复化抛物线积分公式
利用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分
1、 利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分2、 比较计算误差与实际误差取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分1 I = x 2dx ，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲线。
利用复化梯形公式的程序代码如下: function f=fx(x) f=x.A 2;R=on es(1,9)*(-(b-a)/12*h.A 2*2); %积分余项(计算误差)true=quad(@fx,0,1); %积分的真实值A=T-true; %计算的值与真实值之差(实际误差)x=li nspace(0,1,9);plot(x,A,'r',x,R,'*')%将计算误差与实际误差用图像画出来 注：由于被积函数是x.A2，它的二阶倒数为 2,所以积分余项为:(-(b-a)/12*h.A 2*2) 实 验 原 理 ( a=0; b=1; T=[]； for n=2:10; %积分下线 %积分上线 %用来装不同n 值所计算出的结果 h=(b-a)/n; %步长 x=zeros(1, n+1); for i=1: n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end y=x.A2; t=0; for i=1: n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); end T=[T,t]; end%给节点定初值 %给节点赋值 %给相应节点处的函数值赋值 %利用复化梯形公式求值 %把不同n 值所计算出的结果装入 T 中 实验目的或 %首先建立被积函数，以便于计算真实值。
2法二：a=0;b=1;T=[]；for n=2:10h=(b-a)/(2* n); x=zeros(1,2* n+1);for i=1:2* n+1x(i)=a+(i-1)*h;endy=x.A4;t=y(1)+y(2* n+1);for i=1: nt=t+4*y(2*i)+2*y(2*i-1);endT=[T,h/3*t];endtrue=quad(@fx1,0,1);A=T-true;x=li nspace(0,1,9);plot(x,A)此法与第一种一样，只是所用的表达式不同。
复变函数积分方法总结()
4.3函数在极点的留数：
准则一：若z0为一级极点，则
Res[f(z),z0]=
准则二：做z0为m级极点，则
Res[f(z),z0]= {(z-z0)mf(z)}
准则三：设f(z)= ,P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0) 0，
（1）f(z)= (2)f(z)=
解：（1）在扩充复平面上有奇点： 1， ，而 1为f(z)的一级极点且Res[f(z),1]= = = e
Res[f(z),-1]= = =-
∵Res[f(z), ] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0得
∴Res[f(z), ]=-{Res[f(z),1]+Res[f(z),-1]}= ( )=-sh1
2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路 =C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：
= + =0
即 =
推论： =
例题： C为包含0和1的正向简单曲线。
解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。
3.3线积分法：
若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv= dx+ dy=- dx+ 故虚部为
v= +C
该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).
例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
= +
=
复积分计算公式
复积分计算公式复积分是指采用被称为“分部和”的计算方法，在一定的范围上将函数的形式表达式的复合式的求解过程，称为复积分。
这一公式经常被应用于物理、数学和工程学等多种领域。
二、复积分的具体形式复积分的具体形式可以表示为：∫∫[f(x,y)dxdy=∫xf(x,y)dy-∫yf(x,y)dx]其中，x为积分的上限，y为积分的下限，f(x,y)为函数形式表达式。
三、复积分的运用复积分在物理学和数学中有广泛的应用，主要用于求解双变量函数的积分，尤其是在解决复杂的物理问题时十分有用。
例如，在电力学中，可以使用复积分来解决求解局部电荷的问题；在热力学中，则可以用复积分来计算局部温度的问题；在量子力学中，可以使用复积分计算某个变量的概率分布；在几何学中，也可以使用复积分计算弯曲曲线的数值分析等。
四、复积分的计算1、把函数f(x,y)先按照一条变量的函数的方式进行积分，即：∫f(x,y)dx=g(x,y)2、然后再把第一步求得的结果g(x,y)坐标轴上另一个变量y 进行积分，即：∫g(x,y)dy=h(x,y)3、最后，将原函数f(x,y)按照另一个变量y先求积分，再求另一个变量x的积分，即：∫∫f(x,y)dxdy=h(x,y)五、复积分的扩展复积分的形式可以扩展到多变量的情况下，即：∫∫∫[f(x1, x2, x3...,xn)dx1 dx2 dx3...dxn]=∫x1f(x1, x2, x3,...,xn)dx2dx3...dxn-∫x2f(x1, x2,x3,...,xn)d x1dx3...dxn+∫x3f(x1, x2,x3,...,xn)dx1dx2...dxn...以上即为复积分计算公式的完整内容，本文介绍了复积分的定义、具体形式、运用及计算以及复积分的扩展，希望以上内容对读者有所帮助。
复化求积公式
h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709
chap4第2节 复化求积公式
Rn [ f ]
h (b a )
2
f ( ), (a , b)
12
如果记 M 2 max f ( x )
a xb
则有 Rn [ f ]
b
a
f ( x )dx Tn
( b a )h 12
2
M2
(b a ) 12n
2
3
M2
上式说明复化梯形公式是收敛的。
这时由
xk x k 1
得到
h h f f ( x )dx f ( xk 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2880 6 2 n
5
(4)
( k )
b
a
f ( x )dx
i 1
xk
f ( x )dx
x k 1
5 n h h (4) f ( k ) f ( x k 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( x k ) 2880 k 1 k k 1 6 2
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11
例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
x
1
2
解：复化梯形公式的误差为
Rn [ f ] f ( x )dx Tn
a b
(b a ) 12n
工程数学2016-CH02-复变函数的积分
f ( z) dz za
C
lim max f ( z ) f (a )
0
0
ei id 0 i e
15
所以
f ( z) dz za
f (a) ei id dz f (a ) f (a )2 i i za e 0
2
解 : 因为 f ( z ) sin z 在复平面内解析, z 0 位于 z 4 内, 由柯西积分公式得 1 sin z 1 dz 2 i sin z z 0 0 2 i z 4 z 2 i
18
2z 1 例3. 计算积分 2 dz, 为包含圆周 z 1 z z 在内的任何正向简单闭曲线. 2z 1 解: 因为函数 2 在复平面 z z 内有两个奇点z 0 和 z 1, 由题意, 包含这两个奇点. 在 内作两个互不相交的正
e
e
2 3
f ( z )dz
1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
2 n
其中 e为外边界, 1 n为n个内边界.
