沪科版九年级数学下册第二十四章24.1_24.2综合检测作业【含答案】

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2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习试题(含详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线22y x =+绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（）A ．它们的开口方向相同B ．它们的对称轴相同C ．它们的变化情況相同D ．它们的顶点坐标相同4、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5、点P (3，﹣2)关于原点O 的对称点P '的坐标是（）A ．(3，﹣2)B ．(﹣3，2)C ．(﹣3，﹣2)D ．(2，3)6、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点．（2）作直线GH 交AB 于点E ．（3）在直线GH 上截取EF AE =．（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．则下列说法错误的是（）A ．AE BE =B ．GH CD ∥C ．AB =D ．45APB ∠=︒7、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．48、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9、已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为（）cm ．A．3πB．6πC．12πD．18π10、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20∠=︒，则CB∠的大小等于（）A．50︒B．25︒C．40︒D．20︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________2、如图，把O分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果O的周长为12π，那么该正六边形的边长是______．3、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．4、如图，正三角形ABC 的边长为a ，D 、E 、F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2a 长为半径作圆，图中阴影部分面积为______．5、在平面直角坐标系中，已知点(2,8)A a b --与点(2,3)B a b -+关于原点对称，则=a ________，b =________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi 详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >， M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接,,MA MB MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；（2）填空：如图3，已知等边ABC 内接于O ，2AB =，D 为AC 上一点，45ABD ︒∠=，AE BD ⊥于点E ，则BDC 的周长是_________．2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若2,4FH BF ==，求弧CD 的长．3、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD＝6，求线段AE的长．⊥，并经过圆心O）．4、如图，已知弓形的长12AB=，弓高2CD=，（CD AB（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O；（2）求弓形所在O的半径的长．5、如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作DC AE⊥交AE 的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线．AC ，求阴影部分的面积．（2）若9-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．3、B【分析】根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．【详解】抛物线22y x =+的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y 轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B 选项符合题意．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．4、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．故选：B．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．6、C【分析】连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据EF AE=可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．【详解】解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，∴AE BE=，故A正确；∵CD是ABC的高，∥，故B正确；∴GH CD∵EF AE =，AE BE =，∴2AB EF =，故C 错误；∵EF AE =，∴∠AFE =45°，同理可得∠BFE =45°，∴∠AFB ＝90°，1452APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．7、C【分析】先设半径为r ，再根据弧长公式建立方程，解出r 即可【详解】设半径为r ，则周长为2πr ，120°所对应的弧长为120222π3603rrππ︒⨯==︒解得r=3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．8、C【详解】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180︒后能与自身重合.9、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：它的侧面展开图的面积＝12×2π×2×3＝6π（cm2）．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10、A【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．二、填空题1【分析】过点D 作DF x ∥轴，交OC 于点F ，根据中位线定理可得1FD AO ==，设点C 到x 轴的距离为G ，则△AOE 的OA 边上的高14h H =，作OBC 的外接圆，则当点C 位于图中C '处时，'C G 最大，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点D 作DF x ∥轴，交OC 于点F ，∵A （－1，0），B （2，0），∴1OA =，2OB =，∵D 为线段BC 的中点，DF x ∥轴， ∴112FD OB ==，∴1FD AO ==，设点C 到x 轴的距离为H ，则△AOE 的OA 边上的高14h H =，作OBC 的外接圆，则当点C 位于图中C '处时，H 最大，因为30OCB OC B '∠=∠=︒，∴60OO B '∠=︒，∴OO B '为等边三角形，∴2O O O B OB =='=', ∴112OG OB ==, ∴tan 60G OG O '=︒ ∴2O C G C O G '''=+='∴(1111122424AOE S OA H =⨯=⨯⨯=，【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点C 的位置是解本题的关键．2、6【分析】如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，证明△AOB 、△BOC 、△DOC 、△EOD 、△EOF 、△AOF 都是等边三角形，再求出圆的半径即可．【详解】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ．∵正六边形ABCDEF ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA ，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝∠EOF ＝∠FOA ＝60°，∴△AOB 、△BOC 、△DOC 、△EOD 、△EOF 、△AOF 都是等边三角形，∵O 的周长为12π，∴O 的半径为1262ππ=，正六边形的边长是6；【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．3、3π 【分析】根据圆心角为n ︒的扇形面积是2360n R S π=进行解答即可得．【详解】解：这个扇形的面积212013603ππ⨯==．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．4、2π8a ⎫-⎪⎪⎝⎭ 【分析】阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积，而这三个扇形拼起来正好是一个半径为2a 半圆的面积，即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为2a 半圆的面积，因此求出半圆面积，连接AD ，则可求得AD 的长，从而可求得等边三角形的面积，即可求得阴影部分的面积．【详解】连接AD ，如图所示则AD ⊥BC∵D 点是BC 的中点 ∴1122BD BC a == 由勾股定理得22221322AD AB BD a a a ∴2113322ABC S BC AD a a a ∵S 半圆=22111228a a ∴S 阴影=S △ABC −S 半圆22233848a a a 故答案为：238a【点睛】本题是求组合图形的面积，扇形面积及三角形面积的计算．关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算．5、2 2【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a 、b 即可求得答案．【详解】解：∵点()2,8A a b --和点()2,3B a b -+关于原点对称，∴2238a b a b -=⎧⎨+=⎩， ∴22a b =⎧⎨=⎩，故答案为：2；2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）2+【分析】（1）首先证明()MBA MGC SAS ≅，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（2）首先证明()ABF ACD SAS ≅，进而得出AF AD =，以及CD DE BE +=，进而求出DE 的长即可得出答案．（1）证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA △和MGC 中BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()MBA MGC SAS ∴≅，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；（2）解：如图3，截取BF CD =，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB AC =，∵AD AD =∴ABF ACD ∠=∠，在ABF 和ACD △中AB AC ABF ACD BF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABF ACD SAS ∴≅，AF AD ∴=，AE BD ⊥，FE DE ∴=，则CD DE BE +=，45ABD ∠=︒，AB ∴=，∵2AB BC ∴==，∴BE则22BDC l BC CD BD BC BE =++=+=+故答案为：2+【点睛】此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．2、（1）相切，见解析（2）8 3π【分析】（1）连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，根据AG＝CG，CD⊥AB，可得CF CA=，从而OC⊥AF，再由∠AFB＝90°，可得CH∥AF，即可求证；（2）先证明四边形CMFH为矩形，可得OC⊥AF，CM＝HF＝2，从而得到AM＝FM，进而得到OM＝12BF ＝2，可得到CM＝OM，进而得到OC=4，AM垂直平分OC，可证得△AOC为等边三角形，即可求解．（1）解： CH与⊙O相切．理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，∵AG＝CG，∴∠ACG＝∠CAG，∴CF DA=，∵CD⊥AB，∴CA DA=，∴CF CA=，∴OC⊥AF，∵AB为直径，∵BH⊥CH，∴CH∥AF，∴OC⊥CH，∵OC为半径，∴CH为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，∴OC∥BH，∵CH∥AF，∴四边形CMFH为平行四边形，∵OC⊥CH，∴∠OCH=90°，∴四边形CMFH为矩形，∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，∴AM＝FM，∵点O为AB的中点，BF＝2，∴OM＝12∴CM=OM，∴OC=4，AM垂直平分OC，∴AC＝AO，而AO＝OC，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∵AC AD =，∴∠AOD ＝∠AOC ＝60°，∴∠COD ＝120°，∴弧CD 的长度为120481803ππ⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．3、（1）见解析；（2）6【分析】（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90︒，∵∠ABC ＝45︒，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒，∵∠AOC +∠OCE ＝180︒，∴AD ∥EC ；（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，∴∠OAC ＝45︒，∵∠BAC ＝75︒，∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒，∵AD ∥EC ，∴30E BAD ∠=∠=︒，∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°，∴四边形OAFC 是矩形，∵OA ＝OC ，∴四边形OAFC 是正方形，∴AF OA =，∵6AD =， ∴132AF AD ==，在Rt △AFE 中，30E ∠=︒，∴AE =2AF =6．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．4、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC 的垂直平分线，与直线CD 的交点即为圆心；（2）连接OA ，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O 即是圆心；（2）解：连接OA ，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =， ∴162AD BD AB ===， ∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．5、（1）见详解；（2）6S π阴影【分析】（1）连接OD ，由题意易得//,OE BD OE BD OD OB ===，则有△ODB 是等边三角形，然后可得△AEO 也为等边三角形，进而可得OD ∥AC ，最后问题可求证；（2）由（1）易得AE =ED ，∠CED =∠OBD =60°，然后可得圆O 的半径，进而可得扇形OED 和△OED 的面积，则有弓形ED 的面积，最后问题可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：∵四边形BDEO 是平行四边形，∴//,OE BD OE BD OD OB ===，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =∠BOD =60°，∴∠AOE =∠OBD =60°，∵OE =OA ，∴△AEO 也为等边三角形，∴∠EAO =∠DOB =60°，∴AE ∥OD ，∴∠ODC +∠C =180°，∵CD ⊥AE ，∴∠C =90°，∴∠ODC =90°，∵OD 是圆O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1）得∠EAO =∠AOE =∠OBD =∠BOD =60°，ED ∥AB ，∴∠EAO =∠CED =60°，∵∠AOE +∠EOD +∠BOD =180°，∴∠EOD =60°，∴△DEO 为等边三角形，∴ED =OE =AE ，∵CD ⊥AE ，∠CED =60°，∴∠CDE =30°，∴2ED CE AE ==，∵9AC =，∴3,6CE AE OE ED ====，∴CD ==设△OED 的高为h ，∴sin 60h OE =⋅︒=∴21=63602OEDED OED n r S S S ED h ππ-=-⋅=-弓形扇形∴(1=662CED ED S S S CE CD ππ-=⋅--=阴影弓形．【点睛】本题主要考查扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形是解题的关键．。

沪科版九年级数学下册第24章圆单元测试卷【含答案】

沪科版九年级数学下册第24章圆单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是（）A.5B.10C.15D.202. 如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．若AP=8，PB=2，则PC的长是（）A.4B.√2C.5D.无法确定3. 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120∘，OC=6，则BC^的长为（）A.3πB.4πC.5πD.6π4. 在第二届昆明国际旅游节前，为美化城市，需在绿化带上放置一定数量的圆柱形花柱，花柱底面直径1.2米，高为3米，则一个花柱的侧面积是（）A.1.8π米2B.3.6π米2C.4.32π米2D.7.2π米25. 已知半径为4的圆O与直线l没有公共点，那么圆心O到直线l的距离d满足（）A.d=4B.d>4C.d<4D.d≤46. 等腰△ABC中，AB=AC，O是腰AB上一点（不同于A、B），以OB为半径，作圆交边BC于D，E是边AC上一点，连接DE，①若AB是⊙O的直径，且DE是⊙O的切线，则DE⊥AC；②若AB是⊙O的直径，且DE⊥AC，则DE是⊙O的切线；③若DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，则AB是⊙O的直径．上述命题中，正确的命题是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③7. 下列说法正确的是（）A.三点确定一个圆B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等8. 将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A. B.C. D.9. 下列说法中正确的是（）A.垂直于半径的直线是圆的切线B.圆的切线垂直于半径C.经过半径的外端的直线是圆的切线D.圆的切线垂直于过切点的半径二、填空题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分，）10. 如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40∘，则∠B=________度，∠ADC=________度．11. 平移也可以通过连续多次轴对称变换来实现，水平或竖直方向的平移只需通过________次轴对称变换即可完成．12. ⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是________．13. 在同一平面内与已知点O的距离等于3cm的所有点组成的图形是________．14. 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别切于L、M、N、P，且AB=10cm，CD=5cm，则四边形ABCD周长为________cm．15. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC=2√3，⊙O的半径是________．16. 如图，在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，试填写一个你认为正确的结论：________．17. 如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=8cm，C是AB^上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED 的周长是________cm．18. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以√5cm长为半径画圆，则点M与⊙C的位置关系是________．19. 如图，圆柱形水管内积水的水面宽度CD=8cm，F为CD^的中点，圆柱形水管的半径为5cm，则此时水深GF的长度为________cm．20. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20∘，则∠DBC=________度．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分，）21.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）22. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF为⊙O的切线，交AC于点F．(1)求证：EF⊥AC；(2)若FC=3，BE=2，OB=2，求BC的长．23. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线AQ交BC于点P，交⊙O于点Q．已知AC=6，∠AQC=30度．(1)求AB的长；(2)求点P到AB的距离；(3)求PQ的长．24. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，过点D作⊙O的切线EF，与AC的延长线交于点E，与AB的延长线交于点F．(1)试判断EF与BC的位置关系，并说明理由；(2)若FD=6，AF=9，求⊙O的半径．25. 已知：如图，在△ABC中，∠B=90度．O是BA上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E ，与AC切于点D，AD=2，AE=1．设P是线段BA上的动点（P与A、B不重合），BP=x．(1)求BE的长；(2)求x为何值时，以P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形；(3)在点P的运动过程中，PD与△PBC的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；(4)请再提出一个与动点P有关的数学问题，并直接写出答案．答案1. B2. A3. B4. B5. B6. B7. B8. D9. D10. 408011. 两12. 内切13. 以点O为圆心，3cm长为半径的圆14. 3015. 216. CM=CN，或BM^，或AM^=AN^，（只要填对其中一个即给满分）17. 1618. M在⊙C上19. 220. 3521. 解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可．22. (1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OE，∴∠ABC =∠OEB ， ∴EO // AC ，∴∠OEF =∠EFC ， ∵直线EF 是⊙O 切线， ∴OE ⊥EF ，∴∠OEF =∠EFC =90∘，∴EF ⊥AC ．(2)解：连接DE ．∵BD 是直径，∴∠DEB =90∘=∠EFC ， ∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠C ， ∴△DBE ∽△ECF ， ∴EC BD =FC BE ，又∵BD =2OB =4， ∴EC 4=32， ∴EC =6，∴BC =BE +EC =8．23. 解：(1)因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB =90度．又因为∠ABC =∠AQC =30∘，AC =6，则AB =12．(2)由(1)可知∠BAC =60∘，AO =6，由于AQ 是∠BAC 的平分线，所以∠CAQ =∠BAQ =30∘，则有∠BAQ =∠ABC =30∘，所以△APB 是等腰三角形．连接PO ，则PO 就是点P 到AB 的距离．在Rt △AOP 中，PO =AO ⋅tan30∘=2√3．故所求点P 到AB 的距离为2√3．(3)因为∠BCQ =∠BAQ =30∘， ∴∠AQC =∠BCQ ，则PQ =CP ，由于AP 是∠BAC 的平分线，∠ACP =∠AOP =90∘，所以CP =PO =2√3，那么PQ =2√3． 24. ⊙O 的半径为2.5．25. 当x =32或125时，以P 、D 、A 为顶点的三角形与△ABC 相似． ②当x 为何值时，PD +PC 的和最小；答：当x =127时，PD +PC 的和最小．。

