习题课讲义(级数)

丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T 1(n T^
(n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1)
第九讲：无穷级数 一、 常数项级数
1、概念与性质： （1） 数列t u j 中的各项用加号连接的形式： U1+U 2 +■…
□c
+ u n +…=2 U n 称为无穷项
n 二1
数项级数，第n 项称为一般项（通项）。

n oc
数列s n =送U n 称为级数s U n 的前n 项之和 （部分和）
，若n ms n = S ，则称级数
Z U n 的和为S ，级数艺U n 收敛；若lim S n 不存在, n£ ni F 则称级数 送U n 发散。

n4
oC oC
若级数2 U n 收敛，r n =S-S n 称为级数送U n n 二 n 二 的余项，lim r n =
0。

n _jpc
例1判定下列级数的敛散性: 解：U n =ln 1 中一1 = 1 n (n +1 )-|n n ， V n 丿 S n = In2-In1+In 3- I n2+…+ln (1+n )-lnn =ln (1 + n l 处(n T 处
故S In nd ：
〔1+1 ］发
散; V n 丿
解: U n
□c
故 2(n +1! 收敛;
③调和级数：2 1
；
n# n
n!
(2) 性质:
ii 、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性;
□C OC
推论：送U n 与无U n 同敛散;
n=1
n =N +
边 1
巳― +
[(2k -1 2
(2k 门
1
—Lh . J , I k#(2k-1f 4
+1Q
1 < 1
解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n
+1 )_|n n , n I n 丿 1 1
S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln (n +1)—1 n n = ln (n + 1 □C 1
（n T 处），故级数2 —发散。

n4 n
④几何级数: Z aq
nA
4-q' 发散,
d e q >1
⑤p —级数: £1-
n 吕n P (p >0 冶
［收敛，p A 1 改散,p 兰1
i 、设a 、P 为常数,
□c
若送U n
n =1
oC
oC
Z V n 收敛，则送(a U n
n=1
P V n ）也收敛，且
n=3
推论: 比如: □C 2 (a U n + Pv n ) = aZ ni
□c
常数 k H 0 , 2 ku n n z!
证明级数2： 2
发散
心n □C
U n
n 二
□c
与S u n 同敛散;
n=1
处2 处：
因为£ -与送-同敛散，又
心n 心n
比1 处2 Z 1发散，故级数£ -发散; nT n 心 n
注意: 至2 处1
处
Z 2
工22 1
, Z
心门 n^n nd ： o ’1 比 1
+丄 Hy 1
+y —
2 厶
厶 2
iii 、收敛级数“加括
号” 则原级数必发散）
后所得的级数仍收敛于原来的和;
（“加括号”后所得的级数发散,
□C
iv 、若级数W U n 收敛，则
n z1
□C 1
则送沪发散。

n4 v n
3C
_
V 、柯西收敛准则：级数 送U n 收敛u VS >0, W N >0，当n>N 时，对任何p>0,
nA
2、正项级数的审敛法
若U n XO ， n =1,2，…，则称级数送U n 为正项级数。

n=1
由Un =Sn-Sn4>0得^Sn ｝单调增加，可知正项级数的收敛准则： 正项级数收敛二 部 分和有
界。

3C
、无V n 为正项级数，且U n <CV n ，其中C 为正常数，则
心
当l = +处时，若送U n 收敛，送V n 也收敛；若送V n 发散，送U n 也发散。

n
n #
n#
nH
=3£—
3k4（2k -1 y
, 2
4兀
=—X 一
2
兀
="6
□c
lim U n = 0 （若 lim u^0，则 S U n 发散） n
护 n4
比如：由 lim W'n = 1 H 0， 均有Un + +U n 七+…+ U n 卄
+■■■ 3C
(1) 比较审敛法：若5： u n n z1
□C oC 当S V n 收敛时，送U n 也收敛;
n z1
n z1
□C oc
当送U n 发散时，£ V n 也发散。

nzi 比较审敛法的极限形式：若
□C
n □C
S U n 、送 V
n 仝
为正项级数，且 n¥
lim 业=丨，则 Y V n
□C 当0 <1 < +处时，s U n
n =1
□C
与送V n 同敛散;
n z1 3C
当
1
= 0时，若
2 Vn 收敛,
n z1
3C
2 Un 也收敛;
n z1
3C
无u
n 发散，
nz1
□C
2 Vn 也发散;
n z1
(2)比值审敛法(达朗贝尔判别法) :设U n
n4
U H
为正项级数，则当d时，
Un
£ U n收
nU
敛；当业1 >1时,
U n
□C
Z Un发散。

n z!
比值审敛法的极限形式: 若Z U n
nA 为正项级数,
U n j1
且lim 上=1，则当0兰I <1时,
U
Z Un收
nA
敛；当I >1时, oC
Z U n
nA
发散；当l =1时，无法确
定。

(3)根值审敛法(柯西判别法)
□C __
设S U n为正项级数，则当y u n <qc1时，Z
n=3 n=3
U n收敛;
当V U n >1时, 发
散。