1
D
13
柯西定理的推论
利用二连区域的柯西定理可得
C1
f ( z )dz f ( z )dz
19
0 2 i 2 i 0 4 i
§2.4 柯西型积分
柯西型积分
设 f ( ) 是 l上的连续函数, l为一段有限长的 分段连续曲线,则 1 f ( ) F ( z) d 2πi l ( z ) 称作柯西型积分.如果z不在l上, 则F ( z )为解 析函数.
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
编程实现数值积分的几种--方法 c语言
编程实现数值积分的几种--方法c语言数值计算2010-11-05 09:52:43 阅读385 评论1 字号：大中小订阅复化梯形公式在区间不大时, 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分是简单实用的, 但当区间较大时, 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求 . 为了提高计算的精确度，我们将[a,b] 区间n等分，在每个小区间上应用梯形公式、辛卜生公式计算定积分，然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。
1. 复化梯形公式将积分区间等分, 设, 则节点为对每个小区间上应用梯形公式, 然后将其结果相加，则得(3.14)称(3.14) 式为复化梯形公式 .当在[a,b] 上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式(3.14) 的余项推导如下：因为所以在区间[a,b] 上公式(3.14) 的误差为又因为在区间[a,b] 上连续，由连续函数的性质知，在区间[a,b] 上存在一点，于是（ 3.15 ）复化梯形公式，复化抛物线公式和Romberg求积法的算法程序：以下程序均定义误差限为1*10^-5;1)复化梯形公式：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-5#define a 0 //积分下限a#define b 1 //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x))) //被积函数f(x)int main(){int i,n;double h,t0,t,g;n=1; //赋初值h=(double)(b-a)/2;t=h*(f(a)+f(b));do{t0=t;g=0;for (i=1;i<=n;i++)g+=f((a+(2*i-1)*h));t=(t0/2)+(h*g); //复化梯形公式n*=2;h/=2;}while (fabs(t-t0)>e); //自定义误差限e printf("%.8lf",t); //输出积分的近似值return 0;}2)复化抛物线公式：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-5#define a 0 //积分下限a#define b 1 //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x))) //被积函数f(x)int main(){int i,n;double f1,f2,f3,h,s0,s;f1=f(a)+f(b); //赋初值f2=f(((double)(b+a)/2));f3=0;s=((double)(b-a)/6)*(f1+4*f2);n=2;h=(double)(b-a)/4;do //复化抛物线算法{f2+=f3;s0=s;f3=0;for (i=1;i<=n;i++)f3+=f((a+(2*i-1)*h));s=(h/3)*(f1+2*f2+4*f3);n*=2;h/=2;}while (fabs(s-s0)>e); //自定义误差限printf("%.8lf",s);return 0;}3)Romberg求积法：#include <stdio.h>#include <math.h>#define e 1e-5#define a 0 //积分下限a#define b 1 //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x))) //被积函数f(x)double t[100][100];int main(){int n,k,i,m;double h,g,p;h=(double)(b-a)/2;t[0][0]=h*(f(a)+f(b));k=1;n=1;do //Romberg算法{g=0;for (i=1;i<=n;i++)g+=f((a+((2*i-1)*h)));t[k][0]=(t[k-1][0]/2)+(h*g);for (m=1;m<=k;m++){p=pow(4,(double)(m));t[k-m][m]=(p*t[k-m+1][m-1]-t[k-m][m-1])/(p-1);}m-=1;h/=2;n*=2;k+=1;}while (fabs(t[0][m]-t[0][m-1])>e); //自定义误差限eprintf("%.8lf",t[0][m]);return 0;}给定精度，定义误差限为1*10^-5，分别求出步长的先验估计值：用复化梯形公式计算，要求h<0. 007746。
复化梯形公式和复化抛物线公式 -回复
复化梯形公式和复化抛物线公式是数值积分中常用的近似计算方法，用于估计函数在给定区间上的定积分值。
1. 复化梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）：复化梯形公式通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用梯形公式进行计算。
具体步骤如下：- 将积分区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
- 对于每个小区间，计算函数在两个端点的值，然后将这两个值与小区间宽度相乘并除以2，得到该小区间的梯形面积。
- 将所有小区间的梯形面积相加，即可得到近似的定积分值。
复化梯形公式的公式表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * [f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b)]2. 复化抛物线公式（Composite Simpson's Rule）：复化抛物线公式通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用抛物线公式进行计算。
具体步骤如下：- 将积分区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
- 对于每个小区间，计算函数在三个节点（起点、终点和中点）处的值，然后将这三个值与小区间宽度相乘并按照一定的权重进行组合，得到该小区间的抛物线面积。
- 将所有小区间的抛物线面积相加，即可得到近似的定积分值。
复化抛物线公式的公式表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b)]需要注意的是，选择合适的n值对于准确估计积分值非常重要。
一般情况下，增加n的值可以提高计算精度，但也会增加计算的复杂性和时间成本。
因此，在实际应用中需要根据需求进行权衡和选择合适的n值。
复变函数与积分变换概念公式
复变函数与积分变换概念公式一、复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，即函数的自变量和因变量均为复数。
复数可用标准形式表示为 z = x + yi，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部。
复变函数可以将一个复数映射到另一个复数，即 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u 和 v 分别表示实部和虚部。