2022年最新强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试试卷(含答案解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（）A ．3B ．4C ．5D ．63、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（）A ．B ．CD ．84、下列各点中，关于原点对称的两个点是（）A ．（﹣5，0）与（0，5）B ．（0，2）与（2，0）C ．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）D ．（2，﹣1）与（﹣2，1）5、下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C．D．6、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π7、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C．D8、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是ABC 内的一个动点，满足222AC AD CD -=．若AB =4BC =，则BD 长的最小值为_______．2、如图，点C 是半圆AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使BC 在正方形内），连OE ，若AB ＝4cm ，则OE 的最大值为_____cm ．3、如图，ODC △是由OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100°，则B 的度数是______．4、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．5、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥OC 于E 点，C 在圆上，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径AO ＝___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB 是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0MN=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．2、如图，AB BC =，ABC BCE α∠=∠=，点D 是BC 上一点，AD 与BE 相交于点F ，且BFD α∠=．（1）求证：BFD ABD ∽△△；（2）求证：AD BE =；（3）若点D 是BC 中点，连接FC ，求证：FC 平分DFE ∠．3、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是AB 边上一点（与A 、B 不重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 、BE（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）若BE =5，DE =13，求AB 的长4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若2,4FH BF ==，求弧CD 的长．5、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是直径，点C 是劣弧BD 的中点．（1）求证：AB AD =．（2）若60ACD ∠=︒，AD =，求BD ．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，当O ，P 共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB 为直径构造，设圆心为O ，过点B 作BC ⊥l ，垂足为C ，∵A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，∴∠ABC =∠PBC =∠BOC =∠BPC =45°，∴OC =CB =CP =20，∴OP =40，OB∴最小的距离PE =PO -OE m ），故选D ．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．2、B【分析】由切线的性质可推出OA AP ⊥，OB BP ⊥．再根据直角三角形全等的判定条件“HL ”，即可证明OAP OBP ≅，即得出4PB PA ==．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴在Rt OAP △和Rt OBP 中，OA OB OP OP =⎧⎨=⎩， ∴()OAP OBP HL ≅，∴4PB PA ==．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．3、A【分析】过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，115,53222OD AB OP AB AP ∴===-=-=OE CD ⊥，30APC ∠=︒112OE OP ∴==在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥2CD DE ∴==故选A【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．4、D【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：A 、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A 错误；B 、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B 错误；C 、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x 轴对称，故C 错误；D 、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．5、C根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．6、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】×2π×2×3＝6π（cm2）．解：它的侧面展开图的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7、A如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x = 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A ，G ， H 三点的圆的圆心是解本题的关键.8、B【分析】由题意依据每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.【详解】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度α 360660︒=÷=.故选：B.【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．9、A【详解】解：A 、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180︒，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．10、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．二、填空题1、2【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC =90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵222AC AD CD -=，即222=AC AD CD +，∴∠ADC =90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，∵AB =4BC =，∠ACB =90°，∴AC =， ∴1132OC OD AC ===，∴5OB =，∴112BD OB OD =-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．2、2)【分析】如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，∵四边形BCDE是正方形，∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，∴△OCD≌△OBE（SAS），∴OE＝OD，根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，∵∠MCB＝12∠MOB＝12×90°＝45°，∴∠DCM＝∠BCM＝45°，∵四边形BCDE是正方形，∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，在△EMD和△EMB中，DE BC MED MEB WE WEE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MED ≌△MEB （SAS ），∴DM ＝BM＝cm ），∴OD 的最大值＝，即OE 的最大值＝+2；故答案为：（）cm ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD 取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．3、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，再求出∠BOD ，∠ADO ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，∵∠AOC ＝100°，∴∠BOD ＝100°−30°×2＝40°，∠ADO ＝∠A ＝12（180°−∠AOD ）＝12（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B ＝∠ADO −∠BOD ＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4、3【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA ，PB 分别为O 的切线，PA PB ∴=，PAB ∴为等腰三角形，30OAB ∠=︒，60PAB ∴∠=︒，PAB ∴∆为等边三角形，AB PA ∴=，3AB ∴=．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线． 5、5 【分析】设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OD =r -2，先由垂径定理得到AD =BD =12AB =4，再由勾股定理得到42+（r -2）2=r 2，然后解方程即可．【详解】解：设⊙O 的半径为r ，则OC =OA =r ，OE =OC -CE =r -2， ∵OC ⊥AB ，AB =8， ∴AE =BE =12AB =4，在Rt △OAE 中，由勾股定理得：42+（r -2）2=r 2，解得：r =5，即⊙O 的半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．三、解答题1、（1）EF 、CD ；（2）①1(0,)2M ；②02S ≤≤；（3）1916π⎛⎝⎭;（4）1y >或1y <-（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1=2，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11cos cos QO POMOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可；（4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围【详解】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>故符合题意的“反射线段”有EF 、CD ；故答案为：EF 、CD（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A BA 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），∴AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O 'O 的半径为1，1190AOB ∠=︒11A B ∴1145B A O =︒线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，，(0,1)O ' 1(0,)2M ∴②由①可得当0S =时，y M 1=2如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，(0,1)O ' 1(,1)O S S ∴+()222211221OO S S S S ∴=++=++过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴1(,)22S S Q +∴12≤y M 136≤， 136OM ∴=11cos cos QO POMOQ O OP OM OO ∠=∠== 即11112136OO S OO += 即()21113126OO S =+⨯∴()2113126S S S ++=+ 解得1252,6S S ==-（舍） 02S ∴≤≤（3）1MN =∴1M N ''=O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线222OO ∴==2112OR OO ∴==∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．（4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,设(2,0)T则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形3O L ML ∴,TL ∴==3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，1SA ∴是3OO T 的中位线1312SA O T ∴==,13SA TO ∥即3OO 的中点1A 在以S∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线设S 与y 轴交于点,C D112OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=同理可得1OD =∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键． 2、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）在BDF 和ABD 中，=BFD ABD α∠=∠，BDF ADB ∠=∠，故可证明三角形相似．（2）由ABD BCE ≌得出AD BE =．（3）法一：由题意知BD CD =，由BFD ABD ∽得BD FDAD BD=，有22BD DF DA CD =⋅=，所以可得CD DFAD CD =，又因为ADC CDF ∠=∠可得CDF ADC ∽，DFC DCA ∠=∠；由于1802BAC BCA DCA DFC α︒-∠=∠==∠=∠，180180EFC 18022ααα︒-︒-∠=︒--=，进而说明DFC EFC ∠=∠，得出FC 平分DFE ∠．法二：通过BFD BCE α∠=∠=得出F 、D 、C 、E 四点共圆，由CD BD CE ==得DFC EFC ∠=∠，从而得出FC 平分DFE ∠．【详解】解：（1）证明在BDF 和ABD 中BFD ABDBDF ADB DBF DAB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ BDF ABD ∽．（2）证明：在ABD 和BCE 中DAB EBC AB BCABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD BCE ∴≌ ()ASAAD BE ∴=．（3）证明：BFD ABD ∽2BD DF DA ∴=⋅又D 是BC 中点 BD CD ∴=2CD DF DA ∴=⋅CDF ADC ∴∠=∠CDF ADC ∴∽DFC DCA ∴∠=∠ AB AC =，ABC α∠=1802BAC BCA α︒-∴∠=∠=1802DFC DCA BCA α︒-∴∠=∠=∠=180180EFC 18022ααα︒-︒-∴∠=︒--= DFC EFC ∴∠=∠ FC ∴平分DFE ∠．法二：BFD BCE α∠=∠=∴F 、D 、C 、E 四点共圆又D 是BC 点， CD BD CE ∴==DFC EFC ∴∠=∠ FC ∴平分DFE ∠．【点睛】本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．3、（1）见解析；（2）17 【分析】（1）由旋转的性质可得CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ；（2）由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，可得∠CAB ＝∠CBA ＝45°，再由△ACD ≌△BCE ，得到BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，则∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，然后利用勾股定理求出BD 的长即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ， ∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵△ACD ≌△BCE ，∴BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°， ∴∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，∴12BD ==， ∴AB =AD +BD =17．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4、（1）相切，见解析（2）8 3π【分析】（1）连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，根据AG＝CG，CD⊥AB，可得CF CA=，从而OC⊥AF，再由∠AFB＝90°，可得CH∥AF，即可求证；（2）先证明四边形CMFH为矩形，可得OC⊥AF，CM＝HF＝2，从而得到AM＝FM，进而得到OM＝12BF ＝2，可得到CM＝OM，进而得到OC=4，AM垂直平分OC，可证得△AOC为等边三角形，即可求解．（1）解： CH与⊙O相切．理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，∵AG＝CG，∴∠ACG＝∠CAG，∴CF DA=，∵CD⊥AB，∴CA DA=，∴CF CA，∴OC⊥AF，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∵BH⊥CH，∴CH∥AF，∴OC⊥CH，∵OC为半径，∴CH为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，∴OC∥BH，∵CH∥AF，∴四边形CMFH为平行四边形，∵OC⊥CH，∴∠OCH=90°，∴四边形CMFH为矩形，∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，∴AM＝FM，∵点O为AB的中点，BF＝2，∴OM＝12∴CM=OM，∴OC =4，AM 垂直平分OC ，∴AC ＝AO ，而AO ＝OC ，∴AC ＝OC ＝OA ，,∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∵AC AD =，∴∠AOD ＝∠AOC ＝60°，∴∠COD ＝120°，∴弧CD 的长度为120481803ππ⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、（1）见详解；（2）BD =【分析】（1）由题意及垂径定理可知AC 垂直平分BD ，进而问题可求解；（2）由题意易得60ABD ACD ∠=∠=︒，然后由（1）可知△ABD 是等边三角形，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵AC 是直径，点C 是劣弧BD 的中点，∴AC 垂直平分BD ，∴AB AD =；（2）解：∵AD AD =，60ACD ∠=︒，∴60ABD ACD ∠=∠=︒，∵AB AD =，∴△ABD 是等边三角形，∵AD =∴BD AD =【点睛】本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．。

沪科版九年级下册数学第24章圆含答案(配有卷)

沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A.6，3B.3 ， 3C.6，3D.6 ， 32、如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，用该扇形铁皮围成一个圆锥，则所得圆锥的底面圆的半径为（）A. 米B. 米C. 米D. 米3、下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.矩形B.平行四边形C.圆D.等边三角形4、下列事件：①对顶角相等，②矩形的对角线相等，③同位角相等，④平行四边形是中心对称图形，其中不是必然事件的是（）A.①B.②③C.③D.④5、如图，半径为10的扇形中，，为弧AB上一点，，，垂足分别为、.若为，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.6、如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为 ( )A.（ -3, 1）B.(1, -3)C.(1, 3)D.（3, -1）7、下列条件中，能确定圆的是（）A.以已知点O为圆心B.以1cm长为半径C.经过已知点A，且半径为2cmD.以点O为圆心，1cm为半径8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为( )A.(1，)B.( －1，)C.(0，2)D.(2，0)9、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．若⊙O的半径为3，则弧BC的长是( )A. B.π C. D.10、如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为（）A.70°B.60°C.40°D.35°11、下列判断中正确的是（）A.平分弦的直线垂直于弦B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦12、已知圆锥侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36º，圆锥的母线长为（）A.100cmB.10cmC. cmD. cm13、如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A.288°B.144°C.216°D.120°14、如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，则菱形ABCD的边长为( )A.4B.5C.6D.915、钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（）A. cmB. cmC. cmD. cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC 的度数是________.17、如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线.若大圆半径为，小圆半径为，则弦的长为________.18、中，，，，为内一个动点，则的最小值为________.19、如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为．则这个冰激凌外壳的侧面积等于________．（结果保留）20、如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=________度．21、如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为________．22、如图，AB、CD为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF折叠，使B与圆心M重合，折痕EF与AB相交于N，连结AE、AF，得到了以下结论：①四边形MEBF是菱形，②△AEF为等边三角形，③S△AEF∶S圆=3 ∶4π，其中正确的是________.23、将一块弧长为2 的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的高为________24、如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转，点A，B的对应点分别为、，当点恰好落在线段上时，弧与线段、围成的阴影部分的面积为________．25、一个扇形的半径长为12cm，面积为24πcm2，则这个扇形的弧长为________cm.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．27、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置．（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1．28、如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由．29、如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD 为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8 m，罐底最低点到地面CD距离为1 m．设油罐横截面圆心为O，半径为5 m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin 53°≈0.8，tan 56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)30、如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝30°，求∠B的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、D4、C5、A6、D7、D9、B10、A11、C12、B13、A14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、30、。

2021-2022学年度沪科版九年级数学下册第24章圆章节测试试卷(精选含答案)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④2、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°3、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4、下列各点中，关于原点对称的两个点是（）A ．（﹣5，0）与（0，5）B ．（0，2）与（2，0）C ．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）D ．（2，﹣1）与（﹣2，1）5、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6、如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（）A ．8B ．C ．D ．7、下列说法正确．．的个数有（）①方程210x x -+=的两个实数根的和等于1；②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；⑤如果反比例函数的图象经过点()1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．26︒B ．32︒C ．52︒D ．64︒10、往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cm AB =，则水的最大深度为（）A ．36 cmB ．27 cmC ．24 cmD ．15 cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．2、一个正多边形的中心角是40︒，则这个正多边形的边数为________．3、点（2，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．4、一个五边形共有__________条对角线．5、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径．．是______步．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在⊙O 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，垂足为点E ．（1）求∠ABD 的度数；（2）图2，连接OA ，当OA ＝2，∠OAB ＝15°，求BE 的长度；（3）在（2）的条件下，求CD 的长．2、如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且90DEC ∠=︒．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若30C ∠=︒，CE =O 的半径．3、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．4、如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''，．（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；（2）当∠BPC ＝120°时，①直接写出P BP '∠ 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．5、如图，已知等边ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 的中点，连接DB ，DC ，过点C 作AB 的平行线，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AB 的长为6，求CE 的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE =CP 存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD =CE =Rt△BPC 中，BP 最小3==可判断③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，AB =AC =6，∠BAC =90°，BP =CO =AO =1122BC ==⨯，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==，可求∠ACE =30°，根据圆周角定理得出∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==，可得∠ABD =30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD =60°，点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，L PAP '12032180ππ⨯==可判断④点P 运动的路径长为2π正确即可．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．∴∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯， ∴∠DAB +∠BAE =90°，∠BAE +∠EAC =90°，∴∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），故①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，∵△AEC ≌△ADB ，∴∠DBA =∠EC A ，∴∠PBA +∠P =∠ECP +∠BAC ，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE===，∴CP最大=PE+EC=3+故②CP存在最大值为3+∵△AEC≌△ADB，∴BD=CE=在Rt△BPC中，BP最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==， ∴∠ACE =30°，∴∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==， ∴∠ABD =30°，∴∠AOP′=2∠ABD =60°，∴点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '， ∵∠POP =∠POA +∠AOP ′=60°+60°=120°，∴L PAP '12032180ππ⨯==．故④点P 运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B ．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．2、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA= 40°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、D【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．5、A【分析】中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．6、C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接CP，∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，∴∠CPO=90°，∠COP=45°，∴∠PCO=∠COP=45°，∴CP=OP=4，∴OC=，故选C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．7、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k ,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．8、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.9、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．10、C【分析】连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：则136()2BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，39()OB OC cm ∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题1、12 【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=；如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．2、九9【分析】根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵这个正多边形的中心角是40°，∴40360n ︒⋅=︒，∴9n =，∴这个正多边形是九边形，故答案为：九．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．3、 (-2，3)【分析】根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．【详解】点(2，-3)关于原点的对称点的坐标是(-2，3)．故答案为: （-2，3）．【点睛】本题主要考查点关于原点对称，解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系．4、5【分析】由n边形的对角线有：()32n n-条，再把5n=代入计算即可得．【详解】解：n边形共有()23n n-条对角线，∴五边形共有()55352-=条对角线．故答案为：5【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．5、6【分析】依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；【详解】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：r；17=依据直角三角形面积公式：12S ah=，即为1815602S=⨯⨯=；内切圆半径面积公式：1()2S r a b c =++，即为1(81517)2S r =⨯++；所以160(81517)2r =++，可得：3r =，所以直径为：26d r ==；故填：6；【点睛】本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积；三、解答题1、（1）45︒；（21；（3）3π 【分析】（1）如图，过O 作,,OHAC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB 证明,AH BQ 四边形OHEQ 为正方形，可得,EH EQ 证明,AE BE = 可得答案；（2）先求解30,1,3,OAH OH AH 再结合（1）的结论可得答案；（3）如图，连接,,,CD OC OD 先求解30,OCH 再证明,45,CE DE ECD 再求解75,ODC OCD 可得30,COD 再利用弧长公式计算即可.【详解】解：（1）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB,,AH CH BQ DQ ,AC BD =,AH BQ CH DQ,AC BD ⊥∴ 四边形OHEQ 为矩形，由勾股定理可得：222222,,OH OA AH OQ OB BQ 而,OA OB =,OH OQ ∴= ∴ 四边形OHEQ 为正方形，,EH EQ,EA EB ∴= 而90,AEB ∠=︒45.ABD ∴∠=︒（2）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q由（1）得：四边形OHEQ 为正方形，45,,ABD BAC EA EB,EH OH OA ＝2，∠OAB ＝15°， 22130,1,3,2OAH OH AO AH OA OH1,31,HE HO AE3 1.BE（3）如图，连接,,,CD OC OD30,,OAHOA OC 30,OCH,,,ACBD AE BE AC BD ,45,CE DE ECD304575,OCD,OC OD = 75,ODC OCD180757530,COD 302.1803DC l【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.2、（1）证明见解析；（2 【分析】（1）连接OD ，AD 只要证明OD DE ⊥即可．此题可运用三角形的中位线定理证//OD AC ，因为DE AC ⊥，所以OD DE ⊥．（2）根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出CD 的长和AD 、AC 的长，即可根据中位线性质12OD AC =求出OD 的长，即O 的半径长．【详解】（1）证明：连接OD ．因为D 是BC 的中点，O 是AB 的中点，//OD AC ∴，12OD AC =CED ODE ∴∠=∠． DE AC ⊥，90CED ODE ∴∠=∠=︒．OD DE ∴⊥，OD 是圆的半径，DE ∴是O 的切线．（2）如图，90DEC =︒∠，30C ∠=︒，12DE CD ∴=，2AC AD =，222CE DE CD +=，且CE =2221()2CD CD ∴+=， 4CD ∴=，90ADC ∠=︒且30C ∠=︒，∴222AD CD AC +=，2AC AD =2224(2)AD AD ∴+=，AD ∴=，AC =∴ 12OD AC =，O ∴．【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．3、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA ，根据已知条件证明OA ⊥AE 即可解决问题；（2）取CD 中点F ，连接OF ，根据垂径定理可得OF ⊥CD ，所以四边形AEFO 是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA ，∵AE ⊥CD ，∴∠DAE +∠ADE =90°．∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE =∠ADO ，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．4、（1）BP CP '=，理由见解析；（2）①60°；②PM ＝12AP ，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，再由由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解；（2）①由∠BPC ＝120°，可得∠PBC ＋∠PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC ＋∠ACB ＝120°，进而得到∠ABP ＋∠ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．进而得到BN BP '= ．根据①可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1）BP CP '= ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即BAP CAP '∠=∠在ABP '△和△ACP 中AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴ABP ACP SAS '≌（）．∴BP CP '= ．（2）①∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∵ABP ACP '≌ ．∴ABP ACP '∠=∠ ，∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝；②PM ＝12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ．在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM ≌△NBM （SAS ）．∴CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．∴BN BP '= ．∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∴∠PBC ＋∠NBM ＝60°．即∠NBP ＝60°．∵∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝．∴P BP NBP '∠∠＝．在△PNB 和P B P ' 中BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PNB PP B '≌ （SAS ）．∴PN PP '= ．∵60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP ' 为等边三角形，∴P P AP '= ．∴PN AP = ，∴PM ＝12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．5、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC ，OB ，由等边三角形的性质可得∠ABC =∠BCE =60°，求出∠OCB =30°，则∠OCE =90°，结论得证；（2）根据题意由条件可得∠DBC =30°，∠BEC =90°，进而即可求出CE =12BC ＝3．【详解】解：（1）证明：如图连接OC 、OB ．∵ABC ∆是等边三角形∴ 60A ABC ∠=∠=∵//AB CE∴ 60BCE ABC ︒∠=∠=又 ∵OB OC =∴30OBC OCB ︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．。

2020年沪科版九年级数学下册第24章圆单元综合评价试卷含解析

2020年沪科版九年级数学下册第24章圆单元综合评价试卷含解析姓名座号题号一二三总分得分考后反思（我思我进步）：一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等2．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（）A．B．C．1D．23．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA＝10，水面宽AB＝16，则排水管内水的最大深度CD的长为（）A．8B．6C．5D．44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E 是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°7．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（）A．先逆时针旋转90°，再向左平移B．先顺时针旋转90°，再向左平移C．先逆时针旋转90°，再向右平移D．先顺时针旋转90°，再向右平移8．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（）A．B．C．D．9．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n 的最小值为（）A．45B．60C．72D．14410．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）11．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．正五边形12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．B．（5，1）C．D．（6，1）二．填空题（共8小题）13．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为．15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是．16．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为°．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝．19．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少度，能够与本身重合．20．如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？22．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD＝∠CBD；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．23．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．24．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．27．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．28．（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．2．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（）A．B．C．1D．2【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．3．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA＝10，水面宽AB＝16，则排水管内水的最大深度CD的长为（）A．8B．6C．5D．4【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．【解答】解：∵AB＝16，OD⊥AB，OA＝10，∴AC＝AB＝8，∴OC＝＝6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E 是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE的度数是解题关键．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理即可求出答案【解答】解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．7．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（）A．先逆时针旋转90°，再向左平移B．先顺时针旋转90°，再向左平移C．先逆时针旋转90°，再向右平移D．先顺时针旋转90°，再向右平移【分析】根据旋转和平移的性质即可解答．【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．故选：A．【点评】本题结合游戏，考查了旋转和平移的性质：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．（2）平移的性质：①对应点之间的连线平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等；②平移方向为前后对应点射线的方向，距离为对应点之间线段的长度；③平移前后图形的形状与大小都没有发生变化，即为全等形．8．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（）A．B．C．D．【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF 位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG 的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，∴HM∥BE，∵H是EG的中点，∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，在Rt△CHM中，CH＝＝．故选：D．【点评】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n 的最小值为（）A．45B．60C．72D．144【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）【分析】先求得直线AB解析式为y＝x﹣1，即可得出P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴P（0，﹣1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，∴m＝﹣4，n＝﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A．【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB 的解析式是解题的关键．11．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．正五边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．B．（5，1）C．D．（6，1）【分析】根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C＝30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C 的坐标即可．【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），∴y＝2，∴点A的坐标为（2，2），∴AB＝2，OB＝2，由勾股定理得，OA＝＝＝4，∴∠A＝30°，∠AOB＝60°，∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，∴∠C＝30°，CD∥x轴，设AB与CD相交于点E，则BE＝BC＝AB＝×2＝，CE＝＝＝3，∴点C的横坐标为3+2＝5，∴点C的坐标为（5，）．故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出△AOB的各角的度数以及CD∥x轴是解题的关键．二．填空题（共8小题）13．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是60°．【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．【解答】解：连接OD，∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，∴∠ODE＝2∠C＝40°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝40°，∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为6．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝8，又∵OD＝AB＝10，∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，∴OE＝＝6，则OE的长度为6．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是（1，1）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：如图所示，作弦AC和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心D（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂直于弦（非直径）的直径平分弦是解答此题的关键．16．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为40°．【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝50°，∠COD＝60°，则∠BOC ＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝40°，于是得到的度数为40°．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°，∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°，∴的度数为40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了120°．【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝40°．【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．【解答】解：由题意得：AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°，∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°；由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，故答案为40°．【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．19．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少120度，能够与本身重合．【分析】等边三角形的三边中线的交点就是等边三角形的中心，等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少120度，能够与本身重合．【解答】解：等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少360÷3＝120度．【点评】等边三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要重点掌握的内容．20．如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，∴在Rt△EDA中，AE的长是：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB 得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连结OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴＝，∴AC＝BD．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．22．如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD＝∠CBD；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．【分析】（1）根据OD⊥BC于E可知＝，所以BD＝CD，故可得出结论；（2）先根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，再OD⊥BC于E可知OD∥AC，由于点O 是AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故OE＝AC，在Rt△OBE中根据勾股定理可求出OB的长，故可得出DE的长，进而得出结论．【解答】解：（1）∵OD⊥BC于E，∴＝，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC于E，∴OD∥AC，∵点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC＝×6＝3，在Rt△OBE中，∵BE＝4，OE＝3，∴OB＝＝＝5，即OD＝OB＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【分析】先利用Rt△AOC求出半径，再利用勾股定理求出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可做出正确判断．【解答】解：不需要采取紧急措施理由如下：设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18∴R2＝302+（R﹣18）2＝900+R2﹣36R+324解得R＝34（m）连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中ME＝16∴342＝162+（34﹣x）2＝162+342﹣68x+x2＝342x2﹣68x+256＝0解得x1＝4，x2＝64（不合题意，舍去）∴DE＝4∵4＞3.5，∴不需采取紧急措施．【点评】本题主要利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解．24．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD＝BC，求证：AB＝CD．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，AD＝BC，则，则，则AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴，∴，即，∴AB＝CD．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE＝BE﹣AD．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CD+CE＝AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，而AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）如图3，∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．【点评】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．【分析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2＝2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．【点评】（1）此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（2）此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．27．已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．【分析】画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点，即B，O，E共线，并且OB＝OE，C，O，F共线，并且OC＝OF．【解答】解：作法如下：图中A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F；AB对应线段是DE，BC对应线段是EF，CD对应线段是AF．【点评】本题考查了中心对称图形的画法．中心对称图形是图形绕对称中心旋转180°后的图形，旋转角是平角，对应点和对称中心应该共线，并且被对称中心平分．28．（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转后A，B两点对应坐标，即可得出答案；（2）根据中心对称图形的性质，连接AO，BO，CO，并延长，使OA″＝OA，C″O＝CO，B″O＝BO，再连接A″B″，B″C″，A″C″即可．【解答】解：（1）（2）如图所示：【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是解题关键．。

