高中数学之不同函数增长的差异 教学设计

高中数学之不同函数增长的差异教学设计

教材分析

本节课在已学幂函数、指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反应.而本节课重在研究不同函数增长的差异. 课程目标

1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.

2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养. 数学学科素养

1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；

2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；

3.数学运算：由函数图像求函数解析式；

4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；

5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.

重点：比较函数值得大小； 难点：几种增长函数模型的应用．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。

教学过程: 一、 情景导入

请学生用画2,2x

y y x ==图像，观察两个函数图像,探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课

阅读课本136-138页，思考并完成以下问题

1.三种函数模型的性质？

2.三种函数的增长速度比较？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、 新知探究 1.三种函数模型的性质

2.三种函数的增长速度比较

(1)在区间(0,+∞)上,函数y=a x (a>1),y=log a x (a>1)和y=x n (n>0)都是增函数,但增长速度不同. (2)在区间(0,+∞)上随着x 的增大,函数y=a x (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x n (n>0)

的增长速度,而函数y=log a x (a>1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0,使得当x>x 0时,有log a x

题型一 比较函数增长的差异

例1 函数f (x )=2x 和g (x )=x 3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1

(2)结合函数图象,判断f (6),g (6),f (2 019),g (2 019)的大小.

【答案】(1)C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=2x .

（2）f (2 019)>g (2 019)>g (6)>f (6).

【解析】(1)C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=2x . (2)因为f (1)>g (1),f (2)g (10),所以1

所以x 1<6x 2,从图象上可以看出,当x 1x 2时,f (x )>g (x ),所以f (2 019)>g (2 019). 因为g (2 019)>g (6),所以f (2 019)>g (2 019)>g (6)>f (6).

变式1.在本例(1)中,若将“函数f (x )=2x ”改为“f (x )=3x ”,又如何求解第(1)题呢? 【答案】C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=3x .

【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C 1对应的函数为g (x )=x 3,C 2对应的函数为f (x )=3x .

函数性质

y=a x (a>1)

y=log a x (a>1) y=x n (n>0) 在(0,+∞)

上的增减性 单调递增

单调递增

单调递增 图象的变化

随x 增大逐 渐变陡 随x 增大逐 渐变缓

随n 值不同

而不同

变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.

【答案】f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

【解析】因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2,从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因为g(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

解题技巧：（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.

跟踪训练一

1.当a>1时,有下列结论:

①数函数y=a x,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=a x,当a越小时,其函数

值的增长越快;③对数函数y=log a x,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=log a x,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【答案】B

2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2

A.y1>y2>y3

B.y2>y1>y3

C.y1>y3>y2

D.y2>y3>y1

【答案】B

【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.

题型二体会指数函数的增长速度

例2甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.

你觉得哪个公司捐款最多?

【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元.

【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.