【最新】2018年新课标II卷高考数学试题理有答案
2018年高考全国卷Ⅱ理数试题+答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的。
123456.在ABC △中,cos 2C =1BC =,5AC =,则AB =( )A .BCD .7.为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-,设计了右侧的程序框图, 则在空白框中应填入( ) A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A .15B .56C .55D .2210.若()cos sin f x x x =-在[]a a -,是减函数,则a 的最大值是( )A .4π B .2π C .43πD .π11.已知()f x 是定义域为()-∞+∞,的奇函数,满足()()11f x f x -=+.若()12f =,则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=( )A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点交点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为3的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为( ) A .23B .12C .13D .14二、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线()2ln1y x=+在点()00,处的切线方程为__________.14.若x y,满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤,则z x y=+的最大值为_________.1516.SAB△17.(记nS(1(218.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至年至2016(1(219.(. (1(220.(12分)如图,在三棱锥P ABC -中,AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30︒,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.21.(12分)已知函数()2x f x e ax =-.(1)若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥; (2)若()f x 在()0+∞,只有一个零点,求a .(二)选考题:共10分。
2018年新课标II卷高考数学试题理有答案(高考真题)
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为 A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A .2y x =B .3y x =C .2y = D .3y = 6.在ABC △中,5cos2C =1BC =,5AC =,则AB =A.BCD.7.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是 A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A . 23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(含答案)
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绝密★启用前2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)考试时间:120分钟;试卷整理:微信公众号--浙江数学学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=()A.iB.C.D.2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A 中元素的个数为()A.9B.8C.5D.43.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=()A.4B.3C.2D.05.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.27.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.﹣50B.0C.2D.5012.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题)请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2018•新课标Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.14.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.15.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.16.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.评卷人得分三.解答题(共7小题,满分80分)17.(12分)(2018•新课标Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.18.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.(12分)(2018•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k (k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=e x﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.22.(10分)(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23.(10分)(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=()A.iB.C.D.【考点】A5:复数的运算.【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【解答】解:==+.故选:D.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基本知识的考查.2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A 中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4【考点】1A:集合中元素个数的最值.【分析】分别令x=﹣1,0,1,进行求解即可.【解答】解:当x=﹣1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,当x=0时,y2≤3,得y=﹣1,0,1,当x=1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,即集合A中元素有9个,故选:A.【点评】本题主要考查集合元素个数的判断,利用分类讨论的思想是解决本题的关键.3.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;3A:函数的图象与图象的变换.【分析】判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.【解答】解:函数f(﹣x)==﹣=﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,当x=1时,f(1)=e﹣>0,排除D.当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C,故选:B.【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键.4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=()A.4B.3C.2D.0【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;91:向量的概念与向量的模.【分析】根据向量的数量积公式计算即可.【解答】解:向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=2﹣=2+1=3,故选:B.【点评】本题考查了向量的数量积公式,属于基础题5.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x【考点】KC:双曲线的性质.【分析】根据双曲线离心率的定义求出a,c的关系,结合双曲线a,b,c的关系进行求解即可.【解答】解:∵双曲线的离心率为e==,则=====,即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选:A.【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解,结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键.6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【考点】HR:余弦定理.【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值,利用余弦定理转化求解即可.【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,BC=1,AC=5,则AB====4.故选:A.【点评】本题考查余弦定理的应用,考查三角形的解法以及计算能力.7.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4【考点】EH:绘制程序框图解决问题;E7:循环结构.【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T,由此知空白处应填入的条件.【解答】解:模拟程序框图的运行过程知,该程序运行后输出的是S=N﹣T=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣);累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.故选:B.【点评】本题考查了循环程序的应用问题,是基础题.8.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数,利用古典概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有=45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,则对应的概率P==,故选:C.【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算,求出不超过30的素数是解决本题的关键.9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA 1=,∴A(1,0,0),D 1(0,0,),D(0,0,0),B 1(1,1,),=(﹣1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ===,∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π【考点】GP:两角和与差的三角函数;H5:正弦函数的单调性.【分析】利用两角和差的正弦公式化简f(x),由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],结合已知条件即可求出a的最大值.【解答】解:f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=,由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],由f(x)在[﹣a,a]是减函数,得,∴.则a的最大值是.故选:A.【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,三角函数的求值,属于基本知识的考查,是基础题.11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.