利息公式及其计算

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（2）已知 F，n，i，求A，即等额多次支付偿 债基金公式（资金储存公式）
由公式
(1 i)n 1
F A
i

有
A

F

(1

i i)
n
1
i / [（1＋i）n－1] ——等额多次支付偿债基金因子， 用（A/F，i，n，）表示，则有
A＝F （A/F，i，n，）
(1 i ) n i
P＝A （P/A，i，n）
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采用某项专利技术,每年平均可获利200万元, 在年利率为10%的情况下,五年后即可连本带 利全部回收,问期初的一次投入额为多少?
已知 A＝200万元，n＝5年，i＝10％，求P
P＝A（P/A，i，n）＝A（P/A，10％，5）
=200/1.1+ 200/1.1^2+ 200/1.1^3+
9
（2）已知:终值F,利率i，计息期数n，求现值P
根据
F＝P（1＋i）n
P＝F（1＋i）-n＝F（P/F，i，n）
（1＋i）-n——称为一次支付现值因子，用函 数符号（P/F，i，n）表示。
（1＋i）-n＝（P/F，i，n）
P＝F（P/F，i，n）
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已知 F＝10000元，n＝5，i＝5％，求P P＝F（P/F，i，n）
＝ P（1＋n* i） －P ＝P* n *i 其特点:仅以本金为基数,在贷款期末一次计 算利息.
3
例:某企业以8%的年利率向银行贷款500万元, 贷款期限为5年,以单利计算,问5年后企业应该 支付多少钱才能还清这笔贷款,其中利息有多 少? 解: Fn=P(1+ni)=500(1+5*8%)=700(万元) I=Fn-P=700-500=200(万元)
[（1＋i）n i ] / [（1＋i）n－1]＝（A/P，i，n）
A＝P （A/P，i，n）
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预计新建某一工厂的投资额为1000万元,在年利率 为15%的情况下,要求4年内能全部回收期初的投资, 问每年平均应获利多少? 已知 P＝1000万元，n＝4年，i＝15％，求A
A＝P（A/P，i，n）＝P（A/P，15％，4） ＝1000×0.35027=350.27（万元）
4
二、复利法
复利法：在计算利息时，除本金计算利息外，利息 还要计算利息。即将本期的利息转计为下期的本金， 下期将按本利和的总额来计算利息。
n年后的本利和： Fn=P（1＋ i）n n年后的利息 I = Fn－ P＝ P（1＋ i） n －P
＝P [(1+i)n －1]
5
例：某项工程开始投资为1000万元，若贷款利率10％， 以年计息，试分别以单利和复利计算10年后的本利 和。 单利计算：F＝P（1＋n i）＝1000（1＋10×10％）
F＝P（1＋i）n
（1＋i）n——称为一次支付复利因子，用函数符号 （F/P,i,n）表示。
（1＋i）n＝（F/P，i，n）
F＝P（F/P，i，n）
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现金流量图
P＝1000万元 i＝6％
0 1 2345
F＝1338.23万元8
已知某人借出 P＝1000元，n＝5， i＝6％，求F
F＝P（F/P,i,n） ＝P（F/P，6％，5） ＝1000×（1+6%）^5 ＝1000×1.338 ＝1338（元）
200/1.1^4+ 200/1.1^5
＝200×3.791=758.2（万元）
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（4）等额多次支付资金回收公式
已知 P，n，i，求A
由公式
P