根值审敛法的极限形式:
□C
若送U n
n 二
为正项级数，且lim
n—jpe
=I，则当0兰I <1时，2 Un收n
吕
敛；当I >1时，S U n
n壬发散；当I =1时，无法确
定。

(4)积分审敛法：若f(X)( X >0 )为非负的不增函数，则
-be
Z f(n )与L f(xdx同敛散。

nzi
(5)拉阿伯审敛法: 若三U n为正项级数，且n mn /
U n
<U n十
、30 -1严，则当小时，汕收
敛；当0<1 <1时, 送U n发散；当I =1时，无法确定。

nrn
3、交错级数及审敛法:
□C oC
(1)设U n A0 (n =1,2,…)，级数无(-1『U n或2(T广U n称为交错(项)级数。

n=i n zi
□C aC
(2)莱布尼兹审敛法：若交错级数送(-^U n或送(-1^ U n满足：U n X Un+(n = 1,2；"),
n# n#
n mu n =0，则该级数收敛。

4、绝对收敛与条件收敛:
□C
则称2 Un 条件收敛。

nU
判断下列级数的收敛性
比 1 例
1:
";
例2: h 卫
J n nrn n
处a n
例 3: 2 u(s >0, a >0) 心n
a
=lim ----- =J Y(n A n s
处1
当a =1时，艺 丄当0<：S<1时，该级数收敛，当 SA1时，该级数发散. s
n zt n
处
1
-1,2 arcsin-
心 n
.1 arcs in —
* 1
----- =1,又2 -发散乏三收敛，因此
1 心n
□C
若2 |Un |收敛，则称 n =1
□C
□C
oc oc OC Z Un 绝对收敛，此时2 Un 也收敛；若2 Un 发散，但2 Un 收敛,
n z1
n4
解:注意到 In n lnn
=e lnnlnlnn
=n
lnlnn
，当 n 充分大时，In In n A 2，即 In n lnn > n 2
，故
1 _ 1 In n n
，无2 n4 n
□c 收敛，因此工
1
1—收敛. I In n
(n +1! (n +1F n! n
n
1 -n =lim -----------
f y”1
〕
=1 <1,因此原级数收敛. e
,当0 <a c l 时，级数收敛；当《 >1时，级数发散;
3C
例4:送1
n =1
-cos 1,^ e n
n nrn
1 -cos 1 解:因为 lim ------
2 =1,|jm
n Y 1 <1 丫 n 护 1
2 I n 丿
1
e n
-1 ,, =1,
n
处
1 处1
乞1 —cos —收敛，送e n n2 n n z1 处 1
-1，送 arcsin
— 发散. n n
z1 □Q f 、n
例5：送n!(X
n4 l n 丿
(x >0); 解:lim U ^1 y U n
(n F
= lim ---- n _)pc n! J+1丿 f 、n
X 1 —I I n 丿 X X X =lim ------- =一，当一 < 1即0<xve 时,级数收
n Y< 1 ^n e e 1 +— I I n 丿 敛;当X Ae 时，级数发散；
当
X = e 时 3 U n e 一->1,故级数发散. 3n 解:由于¥<严" 3n
<—— 3 ，及 n m n m 曲=鬪 ^^n ^ 1
~3
<1故级数收敛. 例7迄 p nz2 n ln n
（P 二
0） In In X +处
=-Hz; 2 =1, 及当P >1
时，
1 H 1； 当0 < P <1时，I = +处，因此当0兰P <1时，级数发散；当P A 1时，级数
收敛. 例8:Z 丄 n=2 In n! 解：由于 ln n!=l n1+l n2+l n3+…+lr i n < nln n ,即—，级数 2 发散，故
In n! nin n n=2 nln n
原级数也发散.
1
例 9^ f! _In H l ] n ^W n
丿
解:由于Iim - x 」十
1 , n +1 ——In --- x-l n (1+x ) 1 1”，. n =—，取 x=—则有 Iim -
2 n n
Hp^ n FTT -I 5丿
二1
,及Z 2 心n 2
收敛,故原级数
oC
z n4 丄—In l n
□c 例 10： 2 nz3 (In
In n 解: lim In Inn = +K ,当 n 充分大时,则有 In In n a n — In n . o Jn n 即(In In n ) > (e 2
) 1 £ ~2 n
,丈m \
nz3 n □c 收敛，故原级数z 1 —?收敛. nm (In In n ) □C In n 例11:送丄— ni (In n y 解: Iim y u n n — In n n* =Iim n
护 In n In 2
n
e 〒 Iim e — n
护 In n / =0 Iim n In 2
n
=0 <1,故级数收敛. J □c
例 12:2 ni
In n V
解:考虑Xn = In n V 一 --- I n 丿 1
：In n Y (In n 、
n 1 - 1 ,In X n — In n 中 1 - 1 n 丿 I n J 、
—
丿2」
丫
丿Y —
丿
当q :>1时取适当小的g ,使q -名=a
1
> 1，即得 In 一 > ot 1 n n = In n ^,即 a n
a n
3C 1
3C
又，艺匚(a >1阪敛，故S a n 收敛.
n 二 n
n
比 1 比 又正=(P <1跋散，故2 an 发散.
n 二 n nd ：
□c
例14：已知级数S a 2
，S b ；收敛,问级数S a n b n 是否收敛？
n 壬 n¥ n¥
□c
因此2 a n b n 收敛.
nl
即X n
1正-发散，因此原级数收敛.
n4 n In 丄 a n 例13：设Iim n
Y In n
= q(a n A O)证明级数送a n 当q :>1时收敛，当 q d 时发散. n 4
证明：根据极限定义 ,Vs :>0,3N > 0,当 n > N 时，恒有 In 丄 -q
In n In 丄
. a n
q - & €--- < q
In n + Z .
当q <1时,取适当小的S ,使q + S = P
< 1，即得 In — < P ln n = ln n
卩,即卩 a n a n
尢1
解:由于k nb n l 专蠢+b n 2
