理论声学答案

习题1.1 衰减因子511010/0.0010.5220.1m R s m γ--⨯===⨯ 衰减模量212m m s R τγ===力学品质因素0531010*10/10m m m mQ R R ω--====共振频率0 1.58 1.592Hz Hz ωπ'====≈ 习题1.302f π=增加质量m ， ()'002f f π-=可得0'00f f f =-，()()2'000''002m f f m f f f-=-，()()222'000''00042mf f f K f f fπ-=-习题1.4有一动圈传声器，当作质点系统处理，测得振膜固有频率600Hz ，质量0.8克，求弹性系数和力顺。

()20211370K f m π = = (牛顿/米)，力顺518.810C K-==⨯(米/牛顿，秒2/千克) 习题1.5简单振子的固有频率是100Hz ，在频率为300Hz 的外力作用下振动，求振动的质量抗和弹性抗之比。

22201m m mmC C ωωωωω==⎛⎫⎪⎝⎭习题1.6 标准重物质量1m=，0.1l =，弹簧弹性系数10mgK g l==，g 地球重力加速度 石块质量()1221982.52Km ωπ===kg 弹簧伸长150l = mm ，111m g Kl =，()22211111110.052 1.97Kl Kl g l m Kωωπ=====m/s 2 习题1.7质点系统受幅度调制的振荡力t t h f ωωsin )sin 1(1+=，ωω<<1，求振动。

()()11sin cos cos 2hf t t t ωωωωω= +--+⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()()()12112211113211exp()sin exp 2cos 2exp 2cos 2i i t t x m i R Khi t h t x m i R Khi t h t x m i R Kωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω- -> =--+--⎡⎤⎣⎦- -> =----+--+⎡⎤⎣⎦-+ -> =-+-++习题 1.8有下列形式的作用力作用于简单振子上，求振动位移。

1, ()21, ()(1)2a a F kT t k T f F k T t k T⎧≤≤+⎪⎪=⎨⎪-+≤≤+⎪⎩......2,1,0,1,2,......k =--()122,1,0,1,2,112a a F kT t k T f k F k T t k T⎧⎫⎛≤≤+ ⎪⎪⎪⎝⎭= =--⎨⎫⎛⎪- +≤≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩把外力展开为傅利叶级数0122cos sinn n n n nt ntf a b T T ππ∞∞===+∑∑ 0010T a fdt T ==⎰，022cos 0Tn nt a f dt T T π⎫⎛== ⎪⎝⎭⎰00 22sin 4 Tn a n nt b f dt F T T n n ππ⎧⎪⎫⎛==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎰偶奇 1,3,5...1,3,5...441212sin exp aa n n F iF nt i nt f n T nT ππππ∞∞==⎫⎛=→- ⎪⎝⎭∑∑221,3,5...212exp 2an TF i nt x n T n Z T πππ∞=⎫⎛=-- ⎪⎫⎛⎝⎭ ⎪⎝⎭∑习题1.9直接证明错误！未找到引用源。

()()()()0exp exp exp sin exp()2t i t i t t i t i t dtt t i t dt i γωωγωωγωωωω∞∞⎡⎤''-++--+-⎣⎦'-=''⎰⎰()()0000000exp exp 12t i t i t t i t i t i i i i i γωωγωωωγωωγωω∞∞⎡⎤''-++-+-⎢⎥=-⎢⎥'''-++-+-⎣⎦0001112i i i i i ωγωωγωω⎛⎫=-+ ⎪'''-++-+-⎝⎭ ()()()()12i i i i i i i i i γωωγωωωγωωγωω''-++--+-='''-++-+-()2201i γωω='-++22012i ωγωω=-+-习题1.10画出图示弹簧并联系统的导纳型类比线路图，求出系统的等效弹性系数。

2mK C =并习题1.11图示隔振系统的弹簧置于阻尼材料中，力阻1m R ，画出系统的导纳型类比线路图，分析1m R 的作用。

恒流源1112m m m V V V V F i C G V F i mV G ωω--⎧=+⎪-⎪⎨⎪=-+⎪⎩得到：()1121122111111m m m m m m mm m m V i R K i C G V m i R R K i m G i C G ωωωωωω+-+-==--++-+++-习题 1.12 一弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单振子。

质点同时受到向下的重力。

分析质点的振动和能量的转换。

22d x m mg Kx dt=--，22d x Kx g dt m +=-，特解0mg x K =-，0x =弹簧受力为零通解()0cos mgx a t Kωφ=+-，平衡位置mg x K=-，简谐振动速度()00sin v a t ωωφ=-+动能：()2210011sin 22E mv m a t ωωφ==+⎡⎤⎣⎦ 弹簧势能：()222011cos 22mg E Kx K a t K ωφ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦()()()22001cos cos 22mg K a t mga t Kωφωφ=+-++⎡⎤⎣⎦重力势能：()30cos mg E mgx mg a t K ωφ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦ ()()20cos mg mga t Kωφ=+-。