A
(1 i)n 1 (1 i)n i
有：
A

P
(1 i)n i (1 i)n 1
[（1＋i）n i ] / [（1＋i）n－1]——等额多次支付资 金回收因子，令
＝F（P/F，5％，5） ＝10000/(1+5%)^5 ＝10000×0.7835 ＝7835（元）
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(B) 等额多次支付公式 等额多次支付即连续在若干期的期末支付等 额的资金，最后累计一次可回收的资金。
（1）已知:年金A,利率i，计息期数n，求终值F 思路：将各年的支出A用一次支付复利公式 F＝P（1＋i）n折算到第n年年末的终值，然 后求其和就得到F。
A/1.15^ 4 A/1.15^ 3 A/1.15^ 2 A/1.15 1000
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公 式 名 称 已知 求
计算公式
一次 终值公式 P
F F＝P（F/P,i,n）
支付 现值公式 F
P P＝F（P/F,i,n）
等 年金终值 A 额 公式 多 偿债基金 F 次 公式 支 现值公式 A
付 资金回收 P 公式
利息公式和等值计算
例: 如下表所示，哪个方案好？
年末 0 1 2 3 4
方案A －12000
8000 6000 4000 2000
方案B －12000
2000 4000 6000 8000
A方案的经济效果比B方案好。 2
一、单利及其计算
单利法：在计算利息时，只计本金的利息， 不计利息的利息。
n年后的本利和： Fn=P（1＋n* i） n年后的利息 I = Fn－ P
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某企业计划自筹资金,在5年后扩建厂房,估计当时 需要资金1000万元,问从现在起平均每年积累资 金多少?年利率为12%. 已知 F＝1000万元，n＝5年，i＝12％，求A
A＝F（A/F，i，n）＝F（A/F，12％，5） ＝1000×0.15741=157.41（万元）
A1.12 ^ 4 A1.12 ^ 3 A1.12 ^ 2 A1.12 A 1000
5/某人现储蓄4000元，三年后再储蓄4500元， 第五年后再存2500元，年复利利率 i＝6％， 在最后一笔储蓄后的第四年，将本利和的一半 存入另一银行，年复利利率 i＝7％。问基金转 移发生后的第六年，两笔基金各是多少？(分 别为:11634和12307)
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3/有两个投资机会，机会甲年复利利率为16％ ，每年计息一次；机会乙年复利利率为15％ ，但每月计息一次，试问应选择哪种投资机Hale Waihona Puke Baidu ？
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4/第一年初付款10万元，第二年初付款20万元 ，第三年初付款50万元，第四年末到第八年 末每年付款40万元，若年复利利率为15％， 计算与其等值的现值、未来值和年值，并画出 现金流量图？
＝2000（万元） 复利计算：F＝P （1＋ i）n=1000（1+10％）10
＝2594（万元）
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普通复利公式：指以规定的时距（月、年等） 复利计息，按规定的时距进行支付的复利计算公式。
（A）一次支付公式
一次性支付是指借款在贷款期终时本利和一起还清。
（1）已知现值P,利率i，计息期数n，求终值F
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计算过程
第一年年末的A折到第n年年末的F为 A（1＋i）n－1
第二年年末的A折到第n年年末的F为 A（1＋i）n－2
第 n-1年年末的A折到第n年年末的F为 A（1＋i）
第 n 年年末的A折到第n年年末的F为 A
把各年的A的终值相加并整理就可得到
F＝A
(1

i)n i
1
[（1＋i）n－1] / i——等额多次支付复利因子 令[（1＋i）n－1] / i＝（F/A，i，n） 则有：F=A（F/A，i，n）
F F=A（F/A，i，n） A A＝F （A/F，i，n，） P P＝A （P/A，i，n） A A＝P （A/P，i，n）
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练习：
1/某企业向银行贷款1000万元，年复利利率为 10％，要求在五年内等额偿还。分析每年偿 还的利息及本金各多少？
2 /某机器第一年的运转成本是8000元，以后每 年增加500元，10年后机器报废，若年复利利 率为12％，每年的等额运转成本为多少？
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某建设项目总投资额为20亿元,计划在每年末 投资5亿元,分4年投资完,借贷年利率为10%,问 4年后偿还的总投资本利和为多少?
已知 A＝5亿元，n＝4年，i＝10％，求F F＝A（F/A，i，n）＝A（F/A，10％，4）
=5×1.1^3+5×1.1^2+5×1.1+5 ＝5×4.641 ＝23.21（亿元）
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（3）等额多次支付现值公式
已知 A，n，i，求P
由公式
F

A
(1
i )n i
1
和F＝P（1＋i）n有：
(1 i)n 1 P A (1 i)n i
(1 i) n 1 ——等额多次支付现值因子，
(1 i) n i
(1 i) n 1 ＝（P/A，i，n）