2022年沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试试题(含答案及详细解析)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)2、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，38∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AEDC∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°3、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20∠=︒，则CB∠的大小等于（）A ．50︒B ．25︒C ．40︒D ．20︒4、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°6、下列叙述正确的有( )个.（1）y y =随着x 的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．26︒B ．32︒C ．52︒D ．64︒8、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD ＝∠DEF ＝90°，AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A ，G ， H 三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C ．D 9、如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（）A ．8B ．C ．D ．10、如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角64DCE ︒∠=，那么BOD ∠的度数为（）A ．20︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是ABC 内的一个动点，满足222AC AD CD -=．若AB =4BC =，则BD 长的最小值为_______．2、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）3、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．（I ）求证：ABD ACE △△≌；（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．4、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．5、如图，将半径为10cm 的圆形纸片沿一条弦AB 折叠，折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，则弦AB 的长度为________cm ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．①求点F 的坐标；②直接写出点P 的坐标．2、已知，P 是直线AB 上一动点（不与A ，B 重合），以P 为直角顶点作等腰直角三角形PBD ，点E 是直线AD 与△PBD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，直线BE 与直线PD 相交于点F ．（1）如图，当点P 在线段AB 上运动时，若∠DBE ＝30°，PB ＝2，求DE 的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．⊥，并经过圆心O）．3、如图，已知弓形的长12AB=，弓高2CD=，（CD AB（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O；（2）求弓形所在O的半径的长．4、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC是等腰直角三角形．5、解题与遐想．如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？计算验证（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．拼图演绎（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．尺规作图（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB 相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）-参考答案-一、单选题1、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P （-3，1）关于原点O 中心对称的点的坐标为（3，-1）．故选：C ．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．2、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.3、A【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA ⊥AP ，∴∠PAO =90°，∵∠P =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB ，∵∠AOP =∠B +∠OAB ，∴∠B =12∠AOP=12×50°=25°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．6、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确；如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确；三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．7、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．8、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.9、C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接CP，∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，∴∠CPO=90°，∠COP=45°，∴∠PCO=∠COP=45°，∴CP=OP=4，∴OC=，故选C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．10、D【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．二、填空题1、2【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC =90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵222AC AD CD -=，即222=AC AD CD +，∴∠ADC =90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，∵AB =4BC =，∠ACB =90°，∴AC =， ∴1132OC OD AC ===，∴5OB =，∴112BD OB OD =-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．232π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3、（1）见解析；（2）120°；（3）2【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，∵AB=AC ，∴AB=AC =AD=AE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，∵四边形ABFE 是菱形，∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，解得：α=120°；(3)连接AF ，∵四边形ABFE 是菱形，∠BAE =α+30°=150°，∴∠BAF =12∠BAE =75°，又∠BAC =30°，∴∠FAC =75°－30°=45°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠FCA =∠ABD =90°－12α=30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，在Rt△AGF 中，∠FAG =45°，∠AGF=90°，∴∠AFG =∠FAG =45°，∴△AGF 是等腰直角三角形，∴AG=FG=x ，在在Rt△AGF 中，∠FCG =30°，∠FGC =90°，∴CF =2FG =2x ，CG ==，∵AC=AB=2，又AG+CG=AC ，∴2x =，解得：1x =，∴CF =2x = 2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．4、12 【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=；如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．5、【分析】连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．根据轴对称的性质确定OC AB ⊥，OD =CD ；再根据垂径定理确定AD =BD ；再根据勾股定理求出AD 的长度，进而即可求出AB 的长度．【详解】解：如下图所示，连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．∵折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，∴OC AB ⊥，OD =CD ．∴AD =BD ．∵圆形纸片的半径为10cm ，∴OA =OC =10cm ．∴OD =5cm ．∴AD =．∴BD =．∴AB AD BD =+=．故答案为：【点睛】本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．三、解答题1、（1）A （-1，0），B （0，2）；（2）点C ）；（3）①求点F 的坐标（1，2）；②点P 的坐标（32，12）【分析】（1）令x =0，求得y 值，得点B 的坐标；令y =0，求得x 的值，取较小的一个即求A 点的坐标；（2）设C 的坐标为（x ，－212x ＋32x ＋2），根据AC ＝BC ，得到22AC BC =，令t =－212x ＋32x ，解方程即可；（3）①根据题意，得∠BPE =90°，PB =PE 即点P 在线段BE 的垂直平分线上，根据B ，E 都在抛物线上，则B ，E 是对称点，从而确定点P 在抛物线的对称轴上，点F 在BE 上，且BE ∥x 轴，点E （3，2），确定BE =3，根据旋转性质，得EF =BO =2，从而确定点F 的坐标；②根据BE =3，∠BPE =90°，PB =PE ，确定P 到BE 的距离，即可写出点P 的坐标．【详解】（1）令x =0，得y =2，∴点B 的坐标为B （0，2）；令y =0，得－212x ＋32x ＋2=0，解得 121,4,x x =-=∵点A 在x 轴的负半轴；∴A 点的坐标（-1，0）；（2）设C 的坐标为（x ，－212x ＋32x ＋2）， ∵AC ＝BC ，A （-1，0），B （0，2），∴22AC BC =，∵A （-1，0），B （0，2）， ∴2222221313(1)(2)(22)2222x x x x x x ++-++=+-++-，即2222221313(1)(2)()2222x x x x x x ++-++=+-+，设t =－212x ＋32x ， ∴2222(1)(2)x t x t +++=+，∴22222144x x t t x t +++++=+，∴2450x t ++=，∴21324()5022x x x +-++=，整理，得22850x x --=，解得12x x == ∵点C 在y 轴右侧的抛物线上，∴x =，此时y∴点C ）；（3）①如图，根据题意，得∠BPE =90°，PB =PE 即点P 在线段BE 的垂直平分线上，∵B ，E 都在抛物线上，∴B ，E 是对称点，∴点P 在抛物线的对称轴上，点F 在BE 上，且BE ∥x 轴，∵抛物线的对称轴为直线x =32，B （0，2）， ∴点E （3，2），BE =3，∵EF=BO=2，∴BF=1，∴点F的坐标为（1，2）；②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，∵BE=3，∴BM=32，∵∠BPE=90°，PB=PE，∴PM=BM=32，∴PM=BM=32，∴PN=2-32=12，∴点P的坐标为（32，12）．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．2、（1（2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析【分析】（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP ，∵△PBD 等腰直角三角形，⊙O 是△PBD 的外接圆， ∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得： ∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BPDPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BPPBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB +PB =AP ，∴AB +PB =PF ，∴PF = AB +PB ．综上所述，FP =AB -PB 或PF = AB +PB ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况． 3、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC 的垂直平分线，与直线CD 的交点即为圆心；（2）连接OA ，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O 即是圆心；（2）解：连接OA ，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =， ∴162AD BD AB ===， ∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．4、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．【详解】（1）①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC=BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．5、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．【详解】解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，连接OE，OF，∵⊙O内切于△ABC，∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFO 是矩形，∴CF ＝OE ＝r ，CE ＝OF ＝r ，∴AC ＝4+r ，BC ＝5+r ，在Rt△ABC 中，由勾股定理得，（r +4）2+（r +5）2＝92，∴r 2+9r ＝20，∴S △ABC ＝12AC BC ⋅ ＝1(4)(5)2r r +⋅+ ＝21(920)2x r ++ ＝1(2020)2⨯+ ＝20；（2）如图2，（3）设△ABC 的内切圆记作⊙F ，∴AF 和BF 平分∠BAC 和∠ABC ，FD ⊥AB ，∴∠BAF＝12∠CAB，∠ABF＝12ABC∠，∴∠BAF+∠ABF＝12（∠BAC+∠ABC）＝1902⨯︒＝45°，∴∠AFB＝135°，可以按以下步骤作图（如图3）：①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，②以E为圆心，AE为半径作圆，③过点D作AB的垂线，交圆于F，④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，则△ABC就是求作的三角形．【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．。

