01 第1章 地球椭球体的基本公式

10
1954年北京坐标系
采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系。
1980西安坐标系
采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地 坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。
2000国家大地坐标系
采用地心坐标系。
11
§1.2 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标
年代
1830 1841 1866 1880 1909 1948 1967 1975 1979 1984
长半径（m）
6377276 6377397 6378206 6378249 6378388 6378245 6378160 6378140 6378137 6378137
短半径（m）
6356075 6356079 6356584 6356515 6356912 6356863 6356755 6356755 6356755
扁率
1:300.8 1:299.15 1:295.0 1:293.5 1:297.0 1:298.3 1:298.247 1:298.257 1:298.257 1:298.257223563
附注
英国 德国 英国 英国 1942年国际第一个推荐值 前苏联 1971年国际第一个推荐值 1975年国际第一个推荐值 1979年国际第一个推荐值 美国
P

r
sn
s n r N cos
E N

E1
P1
同经差的纬线弧长由赤道向两极缩短
经差1的纬线弧长在赤道为111321m，在纬度45处为78848m，在两极为0。
27
§1.7 地球椭球面上的梯形面积
设在地球椭球面上，有两条无限靠近的经线和两条无限靠近的纬线，其经 度为和+d ，纬度为 和d 。它们构成了一个微分梯形ABCD（如图所 示）。这个微分梯形的边长为经线和纬线的微分弧长。因而有：
M a e (1 e1 )
2
(1 e1 sin )
2 2
3 2
≤
N
ae (1 e1 sin )
2 2 1 2
在赤道上：
M 0 a e (1 e1 )
2
N 0 ae
在极点上：
M 90 N 90 ae 1 e1
2
子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其 它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径（N）均大于子午圈曲率 半径（M）。 15
其中
A 1 B C D 3 4 3 4 e1
2
45 64 15 16
e1
4
175 256 525 512
e1 1 .0 0 5 0 5 1 7 7 3 9
6
e1
2
e1
4 4
e1 0 .0 0 5 6 6 2 3 7 7 6
6
15 64
e1
2

2 yy b
2
0
即
dy dx

b a
2 2
x y
(1-3)
由（1-2）、（1-3）式可得：
b a
2 2
x y
ctg
(1-4)
由偏心率公式，可以进一步得到：
a b
2 2 2
e
2
即 b a (1 e )
2 2 2
(1-5)
a
18
（1-4）式可以化为：
tg
a b
2 2
3 2
L W
E1
卯酉圈曲率半径(radius of curvature in prime vertical)：地球椭球体表面上某点法 截弧曲率半径中最大的曲率半径 (N) 。
N ae (1 e1 sin )
2 2 1 2
P1
子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)
14
子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）之间的关系
12
§1.3 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径
子午圈
P
通过地面任一点的法线可以有无 数法截弧，它们与椭球面相交则 形成无数法截弧，其中有一对互 相垂直的法截弧，称为主法截弧。 主法截弧都是椭圆，其中一个是 子午圈。 卯酉圈 与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉 圈。地球椭球面上的子午圈始终代 表南北方向；卯酉圈除了两个极点 外，代表东西方向。
(1-9)
代入（1-8）中，得y，
y
(1 e sin )
2 2 3 2

3 2
a sin (1 e )
(1-10) 21
将（1-2）、（1-10）式代入M的表达式，得
3 3
M
(1 y ) 2
2
y

(1 ctg ) 2 a sin (1 e )
Ellipsoid
SP
6
地球椭球体的形状和大小
扁 率(Flattening or Compression)
fe a e be ae
P be E A
O
第一偏心率(First Eccentricity)
e1
2
a e be
2
2
ae
E1
ae
2
第二偏心率(Second Eccentricity)
3
M
(1 y ) 2
2
y
上式之所以取负号，是由于y <0。 由（1-2）式知，
dy dx ctg
将上式对x再求一次导数，得：
d y d x
2 2

1
2
d
(1-8) 20
sin dx
按（1-7）式对求导数
x a cos
1
a cos (1 e sin )
4
大地水准面的作用——高程基准
高程基准是推算国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据， 它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。其中水准基面在理论上 通常采用大地水准面，实际上是取验潮站长期观测结果计算出来的平 均海面来确定的。 中国以青岛港验潮站长期观测资料推算出的黄海平均海面作为中 国的水准基面，即零高程面。
曲率和曲率半径
设一曲线的直角坐标方程是y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。则该曲线的曲 率为： y
K y (1 y )
2 3 2
曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数。
y=f(x)
M
x
16
将地球视作旋转椭球体，则经线圈是椭圆，纬线圈是圆。如果以椭圆的 短轴为y轴，长轴为x轴（见下图），经线圈上一点A的x坐标，便是纬圈 的半径。 由右图，经线椭圆的方程式为：
D Q E L
r
A
E1 W
P1
子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)
13
子午圈曲率半径(radius of curvature in meridian)(M) ：地球椭球体表面上某点 法截弧曲率半径中最小的曲率半径。
M a e (1 e1 )
2
P D Q E
r
A
(1 e1 sin )
地图投影
Map Projections
蒲英霞 南京大学地理信息科学系
2011年8月30日
1
第一章 地球椭球体的基本公式
2
地球椭球体的形状和大小 地球椭球面上的基本点、线、面和地理坐标 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径 地球球半径 经线弧长
纬线弧长
地球椭球面上的梯形面积
3
§1.1 地球椭球体的形状和大小
2 2
y x