﹣50B.0C.2D.50【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,∵f(1)=2,∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2,故选:C.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键.12.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【考点】K4:椭圆的性质.【分析】求得直线AP的方程:根据题意求得P点坐标,代入直线方程,即可求得椭圆的离心率.【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),直线AP的方程为:y=(x+a),由∠F 1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,∴题意的离心率e==.故选:D.【点评】本题考查椭圆的性质,直线方程的应用,考查转化思想,属于中档题.二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2018•新课标Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.【解答】解:∵y=2ln(x+1),∴y′=,当x=0时,y′=2,∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.故答案为:y=2x.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.14.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为9.【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,z取得最大值,由,解得A(5,4),目标函数有最大值,为z=9.故答案为:9.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.【考点】GP:两角和与差的三角函数.【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=﹣1,可得结果.【解答】解:sinα+cosβ=l,两边平方可得:sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①,cosα+sinβ=0,两边平方可得:cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②,由①+②得:2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,∴2sin(α+β)=﹣1.∴sin(α+β)=.故答案为:.【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,三角函数的求值,属于基本知识的考查,是基础题.16.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为40π.【考点】MI:直线与平面所成的角.【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长,利用直线与平面所成角求解底面半径,然后求解圆锥的侧面积.【解答】解:圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,可得sin∠AMB==.△SAB的面积为5,可得sin∠AMB=5,即×=5,即SA=4.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为:=2.则该圆锥的侧面积:π=40π.故答案为:40π.【点评】本题考查圆锥的结构特征,母线与底面所成角,圆锥的截面面积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.三.解答题(共7小题,满分80分)17.(12分)(2018•新课标Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【分析】(1)根据a1=﹣7,S3=﹣15,可得a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,求出等差数列{a n}的公差,然后求出a n即可;(2)由a1=﹣7,d=2,a n=2n﹣9,得S n===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,由此可求出S n以及S n的最小值.【解答】解:(1)∵等差数列{a n}中,a1=﹣7,S3=﹣15,∴a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,解得a1=﹣7,d=2,∴a n=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9;(2)∵a1=﹣7,d=2,a n=2n﹣9,∴S n===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,∴当n=4时,前n项的和S n取得最小值为﹣16.【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项的和公式,属于中档题.18.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【考点】BK:线性回归方程.【分析】(1)根据模型①计算t=19时的值,根据模型②计算t=9时的值即可;(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较,即可得出模型②的预测值更可靠些.【解答】解:(1)根据模型①:=﹣30.4+13.5t,计算t=19时,=﹣30.4+13.5×19=226.1;利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元;根据模型②:=99+17.5t,计算t=9时,=99+17.5×9=256.5;.利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元;(2)模型②得到的预测值更可靠;因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,所以,利用模型②的预测值更可靠些.【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题,是基础题.19.(12分)(2018•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k (k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【分析】(1)方法一:设直线AB的方程,代入抛物线方程,根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值,即可求得直线l的方程;方法二:根据抛物线的焦点弦公式|AB|=,求得直线AB的倾斜角,即可求得直线l的斜率,求得直线l的方程;(2)根据过A,B分别向准线l作垂线,根据抛物线的定义即可求得半径,根据中点坐标公式,即可求得圆心,求得圆的方程.【解答】解:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,则k=1,∴直线l的方程y=x﹣1;方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=,∴θ=,则直线的斜率k=1,∴直线l的方程y=x﹣1;(2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)由抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4,以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D,由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4,则D(3,2),过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16..【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,抛物线的焦点弦公式,考查圆的标准方程,考查转换思想思想,属于中档题.20.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC,PO⊥OB即可;(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量,利用向量法即可得到结论.【解答】解:(1)证明:∵AB=BC=2,O是AC的中点,∴BO⊥AC,且BO=2,又PA=PC=PB=AC=2,∴PO⊥AC,PO=2,则PB2=PO2+BO2,则PO⊥OB,∵OB∩AC=O,∴PO⊥平面ABC;(2)建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:A(0,﹣2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),=(﹣2,2,0),设=λ=(﹣2λ,2λ,0),0<λ<1则=﹣=(﹣2λ,2λ,0)﹣(﹣2,﹣2,0)=(2﹣2λ,2λ+2,0),则平面PAC的法向量为=(1,0,0),设平面MPA的法向量为=(x,y,z),则=(0,﹣2,﹣2),则•=﹣2y﹣2z=0,•=(2﹣2λ)x+(2λ+2)y=0令z=1,则y=﹣,x=,即=(,﹣,1),∵二面角M﹣PA﹣C为30°,∴cos30°=|=,即=,解得λ=或λ=3(舍),则平面MPA的法向量=(2,﹣,1),=(0,2,﹣2),PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos<,>|=||==.【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角,线面角的求解,建立坐标系求出点的坐标,利用向量法是解决本题的关键.21.(12分)(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=e x﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】(1)通过两次求导,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明,(2)分离参数可得a=在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.结合图象即可求得a.【解答】证明:(1)当a=1时,函数f(x)=e x﹣x2.则f′(x)=e x﹣2x,令g(x)=e x﹣2x,则g′(x)=e x﹣2,令g′(x)=0,得x=ln2.当∈(0,ln2)时,h′(x)<0,当∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,∴h(x)≥h(ln2)=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2>0,∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1,解:(2),f(x)在(0,+∞)只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在(0,+∞)只有一个根,⇔a=在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.G,当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0,∴G(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞,∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=.【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性,以及函数零点问题,考查了转化思想、数形结合思想,属于中档题.22.(10分)(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)利用直线和曲线的位置关系,在利用中点坐标求出结果.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),转换为直角坐标方程为:.