精品试题沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评试题(含答案解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°3、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（）A ．5B ．8C ．9D ．104、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°6、在直径为10cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8AB =cm ，则水的最大深度为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm7、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π 8、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．把△ABC 绕点A 逆时针方向旋转到△AB 'C '，点B '恰好落在AC 边上，则CC '＝（）A ．10B ．C ．D ．9、如图，AB 为O 的直径，C 为D 外一点，过C 作O 的切线，切点为B ，连接AC 交O 于D ，38C ∠=︒，点E 在AB 右侧的半圆周上运动（不与A ，B 重合），则AED ∠的大小是（）A ．19°B ．38°C ．52°D ．76°10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转到点D 落在AB 边上，此时得到△EDC ，斜边DE 交AC 边于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．1CD 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =-+>的关联二次函数是22y mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析式为______．2、如图，一次函数1y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，作ABO 的外接圆C ，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）3、两直角边分别为6、8，那么Rt ABC 的内接圆的半径为____________．4、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP △的外接圆．（1）点M 的纵坐标为______；（2）当APB ∠最大时，点P 的坐标为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2．点P ，Q 为O 外两点，给出如下定义：若O 上存在点M ，N ，使得P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为矩形，则称点P ，Q 是O 的“成对关联点”．（1）如图，点A ，B ，C ，D 横、纵坐标都是整数．在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是______；（2）点)(,E t t 在第一象限，点F 与点E 关于x 轴对称．若点E ，F 是O 的“成对关联点”，直接写出t 的取值范围；（3）点G 在y 轴上．若直线4y =上存在点H ，使得点G ，H 是O 的“成对关联点”，直接写出点G 的纵坐标G y 的取值范围．2、如图，点A 是O 外一点，过点A 作出O 的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）3、如图 1，O 为直线 DE 上一点，过点 O 在直线 DE 上方作射线 OC ，∠EOC =130°．将直角三角板AOB （∠OAB ＝30°）的直角顶点放在点O 处，一条边 OA 在射线 OD 上，另一边 OB 在直线 DE 上方，将直角三角板绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．（1）如图2，当t=4 时，∠AOC= ，∠BOE= ，∠BOE﹣∠AOC= ；（2）当三角板旋转至边AB与射线OE相交时（如图 3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．4、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）5、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②2CD CE CA=⋅；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2、C【分析】A∠∠∠=，40∠=︒，进而求解B的值．180A C∠+∠=︒，::2:4:7A B C【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．3、C【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-= 故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、B【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．6、B【分析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而得出CD 的长即可．【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =8cm ，∴BD =12AB =4（cm ），由题意得：OB =OC =1102⨯=5cm ，在Rt △OBD 中，OD 3=（cm ），∴CD =OC -OD =5-3=2（cm ），即水的最大深度为2cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7、D【分析】根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CD CEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===，又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．8、D【分析】首先运用勾股定理求出AC 的长度，然后结合旋转的性质得到AB = AB '，BC = B 'C '，从而求出B 'C ，即可在Rt △B 'C 'C 中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∴10AC =，由旋转性质可知，AB = AB '=6，BC = B 'C '=8，∴B 'C =10-6=4，在Rt △B 'C 'C 中，CC '=故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．9、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.10、D【分析】根据题意及旋转的性质可得DBC △是等边三角形，则30DCF ∠=︒，90DFC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得DF ，由勾股定理即可求得CF ，进而求得阴影部分的面积．【详解】解：如图，设AC 与DE 相交于点F ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60B ∴∠=︒，旋转，∴,60BC CD FDC B =∠=∠=︒，∴DBC △是等边三角形，2CD BC ∴==，60DCB ∠=︒，90,60ACB DCB ∠=︒∠=︒，30DCF ∴∠=︒，18090DFC DCF FDC ∴∠=-∠-∠=︒，112DF CD ∴==，FC ∴=∴阴影部分的面积为11122DF FC ⨯=⨯故选D【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题1、3+3y x =-【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即可得m 、k 的二元一次方程组30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩，即可解出13m k =-⎧⎨=⎩，故这个一次函数的解析式为3+3y x =-．【详解】一次函数(0)y kx k k =-+>与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0）绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩得30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩ 将3k m -=代入210km m -+=有 (2)103k k --⋅+= 整理得2230k k --=解得k =3或k =-1（舍）将k =3代入3k m -=得1m =- 故方程组的解为13m k =-⎧⎨=⎩则一次函数的解析式为3+3y x =-故答案为：3+3y x =-．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．2、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键． 3、5直角三角形外接圆的直径是斜边的长．【详解】解：由勾股定理得：AB，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10，∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．4、60【分析】正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．【详解】360°÷6=60°故答案为：60本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键． 5、5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=，故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点，设AP '交⊙M 于点E ，连接AE ，则∠AEB =∠APB ，∵∠AEB 是ΔA P 'E 的外角，∴∠AEB>∠A P 'B ，∵∠APB >∠A P 'B ，即点P 在切点处时，∠APB 最大，∵⊙M 经过点A (0，2)、B (0，8)，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，∵⊙M 与x 轴相切于点P ，ＭP ⊥x 轴，从而MP =5，即⊙M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ⊥AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而∠POD =90°，∴四边形OPMD 是矩形，从而OP =MD ，由勾股定理，得MD 4=，∴OP =MD =4，∴点P 的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．三、解答题1、（1）B 和C ；（22t ≤≤；（3）42G y <≤+【分析】（1）根据图形可确定与点A 组成O 的“成对关联点”的点；（2）如图，点E 在直线y x =上，点F 在直线y x =-上，当点E 在线段01E E 上，点F 在线段01F F 上时，有O 的“成对关联点”，求出即可得出t 的取值范围；（3）分类讨论：点G 在4y =上，点G 在4y =的下方和点G 在4y =的上方，构造O 的“成对关联点”，即可求出G y 的取值范围．【详解】（1）如图所示：在点B ，C ，D 中，与点A 组成O 的“成对关联点”的点是B 和C ，故答案为：B 和C ；（2）∵(,)E t t∴(,)E t t 在直线y x =上，∵点F 与点E 关于x 轴对称，∴(,)F t t -在直线y x =-，如下图所示：直线y x =和y x =-与O 分别交于点0E ，0F ，与直线2x =分别交于1E ，1F ，由题可得：0E ，当点E 在线段01E E 上时，有O 的“成对关联点”2t ≤≤；（3）如图，当点G 在4y =上时，GH x ∥轴，在O 上不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =下方时，也不存在这样的矩形；如图，当点G 在4y =上方时，存在这样的矩形GMNH ，当恰好只能构成一个矩形时，设(0,)G m ，直线4y =与y 轴相交于点K ，则GHK OGM ∠=∠，2OM =，OG m =，4GH MN ==，4GK m =-，∴sin sin GHK OGM ∠=∠，即GK OM GH OG=，∴424m m-=，解得：2m =+2m =-，综上：当42G y <≤+G ，H 是O 的“成对关联点”．【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．2、见解析【分析】先作线段OA 的垂直平分线．确定OA 的中点，再以中点为圆心，OA 一半为半径作圆交O 于B 点，然后作直线AB ，则根据圆周角定理可得AB 为所求．【详解】如图，直线AB 就是所求作的，（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3、（1）30°，70°，40°；（2）∠AOC－∠BOE=40°，理由见解析；（3）t的取值为5或20或62【分析】（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t=4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．（1）解：∵∠EOC=130°，∠AOB=∠BOE=90°，∴∠DOC=180°－130°=50°，∠BOC=130°－90°=40°，当t=4时，旋转角4×5°=20°，∴∠AOC=∠DOC－∠DOA=50°－20°=30°，∠BOE=90°－20°=70°，∠BOE－∠AOC=70°－30°=40°，故答案为：30°，70°，40°；（2）解：∠AOC－∠BOE=40°，理由为：设旋转角为x，当三角板旋转至边AB与射线OE相交时，∠AOC=x－50°，∠BOE=x－90°，∴∠AOC－∠BOE=（x－50°）－（x－90°）=40°；（3）解：存在，①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角5t =12∠DOC=25，∴t=5；②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角5t =2∠DOC=100，∴t=20；③当OD为∠COA的平分线时，360－5t=∠DOC=50，∴t=62，综上，满足条件的t的取值为5或20或62．【点睛】本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．4、（1）16π（2）24π【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．（1）解：阴影部分的周长＝2×12×2π×6+6012180π⨯＝16π；（2）解：∵阴影部分的面积＝S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，∴阴影部分的面积＝60144360π⨯⨯＝24π．答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n °，扇形的半径为r ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n r l π=，扇形的面积公式：2360n r S π=扇． 5、（1）①见解析；②见解析；（2）32π．【分析】（1）①连接OD ，由角平分线的性质解得DAB DAO ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，证明//DO AB ，继而由两直线平行，同旁内角互补证明90ODB ∠=︒即可解题；②连接DE ，由弦切角定理得到CDE DAC ∠=∠，再证明CDE CAD ，由相似三角形对应边成比例解题；（2）证明,OFD OFA 是等边三角形，四边形DOAF 是菱形，=DFO S S 阴影扇形，结合扇形面积公式解题．【详解】解：（1）①连接OD ， AD 是∠BAC 的平分线DAB DAO ∴∠=∠OD OA =DAO ODA ∴∠=∠DAB ODA ∴∠=∠//DO AB ∴180B ODB ∴∠+∠=︒90B ∠=︒90∴∠=︒ODB∴⊥OD BC∴是⊙O的切线；BC②连接DE，BC是⊙O的切线，∴∠=︒90CDO∵是直径AE90∴∠=︒ADE∴∠=∠CDE ODA=OD OA∴∠=∠ODA DAC∴∠=∠CDE DAC∠∠C C=CDECAD ∴ CD CE AC CD∴= 2CD CE CA ∴=⋅（2）连接DE 、OD 、DF 、OF ,设圆的半径为R ，点F 是劣弧AD 的中点，∴OF 是DA 中垂线∴DF =AF ，FDA FAD ∴∠=∠//DO ABODA DAF ∴∠=∠ODA DAO FDA FAD ∴∠=∠=∠=∠ AF DF OA OD ∴===,OFD OFA ∴是等边三角形，四边形DOAF 是菱形， 60ODF DOF FOA ∴∠=∠=∠=︒ =DFO S S ∴阴影扇形60,90DOC ODC ∠=︒∠=︒30C ∴∠=︒11()22OD OC OE EC ∴==+ ,3OE OD CE ==3CE OE R ∴===26033===3602DFO S S ππ⋅∴阴影扇形．【点睛】本题考查圆的综合题，涉及切线的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．。

2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习试卷(含答案解析)

