课题：实际问题与二次函数的应用(教师版)

课题：函数的应用与实际问题：商品利润问题

浮屠中学石教川

复习目标 1、二次函数的图像和性质。

2、建立函数模型求最值，体会数形结合的思想。

3、通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展

数学思维，激发学生学习热情。

重难点 1、用二次函数的知识解决实际问题。

2、建立二次函数数学模型。

3、自变量不同的情况下最值的求法。

一、知识预备：

1、（1）将二次函数 y=-2x2 -4x+8 化为顶点式，并说出二次函数的最大值。

（2）画出（1）中二次函数的草图，根据图像回答下列问题：

（1）若-2≤x ≤3,则函数的最大值是

（2）若1≤x ≤3,则函数的最大值是

（3）当y≥2时,则x的取值范围是

2、回顾商品利润问题中几个数量之间的关系：

（1）总价、单价、销售量之间的关系 .

（2）利润、售价、进价之间的关系 .

（3）总利润、单件利润、销售量之间的关系 .

3、在商品销售中，采用哪些方法增加利润？

二、例题讲解。

例：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月要少卖10件。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售量为y件，每个月的销售总利润为W元。

问题1：如果该商品的售价上涨了15元，则商品每个月的利润是多少钱？

（50+15-40）×（210-10×15）=1500元

问题2：求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围？

y=210-10x （0 ＜ x ≤15，且x为整数）

问题3：求W与x之间的函数关系式？

W=( 50+x-40 )(210-10x )

=-10x2+110x+2100 （0＜x ≤15,且x为整数）

问题4：每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？ W=-10x2+110x+2100

=-10（x-5.5）2+2402.5（0＜x ≤15,且x为整数）

∵a=-10 ﹤0 ∴抛物线开口向下

∵ 0＜x ≤15,且x为整数

∴当x=5或x=6时，W有最大值为2400.

∴每件商品的售价定为55或56元时，每月可获得最大利润为2400元。

问题5：若每件涨价不能超过4元，每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？

W=-10x2+110x+2100

=-10（x-5.5）2+2402.5（0＜x ≤15,且x为整数）

∵ x ≤ 4 ∴ 0＜x ≤ 4且x为整数

∵在对称轴x=5.5左侧，W随x的增大而增大。

∴当x=4时，W有最大值为2380.

∴每件商品的售价定为54元时，每月可获得最大利润为2380元。

问题6：每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润等于2200元？并直接回答售价在什么范围内时，每个月的利润不低于2200元？

当w=2200时， -10x2+110x+2100=2200

解得：x

1=1 x

2

=10

∴当每件商品的售价为51元或者60元时，每个月利润为2200元。

∵由函数图像可知：当1 ≤ x ≤10且x为整数时,w≥2200

∴售价在51～60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元。

问题7：如果销售该商品的商家每销售1件这样的产品就给某贫困学生捐款a（a≥1）元，商家通过销售记录发现，当上涨价格超过7元时，扣除捐赠后的月销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围．

W=( 50+x-40 -a)(210-10x )

=-10x2+（10a+110）x+（2100-210a）（0＜x ≤15,且x为整数）∴抛物线的对称轴为x=

∵当x＞7时，W随x的增大而减小

∴≤8.5 ∴a ≤6

∵a ≥1 ∴1 ≤a ≤6

三、自我评价

今天有什么收获呢……

1、

2、四、知识升华

变式：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月要少卖10件，每下降1元，则每个月要多卖30件；每件售价不能高于65元。设每件商品的售价为每件（50+x）元（x 为整数，x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每个月的销售总利润为W元。问：每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？

a+11

2

a+11

2