二进制小数

第九讲二进制小数

我们曾经学了二进制以及八，十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算•大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？

一个二进制分数，就是a是二进制整数，也是二进制整数.

b

一个二进制小数，不妨先讲纯小数：O v n v 1,

n = O.b i b2b3, b i,，每个b i或为0，或为1.（b i不全为0，也不全为1）.

切所在的位称为£分位；

b2:》分包

W *分位.（类似于十进制小数0引屯屯…，引为君分位, 匚为壽分位，…）•

二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是逢二进

十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介.

例将（0.3）10化为二进制小数.（用（a）k表示k进位数）

=(0,010*********L--)a

-(o.oiooi)2

0.01001

1010）1100

wcw

~ 醴成循环）

这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数.

本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数.回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式.

十进制循环小数化分数一般公式：

①纯循环小数;（0釦幻…耳）10匸逗冋…％

②混循坏小数’ （0衍知…葢診】心…気〕

这些公式的推导过程如下，请体会思想方法.

设S二（坤…瓦）心第一歩*在此等式的两边乘1兀右边相当于小数点右移k位，得bs二為W 釘两…和第二歩：两个等式左右两边分别相减，左边为讥7右边为爲三〔巧妙在于差值很整

齐，消去了让人“害怕”的无限长（虽然是循环）的小数）：

3（1声.1）=佔…色=沪警二譽.&式①证得.

I _ _ ■

k亍

至于混循环，只要借用已证得的公式①，因为

（0.盟弹2…盟診1孔…氐）10

空價？…孔:釘*二鉅）

~w（分子小数点右移龜）

99--900--0

kT介

其实公式②中，当S = 0时，就是公式①，复杂的公式②是借用简单 情况下的公式①推来•推出后①包含在②之中.

对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导.

设S= 2,笫一歩；两边乘2鷺右边相当于小数点右移 k 位，得2k S=b 1b/-b k *b 1b/-b h .笫二歩：两个等式左右两边分别相减, 左边为2k S-S ；右边为呢…瓦,恰为整数，消去了无限长的部分，有

则有Gi 勺…叮珀®…0) 2

1 X ］盟2…途X 100…0 +也1

两...弧 而（ 99 (9)

* * F

k 个 至于二进制混循环小数：也记这小数的整体为 S .

11…100…

k 亍 介

从推导和记忆规则看，公式（1）和（2）与十进制公式①和②相仿.那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式.

例1.化（0.001） 2为二进制分数，十进制分数.

解：用公式（1）

〔odoi）彳=（十丄=（y）io

例2 化C0 0714235)(0.0101) 十进制分数.

解：(0.0714285) 10■彳:鷲补

109999990

714285-0 5 1 1

9999990 7 10 M4710

+・101-0 5

(0.0101). =(7Tfr)3=(-)w

例3化（0.100111011）2为二进制分数.

解：由公式（2）

・. 100111011-1001 (0.100111011), =

v n 111110000

100110010

=1H11000Q

_ 10011001

_ 11111000

直接检验

tk io叫叩y

Hill) lOOH.OOl E q | i mi 1 \11

H 1010；；|| I

——1 1011O；I I

-J Hiu,；：

lonio1

iiuao'

-1 uiu L

HlOlO

-)11111

---------- ► liono 血成il环)

现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为S,好比列方程设未知数，而100—S恰好消去了“烫手”的无限长的小数部分，推出“方「二孑一一一—一二工

这样的思想，在研究等比数列时也用到了•以前讲过有限项数列：

a i, a2, a3，,，a i，,，a n.所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公共值q，也即：

ai，a2= aiq，a3 = a2q，,，a i = a i —i q，,，an = a n—i q，

或

a i，a2= a i q，a3 = a i q2，,，a i = a i q i —1，,，a n = a i q n—1.

现在要求出a i + a2+ a3 +, + a +, + a n .

思想方法：第一步：

设S= a i + a2 +, + a n = a i + a i q + a i q2+, + a i q n—i.

上式两边乘上q,作为第二步：

qS= a i q+ a i q2+, + a i q n—i+ a i q n.

当q v i时，用上式两边减下式两边，得到

S一qS—a i 一a i q ，

即有3= -1(q

1 p

公式(3)称为公比小于i的等比级数前n项求和公式•它叙述为: 前n项和等于首项与首项乘公比的n次幕的差除以i与公比之差.

类似地可推导出；当时，沪巴玉(q>l)・(4)

例4

l +lxl +±xl+±xl +±xl

7 7 2 14 2 28 2 56 2

11111

= —+ + 4- ■~+ -_= S

7 14 28 56 112

用公式⑶.q - = y » H = 5 .

2(八1) 31

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