),及送+ bf )收敛，故无a n b n 收敛，即无a n b
n 绝对收敛，
n^2
n=1
nz!
1
解:由于sin n 兀
+ 丄 L(-1y sin 」
In n 丿
，且当n >2时，sin 丄
Inn
Inn
> 0 •故原级数为交错级数. nz2
In n
sin 1
□C
=2 sin 发散(Iim ,
n=2 In n 1 = 1,又送 丄发散)，故原级数不会绝对
n=2 In n
In n
1
比(―1 ) In —
例15:讨论级数2 --------- n
的收敛性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？
又，f '(x )= —
■<0(x >3),故 f (x )在 x>3时单调减少，因此有 f (n )〉f (n +1),即
X
U n A U n 卅,满足莱布尼兹定理条件，因此本级数条件收敛.
解:原式=2(一1厂
1nn
,由［如
3
X
1 2 dx = -
(In X ) 2
(―1F I nn
In X 发散，考虑f (x )= ---- ，由于Iim X X Inx
=Iim — = 0,取 X = n 得 Iim U n In n =Iim ----
y n
=0,
例16:讨论级数Z 卜仃
的收敛性，若收敛，是绝对收敛
，还是条件收敛？ 处 1
处
解:由于 一 >」斗发散，故5： 7n +(-1) 2V n
n=2 2如
(-1)n
又(_1)n (_1)n
V n -(-1)叮(-1Nn 1 又，—F= ------ = ------------------ =
v n +(-1n
，级数
n —1 n — 1
弋需+卜1)n
发散，
£讥“收敛云—
nrn n — 1
n=2
n — 1
发散，故原级数宁
1
y …发散.
例17:讨论级数
处 1 送sin(n 兀+ ---- )的收敛性，若收敛，是绝对收
敛
，还是条件收敛？
1 +
比c
证明：已知2 Cn (c^ >o 收敛，故存在M A0,使2 c
^<M ,.
收敛，又,lim u n 1
=lim sin -- =0,
n 护 In n 取 f (x ) = sin 1 1 f 1 节
——,f '(X )=cos ——I I — < o
(x >2 ,故 f (x )单调减少,即 In x In x \ In X 丿X f (n ):> f (n +1 )也即Un A Un 卡,满足狄里克来条件，因此该级数条件收敛.
□c
3C 例18：已知数列<na j 收敛，级数2 n (a n -a n 」敝敛，证明级数2 a n 收敛.
n4
n4
解一：设级数2 a n 的部分和为S n 二无a k
,级数送n(a n - a n 」)部分和为
n =1
kA
n=1
Sn = Z k(ak -ak 」)=ai -ao + 2(a2 —ai )+3(a3 -a2 )+…+n (an —an 」)
ki
=n a n —(a i +a 2 +…+ a n 」)—a o = n a n —S n —a o
即lim S n =lim(na . -a o )存在,故级数S a n 收敛级数S a n 收敛.
n ^^ n _^
n£
□c
解二:取S n = na n ,则级数S (na n -(n -1乩」)收敛，又,Lan -(n —ife n 」 -n (a n -a n 」)】
n=1
□C
= a n4,故级数2 a n 」收敛，因此原级数S a n 收敛.
nzi n=1
oC
□C
例19 *已知S 9^(6 > O )收敛，证明级数Z
nrn n
n =1 £ Cn z k 2 +n 2 丿 也收敛.
记A p，2宀Qfirr n，由于庇1+心
.2 , 2 nik#k 十
n nm^k#
1 +k±i
1 +x
2 4
n± n nrn n
1 +
q
1 1
例20(1998,2 丫设正项数列｛a n ｝单调减少，且级
数送(-1『a n 发散，试问级数Z .
,
nA (a n + 1
丿
否收敛？并说明理由.
解:正项数列｛a n ｝单调减少且有下界(a n > 0 )，故lim a .存在，不妨设为a ，则a > 0.若a =
0， n —
n 1 1 由n mUj 1知n mUT 0,于是n m S
--，级数收敛.
例22 (1994,1 )：设f (X )在点X = 0的某个邻域内具有二阶连续导数 ，且lim 卫^)= 0证明级
卡X
故Z
kU
兀
< —，因此 江 C 江
i \
A pq <二2 — <-M ,即正项级数的部分和数列 t A pq )有上
4
兀
p,q 4 nJ n 界，从而原级数2
n 二
C n
收敛.
□c
则由莱 布尼兹定理知
数 Z(-1)n
a n
nA
I -
lim 叮U n n _^'
(1 丫 1
3C
/ 、
1
< 1，故级数Z
s +1丿 —a+1 n4 l a n +1
丿
OC
例 21 (2002,1 ):设 u n H 0(n =1,2,… )且 lim — =1,问级数 2 (-1 F
y u n
1
+—— l U n U n+，丿
、
是否收敛？
解:S n
(-1厂(丄 k=i
+丄
' l U k Uk+ 丿
1 , 1 1 - I - -- U U U _丄+丄+丄」 U 3 U 3 U 4 + (-1)n * + —
V_U
n U
n 十丿
=丄+(_1『中丄 U 1 U n 十 n4 丄+丄
U n
U n 十
又，協1
=lim —
^U n
+ n +1 U n 十
=2 □c
故送
nrn
丄+丄
U n U n 十
发散，因此原级数
□C
z (-1? n ・
+4 +
vU n 条件收敛.
u
n41
」
U i
n
收敛.
一、 函数项级数
1.概念与性质
□c
n zt
证明：由题意知 f
(0)f0
A 0
，又 f 2f
(0
)+f
・(0X
+T)X2
尹 x 2
，f”(x )在
点X = 0的某个邻域内连续，不妨取该邻域内含有原点的一小区间 I , f ”(x )在 I 上连
续，则
3M >0,使 f ”(x D<M ，故 f (x bw M x 2
.令 X 二1
，当 n 充分大时，有
' ■ 2
1
OC z 冷收敛，因此级数2 f
n =1 n n =1
1
］绝对收敛.
5丿 ［例23］判别级数送(-1汇 心 (2n
一
1 !!
的敛散
性。