直线l的参数方程为(t为参数).转换为直角坐标方程为:sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0.(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到:+=1整理得:(4cos2α+sin2α)t2+(8cosα+4sinα)t﹣8=0,则:,由于(1,2)为中点坐标,所以:,则:8cosα+4sinα=0,解得:tanα=﹣2,即:直线l的斜率为﹣2.【点评】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线和曲线的位置关系的应用,中点坐标的应用.23.(10分)(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,求出不等式的解集即可,(2)由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4,根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=.当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤1,当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],(2)∵f(x)≤1,∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,∴|x+a|+|x﹣2|≥4,∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,∴|a+2|≥4,解得a≤﹣6或a≥2,故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义,属于中档题。
2018年高考理数真题试题(全国Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)
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2018年高考理数真题试卷(全国Ⅱ卷)一、选择题1.1+2i1−2i=( )A. −45−35i B. −45+35i C. −35−45i D. −35+45i2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}.则A中元素的个数为()A. 9B. 8C. 5D. 43.函数f(x)=e x−e−xx2的图像大致为( )A. B.C. D.4.已知向量a→,b→满足|a→|=1, a→⋅b→=−1 ,则a→·(2a→-b→)=()A. 4B. 3C. 2D. 05.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x6.在ΔABC中,cos C2=√55,BC=1,AC=5则AB=()A. 4√2B. √30C. √29D. 2√57.为计算S=1−12+13−14+⋅⋅⋅+199−1100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入()A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C. 115 D. 1189.在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1= √3 ,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A. 15 B. √56C. √55D. √2210.若 f(x)=cosx −sinx 在 [−a,a] 是减函数,则a 的最大值是( ) A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π11.已知 f(x) 是定义为 (−∞,+∞) 的奇函数,满足 f(1−x)=f(1+x) 。
2018年高考理科数学全国II卷(精校版,含答案)
![2018年高考理科数学全国II卷(精校版,含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/7f2e9235453610661ed9f42d.png)
绝密★启用前2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(II 卷)数 学注意事项:1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。
1.1+2i 1−2i = A.- 45 - 35I B . - 45 + 35I C . - 35 - 45I D . - 35 - 45i 2.已知集合A={(x ,y )|x ²+y ²≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 43.函数f (x )=(e ²-e-x )/x ²的图像大致为B.C.4.已知向量a ,b 满足∣a ∣=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b )=A. 4B. 3C. 2D. 05.双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1(a ﹥0,b ﹥0)的离心率为√3,则其渐进线方程为 A. y=±√2x B. y=±√3x C. y=±√22 D. y=±√32 6.在ΔABC 中,cos C 2 =√55,BC=1,AC=5,则AB= A. 4√2 B.√30 C.√29 D.2√57.为计算s=1-12 + 13 - 14 +…+ 199 -1 100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A. i=i+1 B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A. 112B. 114C. 115D. 1189.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=√3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为A. 15B. √56C. √55D. √22 10.若f (x )=cosx-sinx 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是A. x 4B. π2C. 3π4D. π11.已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x )。
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案
![2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/c341eb76326c1eb91a37f111f18583d049640f37.png)
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$,求其值。
2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$,求$A$ 中元素的个数。
3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子?4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$,$a\cdot b=-1$,求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。
5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$,求其渐近线方程。
6.在$\triangle ABC$ 中,$\cos A=\frac{4}{5}$,$BC=1$,$AC=5$,求 $AB$ 的值。
7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。
8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”,在不超过 $30$ 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 $30$ 的概率是多少?9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,$AB=BC=1$,$AA_1=3$,求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。
10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数,求$a$ 的最大值。
11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数,满足 $f(1-x)=f(1+x)$,且 $f(1)=2$,求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。
12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点,$A$ 是椭圆的左顶点,点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上,$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形,且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$,求椭圆的离心率。
2018年(理科数学)(新课标Ⅱ)试卷真题+参考答案+详细解析
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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)12(12ii+=- ) A .4355i --B .4355i -+C .3455i --D .3455i -+2.(5分)已知集合22{(,)|3A x y x y =+,x Z ∈,}y Z ∈,则A 中元素的个数为( ) A .9B .8C .5D .43.(5分)函数2()x x e e f x x--=的图象大致为( ) A . B .C .D .4.(5分)已知向量a ,b 满足||1a =,1a b =-,则(2)(a a b -= ) A .4B .3C .2D .05.(5分)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3( )A .2y x =B .3y x =C .2y = D .3y = 6.(5分)在ABC ∆中,5cos 2C =,1BC =,5AC =,则(AB = ) A .42B 30C 29D .257.(5分)为计算11111123499100S =-+-+⋯+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )A .1i i =+B .2i i =+C .3i i =+D .4i i =+8.(5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .112B .114C .115D .1189.(5分)在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A .15B 5C 5D 210.(5分)若()cos sin f x x x =-在[a -,]a 是减函数,则a 的最大值是( )A .4πB .2π C .34π D .π11.(5分)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+,若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)(f f f f ++++= )A .50-B .0C .2D .5012.(5分)已知1F ,2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜3的直线上,△12PF F 为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为( ) A .23 B .12 C .13 D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标II卷)-附答案解析
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
1.