复变函数通常具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，即：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x复变函数的求导规则也与实变函数类似，可以通过对u和v分别对x和y求偏导得到。
复变函数的积分也可类似地进行，即将曲线积分转换为线积分，并利用格林公式等方法进行计算。
积分变换是指将一个函数通过积分的方式转换为另一个函数，常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和z变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将实函数转换为复函数的积分变换方法，可以用于求解微分方程和信号处理等问题。
拉普拉斯变换的定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中 f(t) 为已知的函数，s 为复变量。
拉普拉斯变换具有线性性质，即 L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和g(t) 分别为待变换的函数。
2.傅里叶变换傅里叶变换是一种将复函数表示为基本正弦和余弦函数的线性组合的积分变换方法，主要用于信号处理和频谱分析等领域。
傅里叶变换的定义为：F(ω) = F{f(t)} = ∫[-∞,+∞] f(t)e^(-jωt)dt其中 f(t) 为已知的函数，ω 为角频率。
傅里叶变换也具有线性性质，即 F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和 g(t) 分别为待变换的函数。
3.z变换z变换是一种将离散信号表示为z的幂次的线性组合的积分变换方法，主要用于差分方程的求解和数字信号处理等领域。
1111分别用梯形公式和抛物线公式计算下列积分(1)(1)(1...
要使得误差小于 10 ,则 h ≤
−4
6 ⋅10 −4 , n =
6 ⋅ 10−4
≈ 40.8 ,取 n = 41 即可.
由复化抛物线公式的误差估计公式 :
R ( f , Sn ) = −
( b − a ) h4 f ( 4)
2880
1
(η ) , a ≤ η ≤ b, h1 = 2h, h =
24
= 1.0375562422095
2.用
1 dx π =∫ 计算 π . 0 1 + x2 4
(1)把 [ 0,1] 区间 10 等分 ,用梯形法和抛物线法计算,并与精确值比较 . (2)若要求计算的精确度是 0.001 和 0.0001,估计梯形法和抛物线法的 n 应该取多少? 解:(1) 梯形公式: 将积分区间等分 10 份,得 h =
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
抛物线公式 :令 10 = n = 2 m = 2 ⋅ 5
S10 =
m m −1 h⎛ ⎞ f a + f b + 4 f x + 2 f ( x2 k ) ⎟ ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ 2 k −1 ⎜ 3⎝ k =1 k =1 ⎠
5 4 1 1⎛ 1 1 1 ⎜ = 1+ + 4∑ + 2∑ 2 2 10 3 ⎜ 1 + 1 k =1 1 + ( ( 2 k − 1) /10 ) k =1 1 + ( ( 2 k ) /10 ) ⎝ = 0.78539815348480
2 1⎛ ⎞ = 2 ⋅ ⎜ 1 + 9 + 4∑ 4k − 1 + 2 5 ⎟ 3⎝ k =1 ⎠ = 17.322229619689
(3)
4.3 复化求积公式
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1
T2n
4n
f
(a)
2
k 1
f
(xk )
2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)
1 2
h 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
h 2
n k 0
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表应用复化梯形法计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
2/4
x 0 1/8
解 将区间[0,1]划分为n=8等分,h=1/8, 应 2/8
用复化梯形法求得
3/8
T8
h 2
f
7
(a) 2
k 1
f
(xk )
x
k
1
)
2
f
( xk 1)]
xk
x k1
x k 1
2
b
n1
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
4 4
xk 1 xk 6
m1 f
k0
xk
4f
(
x
k
1
)
2
f
( xk 1 )
4
4
4
称Sn为复化 Simpson公式
定积分近似计算方法
定积分的近似计算方法摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算1引言在计算定积分的值()b aI f x dx =⎰时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baI f x dx F b F a ==-⎰.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ⎰,2sin ba x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替()f x ,且()bax dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()baf x dx ⎰转化为求简单的积分值()bax dx ϕ⎰.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式()()()nn i i i x f x l x ϕ==∑,其中 011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=----,将插值公式(1)1()()()()(1)!n n n f f x x x n ξϕω++=++. 其中 1012()()()()()n n x xx x xx x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得(1)1()()()()(1)!n bb bn n aa af f x dx x dx x dx n ξϕω++=++⎰⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nb biiin aai f f x l x dx x dx n ξω++==++∑⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nb bi i n aai f f x b l x dx x dxn ξω++==++∑⎰⎰若记 (),(0,1,2,bi ia A l x dx i ==⎰….. )n (1)(1)1()[]()(1)!n bn af R f x dxn ξω++=+⎰, (2)则有()()[]nbi i ai f x dx A f x R f ==+∑⎰(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数10012bb aa x x xb b aA dx dx x x a b ---===--⎰⎰,01102bb aa x x x ab a A dx dx x x b a ---===--⎰⎰.