［解］(1)Un=gU2^・2^ 刊n * n (2n!! (2 n!!
2n+2
,得｛U n ｝单调减少; 由(2n 2 >(2 n 2 -1 =(2 n +1 彩 n —1 )，及
2 4 6…(2n )f >1 32 52
才…亡门—1「(2n +1 得 2 4 6…(2n )A 1 *3 5…(2n -1 “2n +1 ,
<U n
2 4 6-- (2n ) J 2n +1
又, £(-1广 n =1
(2n-1!! (2n !!
三(2n-1)! 心(2n!!
⑴型丄,
g 2 n 2
0(n T 0 )，故级数送(-1广Q n T )!收敛。

心 (2
n!!
由 1 3 5…(2n -1L 1 2
'4 6…(2n )
，及—发散知 2n 心 2n
□c z (一仃 n ・
4 (2n -1)! □c
故级数2 (-1丫
n 丑
—普条件收敛。

□C
⑴送U n(x )=山0 )+U2(X )+U3(X )+…+u n(x)+■…称为函数项级数.
n 二
□C oC oC
若£ Un(X o )收敛，称X o为无Un(X 的收敛点，收敛点的全体称为收敛域，若2 U^X j )发n 4 n 4
散,称X i为送Un(X )的发散点，发散点的全体称为发散域.
n 二
□C n
若X为收敛点，无Un(x )收敛于和函数S(x ),记Sn(X )=送U^^，则nA kJ
3C
rn(x )=S(x )—S n(x )称为级数2 U n(x 的余项拼且lim r n(x)=O. n
二n~^
⑵记U o(x) =a o，Un(x) = an(x-X o y , n=12…则
oC oC oC oC
Z U n(x )=Uo(X U n(x )=a o a j x —X o y =2 a n(x —x。