0x '=取为平衡位置，Mgx x K'=+通解()0cos a x x t ωφ'=+速度()00sin a v x t ωωφ=-+，动能：()2210011sin 22E mv m a t ωωφ==+⎡⎤⎣⎦ 弹簧势能：()22011cos 22mg mg E K x K a t K K ωφ⎫⎛⎡⎤'=-=+- ⎪⎢⎥⎝⎣⎦⎭()()()22001cos cos 22mg K a t mga t Kωφωφ=+-++⎡⎤⎣⎦重力势能：()30cos E mgx mga t ωφ==+习题1.13 火车以速度0v 运动，车上有一简单振子，弹簧与火车运动方向平行，一端固定在火车上，另一端连接的质点沿火车运动方向振动。

分析质点的振动和能量转换的规律。

见课本第二章习题2.1 图中3个相同的质点和4个相同的弹簧组成的一维的耦合共振系统。

求其共振频率和模式，验证模式的正交性。

0ω=()()()()1112221233332=0 00mx Kx K x x mx K x x K x x mxKx K x x ++-⎧⎪+-+-=⎨⎪++-=⎩ 2220022220022200/20/2/200/2ωωωωωωωωωω⎫⎛-⎪ -=⎪ ⎪-⎝⎭()10ωω=101⎫⎛⎪⎪⎪-⎭，()2,30ω=，模式是1121⎫⎛ ⎪ ⎝⎭正交：质量相同(11110021⎫⎛⎪=⎪⎪-⎭，(11110021⎫⎛⎪=⎪⎪-⎭，()111110221⎫⎛= ⎪ ⎝⎭习题2.2 图2.1中两个质点和三个弹簧组成一维振动系统，如果两个质点的质量相同，三个弹簧的弹性系数相同。

两个质点分别受力()1expf i t ω-和()2exp f i t ω-，验证用简正坐标解的结果和非齐次方程组的结果一致。

2122202X m K KX k m K ωω⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()1ω=11⎫⎛⎪-⎝⎭，()2ω=，模式是11⎫⎛⎪⎝⎭211212221222mX KX KX f mX KX KX f ωω⎧-+-=⎨-+-=⎩ 两式相加和相减112212A X X A X X =+⎧⎨=-⎩ 211121mA KA f f Q ω-+=+=，2221223mA KA f f Q ω-+=-=112Q A m K ω=-+，2223Q A m K ω=-+()1211222123Q Q X A A m K m K ωω=+=+-+-+()()()()()()22121222323m K f f m K f f m K m K ωωωω-+++-+-=-+-+()()21122223m f Kf Kf m K m K ωωω-++=-+-+()1221222123Q Q X A A m K m Kωω=-=--+-+()()()()()()22121222323m K f f m K f f m K m K ωωωω-++--+-=-+-+()()22122223m f Kf Kf m K m K ωωω-++=-+-+用解非齐次方程的方法解()()2121212222m K X KX f KX m K X f ωω⎧-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎩ ()()12221121222222322f K f m Km f Kf Kf X m K m K m KK Km Kωωωωωω--+-++==-+-+-+---+ ()()21222122222222322m Kf Kf m f Kf Kf X m K m K m KK Km Kωωωωωω-+--++==-+-+-+---+ 习题2.3 写出习题2.1的振动系统的投影矩阵。

如果在中间的质点上有稳态的作用力，求系统的振动，分析各个模式的贡献。

101⎛⎫⎪⎪⎪-⎭11⎛⎫⎪⎭。

()()()11110110002101T-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P X X m ，()21112411⎛⎫= ⎪⎝⎭P ，()31112411⎛⎫= ⎪⎝⎭P()()1102()22()2110000j j nnj j j j F F ωωωω--==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑P m P m X H F ()()2(2)22(3)22244F Fm m ωωωω⎛ =+ ⎪ ⎪-- ⎝ 习题2.4 用质量归一化的方法分析图2.1的振动系统。

1200Tm m ⎛⎫== ⎪⎝⎭m N N，00⎫= ⎝N，12⎛⎫==⎪⎪⎭Y NX ()2111KNω----=I NY NF，1112222c c K K m K K m ω+⎛⎫⎛ ⎪ ⎫ ⎪ -=⎪⎪⎪ ⎪+⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭I Y 习题2.5 图中机器11K m 工作时产生单频振动，为了降低通过弹簧1K 对地基的作用，机器上方加装一质点弹簧系统22K m ，画出类比图，并分析加装系统的理想参数。