从而的求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差: 3*()[](),12b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2bab adx b a x b a -=-=+=-⎰. 精确成立.2.1.2 辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2a bx a x x b +===时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===+----⎰⎰,0211002()()()()2()()()3()()22bb aa x x x x x a xb b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===++----⎰⎰.0122021()()()()2()()6()()22b b a a a bx a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +-----===++----⎰⎰ .从而求积公式()[()4()()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++⎰. （6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880b a R f f a b ξξ--=∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4()f x x =时,式(6)不能精确成立.2.1.3 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b ah i n-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!ni n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==--⎰10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n nb a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-⎰ (8)则 ()()n i iA b a C =- (9)于是差值求积公式为:()0()()()[]nbn i i ai f x dx b a C f x R f ==-+∑⎰(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()n iC 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!n b b bn aaaf R f f x dx x dx x dxn ξϕω+=-=+⎰⎰⎰牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!n bn a f R f x dx n n ξω++=+⎰为偶数）(1)*1()[]()(1)!n bn af R f x dx n ξω++=+⎰ (n 为奇数） (11) 其中*[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)()0n fx +≡,因而[]0R f ≡,即0()()nbi i ai f x dx A f x ==∑⎰精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b ah n-=),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2ii nnbx i i i i ax i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑⎰⎰11[()()]2ni i i hf x f x +=+=∑11[()2()()]2n i n i hf a f x f b T -=++=∑ (12)称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()2()()()12i n b a R f h f η-''=-(13) 2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6n bi i ai i hf x dx f x f x f x -++==++∑⎰（14）111012[()4()2((6)]6n n i i i i hf a f x f x f --+===+++∑∑记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)式中,21+i x为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2121+=+.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为∑-=-=-=10)4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈ 故 ),(),()2(180)(R )4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k k x x -上用科茨求积公式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbk ak hf x dx f a f b f x -≈++∑⎰14241411112()32()14()mmm k k k N k k k f xf x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)其中 4b a b ah n m--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)2()[,](),()945n b a R f C h f a b ηη-=-<. 2.1.7 变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:2"11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-<<再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则2222()()()122k b a b a I T f a b nηη--''=-<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .24kkI T I T -≈-于是 222211()()341n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为2()3n n T T - (19)2.2 龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为23n nT T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~T .222141()333n n n n nT T T T T T =+-=-2221(2)21n n T T =-- (20)式(20)左端1n =时 记122121141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()]62b a a b f a f f b -+=++恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑121()112[()2()()2()]4n n n k k k