A. B. C. D.
2.已知集合 ,则 中元素的个数为
A.9B.8C.5D.4
3.函数 的图像大致为()
A. B.
C. D.
8.C
【解析】
分析:先确定不超过30的素数,再确定两个不同的数的和等于30的取法,最后根据古典概型概率公式求概率.
详解:不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有 种方法,因为 ,所以随机选取两个不同的数,其和等于30的有3种方法,故概率为 ,选C.
(1)证明: 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求 与平面 所成角的正弦值.
21.已知函数 .
(1)若 ,证明:当 时, ;
(2)若 在 只有一个零点,求 的值.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数).
(1)求 和 的直角坐标方程;
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.
分析:先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解:因为
所以 ,选A.
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
7.B
【解析】
分析:根据程序框图可知先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此累加量为隔项.
A. B. C. D.
9.在长方体 中, , ,则异面直线 与 所成角的余弦值为
2018年全国高考理科数学2卷---精美解析版.docx
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)理科数学2018.6.29本试卷 4 页, 23 小题,满分150 分.考试用时120 分钟.一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.12i()12iA . 4 3 i B. 4 3 i C. 3 4 i D. 3 4 i555555551.【解析】12i112i 234i34i,故选 D.12i2i12i5552.已知集合A{( x, y) | x2y 23, x Z , y Z} ,则A中元素的个数为()A .9B . 8C. 5D. 42.【解析】A{(1,1), ( 1,0), (1,1), (0,1), (0,0), (0,1),(1,1), (1,0), (1, 1)} ,元素的个数为9,故选 A .3.函数f (x)e x e x的图像大致为()x 2y yA .1B .1O1x O 1xy yC.1 D .1O1x O 1xe x e xf ( x) ,即 f ( x) 为奇函数,排除 A ;由f (1) e 1D;由3.【解析】 f ( x)20 排除x ef (4)e4 e 41211)(e11f (1)排除 C,故选 B .16(ee2 )(ee)e16e e4.已知向量a, b满足a 1 , a b1,则a(2a b)()A .4B . 3C. 2D. 04.【解析】a(2a b)2a b 2 1 3 ,故选B.2ax2y 21( a0, b0) 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为()5.双曲线b2a2A .y2x B.y3x C.y2x D.y3 2x25.【解析】离心率e c3c2 a 2b2b,渐近线方程为y 2 x ,故选A.a a 2a23 ,所以2a6.在ABC 中,cos C5, BC1, AC 5 ,则 AB()25A .4 2B .30C.29D.2 56.【解析】cosC 2 cos2C13,开始25由余弦定理得AB BC 2AC22BC ACcos4 2 ,N0, T0C故选 A .i17.为计算S11111,设计了右侧的是i100否1349921001程序框图,则在空白框中应填入()N Ni S N TA .i i11B .i i2T T输出 Si 1C.i i3结束D .i i47.【解析】依题意可知空白框中应填入i i 2 .第1次循环: N1,T 1,i 3 ;第2次循环:2N 11,T11,i5;;第50 次循环:N111,T111, i101 ,结32439924100束循环得 S11111,所以选 B.1349910028.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723,在不超过30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()1B .1C .11A .1415D .12188.【解析】 不超过 30 的素数有: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ,共 10 个.从中选取两个不同的数, 其和等于 30的有: 7 与 23、 11与 19、 13 与 17 ,共 3 对.则所求概率为31,故选 C .C 102159.在长方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中, AB BC1, AA 13 ,则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为()1B . 5C . 52A .65D .529.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,z则 A(1,1,0) , D 1 (1,0, 3) , D (1,0,0) , B 1 (0,1, 3)C 1,1DA 1 B所以 AD 1(0, 1, 3) , DB 1 ( 1,1, 3) ,1AD 1 DB 12 5DCBy则cosAD 1, DB 1,故选 C .AAD 1 DB 12 55x10.若 f ( x)cos x sin x 在 [a,a] 上是减函数,则 a 的最大值是()A .B .3D .2C .4410.【解析】 因为 f ( x)cos x sin x2 cos( x) 在区间 [ , 3 ,] 上是减函数, 所以 a 的最大值是44 44故选 A .11 . 已 知 f (x) 是 定 义 域 为 ( ,) 的 奇 函 数 , 满 足 f (1 x)f (1 x) . 若 f (1)2 , 则f (1) f ( 2) f (3)f (50)()A .50 B . 0C . 2D . 5011.【解析】因为 f ( x)f ( x) ,所以 f (1 x) f (x 1) ,则 f ( x1) f (x 1) , f ( x) 的最小正周期 为 T4 . 又 f (1) 2 , f (2)f ( 0) 0 , f (3)f (1)2 , f (4) f (0)0 , 所 以f (1)f ( 2)f (3)f (50) 12[ f (1) f (2) f (3)f ( 4)] f (49)f (50)f (1)f (2) 2 ,选 C .x 2y 2 1( a b312.已知 F 1, F 2 是椭圆 C :2b 20) 的左、右焦点, A 是 C 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为a6的直线上,PF 1F 2 为等腰三角形,F 1F 2 P 120 ,则 C 的离心率为()2B .11 1A .2C .D .33412.【解析】如图,因为PF 1F 2 为等腰三角形, F 1 F 2 P 120 且 F 1F 2 2c ,所以 PF 1 F 2 30 ,则 P的坐标为 (2c,3c) ,故 k PA3c 3,化简得 4c a ,所以离心率e c1,故选 D .2c a6a4yPA F1 O F 2x二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.曲线y2ln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为.13.【解析】y2y|x 0 2 ,则曲线 y2ln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为 y2x.x1x 2 y5014.若x, y满足约束条件x 2 y30 ,则z x y 的最大值为.x5014.【解析】可行域为ABC 及其内部,当直线y x z 经过点B(5,4)时,z max9 .yBAC-3O5x15.已知sin cos1, cos sin0 ,则 sin().15.【解析】sin cos2sin 2 2 sin cos cos21,cos sin2cos2 2 cos sin sin 20 ,则 sin 22sin cos cos2cos22cos sin sin 20 1 1 ,即2 2 sin cos2cos sin1sin()1.216.