加分形维度的变化情况，可以看到，随着q值增加分形维度减小，同时m值变化引起的分形维度变化趋势与图2A显示的结果相同。

A B

图2 由m和q决定的分形维数（图2A中，三条线分别表示不同的值：0.33、0.5、0.6；图2B 表示在相同m值下分形维度的变化，三条线分别代表不同的m值）

图3 不同分形维度下孔隙度和关系曲线

图3表示的是在不同的分形维度下模型孔隙度随着最小孔径和最大孔径比的变化情况。从图中可以看到，在固定分形维度的情况下，孔隙度随着孔径比的增大而增大，所以为了保

证计算结果的相对准确度，防止计算值无限制的增加，通常要求；在相同的比

值下，孔隙度随着分形维度的增加而增大。

多层吸附分形模型

由于其特殊的矿物组成和孔隙结构，泥页岩中存在相当数量的吸附气。对泥页岩吸附性能和吸附行为的研究能够为页岩气储量预测和开发动态预测提供有力的依据。目前在多孔介质吸附研究中引用最多的是Langmuir方程，但是因为其假设条件过于简单和理想化，在处理类似泥页岩这类复杂的孔隙介质时，会有很大的局限性，而在Langmuir单层吸附模型的基础上推导出的BET多层吸附模型则有很大改进。但是这些模型所研究的吸附大都是在规则的平面上进行。表面几何结构对吸附于孔内的分子数量有很大影响，而平面吸附的假设则