高一数学竞赛班选拔考试初稿
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案一、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．数列1，- 34 ，59 ，- 716，…的一个通项公式是 . 2．1＋2＋3＋…＋100＝ .3．{a n }是等比数列，a 1=1，a 3= 2 ，则a 5＝ .4．数列{a n }满足：a 1=1，a n +1＝ a n －1，则a xx ＝ .5．△ABC 的三边长分别是7、4 3 、13 ，则最小内角大小为 .6．△ABC 中，A=60°，b ＋c sinB ＋sinC=2，则a ＝ . 7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列条件中能确定a =b 的有 . （填序号）① sinA=sinB ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B ④ cos2A=cos2B8．已知 1x>1，则x 的取值范围是 . 9．不等式 (x －2)2 >4的解集是 .10．已知 12 ＋16 ＋112 ＋…＋1n (n ＋1) = 99100，则n ＝ . 11．等差数列{a n }中，若a 1、a 3、a 7是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的公比是 .12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 1＞0，S 10＝0，则S n 最大时n 的值是 .二、解答题13．（本题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3＝72 ，S 6＝632，求a n .14．（本题满分12分）一艘船以60 n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30 min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，求灯塔S与B之间的距离.15．（本题满分12分）△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、1、c，且A、B、C成等差数列，a、1、c成等比数列，求△ABC的面积.16．（本题满分16分）关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c.(1)写出b、c的值（不要证明）；(2)判断{a n}是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.第二卷（60分）三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知，则 .18．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.19．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .20．取一个边长为的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为 .21．定义在R 上的函数f (x )，满足f (12 ＋x ) ＋f (12 －x ) ＝2，则f (18 )＋f (28 )＋…＋f (78)＝ .22．定义一个对应法则.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 .四、解答题23．（本题满分15分）已知二次函数 ，满足，对于任意的，都有，并且当时总有.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)当时，是单调函数，求m 的取值范围.24．（本题满分15分）已知数列和满足:*121,2,0,)n n a a a b n N ==>=∈，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.1．a n =(-1)n2n-1n 22.50503.24.-xx5.30°6. 37.(1)(2)(4)8.(0,1)9.(-∞,0)∪(4,+ ∞)10.9911.1,212.513.P51,2n-2 14.15 2 n mile 15.a=b=c=1,S=3416.(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.018.7800019.-12.5 20.π421.7 22. π323.(1)f(1)=1(2)f(x)= (x+12)2(3)m≤0,m≥1 24.(3)q=1,32 n. q ≠1, 32 q 2n -1q 2n-2(q 2-1).。
高一数学竞赛班选拔考试初稿
或 ②
考察第①式： ∴
∴ 故①式没解
对于第②式：把 代入
得到 ，但 不整除 所以也没有正整数解
命题最后得证。
12.解:据题意，方程 有两个相异根，都在 中
故 , 且 ①
可见 ②
且 ③
即得
由③知
又
现分别取 的最小整数5、5、1
经检验，符合题意
∴ 最小
10年高一数学竞赛班选拔考试
考试时间：试卷总分：120
班级：姓名：学号：
一．填空题（每小题8分，共80分）
1.化简： 的结果是.
2. 在凸 边形的所有内角中，锐角的个数最多是个.
3.设 ，则
—
（填“≥” ，“≤” ，“＞” ，“＜” ，“=” ）.
4.如下图 中， 为直角， 所对的边分别为 ，已知 ，则 （用 表示）.
故在 中， ，
5.
\
解：
6.
解：借助平面直角坐标系我们知道， 点有两个：图中 ，它们关于 轴对称
如图，
， ，
，
'
7.4
解：在直线 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 ，（ 是
整数）,在线段 上这样的点应满足
∴ 即
8.
解： 如图连结AC、CE
由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5
!
5.已知： （ 是自然数），那么 =.
6.已知点 在直角坐标系中的坐标为 ， 为坐标原点， ，且 到 的距离为 ，则 的坐标为.
7.一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为 ，并且过点 ，则在线段 上（包括端点 ），横、纵坐标都是整数的点有个.
8.如图，在平行四边形 中，过 三点的圆交 于 ，且与 相切，若 ，则 的长为.