k hT f a f x f b f x --===+++∑∑代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32n nk k k k h f a f x f b f x -==+++--∑∑ 11[()2()()]2n k k h f a f x f b -++∑11111[()4()2()()]62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑nS =从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441n nn T T S -=- (21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541n n n n n S S C S S -=-=- (22)可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431n nn C C R -=- (23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()baf x F b F a =-⎰知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式11()()ni i i f x A f x -==∑⎰(24)对任意积分区间[,]a b ,通过变 22ba t ab x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时11()()222bab a b a a bf x dx f t dt ---+=+⎰⎰ 此时,求积公式写为0()()222n bii ai b a a b b af x dx A f t =-+-=+∑⎰若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.2.3.1 高斯求积公式的余项(2)2()[]()()()(22)!n nbb k k aa k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑⎰⎰ 其中 01()()()...(),[,]n x x x x x x x ab ωη=---∈,且不依赖于x .2.3.2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n个等长小区间1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分()baf t dt ⎰的近似值m G ,即11111111()()[]222ii mmbt i i i i i i at i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑⎰⎰⎰1111[()]222m i h ha i h x dx-==+-+∑⎰101[()]222m n j j mi j h hA f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)其中mab h -=,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用3.1插值型积分的应用例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分12211I x =+⎰. 解 1n =时2210112[]0.4512101()2I -≈+=++2n =时22211112[4]0.463725116101()1()42I -≈++=+++4n =时2222111112[7321232]0.46363311390101()1()1()848I =++++≈++++例2 利用复化梯形求积公式计算积分 12211I dx x =+⎰解 设211)(xx f +=,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 111[(()())],21,2(),.n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=⎧=++⎪⎪-⎪==⎨⎪=⎪⎪=+=⎩∑列表如下:n =1的计算结果见表1-1所列 n h0x 1x 0f1f1T10.50.00.51.0 0.8 0.45n =2的表格如下 n hx1x2xf1f2f2T20.250.00 0.25 0.50 1.00 0.941765 0.80 0.460294n =4时计算结果如下表 n h 0x1x2x3x4x40.1250.00 0.125 0.25 0.375 0.50f1f2f3f4f4T1.00 0.9846154 0.9411765 0.876712 0.80 0.462813n = 5时计算结果如下 n hx1x2x3x4x5x50.10.0 0.1 0.2 0.3 0.40.5f1f2f3f4f5f5T1.0 0.990099 0.9615385 0.91743 0.862069 0.80.463114例3 利用复化求积公式120x e dx ⎰,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？解 由式（14）知322()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n--''''=-=- 有1(),(),2x x f x e f x e b a ''==-=,当]21,0[∈x 时,在12|()|f x e ''≤,所以122|[]|96n eR f n≤ 由于120x e dx ⎰的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足4242211048,102196⨯≥⨯≤-e n n e 或 取对数有 19=n .即将区间]21,0[19等分可满足给定的精度要求.例4 利用复化抛物线求积公式计算 120211I dx x =+⎰. 解 设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.)12(,2),(),(),(,,242[31221212221111,1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m当m =1,2,3时结果如下表所示 当m =1时m h(0.0)f )25.0(f )5.0(f2S1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725当m =2时mh(0.0)f(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f4S20.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653当m =3时mh(0.0)f(0.08333)f (0.16667)f (0.35)f(0.33333)f (0.14166667)f )5.0(f4S30.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分10sin xdx x ⎰的近似值.解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使6441021)1(28801|],[|-⨯≤≤M m S f R n ,只需.4642880102M m ⨯≥令10sin ()cos xf x txdt x==⎰,则1()0sin ()()(cos )k kk k k d xd fx tx dt dx x dx==⎰ 1cos().2k t tx kdt π=+⎰dt ktx t x f k k |)2cos(|max )(|max 10)(π+≤⎰11.1k t d t t≤=+⎰)10(≤≤x (4)1max |()| 5.f x ≤所以只要,9.13831288010264=⨯⨯≥-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T3.2 龙贝格积分公式应用例6 用龙贝格算法计算积分1241I dx x=+⎰的近似值,要求误差小于510-. 