高三高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

高考文科数学题型分类汇总
《不等式》篇
经
典
试
题
大
汇
总
目录
【题型归纳】
题型一一元二次不等式解法及其应用 (3)
题型二应用基本不等式求函数最值 (4)
题型三线性规划 (5)
题型四基本不等式的应用 (7)
【巩固训练】
题型一一元二次不等式解法及其应用 (7)
题型二应用基本不等式求函数最值 (8)
题型三线性规划 (9)
题型四基本不等式的应用 (11)
高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 一元二次不等式解法及其应用
例1 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）
A ．a b c d >
B ．a b c d <
C ．a b d c >
D ．a b d c
< 【答案】D
【解析】由1100c d d c
<<⇒->->，又 0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c
< 例2 关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ）
A ．52
B ．72
C ．154
D ．152
【答案】A
【解析】∵由22280x ax a --< (0a >)，得(4)(2)0x a x a -+<，
即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=.
∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a =
=．故选A ．
例3 不等式2902
x x ->-的解集是___________． 【答案】(3,2)(3,)-⋃+∞
【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不等式即可．
例4 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】( 【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，
即22()210(1)230
f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得202m -<<． 题型二 应用基本不等式求函数最值 例1 已知54x <，则函数14245
y x x =-+-的最大值 . 【答案】1
【解析】因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)
45
x x --不是常数， 所以对42x -要进行拆、凑项. 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+= 当且仅当15454x x -=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 【易错点】注意54
x <,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”. 【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.
例 2 当40<<x 时，则(82)y x x =-的最大值是 .
【答案】8.
【解析】因为8)2
282(21)]28(2[21)28(y 2=-+≤-=-=x x x x x x 当且仅当x x 282-=，即2=x 时取等号，所以当2=x 时，(82)y x x =-的最大值为8.
【思维点拨】由40<<x 知，028>-x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.
例3 函数2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域为 。

【答案】[)+∞,9
【解析】
当1->x ,即01>+x 时,41)591
y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）. 【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离.
例4 已知0,0x y >>，且
191x y +=，则x y +的最小值为 . 【答案】16 【解析】190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y
+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y +=. 【易错点】错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴(
)1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭ 故 ()min 12x y +=
错因：解法中两次连用均值不等式，
在x y +≥x y =，
在19x y +≥19x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.
例5 已知a ，b 为正实数，302=++b ab b ，则函数ab y 1=
的最小值是 . 【答案】 18
1 【易错点】①本题考查不等式
ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）
（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b a ≥+2
）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

题型三 线性规划
例1 已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则：
(1)42-+=y x z 的最大值 ； (2)25102
2+-+=y y x z 的最小值 ；
(3)1
12++=x y z 的取值范围是 . 【答案】（1）21； （2）
29 ； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,43. 【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9).
(1)易知直线z y x =-+42过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.
(2)()2
25-+=y x z 表示可行域内任一点()y x ,到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，
故z 的最小值是
29. (3)()1212--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=x y z 表示可行域内任一点()y x ,与定点⎪⎭⎫ ⎝
⎛--21,1Q 连线斜率的2倍.因为47=QA k ，83=QB k ，所以z 的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡27,43. 【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域.
【思维点拨】(1)把直线直线z y x =-+42变形为421++-
=z x y 可知在y 轴上你的截距越大z 就越大; （2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--21,1Q 再利用斜率求. 例2 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
【答案】5
【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，
而22
x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方，
由图易知()2,1A 是满足条件的最优解， 22x y +的最小值是为5.
【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最
优解。