合肥168中学2016年数学竞赛高一年级选拔试题
合肥168中学2016年数学竞赛高一年级选拔试题 （时间：2h 总分：150分） 姓名： 得分： 亲爱的中学生朋友：欢迎你参加本次竞赛活动！中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。
合肥168中学数学组组织数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。
祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项1. 本次考试共有25小题（9个选择，10个填空题，6个解答题），把答案填写在答题纸上空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时，请你把答题纸交给监考员。
一、选择题（本大题共9小题，每题5分，满分45分，每小题只有一个正确答 1.设函数f (x)对x ≠0的一切实数均有f (x)+2f ( 2008x)=3x,则f (2)等于（ ） A ．2006 B.2008 C.2010 D.20122.已知abc<0,则在下列四个选项中，表示y=ax 2+bx+c 的图像只可能是（ ） y y y yO x O x O x O xA. B. C. D.3.已知有理数x 、y 、z 两两不等，则x-y y-z ,y-z z-x ,z-x x-y中负数的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个4.设函数f (x)的定义域为(﹣∞, a )∪(a ,＋∞),f (x)≥0的解集为M ，f (x)<0的解集为N ，则下列结论正确的是（ ）A. M=C R NB. C R M ∩C R N= ∅C. M ∪N=RD. C R M ∪C R N=R5.定义在R 上的函数f (x)满足：f (12 + x )+ f (12 －x )=2,则f ( 18 )+f ( 28)+…+ f (78)=( ) A. 1 B. 7 C. 14 D. 26.已知关于x 的方程x 2 +2px －(q 2－2)=0（p,q ∈R ）无实根，则p+q 的取值范围是（ ）A. {-2,2}B.(-1,1)C.(-2,2)D. [-2,2]7.关于x 的不等式∣x+2∣+∣2x-1∣>a 的解集为A ，集合B={ x|-1≤x ≤3},若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是（ ）A. （﹣∞,10）B.(-10,10)C. ∅D. [-2,3]8.若[x]表示不超过x 的最大整数（如[1.3]=1，[-94]=-3等等）则[12-1×2 ]+[ 13- 2×3 ]+[ 14- 3×4 ]+…+[ 12017-2016×2017 ]=（ ）A. 2015B. 2016C. 2017D. 20189.若关于x 的不等式x 2-ax-6a<0有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a 的最大值M a 、最小值m a,则M a －m a =( )A. 1B.24C. 25D. 26二、填空题（本大题共10小题，每小题4.5分，满分45分，请将答案填入指定位置。
高一数学竞赛选拔卷
金乡职业学校高一数学竞赛小组选拔考试试卷（总分：100 分 考试时间：60分钟）一、选择题：（每小题4分）1设U 为全集，，B A ⊂则（CuA ）∪B=（ ）A 、CuAB 、UC 、B φ D.2.已知x 2+mx+4为完全平方式，则m 的值为（ ）A 、2B 、4C 、±2D 、±43.已知x +y =20,xy =24,则x 2+y 2的值是( ).A 、 52B 、148C 、352D 、764.已知集合A={x|-3≤x ≤5}，B={x|a+1≤x ≤4a+1}，且A ∪B=B ，φ≠B ，则实数a 是（ ）A 、-3≤x ≤5B 、1≤x ≤2C 、-4≤x ≤1D 、0≤x ≤15.若A={x|x ≤2}，B={x|x>a},且A ∩B=φ，则a 满足：（ ）A 、a ≥2B 、a>2C 、a<2D 、a ≤2二、填空题：（每小题5分）1. 设U={2,4,1-a}，A={2,a 2-a+2}若CuA={4}，则a=__________2.已知：U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A ，B 都是U 的子集，且(CuA)∩B={1,9},A ∩B={2}， (CuA)∩（CuB ）={4,6,8}，则A=——————————————————，B=——————————————————3.知集合A 有10个元素，集合B 有8个元素，集合A ∩B 有4个元素，则集合A ∪B 有___________个元素。
4.集合{}11，-=N M ，已知M={-1，1}，则满足条件的N 集合有：__________________。
三、解答题：（每小题10分）1.解下列一元二次方程：①.9(x-1)2-4(x-1) =0 ②. 2y 2+3=9y(配方法)2.将下列多项式因式分解：①(a+b)2 +4(a+b+1) ②(x+3)(x+8)+43.解下列方程组： ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-04235122423512y x y x ②⎩⎨⎧=+-+=065,422y xy x y x4.已知A={(x,y)|y=x+2} ,B={(x,y)|y=x 2-4},求A ∩B 。
2019年高一数学竞赛初赛试题含答案
2019年数学竞赛高一初试试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝() A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >Î则下列不等式成立的是() A ．b a 11<B ．22ba >C ．1122+>+c b c a D ．cb c a >3.3.下列函数为偶函数，且在下列函数为偶函数，且在)0,(-¥上单调递减的函数是() A ．32)(xx f =B ．3)(-=x x f C ．xx f )21()(=D ．xx f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4aa a 依次成等差数列，且11=a , 则10S =() A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为() A. 833B. 8 C ．4 D. 43 7．设变量x ，y 满足约束条件îíìy ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为() A ．10 B ．8-C ．6 D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+y x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（值范围是（ ）A ．