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--2、下列说法正确．．的个数有（） ①方程210x x -+=的两个实数根的和等于1；②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；⑤如果反比例函数的图象经过点()1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．64°B．52°C．42°D．36°5、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A ．22.5°B ．45°C ．90°D ．67.5°7、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．68、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（）A ．3BCD ．9、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A．5厘米B．4厘米C．132厘米D．134厘米10、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．2、“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME △中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r 的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S =．3、如图，四边形ABCD 内接于圆，E 为CD 延长线上一点，图中与∠ADE 相等的角是 _________ ．4、如图，AB 为⊙O 的弦，∠AOB =90°，AB =a ，则OA =______，O 点到AB 的距离=______．5、如图，以面积为20cm 2的Rt △ABC 的斜边AB 为直径作⊙O ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，若CD AB =AC ＋BC ＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝12∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝34．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2、如图，在△ABC是⊙O的内接三角形，∠B＝45°，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠OCB＝75°，求△ABC边AB的长．3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，PC．若AB = 6，AC的长为π，BC = PC．求证：直线PC与⊙O相切．4、在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 作BC 的垂线AD ，垂足为D ，E 为线段DC 上一动点（不与点C 重合），连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，连接BF ，与直线AD 交于点G ．（1）如图，当点E 在线段CD 上时，①依题意补全图形，并直接写出BC 与CF 的位置关系；②求证：点G 为BF 的中点．（2）直接写出AE ，BE ，AG 之间的数量关系．5、元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，OA 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为()2,0，点D 在A 上，且30ODB ∠=︒，求OA 的半径和圆心A 的坐标．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：解：如图2，连接BC ．作AELOB 于E 、AF ⊥OC 于F ． ∴12OE OB =、12OF OC =（依据是 ① ）∵30ODB ∠=︒，∴30OCB ODB ∠=∠=︒（依据是 ② ）．∵90BOC ∠=°，．∴BC 是A 的直径（依据是 ③ ）． ∴12OB BC = ∵2OB =，∴A 的坐标为（ ④ ）A 的半径为 ⑤-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．2、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k>,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．3、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180︒能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D、不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．4、B【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=64°∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=64°，∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，∴旋转角为52°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．6、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．7、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8、A【分析】分析：连接OA 、OB ，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO 是等边三角形，即可求出⊙O 的半径．【详解】解：连接BO ，并延长交⊙O 于D ，连结DC ，∵∠A =30°，∴∠D =∠A =30°，∵BD 为直径，∴∠BCD =90°，在Rt△BCD 中，BC =3，∠D =30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．9、D【分析】根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC=8-2=6厘米，过点O作OB⊥AC于点B，则AB=12AC=12×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r=134厘米．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．二、填空题1【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522∴2222=+=，CE CD DE CD2∴CD=，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．2、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12r π+，()12r π-；（3） 2r π 【分析】（1）根据切线的定义判断即可．（2）由CB '=AC +AB '，2CB MC '=计算即可；根据MA MC AC =-计算即可．（3）根据勾股定理，得2AE 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．【详解】解：（1）∵⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）根据题意，得AC =r ，AB '=22πr=πr ，∴CB '=AC +AB '=r +πr ， ∴2CB MC '==()12rπ+；∵MA MC AC =-，∴MA =()12r π+-r =()12rπ-，故答案为：()12r π+，()12rπ-；（3）如图，连接ME ，根据勾股定理，得22222AE ME MA MC MA =-=-=()()2211[][]22rrπ+π--=2r π；故答案为：2r π．【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．3、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得180ADC ABC ∠+∠=︒，再由题意可得180ADC ADE ∠+∠=︒，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于圆，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵E 为CD 延长线上一点，∴180ADC ADE ∠+∠=︒，∴ABC ADE ∠=∠，故答案为：ABC ∠．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．41 2 a【分析】过O作OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，然后由OA=OB，且∠AOB为直角，得到三角形OAB为等腰直角三角形，由斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边OA的长即可；再由C为AB 的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形OAC中，由OA及AC的长，利用勾股定理即可求出OC的长，即为O点到AB的距离．【详解】解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，∴根据勾股定理得：OA2+OB2=AB，∴OA，在Rt△AOC中，OA，AC=12AB=12a，根据勾股定理得：OC 12 a．；1 2 a【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．5、##【分析】连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，先根据圆周角定理和圆的性质可得,90AB CE CDE =∠=︒，再根据特殊角的三角函数值可得30DCE ∠=︒，从而可得15BAC ACO ∠=∠=︒，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，从而可得,30AF BF BFC =∠=︒，然后在Rt BCF 中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得2,BF BC CF ==，设cm(0)BC x x =>，从而可得(2cm AC x =，利用直角三角形的面积公式可求出x 的值，由此即可得．【详解】解：如图，连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，,AB CE 都是O 的直径，,90AB CE CDE ∴=∠=︒， 32CD AB =CD CE ∴=在Rt CDE △中，cos DCE CD CE ∠== 30DCE ∴∠=︒，CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒，45ACD ∴∠=︒，15ACO ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒，OA OC =，15BAC ACO ∴∠=∠=︒，如图，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，,30AF BF BFC ABF BAC ∴=∠=∠+∠=︒，∴在Rt BCF 中，2,BF BC CF ==，(2AC AF CF BF CF BC ∴=+=+=+，设cm(0)BC x x =>，则(2cm AC x =，1202Rt ABC S AC BC =⋅=， 1(2202x x ∴⋅=，解得x =0x =-（不符题意，舍去），则(2(3AC BC x x +=++==，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．三、解答题1、（1）8（2）1 3（3）【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝12AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．（1）如图2，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝CH＝12AC，在Rt△OAH中，3 tan4OHOACAH∠==，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；AD AD=∴12ACD DOE ∠=∠，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴OD OE AC AE=，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴558AEAE-=，∴4013 AE=，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴AE EG AG AO OH AH==，∴4013345EG AG==，∴2413 EG=，∴3213AG=，327281313CG=-=，在Rt△CEG中，1 tan3EGDCACG∠==；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴45 AE AG EGAO AH OH===，∴AG＝165，EG＝125，∴GC＝245，∴EC∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴EC EG AM AD=，∴125510AD=，∴AD＝当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，同理可求EG＝185，AG＝245，AE＝6，GC＝165，∴EC∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴EC EG AM AD=，∴185510AD=，∴AD综上所述：AD的长是【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．2、（1）见解析；（2）【分析】（1）如图所示，连接OA，由圆周角定理可得∠COA=90°，再由平行线的性质得到∠OAD+∠COA=180°，则∠OAD=90°，由此即可证明；（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠COB =30°，则∠AOB=120°，可以得到∠OAB=∠OBA=30°，由勾股定理可得，求出AE=AB=【详解】解：（1）如图所示，连接OA，∵∠CBA=45°，∴∠COA=90°，∵AD∥OC，∴∠OAD+∠COA=180°，∴∠OAD=90°，又∵点A在圆O上，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵∠OCB=75°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=75°，∴∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=30°，由（1）证可得∠AOC=90°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，又∵OE⊥AB，∴AE=BE，在Rt△AOE中，AO=2，∠OAE=30°，AO=1，∴OE=12由勾股定理可得，AE==∴AB=【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．3、见详解【分析】连接OC，由题意易得∠AOC=60°，则有∠B=∠OCB=30°，然后可得∠P=∠B=30°，进而可得∠OCP=90°，最后问题可求证．【详解】证明：连接OC ，如图所示：∵AC 的长为π，AB =6，∴OC =OA =3，3180AC n l ππ==， ∴60AOC ∠=︒，∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB =30°，∵BC =PC ，∴∠P =∠B =30°，∴∠POC +∠P =90°，即∠OCP =90°，∵OC 是圆O 的半径，∴直线PC 与⊙O 相切．【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．4、（1）①BC ⊥CF ；证明见详解；②见详解;（2）2AE 2=4AG 2+BE 2．证明见详解．【分析】（1）①如图所示，BC ⊥CF ．根据将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，得出AE =AF ，∠EAF =90°，可证△BAE ≌△CAF （SAS ），得出∠ABE =∠ACF =45°，可得∠ECF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°即可；②根据AD ⊥BC ，BC ⊥CF ．可得AD∥CF ，可证△BDG ∽△BCF ，可得BD BG BC BF =，得出12BG BF =即可；（2）2AE 2=4AG 2+BE 2，延长BA 交CF 延长线于H ，根据等腰三角形性质可得AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD =1452BAC ∠=︒，可证△BAG ∽△BHF ，得出HF =2AG ，再证△AEC ≌△AFH （AAS ），得出EC =FH =2AG ，利用勾股定理得出22222EF AE AF AE =+=，222EF EC CF =+即22224+AE AG BE =即可．【详解】解：（1）①如图所示，BC ⊥CF ．∵将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，∴AE =AF ，∠EAF =90°，∴∠EAC +∠CAF =90°，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴∠BAE +∠EAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，∴∠BAE =∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中，AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAE ≌△CAF （SAS ），∴∠ABE =∠ACF =45°，∴∠ECF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°，∴BC ⊥CF ；②∵AD⊥BC，BC⊥CF．∴AD∥CF，∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，∴△BDG∽△BCF，∴BD BG BC BF=，∵AB AC=，AD⊥BC，∴BD=DC=12 BC，∴12BC BG BC BF=，∴12 BGBF=，∴12BG BF=，∴BG=GF;（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，∵AD⊥BC，AB=AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1452BAC∠=︒，∵BG =GF ，AG∥HF ，∴∠BAG =∠H =45°，∠AGB =∠HFB ，∴△BAG ∽△BHF ， ∴12AG BG HF BF ==， ∴HF =2AG ，∵∠ACE =45°，∴∠ACE =∠H ，∵∠EAC +∠CAF =90°，∠CAF +∠FAH =90°，∴∠EAC =∠FAH ，在△AEC 和△AFH 中，ACE AHF EAC FAH AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△AFH （AAS ），∴EC =FH =2AG ，在Rt△AEF 中，根据勾股定理22222EF AE AF AE =+=，在Rt△ECF 中，222EF EC CF =+即22224+AE AG BE =．【点睛】本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．5、垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，2【分析】根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．【详解】解：如图2，连接BC ．作AE ⊥OB 于E 、AF ⊥OC 于F ． ∴12OE OB =、12OF OC =（依据是垂径定理）∵30ODB ∠=︒，∴30OCB ODB ∠=∠=︒（依据是圆周角定理）．∵90BOC ∠=°，．∴BC 是A 的直径（依据是圆周角定理）． ∴12OB BC =，OB ，∵2∴A的坐标为（1，A的半径为2，故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，2．【点睛】此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．。

2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习试卷(无超纲带解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°2、下列叙述正确的有( )个.（1）y y=随着x的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC的直角三角形顶点A的轨迹是以BC中点为圆心，BC长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m mm m-+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形．A．0 B．1 C．2 D．33、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°4、如图，在ABC中，2AB=，4BC=，将ABC绕点A顺时针旋转60°得到ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．45、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后8、如图，在ABC中，90ABC︒∠=，8BAC︒∠=，30△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．''，使点C的9、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到A BC对应点C'恰好落在边AB上，则BA A∠'的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°10、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（）A．3 B C D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm 和180 cm ，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN 的长度为______cm ．2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是ABC 内的一个动点，满足222AC AD CD -=．若AB =4BC =，则BD 长的最小值为_______．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP △的外接圆．（1）点M的纵坐标为______；（2）当APB∠最大时，点P的坐标为______．π，则这条弧的半径为________．4、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cm5、已知60°的圆心角所对的弧长l是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．2、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+①________90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，②________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠，CAD ∴∠=③________，CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；（2）若5,2OA BE ==，求DE 的长．3、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．4、如图，四边形ABCD 是正方形．△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD (不含B ，D 点)上任意一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接 EN ，AM 、CM ．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．5、解题与遐想．如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD ＝4，BD ＝5．求Rt △ABC 的面积．王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉… 赵丽华：我把4和5换成m 、n 再算一遍，△ABC 的面积总是m •n !确实非常神奇了…数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？计算验证（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．拼图演绎（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．尺规作图（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB 相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）-参考答案-一、单选题1、D【分析】首先连接OA ，OB ，由PA ，PB 为⊙O 的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP =∠OBP =90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB 的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∵∠ACB =70°，∴∠AOB =2∠P =140°，∴∠P =360°-∠OAP -∠OBP -∠AOB =40°．故选：D ．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．2、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确；如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确；三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．3、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．4、B【分析】由题意以及旋转的性质可得ABD △为等边三角形，则BD =2，故CD =BC -BD =2．【详解】由题意以及旋转的性质知AD =AB ，∠BAD =60°∴∠ADB =∠ABD∵∠ADB +∠ABD +∠BAD =180°∴∠ADB =∠ABD =60°故ABD △为等边三角形，即AB = AD =BD =2则CD =BC -BD =4-2=2故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60︒，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．5、A根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6、D【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.8、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2290860143603602π⨯⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．9、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．10、A分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．二、填空题【分析】如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．【详解】解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，则OD⊥MN，∴MD=DN，在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，∴MD=，∴2==，MN MD即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为，故答案为：【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．2、2【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC =90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵222AC AD CD -=，即222=AC AD CD +，∴∠ADC =90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，∵AB =4BC =，∠ACB =90°，∴AC =， ∴1132OC OD AC ===，∴5OB =，∴112BD OB OD =-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．3、5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=，故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点，设AP '交⊙M 于点E ，连接AE ，则∠AEB =∠APB ，∵∠AEB 是ΔA P 'E 的外角，∴∠AEB>∠A P 'B ，∵∠APB >∠A P 'B ，即点P 在切点处时，∠APB 最大，∵⊙M 经过点A (0，2)、B (0，8)，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，∵⊙M 与x 轴相切于点P ，ＭP ⊥x 轴，从而MP =5，即⊙M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ⊥AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而∠POD =90°，∴四边形OPMD 是矩形，从而OP =MD ，由勾股定理，得MD 4=，∴OP =MD =4，∴点P 的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．4、9cm【分析】由弧长公式180n r l π=即可求得弧的半径．【详解】∵180n r l π= ∴18018069(cm)120l r n πππ⨯=== 故答案为：9cm【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．5、18.84【分析】先根据弧长公式求得πr ，然后再运用圆的周长公式解答即可．【详解】解：设圆弧所在圆的半径为r 厘米，则60 3.14180r π⨯=，解得9.42r π=，则它所在圆的周长为229.4218.84r π=⨯=（厘米），故答案为：18.84．【点睛】本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．三、解答题1、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203．【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC 上截取DH =BE ，连接AH ，先证△ADH ≌△ABE ，再证△HAF ≌EAF 即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K为BC边的中点，∴CK =12BC =2，同理可证△ABK ≌FCK （SAS ），∴CF =AB =4，EF =FH=CF+CD-DH =8-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得到：（4+x ）2+42=（8-x ）2，∴x =43， ∴EF =8-43=203．综上，线段EF 的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2、（1）ODB ∠，ODA BDE ∠=∠，ODA ∠；（2）DE =【分析】（1）由AB 是⊙O 的直径，得到ODA ∠+∠ODB 90=︒．再由DE 为⊙O 的切线，得到90ODB BDE ∠+∠=︒，即可推出∠ODA =∠BDE ，由角平分线的定义可得CAD OAD ∠=∠，由OA OD =，得到OAD ODA ∠=∠，即可证明CAD BDE ∠=∠；（2）在直角△ODE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+∠ODB 90=︒．（1）DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，∠ODA =∠BDE ． AD 平分BAC ∠，∴CAD OAD ∠=∠．OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴CAD ∴∠=∠ODA ，CAD BDE ∴∠=∠．故答案为：① ODB ∠，② ODA BDE ∠=∠，③ ODA ∠；（2）DE 为O 的切线，90ODE ∴∠=︒．5OA =，5OD OB OA ∴===，2BE =，7OE OB BE ∴=+=．在Rt ODE △中，DE =【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．3、【分析】连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．∵∠AOB =90°，∴AB 是直径，∵A （-4，0），B （0，2），∴AB ∴∵∠AMC =2∠AOC =120°，AC =∴=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-，在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4、AM=EN ，理由见解析【分析】根据旋转性质和等边三角形的性质可证得∠ABM =∠EBN ，BM=BN ，AB=BE ，根据全等三角形的判定证明△A BM ≌△EBN 即可得出结论．【详解】解：AM=EN ，理由为：∵△ABE 是等边三角形，∴AB=BE ，∠ABE =60°，即∠EBN =∠ABN =60°，∵线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，∴BM=BN ，∠MBN =60°，即∠ABM +∠ABN =60°，∴∠ABM =∠EBN ，在△A BM 和△EBN 中，AB BE ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△A BM ≌△EBN （SAS ），∴AM=EN ．【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握用全等三角形证明线段相等是解答的关键．5、（1）S △ABC ＝20；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）设⊙O 的半径为r ，由切线长定理得，AE ＝AD ＝4，BF ＝BD ＝5，CE ＝CF ＝r ，由勾股定理得，（r +4）2+（r +5）2＝92，进而求得结果；（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE 为边的上方，将丙丁以OP 为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；（3）可先计算∠AFB ＝135°，根据“定弦对定角”作F 点的轨迹，根据切线性质，过点F 作AB 的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C ．【详解】解：（1）如图1，设⊙O 的半径为r ，连接OE ，OF ，∵⊙O 内切于△ABC ，∴OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，AE ＝AD ＝4，BF ＝BD ＝5，∴∠OEC ＝∠OFC ＝∠C ＝90°，∴四边形ECFO 是矩形，∴CF ＝OE ＝r ，CE ＝OF ＝r ，∴AC ＝4+r ，BC ＝5+r ，在Rt△ABC 中，由勾股定理得，（r +4）2+（r +5）2＝92，∴r 2+9r ＝20，∴S △ABC ＝12AC BC ⋅ ＝1(4)(5)2r r +⋅+ ＝21(920)2x r ++ ＝1(2020)2⨯+ ＝20；（2）如图2，（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，∴∠BAF＝12∠CAB，∠ABF＝12ABC∠，∴∠BAF+∠ABF＝12（∠BAC+∠ABC）＝1902⨯︒＝45°，∴∠AFB＝135°，可以按以下步骤作图（如图3）：①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，②以E为圆心，AE为半径作圆，③过点D作AB的垂线，交圆于F，④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，则△ABC就是求作的三角形．【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．。