)n称为关于X —X o nzO nz! nz1 n 士
3C OC
的幕级数，记t =x-x o,则有5：a n t n,为了方便以后记为S a n x n.
n z0 n 二0
□C
⑶Abel定理:如果幕级数2 a n X n在X =xo(x o H O)处收敛，则对于适合X X o的一切
n
=0
□C
x,2a n x n绝对收敛,如果幕级数n T
□c
送a n x n在X = X j处发散，则对于适合I X》|刘的一切n出
X正a n x n发散.
n曲
□C
(4)若幕级数S a n x n在某些点收敛
n T
,在某些点发散，则必存在某个确定的唯一的常数R,
□C oC
使当X<R时,幕级数2 a n x n绝对收敛；当X A R时濡级数£ a n x n发散.这里的R称
nz0 n=0
OC
为幕级数送a n x n的收敛半径.
n zO
□C
(5)收敛半径的求法：设a n ,an+为幕级数送a n x n
的相邻两项的系数，若lim nd 「
」
a
n +
a n =P ,则当 P H0 时，取 R =丄；当 P =0时，取 R = + 乂;当 P = +乂时，取 R = 0 P 注意：R=0时，幕级数 h a n x n
仅在x = 0处收敛. n=0 2.幕级数的运算性质 □C OC OC
（1）若 S a n x n 在（—a, a ）内收敛，Z b n x n
在（—b,b ）内收敛，则送（a n ±b n X n
n =0
n=0
n=0
在（—c ，c ）内收敛，其中 c = min （a ，b ）且送（a n ±b n X n
=S a n x n
n z0
n 二0
3C
±Z b n X n .
nz0
□C
n
-2 c
n X
其中 C n =送 a k b n 」，n = 1,2
/ '' nT
kz0
□c
(2)送a n x n
的和函数S(x 在其收敛区间内连续,可导，且可逐项求导和逐项积分，即 nrn
f oC \ oC S '（x ）=送 anX n I =2
（a J n =0 丿 n z0 ■ OC
n * P nJ
n X J =2 n a n X nV
□c 0 s （x dx =，0 （S a n X n ）dx =送（J a n X n dx ）
X 处 X 「 n -a n X "n=0
nW n 卅 a n X n=0 n +1 注意：逐项求导和逐项积分后得到的幕级数与原来的幕级数具有相同的收敛半径 区间端点的收敛性要重新讨论 . 3.泰勒级数 ，但是 (1)若f (X )在X 0的某个邻域U (X 0 )内具有各阶导数 处 f （n
t x } ，则S ' S
（x-X 0）n 称为关于 n=0
n!
X - X 0的泰勒级数.
(2)若f (X )在X 0的某个邻域U (X 0 )内具有各阶导数
，则f (x )在该邻域内能展开成泰
勒
级数的充分必要条件是lim R n (X )= 0
其中 Rn (X )= _ )(X —X0 F ， © = Xo +0(X —Xo )0 吒 e
V 1. (n +1
! 注意：f (X )在该邻域内能展开成泰勒级数是指 f (X )的泰勒级数在该邻域内收敛 ，且
收 敛于f (X )本身. 直接展开法： 求出f (x )的各阶导数：f ^\x ,n =12…及f Cg )n =1,2,…, 处 f (n j X \ 写出泰勒级数 迄 一 \x - X o )n
，并且求出它的收敛半径 R ， n=o n! 考虑当X 忘(-R ，R )时，R n (x )= ----- (X -X o )n (其中E 介于X ，X o 之间)在n T 0时， (n +1)
处 f (n V x V 是否趋于零，如果趋于零，则有f (x ) = £ --- 《x -x 0),即f (x )可展开成泰勒级数.
nrn n ! 间接展开法(即利用常用的函数展开式)： 1 处 (1」=无x n
， 1 —X n=o
X <1； 处x n
⑵宀 2X 7, "d ；
□c ⑶ SinX 壬(T 广
E ，X "fF
(4)(1+x 亍十T^^)X 2
十••…
严—2
心十叭+ .
i n!
2! (-1,1 )，端点的收敛性与 0有关. 4、举例 例1:求下列幕级数的收敛域 Z 3 n -j=x
n^ V n
⑵ £ (-1)n 2n x 2n ^
nA
即lim ]un (x DH 0，也即lim Un (x )K 0.因此该级数收敛域为 n ^^ I n _^
处qn
⑷艺-
n# n
解：P = lim n
严a n
3^
观丿导二3
，所以q.当x —3时，占孑为交错级数，满足
j n
莱布尼兹定理要求 1
处 1 1
，故该级数收敛，当 r 时，名石为P 一级数，P ."1
,故级数发散，
因此该级数收敛域为 「1 1、 厂3,3丿
解：由P =lim
F a n
畑3
昇(一2厂
知R<
解:该级数为缺项级数 ，直接用比值法判别 u ^L lm n —jiC
:lim W Un (X )|
(-1 )n 2叭2n ^
n ~2n 」 x (-1严2 =2x
2
当 2x <1，即 x < 士时，级数收敛，当
72
1 , x l 近时曲心2
I
2n 」 x
/
>2n - =42
3C
⑶：22n +1l 1+x 「
n-x V
解:取t=r^，则有：£
1+x n 壬 2
n +1 1 -x 1 +x
a
n4l
1
r 由-n ^a 1 — X
<1,即，-1』x
=lim 2^ =1 知 R = 1 Y 2 n + 1
<1时，x 》0,当X =0时，Z
发散，故该级数收敛域
为
+1 h —1
，即 x=-f 时，£
3 3
n 4 n
3^(-2)7 1V - ——I 二乙 I 3 丿 n. 「( — 1)n
1(2] n l 3丿 (*)
由于 £ izU 'f" n
收敛故(*)收敛. n 」 n n ,£ n 二 n (3 丿 +1丄即
3 □c z
n£ n 3n +(—2)n pr l 3丿 =z n4 「14 [n n (2 S'
§丿 (**
)
□C 1 由于W —发散正
心n 1 f 2〕收敛，故(**)发散.故该级数收敛域为 13丿 「4 2、
匕二丿
3C
⑸:送
n z2 n
(p 为常数) 解：由 a
nHl
P=lim F a n
“肆+仆叶1) n — n p
Inn =1 知 R =
1,
当 P C 0 时，”型片(± 1 ) = lim 1—-- +ln n ,故由Z A# nrn n In n £」一发散知这时该级数的
n=2 n
P
ln n
收敛域为(-1,1 ) 当p=0时,由Z 旦收敛，z 」 nrn lnn 1 (
ln n >1(n > 2 )£"1
发散)发散知这时该级数的收 n n=2 n
敛域为匚1,1). 当0vpv1时，由于h (T y
收敛,z n=2 n p In n nm —1—发散 n p ln n 1_ lim
心g =- n —jpC
，这时该级数的收 敛域为匚1,1). 讼 1
(•2
当p=1时，由于上。