24-£³m m 或 B. 42-£³m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BD B ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--¥ ∪ ),2(+¥ B . )4,(--¥∪ ),4(+¥ C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45p =x 和49p =x 是函数是函数 )0)(sin(>+=w wx y j 图象的两条相邻对称轴，则j 的一个可能取值为（ ） A ．43p B. 4p C ．3p D. 2p12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，[)[)ïîïíì+¥Î--Î+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（的所有零点之和为（ ） A ．12-aB ．12--aC ．a --21D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）分） 13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a且,)32(c b a ^-则实数=k _________。
高一数学竞赛班选拔考试试卷
重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷1.{}{}0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=___________。
2.新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人。
3．在小于100的正整数n 中，能使分数1(332)(41)n n ++化为有限小数的n 的所有可能值为___________。
4．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。
若现在时间恰好是12点整，则经过_______秒后，OAB ∆面积第一次达到最大。
（用分数表示） 5.已知a 、b 、c 为整数，且2006,2005a b c a +=-=，若a b <，则a b c ++的最大值为________. b=2013-a>a 则a<1006.5 a 最大为1006 c=2005+a 所以a+b+c=2006+2005+a=a+4011所以最大值是1006+4011=50176．如果两个一元二次方程20x x m ++=与210mx x ++=都有两个不相等的实数根，并且其中有一个公共的实根0x ，那么0x =_________。
7．如果一个两位数5x 与一个三位数3yz 的积是29400，那么，x y z ++=____。
29400/400>73, 29400/300=98x 只能为7或8或929400/75=392只有这个是整数。
所以x+y+z=7+9+2=18因为29400=75*392所以x=7、y=9,z=2所以x+y+z=7+9+2=188．一名模型赛车手遥控一辆赛车。
先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)αα<<，被称为一次操作。
高一年级数学竞赛试题及答案
1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ……………………………高一年级数学竞赛试题一、填空题1、一个四位数abcd 乘以4后得另一个四位数恰好是dcba ，则原四位数abcd 是 。
2、直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为 。
3、把正奇数依次排列成5列，如右图， 则2001排在从左数第 列。
4、钟表现在是10时整，那么在 时， 分 秒时， 分针与时针首次出现重合。
5、把数1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7这 14个数排成一排，使两个1之间夹1个数，两个2之间夹2个数，两个3之间夹3个数，………，两个7之间夹7个数，则排法为6、公园小路如图，只要把 A,B,C,D,E,F,G 七个点中的 两处设为出口，可实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走。
7、用“十进制”表示数，满十进前一位；用“十四进制”表示数，满十四进前一位。
在“十四进制”中，把十四个数码依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J,Q,K ；那么 十JQK 化成“十进制”数应是 。
8、四快相同长方形纸板，长宽各为2和1，形状为现统一锯开 得到小 和小块，请你用这八块纸板拼成一个正方形：班级学号姓名成绩二、解答题：9、证明：整数被表示成两个整数平方和的充要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和。
10、用S表示原地不动，T表示向左转，R表示向右转，L表示向后转。
集合X=｛S,T,R,L｝中的元素有一种运算“＋”表示“紧接着”的意思。
（例如T+S表示向左转紧接着向后转，当然运算结果为向右转，因而有T+L=R）。
若集合X中某元素E，满足E+E=E，则E叫单位，若某两个元素A和B满足A+B=E，则A，B叫做互为逆元。
①求集合X中的单位。
②求集合X中的每个元素的逆元。
11、有2001个小球堆在一起，二人进行轮流拿球游戏，每次可以拿一个、二个或三个球，不能多拿也不能不拿，至拿完全部小球游戏结束。
2012年北京市高一数学竞赛初赛试题及参考答案Version20120425
A
√ √ 3+1 PD a . 因为P F = P B sin 15◦ = 2a sin 15◦ , P E = CD = √ = √ , 2 3 3+1 1 1 所以S∆CP N − S∆BP N = a(P E − P F ) = , 选(A). 2 8
C D P N B FM A E
Figure 2: 一.5答案 6.定 义 在 (−1, 1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 f (x) − f (y ) = f ( x−y
A
Figure 7: 二.8
D
解 答: 设 两 圆圆 心 分别 为 O1 , O2 , 连 结 O1 O2 , 则O1 O2 必 过O点. 连 结 AO1 , DO2 并延 长 交 BC 延 长 线 于 E, F , 过 O 点 作 两 圆 外 公 切 线, 交 AD 于 G, EF 于 H . 易知四边形 ADF E 为矩形, G, H 分别为 AD, BC 中点, 且 ∠AOD = ⊙ ⊙ 1 5 ∠BOC = 90◦ , 故 GH = (AD + BC ) = . 设 O1 半径为 R , O2 半径 2 2 2 2 2 2 2 为 r, AE = DF = h, 则EK = R − (h − R) , F L = r − (h − r)2 , 所以 AK 2 +DL2 = [R2 −(h−R)2 +h2 ]+[r2 −(h−r)2 +h2 ] = 2h(r +R) = 2AE ·O1 O2 . AE AD 容易证明 = , 所以 AK 2 + DL2 = 2GH · AD = 15. GH O1 O2