已知圆锥的顶点为S ,母线SA, SB所成角的余弦值为7, SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面8积为 515 ,则该圆锥的侧面积为.16.【解析】如图所示,因为cos ASB 7ASB15S ,所以 sin,88SSAB1SA SB sin ASB15SA2 5 15 ,所以 SA4 5 .216又 SA与圆锥底面所成角为45,即SAO45 ,AO则底面圆的半径 OA210 ,圆锥的侧面积S OA SA40 2 .B三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、 23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.( 12 分)记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和,已知 a 17 , S 315 .( 1)求 a n 的通项公式;( 2)求 S n ,并求 S n 的最小值.17.【解析】( 1)设等差数列a n 的公差为 d ,则 由 1 7 , S 3 3a 1 3d 15 得 d 2 ,a所以 a n7 (n 1) 22n 9,即 a n 的通项公式为 a n 2n 9 ;( 2)由( 1)知 S nn( 72n9) n 2 8n ,2因为 S n (n 4)2 16 ,所以 n4 时, S n 的最小值为 16 .18.( 12 分)下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.投资额240220220209200184180 171160148140 122 129120 1006053 568035374242 4740192514202000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量 t 的两个线性回归模型,根据2000 年至 2016年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17y 30.4 13.5t ;根据 2010年至 2016)建立模型①: ?年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2, ,7 )建立模型②: y 99 17.5t .?( 1)分别利用这两个模型,求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值;( 2)你认为哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.18.【解析】( 1)将t19代入模型①:?30.4 13.5 19 226.1(亿元),y所以根据模型①得该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1亿元;将 t 9 代入模型②:?99 17.59256.5 (亿元),y所以根据模型②得该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元.( 2)模型②得到的预测值更可靠.理由如下:答案一:从折现图可以看出,2010 年至 2016 年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线y30.413.5t的上下,2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加,这说明模型?①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长.而2010 年至 2016年的数据对应的点紧密的分布在回归?17.5t 的附近,这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长,所以模型②得到的直线 y 99预测值更可靠.答案二:从计算结果来看,相对于2016 年的环境基础设施投资额为220 亿元,利用模型①得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为256.5亿元的增幅明显更合理,所以模型②得到的预测值更可靠.19.( 12 分)设抛物线 C : y24x的焦点为F,过F且斜率为k (k0) 的直线l 与 C 交于A, B两点,AB8 .(1)求l的方程;(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.19.【解析】( 1)焦点F为 (1,0),则直线 l :y k( x1) ,联立方程组y k( x1),得22( 224)x 20,yy24x k x k k A令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1x22k 24x1 x21.k2,- 1O F x根据抛物线的定义得AB x1x2 2 8 ,B 即 2k 24 6 ,解得k 1 (舍去 k1),k 2所以 l 的方程为y x1;( 2)设弦AB的中点为M,由( 1)知x1x2 3 ,所以M的坐标为(3,2),2则弦 AB 的垂直平分线为y x5,令所求圆的圆心为(m,5m) ,半径为 r ,2m5m12根据垂径定理得r AB221234 ,22m m由圆与准线相切得m 1221234,解得 m3或 m11 .m m则所求圆的方程为:( x 3) 2( y 2) 216 或 ( x 11) 2( y 6) 214420.( 12 分)如图,在三棱锥P ABC 中,AB BC22 ,PA PB PC AC4, O 为 AC 的中点.( 1)证明:PO平面 ABC ;( 2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 为30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.P20.【解析】( 1)证明:连接OB,PA PC , O 为 AC 的中点,PO AC ,AB BC22, AC 4,AB 2BC 2AC 2,即AB BC ,OB 1AC 2 ,AOC 2又 PO23, PB 4 ,则 OB2PO 2PB 2,即 OP OB ,B MAC OB O ,PO平面 ABC ;( 2)由( 1)知OB,OC , OP两两互相垂直,z以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,P则 B(2,0,0) , C (0,2,0) , A(0,2,0) , P(0,0,2 3) ,BC ( 2,2,0), AP(0,2,23), CP(0,2,23)令 BM BC ,[ 0,1] .A OC y 则 OM OB BC(22,2,0) , AM(22,22,0) ,M令平面 PAM 的法向量为 n(x, y, z) ,Bxn AP 2 y 2 3z0,取 x3 1 ,得n ( 3 1 , 3 1 ,1)由n AM(2 2 )x ( 22) y 0易知平面 PAC 的一个法向量为m(1,0,0) ,所以 cos n, mn m3(1)3(1)3,1) 21) 2) 27 2cos302n m3(3((127解得1(舍去3),即n( 43,23,2) ,3333n CP 83因为 cos n, CP333.8,所以PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为n CP444 321.( 12 分)已知函数 f ( x)e x ax2.( 1)若a1,证明:当 x0 时,f ( x)1;( 2)若f ( x)在(0,) 只有一个零点,求 a .21.【解析】( 1)方法 1:欲证明当x0 时, f ( x)1,即证明e x1 .x21令 g ( x)e x,则g ( x)e x (x 21)2xe x(x 1) 2 e x0,x 2x 2 1 2x2 1 2 1则 g ( x) 为增函数, g (x)g (0) 1 ,得证.方法 2:a1时, f ( x) e x x2,则 f ( x) e x2x ,令 f (x)g( x) ,则 g ( x)e x 2 ,x[0, ln 2) 时, g (x)0 , g( x) 为减函数, x(ln 2,) 时, g ( x)0 , g( x) 为增函数,所以 g( x) min g(ln 2)22ln 20,即当x0 时, f (x)0, f (x) 为增函数,所以 f ( x) f (0) 1 ,因此 a 1 , x0 时, f (x) 1.( 2)方法 1:若f ( x)在(0,) 只有一个零点,则方程e xa 只有一个实数根.x2令 h(x)e xh( x) 的图像与直线y a 只有一个公共点.x2,等价于函数y又 h ( x)x2e x2xe x x 2 e xx4x3,x(0,2) 时, h ( x)0 , h( x) 为减函数, x (2,) 时, h ( x)0 , h( x) 为增函数,所以 h( x) min h(2)e2, x0 时h(x), x时 h( x).4则 a e2) 只有一个零点.