解 .3,0,14)(2==+=b a x x f 步骤如下:2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([211=+=f f T )2(计算,1.3)]21([21,516)21(12=+==f T T f 由此得301333334121=-=T T S . (3)算出），（43),41(f f 从而,3013118)]43()41([412124=++=f f T T,14157.334242=-=T T S .30142121516121=-=S S C(4)计算),87(),85(),83(),81(f f f f 从而得到:13899.3)]87()85()83()81([812148=++++=f f f f T T ,,14159.334482=-=T T S ,14059.31516242=-=S S C.1458.36364121=-=C C R (5)再计算),1615(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161(f f f f f f f f 从而得到: 14094.316=T30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 51210||-≤-R R , 所以12043.14159.1dx x ≈+⎰3.3高斯求积公式的应用例7 用两点复化高斯求积公式计算10,x I e dx =⎰要求允许误差.106-=ε解 在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(mab h e x f x-== =++--=∑=)22(2201j jj b a x a b f A a b G.87189637800.1][21)32121()32121(=++-eem =2时, h =21, ]4121)21([4120202j i j j x i f A G +⨯-=∑∑==.57182571650.1)(41341333413341333413=+++=++--eeee m =3时, h =31. .37182769352.1]631)21([6130203=+⨯-=∑∑==j i j j x i f A G.101027.71||||56323--<⨯≈+-G G G3.4 几种方法的比较分析例8 计算积分211ln 2dx x =⎰，精确到0.001.(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<x <2),所以按照公式0)2(S =+-dx ba xb a . 0<n R <2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<<⨯,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16⨯310-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有1232527292132152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321=========y y y y y y y y y和6.928469284.0109284.6= (2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n<<在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.16001||-⨯<<n R ,纵坐标是9.18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263.05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y和1877.669377.01877.621500101=+）（ (3) 用辛普森公式做同样的计算作公式 .0))(()2(180)()4(45<≤≤⨯--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有55104.1||-⨯<R .实行计算到五位数字,精确到0.0000058.16.14.12.14321====x x x x 45636.555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9.17.15.13.11.12927252321=====x x x x x83820.1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y.20.150==x x 50000.150000.060000.150和==y y6931525.083820.345636.550000.1301=++）（. 由此可见，用辛普森公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择辛普森或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.结 束 语本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、龙贝格积分方法和高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.参考文献[1] 华东师范大学数学系，数学分析（第一版）[M]，北京:高等教育出版社,2001. [2] 李庆阳,关治,白峰杉，数值计算原理（第二版）[M]，北京: 清华大学出版社, 2008. [3] 肖筱南，现代数值计算方法（第一版）[M]，北京: 北京大学出版社, 1999.[4] 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社, 2005. [5] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）[M] ，北京: 北京大学出版社,2004. [6] 李桂成，计算方法（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社,2010.[7] Yin Y uezhu ,Yang Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 bySymmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30)The Approximate Numerical Method of the Definite IntegralAbstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation.Keywords interpolation integral Lebesgue integral Gauss integral error analysis approximate computation。
复变函数的积分
Re(z)dz C
1
t(1 2it)dt
0
t2 2
2i 3
t3
1
0
1 2
2 i; 3
15
(3) 积分路径由两段直线段构成
y
i
1 i
x轴上直线段的参数方程为
z(t) t (0 t 1),
于是 Re(z) t, dz dt,
y x2
o
x
1
1到1+i直线段的参数方程为