收敛，式dx = l nInX n=2nlnn n^nlnn 2
xinx 邑)发散,这时该级
数的收敛域为匚
1,1 )•
当P >1时，由于U n （±1审=
I 1
n P
ln n
n P
时该级数的收敛域为 L 1,1 ]. 例2::求下列幕级数的和函数 j-f-. n 比x (1)2： n 兰n! 解：P = lim n
T^ a n (^1
!
= lim
n 护 1
n !
，仕亍
= lim n
-jpc n +1
收敛，故O 川严
1
=0,所以
□c =2 S(x )=送 一，S'(x )=_ =2 n 二(n - 1 ! n4 n! ，- 均收敛,这
n£ n P
In n n 仝 n P
In n
,s
R = +处.当X 巳一处，址）时，
记
x n 」 三x n = S (x ) 故由卢(X
)dx = f dx 知 ln S (x )= X + c , S (0 )= 1，故 S (x )= e *,因此送—=e x
.
‘ S (x ) nT n! a
n + 解: P = lim W a S (x )=Z ： oC n x 3C Z n 、， nx n rn (n +1) =lim - n 护 1 lim 亠 Y n +1 =1,所以R = 1.当X 迂（—1,1 ）
时，记
=2 rx^dx n=i 」0 oC
n4 0Z x^dx
n=i
〕0
-^dx =-ln (1 —x j x 亡匚1,1 ). 1 -x
n +1 jm 「,所以R"当
( — 1,1 )
时，记
S (0)= 0.
□C OC
S (x )=2； nx n
=x 2； n =x S (x n
) =x |2； x oC
3C
n
n z1 n z1
nU =X _X —】 = ---- ——2 , X € ( — 1,1 ).
11-X 丿(1_x )2 * '
□c n ⑷ 5： n2^x 3n ^ n4 解：该级数为缺项级数，直接用比值法判别 (n +12P x 3n ¥
当血
3 , X <1，即 X <6^时,级数绝对收敛 V 2 n2" x 3n
」
1
,当X >^=时,lim ]un (x )工0，级数发散，
6/2 5
〕时，记 S (x )=2：
n22
x 3n 」
22(3nx 3n "^^^ GZ 2)(x 3n j 3 nr n
A OC
nz1
x 3
))—
/
I*— 3
V 2x 3
UN 2
_ 2 ・
(1 - 72x 3)
⑸ £—x n 解: P = lim 7 a □c S (x )=5： —X
n +2 =lim
n
尹 n
n +1
=1,所以R =1.当xw
(-1,1 )
时，记
nM +1
十0
x
n z±
比 n4
nx
n =1 n+1
=x d
□
c = x ]S
:zsC n 41 x — I -x !-z nM +1 丿 I Xn #
n + 1 丿
(X H O )
x n dx)' =
x n dx
「
1 'X - n ±t
丿
V x
In (1-x )l
J 1 1
--- + -ln (1 -x ),x 亡
1 - X X
(—1,0 2(0,1)
(-1,1】
0 n 1 2
n (6):计算送(—1)— n 2
2 □c
解:由于 2 (-1) n 2 n 」…2 oC n p 2 n 」 尹=£ n X 2 n 4
1，考虑 n 2x2 n 」 P =lim
• n
-?^ a
n 卡 a n R=1.当X 忘(-1,1 )时，记 S (x )=：£ n 2x n
」 n zt oC x £ nX n=3
nA 1(1 -X 2 丿" 1 +x (1-X )3, (X 、 X ---- 11-X 丿
X
z
工 nd
因此，2(-1) n z1
1
1 —
2 1 +— I k 2丿
-27 例3:将下列函数展开成关于 X 的幕级数(即泰勒级数 ).
(1)a X
解: a x
Xln a =e 兰(lna)n
n =乙 ------- X n =0
n ! ,X € (—比，
七边 ⑵ ---------- ; X 2 -3x +2 1 X 2 —3x +2 解: (X —2仪一1) x-1 1 -X
(3)： ln (1 +x ); 3C
=Z X n z0
ln(1 +x )=[
—I f 2 n z0 12丿 3C
=z
n =0
，由 {
r
12
<1
得
<1
「庄(-1^X n d ^ (-1)n
；
n=0
3C
x n dx =2：(-1)r
n M
n +1
(5)： f (x )=(x +1 j in (1 +x )-1); 解: f '(x )=ln (1 +x )=…=：£ (-1 y n=e
□c
= —1+2 (-1^
x n
^ (n +1 5+2)
□c
+ 2 (-刊
4 n=0
4n 42
三、傅里叶级数
(4)： arctan x * 2
； 2 x 2
1 解：arctanx = [ ----
2 0 1+t 2
dt = X 2 •0 £ (—1 )n t 2n dt n=0 □C x 2
处
v 4
n £
n=0
Li,i]
X
决* n f (x )=f (0)+.0 f '(xdx = -1 +』[2 (-1)
n z0
X
n
^
n +严一1
n 出
—dx
」n + 1
4 +x 2 T ； (6)： f (X )= arctan 4 -X 解:「(x }= 2x (4-x 2 )-(4 + X 2
) (-2x ) (4 -X 2
j
-8x
-16 + x 4
□c 4n 41 n =0 2
4n 4t X
c 4n 4t n=0
2
f (X )= f (0 )+ 0 f '(X dx = — + [ S (T y
4 P n=0
dx
n
+ X
n +1
,^ (-2,2)
例1:将f （X ）=兀2 —x 2
（—兀＜x ＜兀展开成傅里叶级数
a n 叮
1、丄a n cos —^b n sin 二x 称为三角级数,
2 n4 l l
处
n 雹
若a n =0（n =0,1,2,…则称艺b n sin 丄x 为正弦级数， n 二 l
a
处
n j[
若
b
n =0(n
= 1,2,
…),则称—a n COS 亠X 为余弦级数
2
2
l
:设f （X ）是周期为21的周期函数 若取
1 l 1 l n 兀 1 l
.... a 。