时, f ( x) 在 (0,4方法 2:若f ( x)在(0,) 只有一个零点,则方程e xax 只有一个实数根.x令 h(x)e xh(x) 的图像与直线y ax 只有一个公共点.,等价于函数 yx当直线 y ax 与曲线y h(x) 相切时,设切点为(x0, e x0) ,x0又 h ( x)xe x e x x 1 e x x0 1 e x0e x0x0 2 ,此时a h ( x0)e2 x2x 2,则 h ( x0 )x02x02.4又当 x(0,1) 时, h ( x)0 , h( x) 为减函数,yx (1, ) 时, h ( x) 0 , h(x) 为增函数,所以 h( x) min h(1) e ,且 x 0 时 h(x), x 时 h( x).根据 yh( x) 与 yax 的图像可知,O 1 2xe 2 时,函数 yh(x) 的图像与直线 yax 只有一个公共点,即f ( x) 在 (0,) 只有一个零点.a4(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修 4—4:坐标系与参数方程]( 10 分)在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为x 2 cosy( 为 参 数 ) , 直 线 l 的 参 数 方 程 为4sinx 1 t cos y2 (t 为参数 )t sin( 1)求 C 和 l 的直角坐标方程;( 2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ,求 l 的斜率.22.【解析】( 1)消去参数,得 C 的直角坐标方程为x 2 y 2 41;16消去参数 t ,得 l 的直角坐标方程为 sin x cos y sin2 cos0 ;( l 的直角坐标方程也可写成:y tan (x 1)2() 或 x 1 .)2( 2)方法 1:将 l 的参数方程:x 1 t cos x 2 y 2y 2t sin(t 为参数 ) 代入 C :164 4 1 t cos22 t sin216 ,即 1 3 cos2t24 2 cossint由韦达定理得 t 14 2cossint 23 cos 2,1依题意,曲线 C 截直线 l 所得线段的中点对应t 1t 2 0,即 2 cossin2因此 l 的斜率为 2 .方法 2:令曲线 C 与直线 l 的交点为 A( x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ,x 1 2 y 1 2 1416x 2 x 1x 2y 1y 2 y 1y 2则由x 10 ,其中 x 1x 2 2 y 2 2 得4 1614161得:8 0 ,0 ,得 tan 2 .x 2 2, y 1 y 2 4 .所以x 1x2y 1 y 2y 1 y 2 2 ,即 l 的斜率为 2 .24x 1 x 223. [选修 4—5:不等式选讲 ]( 10 分)设函数f (x)5x ax 2 .( 1)当 a1时,求不等式f (x)0 的解集;( 2)若 f ( x)1 ,求 a 的取值范围.23.【解析】( 1) a1时, f ( x) 5 x 1x 2 ,x 1时, f( x) 5 x1 x2 2x 4 0 ,解得2 x 1 ; 1 x 2 时, f ( x) 5x1 x2 2 0,解得 1 x 2 ; x 2 时, f ( x)5 x 1 x22x6 0 ,解得 2 x3,综上所述,当 a 1 时,不等式 f (x) 0 的解集为 [ 2,3] .( 2) f (x)5 x ax2 1,即 xa x2 4 ,又 x a x 2 x a x 2 a 2 ,所以 a 24 ,等价于 a 2 4 或 a 24 ,解得 a 的取值范围为 { a | a2 或 a6} .。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷2,含答案)
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高考提醒一轮看功夫,二轮看水平,三轮看士气梳理考纲,进一步明确高考考什么!梳理高考题,进一步明确怎么考!梳理教材和笔记,进一步明确重难点!梳理错题本,进一步明确薄弱点!抓住中低档试题。
既可以突出重点又可以提高复习信心,效率和效益也会双丰收。
少做、不做难题,努力避免“心理饱和”现象的加剧。
保持平常心,顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷2)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为 A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A .2y x =B .3y x =C .2y x = D .3y x = 6.在ABC △中,5cos 2C =1BC =,5AC =,则AB = A .2B 30C 29 D .257.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A .1i i =+B .2i i =+C .3i i =+D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A . 23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018高考全国新课标2卷理科数学版和答案解析
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2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12 小题,每小题 5 分,共60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.1 2i1 2iA.4 35 5i B.4 35 5i C.3 45 5i D.3 45 5i2.已知集合 2 2 3A x,y x y ≤,x Z,y Z,则A中元素的个数为A.9 B.8 C.5 D.4x xe e3.函数 2f xx的图像大致为4.已知向量a,b满足|a| 1 ,a b 1 ,则a(2a b)A.4 B.3 C.2 D.02 2x y5.双曲线2 2 1( 0, 0)a ba b的离心率为3,则其渐近线方程为A.y 2x B.y 3x C.2y x D.23y x26.在△ABC 中,cos C52 5,BC 1 ,AC 5 ,则ABA.4 2 B.30 C.29 D.2 5分享专业知识WORD 格式整理1 1 1 1 17.为计算S 1 ⋯,设计了右侧的程序框图,2 3 4 99 100开始N 0,T 0 则在空白框中应填入i 1 A.i i 1B.i i 2 是否i 100C.i i 3D.i i 4 N N 1iS N T 1输出ST Ti 1结束8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如30 7 23 .在不超过30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30 的概率是A.112B.114C.115D.1189.在长方体A BCD A1B1C1D1 中,AB BC 1 ,A A ,则异面直线AD1 与1 3 DB 所成角的余弦值为1A.15B.56C.55D.2210.若 f (x) cos x sin x 在[ a, a] 是减函数,则 a 的最大值是A.π4B.π2C.3π4D.π11.已知 f (x) 是定义域为( , ) 的奇函数,满足 f (1 x) f (1 x) .若 f (1) 2 ,则f (1) f (2) f (3) ⋯ f (50)A.50 B.0 C.2 D.5012.已知F1 ,2 2x yF 是椭圆:的左,右焦点,A是C 的左顶点,点P 在过A且斜率C 2 2 1(a b 0)2a b为36的直线上,△PF1F2 为等腰三角形,F1 F2 P 120 ,则C 的离心率为A.23B.12C.13D.14二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共20 分。
2018高考全国新课标2卷理科数学版及答案解析
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为 A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A .2y x =B .3y x =C .2y x = D .3y x = 6.在ABC △中,5cos 2C =1BC =,5AC =,则AB = A .2B 30C 29 D .257.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA ,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A . 23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