z(t) 1 it (0 t 1),
则以下三个条件等价:
(i) 在 D 内 P 处Q处成立 y x
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.
L Pdx Qdy
(iii) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L , 有
L Pd x Qd y 0.
26
设f (z) u iv在单连通域B内处处解析 且f (z)在B内连续
k 1
记 sk zk1zk的长度, m1kaxn{sk }.
当 n 无限增加且 0 时:
如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何,
Sn 有唯一极限, 那么称这极限值为函数
y
B
D
1
A
2
z1
z2
C zn1
k zk zk 1
f (z) 沿曲线 C 的积分, 记为
o
x
n
f (z)dz lim
计算方法2的推导：
z z(t) x(t) i y(t),
C f (z)dz f [z(t)]d[z(t)]
f [z(t)]z(t)dt.
6
连续曲线
如果 x(t) 和 y(t) 是两个连续的实函数，则方程组
复变积分的计算方法
复变积分是对复变函数沿着曲线或曲面进行积分的过程。
常见的复变积分包括复数路径积分（线积分）和复数面积积分（面积积分）。
下面将简要介绍一些常用的复变积分计算方法：
1. 复数路径积分（线积分）：
-定义路径：首先需要定义积分路径，即曲线C。
可以使用参数方程、分段线段或复平面上的点集来表示路径。
-参数化路径：将路径C 参数化为z(t) = x(t) + iy(t)，其中x(t) 和y(t) 分别表示实部和虚部关于参数t 的函数。
-积分公式：根据路径C 和被积函数的不同，可以使用不同的积分公式，如柯西—格林定理、柯西积分定理、柯西积分公式等。
选择适当的公式进行计算。
2. 复数面积积分（面积积分）：
-定义积分区域：首先需要定义要积分的区域D，即一个闭合的复平面上的区域。
-参数化区域：将区域D 参数化为z(u, v) = x(u, v) + iy(u, v)，其中x(u, v) 和y(u, v) 分别表示实部和虚部关于参数u 和v 的函数。
-积分公式：根据积分区域D 和被积函数的不同，可以使用不同的积分公式，如格林定理、高斯定理等。
选择适当的公式进行计算。
在实际计算过程中，可以结合使用复数的性质和技巧，如留数定理、变量替换、分部积分等来简化计算。
此外，需要注意路径或区域的光滑性、奇点的情况以及积分路径或区域的方向等因素，以确保正确计
算复变积分。
复变积分的具体计算方法和技巧是复杂的，并且超出了这个简要介绍的范围。
深入学习复变函数论和复变积分的理论和方法，以及进行大量的练习和实际问题的求解，将有助于更好地理解和应用复变积分。
复化抛物线公式
数值逼近实习报告实习题目复化抛物线积分公式班级计算111学号 3110811032姓名霍卿雯指导教师秦新强复化抛物线积分公式一、 目的与意义考虑到数值计算的稳定性，用增大n 的方法来提高数值积分的代数精度的方法是不，可取的。
类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分 二、 实验问题在区间[a,b]上，取等距节点na b h n i ih a x i -==+=,,2,1,0,由积分区间的可加性，有dxx f dx x f ni x baii x ∑⎰⎰=-=11)()(由此，可以推出相应的复化抛物线积分公式。
三、 实验算法 复化抛物线积分公式])()(2)(4)([6)(1112/1∑∑⎰=-=-+++≈n k n k k k ba b f x f x f a f hdx x f四、程序代码#include<stdio.h>#define Len 100void main(){int i;double n,a,b;double y[Len];double y1=0;double y2=0;double h,S,fa,fb;printf("请输入端点a,b的值和n:\n");scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&n);h=(b-a)/(2*n);printf("%lf\n",h);printf("请输入端点的函数值fa,fb:\n");scanf("%lf %lf",&fa,&fb)for(i=1;i<2*n;i++){printf("请输入函数值y[%d]:\n",i);scanf("%lf",&y[i]);}for(i=1;i<=n-1;i++) {y1=y1+y[2*i]; }for(i=1;i<=n;i++) {y2=y2+y[2*i-1]; }S=h/3*(fa+4*y2+2*y1+fb); printf("S=%lf\n",S); }五、 计算实例试利用函数xx x f sin )(=的数据表用复化抛物线积分公式计算下列积分的近似值。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换重点公式归纳复变函数是指变量为复数的函数，可以表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy，u(x, y)和v(x, y)为实数函数。
复变函数与实变函数（实数域上的函数）相比较，具有一些独特的性质和变换。
复变函数的基本性质有：1. 复变函数的可导性：复变函数的可导性与实变函数的可导性略有不同。
如果f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在域D上的偏导数u_x、u_y、v_x、v_y都存在，并且满足柯西-黎曼方程（u_x=v_y，u_y=-v_x），则f(z)在D上可导。
2. 柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，满足柯西-黎曼方程的函数可以表示为全纯函数，也即f'(z)=u_x+iv_x存在。
复变函数的积分变换（Integral Transform）是通过对函数进行积分变换，得到新的函数表示形式。
常见的复变函数积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换、反傅里叶变换、正变换等。
以下是复变函数积分变换中的一些重点公式：1. 拉普拉斯变换（Laplace Transform）拉普拉斯变换将函数f(t)变换为F(s)（s为复数变量）的形式，公式表示为：F(s) = ∫[0,∞] e^(-st)f(t) dt2. 逆拉普拉斯变换（Inverse Laplace Transform）逆拉普拉斯变换将函数F(s)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t) = 1/2πi ∫[-i∞, i∞] e^(st)F(s) ds3. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换将函数f(t)变换为F(ω)（ω为频率）的形式，公式表示为：F(ω) = ∫[-∞,∞] e^(-iωt)f(t) dt4. 反傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）反傅里叶变换将函数F(ω)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t)=1/2π∫[-∞,∞]e^(iωt)F(ω)dω5. 正变换（Forward Transform）正变换是指从时域到频域的变换，例如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
复化求积分
)
实际计算中的递推公式为 b−a T1 = [ f (a ) + f (b )] 2 1 b − a n −1 b−a T2 n = Tn + ∑ f (a + (2 j + 1) 2n ), 2 2n j = 0