2022年强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆综合测试试卷(含答案详解)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°∠的度数为（）2、如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64∠=，那么BODDCE︒A．20︒B．64︒C．116︒D．128︒3、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点P'的坐标是（）A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)4、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、将等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，那么n 的最小值是（）A ．60B ．90C ．120D ．1808、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．75°9、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A ．54 B ．1 C ．2 D ．5210、如图，AB 为O 的直径，C 为D 外一点，过C 作O 的切线，切点为B ，连接AC 交O 于D ，38C ∠=︒，点E 在AB 右侧的半圆周上运动（不与A ，B 重合），则AED ∠的大小是（）A ．19°B ．38°C ．52°D ．76°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2_____（填写所有正确结论的序号）．2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径．．是______步．3、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P= 50°，则∠ACB ＝_____________°4、在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分的面积为_____．5、如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =-+>的关联二次函数是22y mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析式为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = k ·AC ，△ADE 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转某个角度得到的，BC 与DE 交于点F ，直线BD 与EC 交于点G（1）求证：BD = k ·EC ；（2）求∠CGD 的度数；（3）若k = 1（如图②），求证：A ，F ，G 三点在同一直线上．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）（解决问题）（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．（实际运用）（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于r （r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，C D ．求证：AD =C D ．4、如图，正方形ABCD 是半径为R 的⊙O 内接四边形，R ＝6，求正方形ABCD 的边长和边心距．5、如图1，在ABC 中90ACB ∠=︒，AC BC =，8AB =，点D 为AB 边上一点．（1）若1AD =，则CD =______；（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：222+=；2AD BC AE（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．2、D【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P （3，﹣2）关于原点O 的对称点P '的坐标是（﹣3，2）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．4、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D、不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．6、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．7、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°．故选C．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．8、C【分析】由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．【详解】解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒，∴∠BAO =25ABO ∠=︒．∴∠AOB =130°．∴ACB ∠=12∠AOB =65°．故选：C ．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．9、A【分析】取CB 的中点G ，连接MG ，根据等边三角形的性质可得BH =BG ，再求出∠HBN =∠MBG ，根据旋转的性质可得MB =NB ，然后利用“边角边”证明△MBG ≌△NBH ，再根据全等三角形对应边相等可得HN =MG ，然后根据垂线段最短可得MG ⊥CH 时最短，再根据∠BCH =30°求解即可．【详解】解：如图，取BC 的中点G ，连接MG ，∵旋转角为60°，∴∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∴∠HBN =∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．10、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.二、填空题1、②③④【分析】根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．【详解】∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，∴∠CMH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CMH=∠CDH=90°，∵CM=CD，CH=CH，∴△CMH≌△CDH，∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，故①错误；∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，∴2∠HCM+2∠GCM=90°，∴∠HCM+∠GCM=45°，即∠GCH＝45°，故②正确；∵△CMH ≌△CDH ，BD 是正方形的对角线，∴∠GHF =∠DHF ，∠GCH =∠HDF =45°，∴∠GHF +∠GEF =∠DHF +∠GCH +∠EFC=∠DHF +∠HDF +∠HFD=180°，根据对角互补的四边形内接于圆，∴H ，F ，E ，G 四点在同一个圆上，故③正确；∵正方形ABCD 的边长为1，∴BCG GCHA ABCD S S S S =--△△CDH 四边形四边形 =11()2BG DH -+=112GH -，∠GAH =90°，AC 取GH 的中点P ，连接PA ，∴GH =2PA ，∴GCHA S 四边形=1PA -，∴当PA 取最小值时，GCHA S 四边形有最大值，连接PC ，AC ，则PA +PC ≥AC ，∴PA ≥AC - PC ，∴当PC 最大时，PA 最小，∵直径是圆中最大的弦，∴PC =1时，PA 最小，∴当A ，P ，C 三点共线时，且PC 最大时，PA 最小，∴PA ，∴GCHA S 四边形最大值为：1-），∴四边形CGAH 面积的最大值为2∴④正确；故答案为: ②③④．【点睛】本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键． 2、6【分析】依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；【详解】设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：r ；17=依据直角三角形面积公式：12S ah =，即为1815602S =⨯⨯=；内切圆半径面积公式：1()2S r a b c =++，即为1(81517)2S r =⨯++；所以160(81517)2r =++，可得：3r =，所以直径为：26d r ==；故填：6；【点睛】本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积； 3、65【分析】连接,OA OB ，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得130AOB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB【详解】解：连接,OA OB ，如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切90OAP OBP ∴∠=∠=︒360130AOB OAP OBP P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒AB AB =1652ACB AOB ∴∠=∠=︒ 故答案为：65【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．4、2π【分析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S''''--扇形扇形求出答案．【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒， ∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．5、3+3y x =-【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即可得m 、k 的二元一次方程组30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩，即可解出13m k =-⎧⎨=⎩，故这个一次函数的解析式为3+3y x =-．【详解】一次函数(0)y kx k k =-+>与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0）绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩得30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩ 将3k m -=代入210km m -+=有(2)103k k --⋅+= 整理得2230k k --=解得k =3或k =-1（舍）将k =3代入3k m -=得1m =- 故方程组的解为13m k =-⎧⎨=⎩ 则一次函数的解析式为3+3y x =-故答案为：3+3y x =-．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）90°；（3）见解析【分析】（1）由旋转的性质可得对应边相等对应角相等，由相似三角形的判定得出△ABD ∽△ACE ，由相似三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）证得△ABD ∽△ACE ，和等腰三角形的性质得出ADB AEC ∠=∠，进而推出180ADG AEC ∠+∠=，由四边形的内角和定理得出结论；（3）连接CD ，由旋转的性质和等腰三角形的性质得出AD AC =，CG ＝DG ，FC ＝FD ，由垂直平分线的判断得出A ，F ，G 都在CD 的垂直平分线上，进而得出结论．【详解】证明：（1）∵△ADE 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转某个角度得到的，∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，∴AB AD AC AE=， ∴△ABD ∽△ACE ， ∴AB BD AC CE=， ∵AB = k ·AC ， ∴AB BD k AC CE==， ∴BD = k ·EC ；（2）由（1）证得△ABD ∽△ACE ，∴ABD ACE ∠=∠，∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC = 90°，∴ABD ADB ACE AEC ∠=∠∠=∠，，∴ADB AEC ∠=∠，∵180ADB ADG ∠+∠=，∴180ADG AEC ∠+∠=，∴∴在四边形ADGE 中，180ADG AEC ∠+∠=，∠BAC = 90°，∴∠CGD ＝360°－180°－90°＝90°；（3）连接CD ，如图：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 逆时针旋转某个角度得到的，∠BAC = 90°，AB = k ·AC ，∴当k = 1时，△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，BAD CAE ∠=∠∴AB AD AC AE ===，∴ADB ACE ∠=∠，ACD ADC ∠=∠∴GCD GDC ∠=∠，∴CG ＝DG∵45ACB ADE ∠=∠=，∴FCD FDC ∠=∠，∴FC ＝FD ，∴点A 、点G 和点F 在CD 的垂直平分线上，∴A ，F ，G 三点在同一直线上．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和垂直平分线的判定是解题的关键．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011．【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、见解析【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．【详解】证明：根据题意作图如下：∵BD是圆周角ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴AD CD=，∴AD=CD．【点睛】本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．4、边长为【分析】过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．【详解】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，∴∠BOC=3604=90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，∴BE=OE．在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得∵OE2+BE2=OB2,∴OE2+BE2=36,∴OE= BE=∴BC=2BE=即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形每个中心角都等于360n． 5、（1）5（2）证明见解析（3）【分析】 (1)过C 作CM ⊥AB 于M ，根据等腰三角形的性质求出CM 和DM ，再根据勾股定理计算即可；(2)连BE ，先证明CAD CBE ≅,即可得到直角三角形ABE ，利用勾股定理证明即可；（3）取AC 中点N ，连接FN 、BN ，根据三角形BFN 中三边关系判断即可．（1）过C 作CM ⊥AB 于M ，∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴142CM AM AB === ∵1AD =∴3DM =∴在Rt CDM 中5CD ==（2）∵90ACB ∠=︒，AC BC =，90DCE ∠=︒，CD CE =∴AB =,90ACD BCE BCD ∠=∠=︒-∠∴()CAD CBE SAS ≅∴45CAD CBE ∠=∠=︒，AD BE =∴90ABE ∠=︒在Rt ABE △中222AE AB BE =+∴222)AE AD =+∴2222AD BC AE +=（3）取AC 中点N ，连接FN 、BN ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，8AB =∴AC BC ==∴12FN AC ==∵AC 中点N ，∴12CN AC ==∴BN =∵三角形BFN 中FN BN BF BN FN +>>-∴BF >>∴当B 、F 、N 三点共线时BF 最小，最小值为BN FN -=【点睛】本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．。