【新课标II卷】2018年高考数学试题(理)(Word全部解析版)
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55-- B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+【解析】54341441)21)(21()21)(21(2121ii i i i i i i +-=+-+=+-++=-+ 【D 】 2.已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为A .9B .8C .5D .4【解析】如右图所示,符合条件的整点个数为9个 【A 】3.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【解析】设x x e e x g --=)(,2)(x x q =,则)(x g 为奇函数,)(x q 为偶函数且不过x =0点。
所以,由复合函数的奇偶性知函数)(x f 为奇函数,排除A 。
2)1(1>-=-ee f 所以 【B 】4. 己知向量a , b 满足|a | = l ,a•b =-l,则a •(2a -b )= A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【解析】a •(2a -b )=2a 2-a•b =2|a|2-(-1)=2+1=3 【B 】5. 双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的离心率为3则其渐近线方程为A. x y 2±=B. x y 3±=C. x y 22±= D.x y 23±= 【解析】3==ace ,223b a a c +==,2223b a a += 所以a b 2= 所以渐近线方程为x aby 2±=±= 【A 】6. 在△ABC 中,552cos=C ,BC = l, AC = 5,则AB = A. 24 B.30 C.29 D. 52【解析】53155212cos 2cos 22-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=C C C BC AC BC AC AB cos 222⋅-+==)53(1521522-⨯⨯⨯-+=24【A 】7. 为计算10019914131211-++-+-= S ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A. 1+=i i B. 2+=i i C. 3+=i i D. 4+=i i 【解析】奇数项为正,偶数项为负,规律是差2个。
(word完整版)2018年高考全国2卷理科数学带答案解析
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i 12i +=-A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z},则A 中元素的个数为A .9B .8C .5D .43.函数2e e ()x xf x x --=的图象大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A .2y x =±B .3y x =C .2y = D .3y x = 6.在ABC △中,5cos 2C =1BC =,5AC =,则AB = A .42B 30C 29D .257.为计算11111123499100S =-+-++-L ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A .1i i =+B .2i i =+C .3i i =+D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A .112 B .114 C .115 D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是A .π4 B .π2 C .3π4D .π 11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A .50- B .0 C .2 D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A .23 B .12 C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018新课标全国2卷(理数)
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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=()A.i B. C. D.2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.43.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=()A.4 B.3 C.2 D.05.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4 B. C. D.27.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+48.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C. D.π11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f (1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.﹣50 B.0 C.2 D.5012.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
(精校版)2018年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案)
![(精校版)2018年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/4ea4449d02d276a200292eb6.png)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.12i12i+=- A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为A .2y x =±B .3y x =±C .22y x =±D .32y x =± 6.在ABC △中,5cos25C =,1BC =,5AC =,则AB = A .42B .30C .29D .257.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15B .56C .55D .2210.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(f fff++++=… A .50- B .0 C .2 D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为36的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A .23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________.14.若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,,, 则z x y =+的最大值为__________.15.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________.开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°,若SAB △的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题:共70分。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55--B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为 A .9B .8C .5D .43.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A .4B .3C .2D .05.