高考数学新增分大一轮新高考：第二章 2.5 指数与指数函数
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§2.5 指数与指数函数
最新考纲 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n
a ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m
n
a
－＝
1m n
a
(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正
分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋
s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .
2．指数函数的图象与性质
概念方法微思考
1.如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的
大小关系为 ．
提示 c >d >1>a >b >0
2．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当01的解集为{x |x <0}．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N *)．( × )
(2)分数指数幂m
n
a 可以理解为m
n 个a 相乘．( × )
(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x
＋1
都不是指数函数．( √ )
(4)若a m 0，且a ≠1)，则m x 在R 上为单调减函数．( √ ) 题组二 教材改编 2．[P59A 组T4]化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝ . 答案 －2x 2y 3．[P56例6]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，1 2，则f (－1)＝ . 答案 2 解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝2 2， 所以f (x )＝⎝⎛ ⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭ ⎫22－ 1＝ 2. 4．[P59A 组T7]已知a ＝⎝⎛⎭⎫351 3－，b ＝⎝⎛⎭⎫351 4－，c ＝⎝⎛⎭⎫323 4－，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 答案 c 解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x 是R 上的减函数， ∴⎝⎛⎭⎫351 3－>⎝⎛⎭⎫351 4－>⎝⎛⎭⎫350 ， 即a >b >1， 又c ＝⎝⎛⎭⎫323 4－<⎝⎛⎭⎫320 ＝1， ∴c 题组三 易错自纠 5．计算：⎝⎛⎭⎫3213－×⎝⎛⎭⎫－760 ＋1 48×42－ ⎝⎛⎭ ⎫－232 3＝ . 答案 2 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋3144 22⨯－⎝⎛⎭⎫231 3＝2. 6．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝ . 答案 2 解析 由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪ ⎧ a 2 －3＝1，a >0， a ≠1， 解得a ＝2. 7．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (－2，－1)∪(1，2) 解析 由题意知0 8．若函数f (x )＝a x 在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________. 答案 2或12