值. 解答: 由拉格朗日插值公式得: (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) 1 (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5) f (x) = 1· + · (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5) 2 (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5) 1 (x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) + · + · 3 (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) 4 (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + · , 5 (5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) 1 所以f (6) = . 3 3.若 [x] 表示不超过 x 的最大整数, 求满足方程 [n lg 2] + [n lg 5] = 2012 的自然数 n 的值. 解答: 因为 [x] x < [x] + 1, 所以 [n lg 2] + [n lg 5] n lg 2 + n lg 5 < ([n lg 2] + 1) + ([n lg 5] + 1), 即2012 n < 2014, 说明n = 2012或2013. 但n = 2012时, 2012 lg 2, 2012 lg 5 均为无理数, 必有 [2012 lg 2] + [2012 lg 5] < 2012, 故只能有 n = 2013. 4.如图, 半径为 1 的两个等圆相交, 在两圆的公共部分作一内接正方形 ABCD. 如果圆心距 O1 O 等于1, 试求正方形 ABCD 的面积.
高一数学竞赛选拔试卷
高一数学竞赛选拔试卷一、填空题1．已知集合{|(2)(6)3,,07}A x x x x Z x =--≥∈≤≤，则A 的非空子集的个数为 2．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为 3．在直角坐标平面内，曲线|1||1|||3x x y -+++=围成的图形的面积是 1{|3}2A B x x ⋂=<≤，则点(,)a b 在直角坐标平面aOb 中的轨迹方程是 5．函数122010()1232011x x x x f x x x x x +++=++++++++的图象的对称中心为 6．设n 是小于100的正整数，且满足211(1)35n n -+为整数，则符合条件的所有正整数n 的和为． 7.已知不等式组2215,3752x x ⎧++≥⎪⎪⎨⎪++≤⎪⎩有唯一解，则实数a = 8.已知{,,,,},{,,},A B C a b c d e A B a b c c A B C ⋃⋃=⋂=∈⋂⋂，则符合上述条件的{,,}A B C 共有 组 9．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=.若对任意R x ∈，有)()1(x f x f ≤-恒成立，则实数a 的取值范围为10．设[]x 表示不超过x 的最大整数，则201310201322k k k +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑= 11．已知函数424)42()(24224+++-++=x x x k k x x f 的最小值是0，则非零实数k 的值是 12．已知方程20x ax b -+=的两个不等实根1x 、2x 满足3322331212121211122672()0333x x x x x x x x a b +--+++=+≠.则223a b ab a +--的值为 . 13.如果关于x 的不等式|||||1|x a x x +<++的解集是R ，则实数a 的取值范围是14．当||1x ≤时，不等式2210px qx p +-+≥恒成立，则p q +的最大值为二、解答题15．已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13）,且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存有这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存有，求出这样的点的坐标；如果不存有，请说明理由.16．已知函数x xa x f -=)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围.17．如图，在ABC △中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC 、PE 、PF 、FD 、ED 。
高一新生数学竞赛选拔试题
数学竞赛选拔测试一、选择题1、设集合，，若，则实数的取值范围是（）A. C. D.2、设函数，函数的定义域为，则 ( )A．B． C D．3、若，，则一定有A． B． C． D．4、函数的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45、若函数是奇函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6、关于恒成立，则实数的取值范围是（）C.7、设，，则( )A B．C D．8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A． B．C． D9A D10、设表示不超过的最大整数．若存在实数，使得=1，，…，同时成立，则正整数的最大值是A.3B.4C.5D.6二、填空题11、设一元二次方程有整数根的充要条件是____________________．12、已知常数，函数的图像经过点、，，则___________．13、能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________________．14、已知函数在时取得最小值，则_______________．15、已知，函数，当时，不等式的解集是________________;若函数恰有2个零点，则的取值范围是_________________．三、解答题16，解关于.17、解关于的不等式.18、已知函数是奇函数，且，.(I)求的值；(II)判断并证明的单调性.19、已知，函数.(Ⅰ)当时，解不等式；(Ⅱ)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；(Ⅲ)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.20、已知集合.(I)设，，，试判断与的关系；(II)任取，与的关系；(III)能否找到，使得，且.。
高一数学联赛选拔赛(奥赛班入学)试卷(含参考答案)