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A .2y x =B .3y x =C .2y = D .3y = 6.在ABC △中,5cos 2C =1BC =,5AC =,则AB = A .42B 30C 29 D .57.为计算11111123499100S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是 A .π4B .π2C .3π4D .π11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为 A . 23B .12C .13D .14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________.14.若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,,, 则z x y =+的最大值为__________.15.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________. 16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°,若SAB △的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1217,,…,)建立模型①:ˆ30.413.5y t =-+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为127,,…,)建立模型②:ˆ9917.5y t =+. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 19.(12分)设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 20.(12分)如图,在三棱锥P ABC -中,AB BC ==4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30︒,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.C21.(12分)已知函数2()e x f x ax =-.(1)若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥; (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a .(二)选考题:共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 设函数()5|||2|f x x a x =-+--.(1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围.参考答案: 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题13.2y x = 14.915.12-16.三、解答题 17. (12分)解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--.所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16. 18.(12分)解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y=-+⨯=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y=+⨯=(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5yt =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)解:(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ,由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>,故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=. 20.(12分)解:(1)因为4AP CP AC ===,O 为AC 的中点,所以OP AC ⊥,且OP =连结OB .因为2AB BC AC ==,所以ABC △为等腰直角三角形, 且OB AC ⊥,122OB AC ==. 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥.由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .(2)如图,以O 为坐标原点,OB uu u r的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=u u u r取平面PAC的法向量(2,0,0)OB =u u u r.设(,2,0)(02)M a a a -<≤,则(,4,0)AM a a =-u u u r. 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n . 由0,0AP AM ⋅=⋅=uu u r uuu r n n 得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩,可取3(3,)a a a =--n ,所以22223(cos ,23(4)3OB a a a=-++uu u r n .由已知得3|cos ,|2OB =uu u r n .222233223(4)3a a a -++.解得4a =-(舍去),43a =. 所以83434()333=--n .又(0,2,23)PC =-u u u r ,所以3cos ,4PC =uu u r n . 所以PC 与平面PAM 3. 21.(12分)【解析】(1)当1a =时,()1f x ≥等价于2(1)e 10xx -+-≤.设函数2()(1)e1xg x x -=+-,则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--.当1x ≠时,()0g'x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减. 而(0)0g =,故当0x ≥时,()0g x ≤,即()1f x ≥. (2)设函数2()1e xh x ax -=-.()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.(i )当0a ≤时,()0h x >,()h x 没有零点; (ii )当0a >时,()(2)exh'x ax x -=-.当(0,2)x ∈时,()0h'x <;当(2,)x ∈+∞时,()0h'x >. 所以()h x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增.故24(2)1e ah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值. ①若(2)0h >,即2e 4a <,()h x 在(0,)+∞没有零点;②若(2)0h =,即2e 4a =,()h x 在(0,)+∞只有一个零点;③若(2)0h <,即2e 4a >,由于(0)1h =,所以()h x 在(0,2)有一个零点,由(1)知,当0x >时,2e xx >,所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->. 故()h x 在(2,4)a 有一个零点,因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上,()f x 在(0,)+∞只有一个零点时,2e 4a =.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120t t +=. 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)【解析】(1)当1a =时,24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.而|||2||2|x a x a ++-≥+,且当2x =时等号成立.故()1f x ≤等价于|2|4a +≥. 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥,所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U .。