第8讲 等腰三角形(word版)

第8讲等腰三角形

【专题简介】在前面的学习中，我们对等腰三角形的性质有了一定的了解，在本讲中，我们首先学习等腰三角形三线合一的性质，利用等腰三角形的性质挖掘题目条件内涵，解决全等证明问题我我们还会学习与等腰三角形有关的模型.

【学习目标】

1、熟练掌握等腰三角形的性质判定及其应用

2、锻炼分类讨论能力

3、进一步加强全等训练

模块一

等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边等腰三角形的性质:

(1)两腰相等.

(2)两底角相等.

(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

基础夯实

【例1】已知等腰△ABC, AB=AC, 求证: (1) ∠B=∠C (2)该三角形底边上的边上的中线和顶角的平分分线(该性质也称为“三线合一”

【练习1】（1）已知：ΔABC有两个角相等等，∠B=∠C，求证：这个三角形是等腰三角形。

（2）如图：已知ΔABC，AH是BC边上的高，也是BC边上的中线，求证：ΔABC是等腰三角形

（3）如图：已知ΔABC，AH是BC边上的高，AH平分∠BAC，求证：ΔABC是等腰三角形

（4）如图：已知ΔABC，AH是BC边上的中线，AH平分∠BAC，求证：ΔABC是等腰三角形

总结:等腰三角形的判定:

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，

(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，

(3)同一边上的中线、高线、对角的角平分线中有两条重合(用时请证明)

【例2】如图：已知ΔABC，AB=AC，D为AC上一点，2∠DBC=∠BAC，求证：AC⊥BD

【例3】如图，△ABC中，AB=AC，点D. E. F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

【例4】在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 是线段BC 上的一个动点(不与点B 重合).DE ⊥BE 于E,∠EBA=2

1∠ACB ，DE 与AB 相交于点F. (1)当点D 与点C 重合时(如图1)，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；

(2)当点D 与点C 不重合时(如图2),试判断(1)中的猜想是否仍然成立，请说明理由。

【练习4】已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE..求证：AC −AB=2BE.

模块二 等腰直角三角形

等腰直角三角形的性质：顶角等于90°，底角等于45°，两直角边相等。

等腰直角三角形的判定：（1）顶角为90°的等腰三角形（2）底角为45°的等腰三角形

【例4】如图,在等腰Rt △ABC 中,D 是斜边BC 的中点,以D 为顶点的直角的两边分别与边AB,AC 交于点E,F.当∠EDF 绕顶点D 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，（1）试判断DE 与DF 的数量关系，并证明。（2）当AC=23,AF=15时，求AE 、EF 的长度。

【练习2】操作：在△ABC 中,AC=BC=42√,∠C=90∘.将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC 、射线CB 于D. E 两点，如右图，①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种。

探究：(1)三角板绕P 点旋转时，观察线段PD 与PE 之间有什么大小关系?它们的关系表示为___并以图②为例，加以证明；

(2)三角板绕P 点旋转时△PBE 是否能成为等腰三角形,若能,指出所有的情况(即求出△PBE 为等腰三角形时CE 的长)；若不能，请说明理由。

总结：已知等腰直角斜边的中点，连斜边上的中线，原等腰直角三角形被分割为两个小等腰直角三角形

【例5】已知，△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，点O 为AB 的中点，现将一个∠α=45°的角放在顶点O 处绕点O 旋转，∠α的两边分别交直线AC 、BC 于M 、N

（1）如图1，若M 在AC 上，N 在BC 上，求证：CN+MN=AM ；

（2）如图2，若点M 在AC 上，点N 在BC 的延长线上，试探究：CN ，MN ，AM 之间的数量关系．

【练习6】如图,ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°,点O 是斜边BC 的中点,点E 在AC 上,点O 在AB 上,∠DOE=45°.下列结论：①

12=+++CE BD DE AE AD ②.1=+++CE

BD DE AE AD 只有一个是正确的，请选出正确的结论并证明

中点垂直模型及其变式

【例6】已知等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90∘，AC=BC ，点D 为BC 中点，过C 作CF ⊥AD 于H 交AB 于F ，求证：(1)∠ADC=∠BDF. (2)AD=DF+CF

（变式1）已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，点D、E在BC上，CD=BE，过C作CF⊥AD 于H交AB于F，求证：(1)∠ADC=∠BEF. (2)探究AD、CF、EF之间的关系

（变式2）已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，点D、E在BC上，CD=BE，过C作CF⊥AE 于H交AB于F，求证：(1)∠AED=∠EDF. (2)探究AE、CF、DF之间的关系

（变式3）已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，点D、E分别是BC延长线上和CB延长线上两点，且CD=BE，CH⊥AD于H，延长HC交AB延长线于F，连EF，(1)探究∠ADC与∠BEF.关系(2)探究AD、CF、EF之间的关系

（变式4）已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，点D、E分别是BC延长线上和CB延长线上两点，且CD=BE，CH⊥AE于H，HC交AB于F，连DF，(1)探究∠FDC与∠BEH.关系(2)探究AE、CF、DF之间的关系

模块三等边三角形

1.等边三角形的定义：三条边相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

2.等边三角形的性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°.

3.等边三角形的判定：

（1）三条边都相等三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

4.含30°角的直角三角形，30°所对直角边是斜边的一半。