第4题图班级： 姓名： 班级座位号： 考场号：密封线内不要答题**中学高一数学联赛选拔赛试卷命题人：吴铭一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．在下列实数中：-5、5、2、0，最大的数是（ ）．A ．5-B ．5C ．2D ．02．抛物线224y x x =--与x 轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．253．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图l ）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠）， 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）A ．36ºB ．42ºC ．45ºD ．48º4．花园小径旁有一个圆柱状果皮垃圾筒，圆柱体的底面半径为18cm ，圆柱形的侧面由20块大小相同的小木条均匀围成一圈，垃圾入口处是一个切除了高为20cm 的5块小木条的柱面方孔，则这个垃圾筒切除的侧面面积是（ ）． A ．2120cm π B ．2144cm πC ．2180cm π D ．2240cm π5．已知+∈∈R y R x ,,集合},1,,1{2---++=x x x x A }1,2,{+--=y yy B .若B A =,则22y x +的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.106．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） A ．自然数集 B ．有理数集C ．整数集D ．无理数集7．设xx＝x f -+11)(，记()()1f x f x =，若，x f f x f n n ))(()(1=+ 则＝x f )(2006（ ） A 、x B 、-x 1 C 、x x -+11 D 、11+-x x 8．设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为（ ） A ．31B ．32 C ．1 D ．34二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．在矩形ABCD 中，6BC =，8CD =，以A 为圆心画圆，且点D 在A 内，点B 在A 外，则A 半径r 的取值范围是 ．10．如图，已知弦AB ∥CD ，请用无刻度．．．的直尺，准确作出该圆的直径（保留作图痕迹）． 11．定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ，若A={y | y=x 2 }，B={x | -3≤x≤3} ，再定义 M △N =（M-N ）∪（N-M ），则A △B= ． 12．若非空集合S 满足，且若，则，那么符合要求的集合S 有___________个．13．映射f : {a , b , c , d}→{1，2，3}满足1<f (a )·f (b )·f (c )·f (d)<5，这样的映射f 有_______个. 14. 设函数f ：R →R 满足f (0)=1，且对任意x ,y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2，则f (x )=________.三、计算题（17-19题每题8分，20-23题10分，共64分） 15．根据如图所示的程序计算．（1）选取一个你喜欢的x 的值，输入计算，试求输出的y 值是多少？（2）是否存在这样的x 的值，输入计算后始终在内循环计算而输不出y 的值？如果存在，第10题图DCBA第3题图第9题图请求出x 的值；如果不存在，请说明理由．16．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }．（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．17．抛物线2y x =在直角坐标系中向下平移4个单位得到抛物线1y ，1y 与x 轴的交点为1A 、1B ，与y 轴的交点为1O ，1A 、1B 、1O 对应2y x =上的点依次为A 、B 、O ． （1）写出1y 的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线y 和1y 及线段1AA 和1BB 围成的图形的面积； （3）若平行于x 轴的一条直线y m =与抛物线y 交于P 、Q 两点，与抛物线1y 交于R 、S 两点，且P 、Q 两点三等分线段RS ，求m 的值；18．已知集合},,,{4321a a a a A =，},,,{24232221a a a a B =，其中4321a a a a <<<，并且都是正整数．若},{41a a B A = ，1041=+a a ．且B A 中的所有元素之和为124，求集合A 、B ．19．我们给定两个全等的正方形ABCD 、AEFG ，它们共顶点A （如图1），可以绕顶点A 旋转，CD ，EF 相交于点P ． （1）连接BE 、DG （如图2），求证：BE DG =，BE ⊥DG ；图1输入x 输出y平方 乘以2 减去4若结果大于0否则图2（2）连接BG 、CF （如图3），有三个结论：①BG ∥CF ； ②ABG ∆∽PCF ∆； ③ABG ∆与PCF ∆相似． 请证明；图3（3）连接BE 、CF （如图4），求BECF的值．20. 已知2()2,f x x bx x =++∈R.（1）若函数()[()]()F x f f x f x x =∈R 与在时有相同的值域，求b 的取值范围；（2）若方程2()|1|2f x x +-=在（0，2）上有两个不同的根x 1、x 2，求b 的取值范围，并证明1211 4.x x +<**中学高一数学联赛选拔赛试卷参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．68r << 10．如图，线段MN 即为圆的直径． 11． {x|-3≤x ＜0或x ＞3} 12．7 13.14 14. x +1三、计算题（15-18题每题8分，19-20题10分，共52分）15．解：（1）略．………………………………………………………………………………2分（2）当y x =，且0y <时，输入x 计算后始终输不出y 的值．此时224x x =-，………………………………………………………………………5分2240x x --=，21,2(1)(1)42(4)133224x --±--⨯⨯-±==⨯ ∵13304+>，13304-< ∴1334x -=为所求的x 的值，输入计算后始终输不出y 的值．…………………8分 16. （1）∵A 中有两个元素，∴方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，∴ 09160a a ≠⎧⎨=+>⎩，即a ＞－916，∴a ＞－916，且a ≠0． …4分（2）当a ＝0时，A ＝{－43}；…5分当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根， Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；…………………………………………………………………………6分若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0，即a ＜－916；……………………………7分所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0． …………………………………………8分17.．