1 1 e
2
y x
即 y x (1 e ) tg
2
(1-6)
将（1-6）式代入（1-1）式，则：
x a
整理后，得
2 2

x (1 e ) tg
2 2 2 2
b
2
1
x
a cos
1
(1-7)
(1 e sin ) 2
2 2
19
曲线上一点的曲率半径等于曲线在该点的曲率的倒数。用M表示子午 圈曲率半径，则有：
x a
2 2
y P A b E x 90+ E B

y b
2 2
1
(1-1)

N a
y
x
过A点作切线AB交x轴于B点，A点的 法线与x轴（代表赤道面）的夹角为 纬度，因此有：
dy dx tg ( 90 ) ctg
(1-2)
P
17
对（1-1）式求导数：
2x a
大地水准面与大地体（Geoid）
设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一 个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做大 地水准面。由它所包围的球体，叫做大地体。 Geoid NP Ellipsoid
SP 大地水准面仍然不是一个规则的曲面，而是一个起伏不平的重 力等位面，即地球物理表面。
Re a e be a e 3 6371118 ( m )
等面积球半径：球体的面积等于地球椭球体的面积
R a a e (1 1 6 e1
2
17 360
e1 ) 6371116 ( m )
2
等体积球半径：球体的体积等于地球椭球体的体积
Rv
3
a e b e 6371110
2 2

1 2
(1 e sin ) 2
2 2
dx d
a { sin (1 e sin )
2 2

1 2
e sin cos (1 e sin )
2 2 2 2

3 2
}
a sin (1 e sin )
2 2

3 2
(1 e )
2
105 256 35 512
e1 0 .0 0 0 0 1 0 6 2 4 5
6
e1 0 .0 0 0 0 0 0 0 2 0 8
6
同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增长 纬差1的子午线弧长在赤道为110576m，在两极为111695m。
26
§1.6 纬线弧长
在地球椭球体上，纬圈是圆。若求纬线上两点间经差为（2-1）的一段 弧长，可由下式求得：
点
两极 (pole)
子午圈
P r
平行圈
线
经线(meridian) 纬线(parallel)
E
be
起 始 经 线 F
A
地理纬度

ae
赤道
E1
G
面
平行圈(parallel) 子午圈(meridian) : 长半径为ae，短半径为be的椭圆
P1
地理经度
地理坐标
地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)
9
我国采用的椭球体：
1952年以前采用海福特椭球体 1953年起采用克拉索夫斯基椭球体 1980年国家大地坐标系采用的地球椭球体（1975年大地坐标系）的参数： ae= 6378140，扁率为1：298.257 2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系，具体参数为：ae = 6378137， be=6356752.31414 , 扁率为1：298.257222101
中国水准原点建立在青岛验潮站附近，并构成原点网。用精密水 准测量测定水准原点相对于黄海平均海面的高差，即水准原点的高程， 定为全国高程控制网的起算高程。
5
地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)
选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴 为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形状，又 称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称 为地球椭球体或地球椭球。 Geoid NP
e2
2
a e be
2
2
P1
be
2
7
第一偏心率和第二偏心率之间的关系：
e1
2
e2Fra Baidu bibliotek
2 2
P be E
O
1 e2
ae
e2
2
e1
2 2
E1
1 e1
A
P1
8
世界各国常用的地球椭球体数据
椭球名称
埃弗斯特(Everest) 白塞尔(Bessel) 克拉克(Clarke Ⅰ) 克拉克(Clarke Ⅱ) 海福特(Hayford) 克拉索夫斯基(Krassovsky) 1967年大地坐标系 1975年大地坐标系 1980年大地坐标系 WGS84
2
(m )
24
§1.5 经线弧长
设在经线上有一点A，其纬度为1，当A点沿经线移动一无限小距离达 到A点时，纬度增加d，设A点的经线曲率半径为M，则经线上这一 微分弧AA为
P B A A E1
A A ' ds m Md
E
2
1
如果求 1至2一段经线弧长，可将上式积分，即
2 3 2 3
(1 e sin ) 2
2 2
经过整理，得到子午圈曲率半径的公式为：
M a (1 e )
2 3
(1 e sin ) 2
2 2
22
卯酉圈曲率半径的公式为：
N
x cos

2
a
1
(1 e sin ) 2
2
23
§1.4 地球球半径
三轴平均球半径：椭球体三个半轴取平均数
d
P1
sm

2
1
Md
25
将子午圈曲率半径（M）带入上式，经整理，最后得：
B C D 2 s m a e (1 e1 ) A ( 2 1 ) (sin 2 2 sin 2 1 ) (sin 4 2 sin 4 1 ) (sin 6 2 sin 6 1 ) 2 4 6