L f (xdx ，a n L f (X )cos-pxdx , b n = 1 f
(x )sin-pxdx ,n =
1,2；"
上述三角级数称为傅里叶级数 ，其中系数a 0,a n ,b n 称为傅里叶系数. 2.函数展开成傅里叶级数的条件（收敛定理）
设f （x ）是周期为21的周期函数，如果它在 L l ，l ）上连续，或只有有限个第一类间断点 并且至多有有限个极值点
，则f （x ）的傅里叶级数收敛 ，并且当x 为连续点时，级数收敛于
f （x ）本身，当x 为间断点时，级数收敛于2 f （X -）+ f （x +!J .
2 l
.
3.当 f
(X )为奇函数时，a n = O(n
= O,1,2
， ), b n = 了 _0 f (X sin
—l — xdx(n
= 1
,2
，)，此时展
开的傅里叶级数为正弦级数 .
当 f （x ）为偶函数时，a n = y f f （X bos 牛 xdx （n= 0,1,2，…）,b n =0（n=1,2，…）此时展 开的傅里叶级数为余弦级数.
4.周期延拓：若f （X ）仅在L l,l ）有定义，且满足定理条件，此时可将f （X 疥L 丨，丨）外作周期延
拓（即作以2l 为周期的周期函数 F （x ），使X 亡Ll,l ）,F （x ）= f （x ））,然后将F （x ）展开成傅里
叶级数，限制X 亡L|，| ），即得到f （x ）的傅里叶级数.
nA
n ；!
例1:将f （X ）=兀2 —x 2
（—兀＜x ＜兀展开成傅里叶级数
弦级数.
5.奇（偶）延拓:若f （x ）仅在0，1 ）有定义，且满足定理条件 ，此时可将f （x ）先在L 1,0 ）内作奇 （偶）延拓，，然后在［-1,1）外作周期延拓（即作以
21为周期的奇（偶）函数F （x ）,使
X 壬0, l ），F （X ）= f （X ）），然后将F （X ）展开成傅里叶级数 ，限制b ，l ），即得到f （x ）的正（余）
1 解:将f (X 在 L 兀，兀”卜作周期延拓，使其满意定理条件.可先考虑取g (x )= X 2
例3:将f (X )=x 2
在区间0,2兀］上展开成傅里叶级数
解：f(x )在 0,2兀”卜作周期延拓，使其满意定理条件
1 2兀
2 4
an = — 1 X cosnxdx = — ,n = 1,2,
a 0 = 兀0 n
a n
—[\2
cos nxdx = 兀0 n 2
, n =12…
a o
fx 2
dx
2 2
=—兀
3
b n =0, n = 1,2,…
故 g(x)=w +42；
3
cosnx,x€ L 兀，兀
所以f (X )=兀2
-x 2
2兀2 绘(-1f
『 +4送-―cosnx,x 亡 J 兀，兀
例2:设在区间L 兀，兀］上f (x )为可积的偶函数，且
+ X l=-f —一 X 丨,证明在
f (X ) 丿12丿 2
的展开式中系数 a 2n =0
证明：由f (x )为可积的偶函数，故展开式为余弦级数 •因此
a
2n
2 兀
=一[f(xbos2nxdx
兀0
=—'I [2
f (X )cos2nxdx + J 兀f (x )cos2nxdx LZ^ + I2 ) 兀L 二
」兀
I i
12
-t icos(n 兀—2nt dt ---,I 2
2
=『f +t j cos (nx +2nt dt ,又，cos(n 兀-2nt )=coSn 兀 +2nt )
故 a 2n ―
2
J 2dx =
'0
3
兀 兀一2nt dt = 22 I
, 1 2兀 2 . , 4兀 ，c bn =—f X Sinnxdx =———，n= 1,2，… 兀'0 n
令X =0,由2兀
2
故 4兀2 +；f
4cosn
x 4"inn
x
3
2
n4 n
f 2
x
%2
L- x €
(0,2；!)
x = 0,2;i 令X =兀，由兀2
+尹(-廿
n4
得Z 甲 n£ n
2 兀
"12
例4：怎样才能将在 $,-〕内可积的函数
f (X )延拓到 L 兀，兀),使其傅里叶展开式为
L 2丿
□c 送 A n sin(2n _1 x •