（1）214y x =-， A （-2，4）、B （2，4）；………………………………2分（2）连接AB ，则抛物线1y 和11A B 围成的图形的面积等于抛物线y 和AB 围成的图形的面积，∴抛物线1y 和2y 及1AA 和1BB 围成的图形的面积等于正方形11AA B B 的面积=16；……5分（3）如图，∵RP PQ QS ==，∴3RS PQ = 246m m +=，解得 12m =…………8分 18．【解】4321a a a a <<<，且},{41a a B A = ，∴211a a =，又N a ∈1，所以.11=a …1分又1041=+a a ，可得94=a ，并且422a a =或.423a a =………………………3分 若922=a ，即32=a ，则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a （舍） 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A ………………………………5分 若923=a ，即33=a ，此时应有22=a ， 则B A 中的所有元素之和为100≠124．不合题意．………………………………7分综上可得， }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A ……………………………………8分 19．解： （1）证明：∵AB AD =，90BAE EAD DAG ∠=︒-∠=∠，AE AG =∴△ABE ≌△ADG ，即BE DG =．……………………………1分 分别延长GD ，BE 交于点M 交EF 于点N ，∵MEN ENM MEN AGD BEA NEM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=90° ∴BE GD ⊥（∵ABE ∆≌ADG ∆，AB ⊥AD ，AE ⊥AG ， ∴ADG ∆可以看成由ABE ∆绕顶点A 旋转90°，即BE ⊥DG ．）………………2分（2）证明：①∵AB AG =，∴∠ABG =∠AGB ，∠CBG =∠FGB同理：∠BCF =∠GFC又∵∠CBG +∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°∴∠CBG +∠BCF=180°，即BG ∥CF ；…………………5分 ②续① 又∵AB ∥PC ，AG ∥PF∴∠ABG =∠PCF ，∠AGB =∠PFC 即ABG ∆∽PCF ∆……6分 ③续② 连接AP 交GF 的延长线于1Q ，交BC 的延长线于2Q ， 则11Q P PF Q A AG =，22Q P PCQ A AB=，而AB=AG ，PC=PF ∴11Q P Q A =22Q PQ A，亦有12Q P Q P AP AP =，12Q P Q P = ∴1Q ，2Q 重合，即BC ，AP ，GF 相交于点Q ，ABG ∆与PCF ∆位似．……………………………8分（3）连接AC ，AF 可证得ABE ∆∽ACF ∆，1222BE AB CF AC ===．…………………………………10分 20.解:（1）当x ∈R 时，函数2()2f x x bx =++的图象是开口向上，且对称轴为2bx =-的抛物线，()f x 的值域为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以()[()]F x f f x =的值域也为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭的条件是228,280,2,442b bb b b b ----∴-即或≤≥≤≥， 即b 的取值范围为(,2][4,).-∞-+∞(2)222()|1|2,|1|0f x x x bx x +-=++-=即，由分析知0b ≠,不妨设221221,||1,02,()|1|21,||1,bx x x x H x x bx x x bx x +⎧<<<=++-=⎨+->⎩令≤因为()(0,1]H x 在上是单调函数，所以()0H x =在(0,1]上至多有一个解.若12,(1,2)x x ∈，即x 1、x 2就是2210x bx +-=的解，12102x x =-<，与题设矛盾. 因此，12(0,1],(1,2).x x ∈∈由111()0H x b x ==-得，所以1b -≤；由2221()02,H x b x x ==-得所以71.2b -<<-故当712b -<<-时，方程2()|1|2(0,2)f x x +-=在上有两个解.由212112b b x x x =-=-和消去b ，得212112.x x x += 由21211(1,2), 4.x x x ∈+<得。
山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔(初赛)试题
山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．10千里B．12千里17．2023年是农历癸卯兔年，在中国幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院的名画——《梧桐双兔图》，该绢本离地面194cm.小南身高160cm 最低点B最大，小南离墙距离S应为（以证明；(3)若对任意[]0,ln 2t Î，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围.1234,,,BC d CD d DE d EF d ====，再求出到路口C ，D ，E ，F 的距离总和，比较大小作答.【详解】观察图形知，1234567,,,,,,A A A A A A A 七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，令1A 到B 、2A 到C 、3A 到D 、4A 到D 、5A 到E 、6A 到E 、7A 到F 的小公路距离总和为d ，1234,,,BC d CD d DE d EF d ====，路口C 为中转站时，距离总和12232324321234()()()53C S d d d d d d d d d d d d d d d d =++++++++++=++++，路口D 为中转站时，距离总和12233431234()()23D S d d d d d d d d d d d d d =+++++++=++++，路口E 为中转站时，距离总和123233341234()()24E S d d d d d d d d d d d d d d =++++++++=++++，路口F 为中转站时，距离总和12342343441234()()2()2245F S d d d d d d d d d d d d d d d d =++++++++++=++++，显然,C D F E D S S S S S >>>，所以这个中转站最好设在路口D .故选：B【点睛】思路点睛：涉及实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可.9．B所以(2,6][(3))(1),22k af x a a a a È+Î，则所以5229264a a ì<ïïíï³ïî或5(31)292224a a ì+£ïïíï>ïî，无解，由()0g x =可转化为()f x 与2b y =-交点横坐标函数有奇数个零点，由图知：6312b £-£+，此时共有9个零点，。