n = 1, 2, ⋯
直到 | T2n − Tn |≤ ε 为止，T2n作为积分的近似值。
假定f ''( x )在[a , b]上变化不大, 即有f ''(η1 ) ≈ f ''(η 2 )， 于是得
I − Tn ≈4 I − T2 n
1 1 ∴ I ≈ T2 n + (T2 n − Tn ) 或 I − T2 n ≈ (T2 n − Tn ) 3 3 1 I 当 T2 n − Tn ≤ ε 时 ， − T2 n ≤ ε ≤ ε 。 3 数值分析
数值分析
数值分析
同理可得变步长复化柯特斯公式
实际计算过程如下： 实际计算过程如下： T1 → T2 ↓ S1 → T4 ↓ S2 ↓
C1 →
→ →
T8 ↓ S4 ↓
C2 ↓ R1
→ →
T2 n =
1 1 Tn + H n 2 2
h2 h4
1 S n = ( 4T2 n − Tn ) 3
42 S 2n − S n Cn = 42 − 1 43 C 2n − C n Rn = 43 − 1
1 2 已 知 S n = Tn + H n 3 3 1 1 又 有 T2 n = Tn + H n 2 2 两式联立解得： 1 2 1 S n = Tn + （2T2 n − Tn） （4T2 n − Tn） = 3 3 3
复化求积公式
复化求积公式复化求积复化求积是数值计算中一种常用的数值积分方法，用于近似计算函数的定积分。
1. 方法介绍复化求积的基本思想是将要求解的定积分区间划分为若干个小区间，并对每个小区间采用数值积分方法进行近似计算，最后将各小区间的积分结果相加得到整个定积分的近似值。
2. 公式列表以下是复化求积的常用公式：矩形公式矩形公式是最简单的复化求积公式，将每个小区间近似为一个矩形，并取矩形的高度为该小区间上函数值的平均值。
矩形公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2其中，a和b为积分区间的上下限。
梯形公式梯形公式是复化求积中常用的公式，将每个小区间近似为一个梯形，并取梯形的高度为该小区间上函数值的平均值。
梯形公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2其中，a和b为积分区间的上下限。
辛普森公式辛普森公式是复化求积中精度更高的公式，将每个小区间近似为一个二次曲线，并取二次曲线的高度为该小区间上函数值的平均值。
辛普森公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) / 6其中，a和b为积分区间的上下限。
3. 示例说明以求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为例，通过复化求积方法进行近似计算。
矩形公式计算将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h = (1 - 0) / n。
利用矩形公式计算每个小区间的积分值，然后将所得结果相加。
∫[0, 1] x^2 dx ≈ (1 - 0) * (f(0) + f(1)) / 2= (1 - 0) * (0^2 + 1^2) / 2= 1/2梯形公式计算同样将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h = (1 - 0) / n。
复变函数积分计算公式
柯西积分公式的应用非常广泛，它可以用于求解某些复杂 的积分问题，也可以用于研究复函数的性质和行为。
留数定理
留数定理是复变函数中另一个重要的定理，它给出了计算复函数在奇点附近的行为对积分的影响的方 法。
对后续学习的启示
数学分析基础
复变函数积分计算公式的学习可以为后续的数学分析、实变函数等 课程打下基础，提供必要的理论支撑。
物理与工程应用
在物理和工程领域，复变函数积分计算公式的应用可以帮助学生更 好地理解和解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
数学建模能力
通过复变函数积分计算公式的应用，可以培养学生的数学建模能力， 提高数学应用能力。
留数定理可以表示为：∫f(z)dz = 2πiRes(f,a)，其中Res(f,a)表示f(z)在点a处的留数，i是虚数单位。
留数定理的应用也非常广泛，它可以用于求解某些复杂的积分问题，也可以用于研究复函数的性质和行 为。
解析函数的积分表示
解析函数的积分表示是复变函数中一个 重要的概念，它给出了一个解析函数可 以通过对其内部进行积分来定义的方式。
解决微分方程中的初值问题
通过复变函数积分计算公式，可以解决微分方程中的初值问题，将初值条件转化为复数积分形式，再通过求解微 分方程得到初值问题的解。
04
复变函数积分计算公式的证明
柯西积分公式的证明
柯西积分公式
对于复平面上的任意点z，函数f(z)的积分形式为∫(c)f(z)dz，其中c是连接原点O和点z 的任意路径。
05
结论
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摘要
求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。
当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。
因此，提出类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似值，这个就是复化数值积分的思想。
本实验针对在每个小区间上利用抛物线积分公式，即阶数为2，进行实验。
关键词：龙格现象复化数值积分代数精度复化抛物线积分公式
1、实验目的
1)通过本次实验体会并学习复化抛物线积分公式的优点。
2)通过对复化抛物线积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程
已知定积分的抛物线积分公式及其误差为
根据数学知识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，即如下所示：针对上式，在每一个小区间上利用抛物线积分公式有
得到
其中,令
当作为积分的近似值时，其误差为
若,则由介值定理推得
设,得到误差限
由上式可以进行计算精度控制。
这样就给出了n+1点复化抛物线积分公式及其误差
3、算法实例
用复化抛物线积分公式计算积分
解：具体程序如下：
#include "stdafx.h"
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;
const int num(1000);
void main()
{
double a=0;
double b=0;
double h=0;
int n=0;
int i=0;
double Sn=0;
double F1=0;
double F2=0;
double x[num]={0};
double y[num]={0};
cout<<"请输入积分上下限和等分数的一半"<<endl;
cout<<"请输入积分下限a=";
cin>>a;
cout<<"请输入积分上限b=";
cin>>b;
cout<<"请输入等分数的一半n=";
cin>>n;
h=(b-a)/(2*n);
for(i=0;i<2*n+1;i++)
{
x[i]=a+h*i;
y[i]=4/(1+x[i]*x[i]);
}
for(i=1;i<2*n;i+=2)
{
F1=F1+4*y[i];
}
for(i=2;i<2*n;i+=2)
{
F2=F2+2*y[i];
}
Sn=h/3*(y[0]+y[2*n]+F1+F2);
cout<<"积分结果为：Sn="<<Sn<<endl;
}
运行结果：
4、对结果进行分析
通过用编程实现对上例的求解，可以看出结果较为准确，而且逼近效果较好，但是由于复化抛物线积分公式的原理问题，所以本身存在误差，而且由于在计算机上计算，会存在计算误差。
5、参考文献
[1] 秦新强.数值逼近.西安：西安理工大学出版社，2010。