2022年最新强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习试卷(含答案详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．AB cm，则水的最大2、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8深度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3、已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<24、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转到点D 落在AB 边上，此时得到△EDC ，斜边DE 交AC 边于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．1CD 5、如图，A ，B ，C 是正方形网格中的三个格点，则ABC 是（）A ．优弧B ．劣弧C ．半圆D ．无法判断6、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）8、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（）A ．8B ．C ．D ．10、如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上的两点，若130BOC ∠=︒，则ADC ∠=（）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1）2、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．3、如图，一次函数1y x=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，作ABO的外接圆C，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）4、如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若CD=AC＋BC＝_____．AB5、已知⊙A 的半径为5，圆心A （4，3），坐标原点O 与⊙A 的位置关系是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．2、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： ADF 绕点ABH ，由得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ︒∠=∠=，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=，以A 为顶点的60EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．3、如图1，在⊙O 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，垂足为点E ．（1）求∠ABD 的度数；（2）图2，连接OA ，当OA ＝2，∠OAB ＝15°，求BE 的长度；（3）在（2）的条件下，求CD 的长．4、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分ABC ∠；（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC ，半径OD ∥弦BC ．（1）求证：弧AD =弧CD ；（2）连接AC 、BD 相交于点F ，AC 与OD 相交于点E ，连接CD ，若⊙O 的半径为5，BC =6，求CD 和EF 的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．2、B【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=8cm，∴BD =12AB =4（cm ），由题意得：OB =OC =1102⨯=5cm ，在Rt △OBD 中，OD 3=（cm ），∴CD =OC -OD =5-3=2（cm ），即水的最大深度为2cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3、A【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：∵⊙O 的半径为4，点P 在⊙O 外部，∴OP 需要满足的条件是OP >4，故选：A ．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．4、D【分析】根据题意及旋转的性质可得DBC △是等边三角形，则30DCF ∠=︒，90DFC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得DF ，由勾股定理即可求得CF ，进而求得阴影部分的面积．【详解】解：如图，设AC 与DE 相交于点F ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，60B ∴∠=︒，旋转，∴,60BC CD FDC B =∠=∠=︒，∴DBC △是等边三角形，2CD BC ∴==，60DCB ∠=︒，90,60ACB DCB ∠=︒∠=︒，30DCF ∴∠=︒，18090DFC DCF FDC ∴∠=-∠-∠=︒，112DF CD ∴==，FC ∴=∴阴影部分的面积为11122DF FC ⨯=⨯故选D【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．5、B【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．故选：B．【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．6、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．7、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．8、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D、不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．9、C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接CP，∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，∴∠CPO=90°，∠COP=45°，∴∠PCO=∠COP=45°，∴CP=OP=4，∴OC=，故选C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．10、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC=130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题1、9.3【分析】根据弧长公式进行计算即可，180n r l π=【详解】解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm ，906==39.3180180n r l πππ⨯∴==cm ，故答案为：9.3【点睛】本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键．2、六【分析】设这个正多边形的边数为n ，根据题意可知OA =OB =AB ，则△OAB 是等边三角形，得到∠AOB =60°，则60360n ︒⋅=︒，由此即可得到答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA =OB =AB ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB =60°，∴60360n ︒⋅=︒，∴6n =，∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．3、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．4、##【分析】连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，先根据圆周角定理和圆的性质可得,90AB CE CDE =∠=︒，再根据特殊角的三角函数值可得30DCE ∠=︒，从而可得15BAC ACO ∠=∠=︒，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，从而可得,30AF BF BFC =∠=︒，然后在Rt BCF 中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得2,BF BC CF ==，设cm(0)BC x x =>，从而可得(2cm AC x =，利用直角三角形的面积公式可求出x 的值，由此即可得．【详解】解：如图，连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，,AB CE 都是O 的直径，,90AB CE CDE ∴=∠=︒，32CD AB =CD CE ∴=在Rt CDE △中，cos DCE CD CE ∠== 30DCE ∴∠=︒，CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒，45ACD ∴∠=︒，15ACO ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒，OA OC =，15BAC ACO ∴∠=∠=︒，如图，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，,30AF BF BFC ABF BAC ∴=∠=∠+∠=︒，∴在Rt BCF 中，2,BF BC CF ==，(2AC AF CF BF CF BC ∴=+=+=+，设cm(0)BC x x =>，则(2cm AC x =，1202Rt ABC S AC BC =⋅=， 1(2202x x ∴⋅=，解得x =0x =-（不符题意，舍去），则(2(3AC BC x x +=++==，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．5、在⊙A上【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．【详解】解：∵点A的坐标为（4，3），∴OA，∵半径为5，∴OA=r，∴点O在⊙A上．故答案为：在⊙A上．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．三、解答题1、（1）见解析；（2）6【分析】（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90︒，∵∠ABC ＝45︒，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒，∵∠AOC +∠OCE ＝180︒，∴AD ∥EC ；（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，∴∠OAC ＝45︒，∵∠BAC ＝75︒，∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒，∵AD ∥EC ，∴30E BAD ∠=∠=︒，∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°，∴四边形OAFC 是矩形，∵OA ＝OC ，∴四边形OAFC 是正方形，∴AF OA =，∵6AD =， ∴132AF AD ==，在Rt △AFE 中，30E ∠=︒，∴AE =2AF =6．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．3、（1）45︒；（21；（3）3π 【分析】（1）如图，过O 作,,OHAC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB 证明,AH BQ 四边形OHEQ 为正方形，可得,EH EQ 证明,AE BE = 可得答案；（2）先求解30,1,3,OAH OH AH 再结合（1）的结论可得答案；（3）如图，连接,,,CD OC OD 先求解30,OCH 再证明,45,CE DE ECD 再求解75,ODC OCD 可得30,COD 再利用弧长公式计算即可.【详解】解：（1）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB,,AH CH BQ DQ,AC BD =,AH BQ CH DQ,AC BD ⊥∴ 四边形OHEQ 为矩形，由勾股定理可得：222222,,OH OA AH OQ OB BQ 而,OA OB =,OH OQ ∴= ∴ 四边形OHEQ 为正方形，,EH EQ,EA EB ∴= 而90,AEB ∠=︒45.ABD ∴∠=︒（2）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q由（1）得：四边形OHEQ 为正方形，45,,ABD BAC EA EB,EH OH OA ＝2，∠OAB ＝15°， 22130,1,3,2OAH OH AO AH OA OH1,31,HE HO AE3 1.BE（3）如图，连接,,,CD OC OD30,,OAHOA OC 30,OCH,,,ACBD AE BE AC BD ,45,CE DE ECD304575,OCD,OC OD 75,ODC OCD180757530,COD 302.1803DC l【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.4、（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD ，由O 与AB 相切得90ODB ∠=︒，由HL 定理证明Rt BDO Rt BCO ≅由全等三角形的性质得DBO CBO ∠=∠，即可得证；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，得出关系式求出x ，可得出AC 的长，在Rt ACB 中，由正切值求出BC ，在Rt BCO △中，由勾股定理求出BO 即可．【详解】（1）如图，连接OD ，∵O 与AB 相切，∴90ODB ∠=︒，在Rt BDO △与Rt BCO △中，DO CO BO BO=⎧⎨=⎩， ∴()Rt BDO Rt BCO HL ≅，∴DBO CBO ∠=∠，∴BO 平分ABC ∠；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，30A ∠=︒，1AE =，∴21x x =+，解得：1x =，∴1113AC =++=，在Rt ACB 中，tan BC A AC =，即tan 303BC AC =⋅︒==在Rt BCO △中，2BO ===．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．5、（1）见解析；（2）CD =EF =1．【分析】（1）连接OC ，根据圆的性质，得到OB =OC ；根据等腰三角形的性质，得到B C ∠=∠；根据平行线的性质，得到1B ∠=∠；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB =90°，根据平行线的性质求得∠AEO =∠ACB =90°，利用勾股定理求出AC =8，根据垂径定理求得EC =AE =4，根据中位线定理求出OE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理求出CD ，因为∥OD BC ，所以△EDF ∽△BCF ，最后根据似的性质，列方程求解即可．【详解】（1）解：连结OC ．∵∥OD BC∴∠1=∠B∠2=∠C∵OB =OC∴∠B=∠C∴∠1=∠2∴弧AD=弧CD（2）∵AB是O的直径∴∠ACB=90°∵∥OD BC∴∠AEO=∠ACB=90°Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵BC=6，AB=10∴AC=8∵半径OD⊥AC于E∴EC=AE=4OE=13 2BC∴ED =2由勾股定理得，CD =∵∥OD BC∴△EDF ∽△CBF ∴EF ED FC BC= 设EF =x ，则FC =4-x246x x =- ∴EF =1，经检验符合题意.【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．。

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沪科版九年级数学下册第二十四章24.1_24.2综合检测作业
[范围:24.1~24.2时间:40分钟分值:100分]
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列图书馆的标志中,是中心对称图形的是()
图1
2.如图2,直线m,n相交于点O,所夹的锐角是53°,P,Q分别是直线m,n上的点,将直线m,n按照下面的程序操作,能使两直线平行的是()
图2
A.将直线m以点O为中心,顺时针旋转53°
B.将直线n以点Q为中心,顺时针旋转53°
C.将直线m以点P为中心,顺时针旋转53°
D.将直线m以点P为中心,顺时针旋转127°
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°的角”时,假设正确的是()
A.假设三个内角都不大于60°
B.假设三个内角都大于60°
C.假设三个内角至多有一个大于60°
D.假设三个内角至多有两个大于60°
4.如图3,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()
图3
A.4
B.2
C.6
D.2
5.在☉O中,P为其内一点,过点P的最长弦的长为8 cm,最短弦的长为4 cm,则OP的长为()
A.2cm
B.2cm
C.2 cm
D.1 cm
6.下列语句中,不正确的有()
①相等的圆心角所对的弧相等;②平分弦的直径垂直于弦;③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;④长度相等的两条弧是等弧;⑤三点确定一个圆.
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
7.如图4,A,B,C是☉O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法正确的是()
A.AB=2BC
B.△OAB内接于☉O
C.=2
D.∠OBA=2∠OAC
图4 图5
8.如图5,等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的☉O,AB=AC,tan B=,则AB的长为()
A.cm
B.cm
C.2 c
D.2cm
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,那么☉A的半径r的取值范围是.
10.如图6,AB和DE是☉O的直径,AC∥DE,若BE=3,则CE=.
图6 图7
11.如图7,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点.若点A的坐标为(6,0),☉P 的半径为,则点P的坐标为.
12.如图8,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,有下列四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③EF=AB;④S四边形AEPF=S△ABC.
图8
上述结论中始终正确的有(填序号).
三、解答题(共52分)
13.(8分)如图9,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,3),点B在x轴上,将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点O,B的对应点分别是E,F.
(1)若点B的坐标是(-4,0),请在图中画出△AEF,并写出点E,F的坐标;
(2)当点F落在x轴上方时,试写出一个符合条件的点B的坐标.
图9
14.(10分)已知:如图10,在☉O中,M,N分别是半径OA,OB的中点,且CM⊥OA,DN⊥OB.求证:=.
图10
15.(10分)已知:如图11所示,∠P AC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3 cm,DB=10 cm,以DB为直径作☉O交射线AP于E,F两点,求圆心O到AP的距离及线段EF的长.
图11
16.(12分)如图12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC,若点D刚好落在AB边上,取DE边的中点F,连接FC,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.
图12
17.(12分)如图13,已知△ABC内接于☉O,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD,连接BF,CD.
(1)求证:BE=CE;
(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由.
图13
答案
1.C
2.C
3.B[解析] “至少有一个不大于60°”的否定是“都大于60°”.故选B.
4.D[解析] 由旋转可得,S正方形ABCD=S四边形AECF=20,即AD2=20,∴AD=2.
∵DE=2,
∴在Rt△ADE中,AE==2.
故选D.
5.A[解析] 如图所示,CD⊥AB于点P.
根据题意,得AB=8 cm,CD=4 cm.
∵CD⊥AB,∴CP=CD=2 cm.
根据勾股定理,得OP==2(cm).故选A.
6.A
7.C[解析] A项,AB<2BC;B项,△OAB只有两个顶点在☉O上,不是圆的内接三角形;C项,=正确;D项,利用三角形内角和计算∠OBA≠2∠OAC.
8.D[解析] 如图,连接OA交BC于点D,连接OB.
∵AB=AC,∴OA⊥BC.
∵tan∠ABC=,∴BD=2AD.
设AD=x,则BD=2x,AB=x,OD=5-x.
在Rt△OBD中,OB2=OD2+BD2,
即25=(5-x)2+4x2,解得x=2(x=0舍去),
∴AB=2cm.故选D.
9.6<r<10[解析] ∵AB=6,AD=8,∴AC=10,∴点C一定在圆外,点B一定在圆内,
∴☉A的半径r的取值范围是6<r<10.
10.3[解析] 连接OC.
∵AC∥DE,
∴∠A=∠BOE,∠COE=∠ACO.
又∵∠A=∠ACO,
∴∠BOE=∠COE,∴CE=BE=3.
11.(3,2)[解析] 如图,过点P作PB⊥OA于点B,连接PO.∵点A的坐标为(6,0),∴OB=3.在Rt△POB 中,PO=,OB=3,由勾股定理求得PB=2,所以点P的坐标是(3,2).故填(3,2).
12.①②④[解析] ∵∠APE,∠CPF都是∠APF的余角,
∴∠APE=∠CPF.
∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC的中点,
∴AP=CP.
又∵∠EAP=∠FCP=45°,
∴△APE≌△CPF(ASA).
同理可证△APF≌△BPE.
∴AE=CF,△EPF是等腰直角三角形,S四边形AEPF=S△ABC,①②④正确.
∵旋转过程中,EF的长度是变化的,
∴EF≠AB,③错误.
故答案为①②④.
13.解:(1)如图,点E的坐标为(3,3),点F的坐标为(3,-1).
(2)∵点A的坐标是(0,3),∴将△AOB绕点A逆时针旋转90°时,点E的坐标为(3,3).
∵点F落在x轴上方,∴EF<3,∴OB<3,∴答案不唯一,只要点B在点(-3,0)和原点之间即可,如B(-2,0)等.
14.证明:如图,连接OC,OD,则OC=OD.
∵M,N分别是半径OA,OB的中点,
∴OM=ON.
∵CM⊥OA,DN⊥OB,
∴∠OMC=∠OND=90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中,
∵∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL),
∴∠MOC=∠NOD,∴=.
15.解:过点O作OG⊥AP于点G,连接OF.
∵DB=10 cm,∴OD=5 cm,∴AO=AD+OD=3+5=8(cm).
∵∠P AC=30°,∴OG=AO=×8=4(cm).
∵OG⊥EF,∴EG=GF.
∵GF===3(cm),∴EF=6 cm,
∴圆心O到AP的距离为4 cm,线段EF的长为6 cm.
16.解:四边形ACFD是菱形.
理由:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=90°-∠B=60°,AC=AB.
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC,
∴AC=CD,AB=DE,∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACD是等边三角形,∴AC=AD.
∵F是DE的中点,
∴DF=CF=DE=AB,
∴AC=CF=DF=AD,
∴四边形ACFD是菱形.
17.解:(1)证明:∵AB=AC,∴=.结合AD是☉O的直径可推出=,∴BD=CD.又∵AD=AD,
∴△BAD≌△CAD(SSS),∴∠BAD=∠CAD.
∵AB=AC,结合等腰三角形“三线合一”的性质,得BE=CE.
(2)四边形BFCD为菱形.
理由:由(1)可知AD垂直平分BC,
∴BF=CF,CD=BD,
∴∠DCB=∠DBC.
又∵CF∥BD,
∴∠FCB=∠DBC,∴∠FCB=∠DCB.
又∵AD垂直平分BC,∴∠FEC=∠DEC=90°,易证FE=DE,CF=CD,
∴CF=BF=BD=CD,
∴四边形BFCD是菱形.。

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