推荐-高一数学竞赛选拔考试试题(附答案) 精品
桂阳三中高一数学竞赛班选拔考试试题(附答案)（考试时间120分钟，满分120分） 2018-11-12一、选择题（每题5分，45分）1、.若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5}，B ={x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆（A B ）成立的所有a 的集合是( )(A){a |1≤a ≤9} (B){a |6≤a ≤9} (C){a |a ≤9} (D)Φ 2、定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应下列图形那么下列图形中可以表示A*D ，A*C 的分别是 .A ．（1）、（2）B ．（1）、（3）C ．（2）、（4）D ．（3）、（4）3．已知有理数x 、y 、z 两两不等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．的解的个数为方程xx 22= ( )A.0B.1C.2D.3 5.若F(11xx-+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x) （B ）F(-x)=11xx+- （C ）F(x -1)=F(x) （D ）F （F （x ））=-x（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）6.二次函数442+-=x x y 的定义域为[]b a ,(a<b),值域为[]b a ,,则这样的闭区间[]b a ,是下面的( )A. []4,0B. []4,1C. []3,1D. []4,37、一椭圆形地块，打算分A 、B 、C 、D 四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物 可供选择， 那么有（ ）种栽种方案.A.60B.68C. 78D.848．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ）A ．9B ．26C ．34D ．6 9.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略 A ．10 B.9 C.8 D.6 二、填空题（每题5分，共25分）10、已知函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，1，为无理数.当x R ∈时， ()()_______,f g x =()()_______.g f x =11、甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(0)的值为：A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 对于不等式x^2 - 6x + 8 < 0，其解集为：A. (2, 4)B. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)C. (-∞, 4) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：A4. 已知集合A={x|x^2 - 5x + 6 = 0}，B={x|x^2 - 3x + 2 = 0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D5. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a与向量b的数量积为：A. 8B. 10C. 6D. 2答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(2)的值为______。
答案：38. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为______。
答案：189. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的导数表达式为______。
答案：3x^2 - 6x10. 已知复数z=1+i，求|z|的模长为______。
答案：√2三、解答题（每题20分，共50分）11. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：首先对方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，所以解为x=2或x=3。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。
解：将函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 - 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10年高一数学竞赛班选拔考试
考试时间： 试卷总分：120
班级： 姓名： 学号：
一．填空题（每小题8分，共80分） 1. 化简：
53-535-3
的结果是 . 2. 在凸n(n 3)≥边形的所有内角中，锐角的个数最多是 个. 3. 设0a 1,0b 1<<<<，则
22222222(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+- 22
（填“≥” ，“≤” ，“＞” ，“＜” ，“=” ）.
4. 如下图Rt ABC ∆中，C ∠为直角，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知tan b
B a
=，则tan
2
B
= （用a b c 、、表示）.
5. 已知：11
1
(20102010)2
n n x -=-（n 是自然数），那么n x x )1(2+-= .
6. 已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，0
120QPO ∠=，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 . 7. 一个一次函数图象与直线5
4
y x =
平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，并且过点(7,25)--，则在线段AB 上（包括端点A B 、），横、纵坐标都是整数的点有 个.
8. 如图，在平行四边形ABCD 中，过A B C 、、三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若
4,5AB BE ==，则ED 的长为 .