n i 解：展开式中只有正弦项，故可取f (x )=-f (-x ),又sin2nx 项不出现，故 b 2n =0, n = 1,2，…因此 b 2n =? 0兀f (x )sin2nxdx = f (x )sin2nxdx 3T 兀 L + Q f (x )sin2nxdx ] ； 」
2「匹 - 1 =-I [2
f (X )s i nZnxdx + [2 f (兀—t s i n2n-t dt I 兀r 0 J
2 县 =一 [2
〔f (X )— f (兀—X 』sin 2nxdx 兀p
取 f (X )= f 5 -x )则 b2n =0, n = 1,2，…,故当 f (x )满足 f (x )=—f (-x ) f (x )=5 -x 时,就使展开式满足要求.即 — f (x —兀，一兀兰 x <- —,
2
F(x 兀 -f (-X , -一 兰X <0, 2 f (x)
兀 0 Ex <—, 2
兀 f (兀一X , —< X < 兀.
2
『1 「X 0 — xw1 于 1
例5
：在区间b ，2】上将f l^x, 1^2展开成余弦级数，并求三;7,
□C 1
无-2
n4 n
解:先在L 2,0 ）内作偶延拓,，然后在L2,2 ）外作周期延拓，使其满足收敛定理要求. a n 2 …. =-[f (X posp- xdx =[ n ；! n 2；!2 1 n 兀， ,2 m , xcosy xdx + [ (2 一 X )cos 云 xdx n = 2m +1, 2c o 豎—1 —(一1 )n
L I 2 2 丿i m 0, 」(-1)m 兀 —1) n = 2m. n"，2
,… 2 ((-1)n
0, -4 m =2k, -1 )=( ：(2k -1%
m =2k -1. 2 2
a 0 = - .0 f (xPx 「0 xdx + I (2 —X d ^1, 所以，f (x )=-- 2
14： 1 2(2k -1；双
cos ------ -
X 亡0,2】 1
又,由f (O )=丄 2 oC 2 S --- -- =0 得送 2 沢 k T(2k -1) k q(2k -1) 处1 y 丄 厶 2 ni n □c ,Z 1
, £收敛，故 n£ (2k -1 2
'心(2n 2 £1 厶 2 心n [(2n —12 S 产」
3C 因此,z 1 ~2 n# n
例6:已 F （x ）=丄 J ： 2 n zi (2 n -1) f （X ）是以2兀为周期的函数 f （t f （x + t dt 展开成傅里叶级数
1 一 解：由 F (x +2兀)=—f f (t f (X +2兀 +t dt 兀 ' 一兀
2兀为周期的函数. 1 ”兀
由 F ( —x )= —J f (tf (—X +tdt =(令 u _ —JI
.
兀 a n ,b n 为其傅里叶系数，试将
1 ■- =—J f (t f (x +t dt = F (x )知：F (x )为以 兀■-兀 1严 =-X +1) — J 兀’—2
f (u + xf (u
du =厂 f (u f (u +xdu =F (x 知 F (X )为偶函数，故
-JI
A
处
F （X 的傅里叶级数为余弦级数：寸+送A n cosnx ,其中
=丄 j[f (t 『C f (X +t cosnxdxjt =丄:f (t ( U f (V )cosn(v-t dv)dt
1 兀 兀
=p 「f (t ｛「f (V (cosnvcosnt + sin nvsin nt)dv]dt 、一兀 '一兀 1兀 2 2
=一 J f (t )(a n cost +b n si nnt pt ^a 2
+b n , n = 0,1,2，…
JI '-JI
a
2
处
因此，F （X ）的傅里叶级数为 [+送（a ； +b ： bosnx 。

□C
2 兀 2 :
Al = — f F (X cos nxdx = — f
f 1 江 、 —f f (t )f (X + t pt icos
nxdx yif n z1
n =1
比如：已知2 …
k ■(2 k T f
3n++(-2 广X ______。