题型四 基本不等式的应用
例1 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
【答案】a 、b 、c R +∈，1a b c ++=∴111a b c a a a -+-==≥
同理11b -≥11c -≥:
111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当13a b c ===时取等号. 【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又
111a b c a a a -+-==≥，可由此变形入手. 例2 若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=
>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 【答案】P Q R >> 【解析】∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a ，则2
1=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴P Q R >>. 【思维点拨】因为0lg ,0lg >>b a 所以可以利用均值不等式进行判断大小.
【巩固训练】
题型一 一元二次不等式解法及其应用
1.不等式220x x +-<的解集为___________．
【答案】()1,2-
【解析】易得不等式220x x +-<的解集为()1,2-.
2.已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
【答案】()8,0
【解析】因为不等式220x ax a -+>在R 上恒成立．∴△=2()80a a --<，解得80<<a ．
3.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数
c 的值为 ．
【答案】9=c
【解析】因为()f x 的值域为[0,+∞），所以,0=∆即24a b =, 所以22
04a x ax c ++-=的两根，由韦达定理得,4)6(,622
c a m m a m -=+-=+解得9=c . 4.已知函数21,0()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____．
【答案】(1)-
【解析】2212(1)10
x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩． 5.已知)(x f 的定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，那么，不等式5)2(<+x f 的解集_____．
【答案】(－7,3)
【解析】当x ≥0时，令245x x -<，解得，05x <≤．又因为)(x f 为定义域为R 的偶函数，则不等式(2)5f x +<等价于525x -<+<，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)．
题型二 应用基本不等式求函数最值
1.已知28,,0,
1x y x y >+=，则xy 的最小值是 。

【答案】64 【解析】2
22846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当2812
x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =. 2.已知01x <<，则函数411y x x =
+-的最小值是 . 【答案】9
【解析】因为01x <<，所以10x ->。

所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭.
当且仅当()411x x x x -=-时，即23
x =，上式取“=”，故min 9y =. 3. 若()ab b a 24log 43log =+,则b a +的最小值是（ ）
A ．326+
B ．327+
C ．346+
D ．347+
【答案】D
【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>， 所以
431a b +=(0,0a b >>)
，4343()()77b a a b a b a b a b
+=++=+++≥ 当且仅当43b a a b =时取等号． 4.若122=+y x ，则y x +的取值范围是（ ）
A ．]2,0[
B ．]0,2[-
C ．),2[+∞-
D ．]2,(--∞
【答案】D
【解析】因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤y x ， 所以2-≤+y x ，当且仅当y
x 22=，即y x =时取等号．
5.若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 .
【答案】18
【解析】因为0>x ，0>y
，所以266xy x y =++≥，
60xy -≥
≥
≤
等号当且仅当62==y x 时成立，故xy 的最小值为18.
题型三 线性规划
1.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

【答案】18
【解析】如图，画出可行域，得在直线22=-y x 与直线1-=-y x 的交点()4,3A 处，目标函数z 最大值为18
2.在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200x y s
x y y x 下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（ ）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
【答案】D
【解析】画出可行域如图所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D.
3.在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积是( ) A.42 B.4 C. 22 D.2
【答案】B
【解析】如图，作出可行域，易知不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的三个顶点
坐标为()2,0A ，()0,2B ，()0,2-C .于是三角形的面积为：11||||42 4.22S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选B .
题型四 基本不等式的应用
1.已知0,0x y >>且191x y
+=，则使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围是 . 【答案】(],16m ∈-∞
【解析】令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky
∴++= 10312k k
∴-
≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞. 2.若对任意0x >，231
x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】15
a ≥ 【解析】因为0x >，所以12x x
+≥（当且仅当x=1时取等号），所以有 2111131235
3x x x x x =≤=+++++ 即231x x x ++的最大值为15，故15a ≥。

3.若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出正确命题的编号)．
①1ab ≤； 2a b ≤
； ③222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤
112a b
+≥ 【答案】①③⑤
【解析】令1a b ==，排除②④；由221a b ab ab =+≥≤，
命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，
命题③正确；1122a b a b ab ab
++==≥，命题⑤正确． 4.已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则
()cd b a 2+的取值范围是 .
【答案】(][)∞+∞-,40, . 【解析】由等差数列、等比数列的性质得y x b a +=+，xy cd =，所以()()xy y x cd b a 22+=+，当0>x
y 时，()42
≥+cd
b a ；当0<x y 时，()02≤+cd b a ，故()cd b a 2
+的取值范围是(][)∞+∞-,40, .。