9. 已知锐角ABC ∆的顶点A 到垂心H 的距离等于其外接圆半径，则A ∠的度数是 . 10．已知二次函数2
(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A B 、，与y 轴的交点为C .设ABC ∆的外接圆的圆心为点P ，它与轴的另一个交点为D .如果AB 恰好为P
的直径且2ABC
S
=，则b = ,c = .
二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分） 11. 求证方程 3
3
11x y += 没有正整数解.
12.已知a b c 、、都是正整数，抛物线2
y ax bx c =++与x 轴有两个不同的交点A B 、, 若A B 、到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．
10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案
一．填空题 1.
153
解：
5(151)53-5515
335-33(151)3
-===-
2. 3
解：由于任何凸多边形的外角之和都是0
360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中 锐角最多不超过3个.
3. ≥ 解: 借助下图
知题中2
2
2
2
2
2
2
2
(1)(1)(1)(1)a b a b a b a b +++-+-++-+-
||||||||OD CD AD BD =+++
(||||)(||||)||||22OD BD CD AD OB AC =+++≥+=
4.
b
a c
+ 解：如图，延长CB ，以B 为圆心，以c 为半径作圆交CB 的延长线于D ，如下图
故在Rt DCA ∆中，2B D ∠∠=，tan tan 2B AC b
D CD a c
===+ 5. 1
(1)2010n
--⋅
解： 22
2
1
(201022010)4
n n x -=-+
∴ 2211
2
2111(201022010)(20102010)44
n n n
n x --+=++=+
∴ 1111
2111
(1)[(20102010)(20102010)](1)201022
n
n n n n n n x x ----+=--+=-⋅
6. (3,2)3,2或(-)
解：借助平面直角坐标系我们知道，Q 点有两个：图中12Q Q 与，它们关于y 轴对称
如图，0
1120,||2Q PO PQ ∠==
∴ 0
130Q PN ∠=，11Q N =，3PN =
∴ 1(3,2)Q ，2(3,2)Q -
7. 4
解：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是74,255x N y N =-+=-+，（N 是
整数）,在线段AB 上这样的点应满足7402550N N -+≥-+≤且 ∴
7
54
N ≤≤ 即 2345N =，，，
8.
165
解： 如图连结AC 、CE
由AE ∥BC ，知四边形ABCE 是等腰梯形。
故AC ＝BE ＝5
又因为DC ∥AB ，DC 与圆相切，所以，∠BAC ＝∠ACD ＝∠ABC 则AC ＝BC ＝AD ＝5，DC ＝AB ＝4
因为2
DC AD DE =⋅，故216
5
DC DE AD ==
9. 0
60 解:
锐角ABC ∆的垂心在三角形内部
如图，设ABC ∆的外心为O ，D 为BC 的中点,BO 的延长线交⊙O 于点E
连CE 、AE
则CE //AH ，AE //CH
则OD CE AH OB 2===
∴ 0030,60OBD BOD ∠=∠=
所以0
60A BEC ∠=∠= 10. 23,1±- 解: (1)首先我们证明点D 是定点
由题意：易求得点C 的坐标为(0,)c ，设12(,0),(,0)A x B x 则 12x x b +=-，12x x c = 设
P 与y 轴的另一个交点为D ,
由于AB CD 、是
P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，
所以 O A OB OC OD ⨯=⨯， 则 12||0||
1||||
x x OA B c OD OC c c ⋅=
=== 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，
A
E C
B
D
O
H
从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). （2）再求b c 、的值
因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P 的直径，则C D 、关于点O 对称，
所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.
ABC
S =
二．解答题
11. 证： 由原方程得 2
2
()()11y x y xy x -++=
11是质数
又因为要验证方程是否有正整数解，故只需考察x,y ∈Z +的情况
故应有 22
11
1y x y xy x -=⎧⎨++=⎩
① 或 22
1
11y x y xy x -=⎧⎨++=⎩
② 考察第①式：
,x y Z +∈ ∴11y >
∴2
2
11y xy x ++> 故①式没解 对于第②式：把1y x =+代入 2
2
3
11y xy x ++=
得到2331330x x +=，但3不整除1330 所以也没有正整数解
命题最后得证。
12. 解: 据题意，方程2
0ax bx c ++=有两个相异根，都在(1,0)-中
故 (1)0f a b c -=-+> , 1c
a
< 且 240b ac ∆=-> ① 可见 1a b c -+≥ ②
且 a c > ③
∴ 11a c b +≥+> 即得 21>
由③知
1>
∴ 4a >
又4b >≥>
现分别取a b c 、、的最小整数5、5、1 经检验，符合题意 ∴ 11a b c ++=最小。