[第45讲]余数问题(二)
余数的知识点总结
余数的知识点总结一、余数的概念余数的概念最早出现在我们学习除法的时候。
当我们用一个数除以另一个数时，商是一个整数，余数是一个小于被除数的正整数。
例如，当我们将13除以4时，商是3，余数是1。
因此，13÷4=3……1。
这里的1就是余数。
余数的概念可以用数学符号“mod”来表示，即a≡b(mod m)，其中a是被除数，b是余数，m是除数。
这个符号读作“a同余b模m”。
例如，13≡1(mod 4)。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的范围是0到除数-1之间。
例如，当我们将13除以4时，余数的范围就是0到3。
这是因为余数小于除数，所以余数的范围是有限的。
2. 余数的性质余数可以满足一些基本的性质，例如：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
这意味着如果两个数在模m下同余，那么它们的和也在模m下同余。
这个性质在数论和离散数学中有着重要的应用。
3. 余数的运算余数的运算规则和整数的运算规则是一样的。
例如，对于任意的整数a、b和m，有(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m。
这意味着在计算余数时，我们可以先对每个数取余，然后再进行加法或乘法运算，最后再取一次余数，结果不变。
三、余数的应用1. 时钟和日历在时钟和日历的应用中，余数概念起着非常重要的作用。
例如，一小时后的时间可以用（当前时间+1）mod 12来表示，从而得到12小时制的时间。
又如，计算日期间隔的时候，我们可以用（未来日期-当前日期）mod 7来表示，得到相对于当前日期的天数差。
2. 整数的性质余数概念也常常用来证明整数的性质。
例如，我们可以用余数来证明一个数的奇偶性。
对于任何整数a，a≡0(mod 2)当且仅当a是偶数；a≡1(mod 2)当且仅当a是奇数。
3. 数论问题在数论中，余数的概念是至关重要的。
例如，欧拉定理和费马小定理就是建立在余数的基础上。
数论.第4讲.余数问题(二).教师版
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
数论之余数问题---学生版
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
【知识点拨】1.余数的加法定理①a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理①a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【巩固】1、 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．2、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例 3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【巩固】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例 4】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【巩固】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【例 5】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.巩固1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【例 6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例 7】20032与22003的和除以7的余数是________．【例 8】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例 9】(《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】(全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例 10】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】"2"20002222个除以13所得余数是_____.【巩固】 求89143除以7的余数．【巩固】 222212320012002+++++除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【巩固】 1996777777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？【例 11】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2a+，则这个自然数是多少？a+，5【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 12】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【例 13】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．课 后 作 业练习1. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？练习3. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．练习4：有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？练习5：若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．练习6：2008222008+除以7的余数是多少？【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．。
奥数数论：余数问题要点及解题技巧
奥数数论：余数问题要点及解题技巧(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除奥数数论：余数问题要点及解题技巧一、基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数，q叫做a除以b的不完全商。
二、余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
三、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
四、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；五、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；六、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
六年级余数问题知识点总结
六年级余数问题知识点总结在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的问题和知识点。
其中，六年级的学生们也会接触到余数问题。
余数是指一个数除以另一个数时得到的剩下的数值。
下面，我将总结六年级余数问题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 余数的定义与表示方法- 余数是除法运算中的概念，表示被除数除以除数后剩下的数值。
- 一般以 R 表示余数，可以用 R = 被除数 - 商 ×除数来计算余数。
- 也可以用 R = 被除数 mod 除数的方式表示，其中 mod 是取余运算符，意为取得两个数相除的余数。
2. 余数的应用场景- 余数可以用来判断一个数是否是另一个数的倍数。
- 余数也可以用来解决循环问题，例如判断一个数是否是循环小数。
- 余数在计算中具有重要的应用，例如在数据校验、密码学和编码中。
3. 余数的基本性质- 如果两个整数 a、b 对 m 取余后的余数相同，那么 a 和 b 被m 整除的余数也相同。
- 余数也遵循乘法和加法的性质，即 (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
- 对于整数 a、b 和正整数 m，有以下关系：(a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m。
4. 余数与整除的关系- 当被除数能够整除除数时，余数为0，表示没有剩下的数值。
- 如果被除数不能整除除数，余数大于 0，表示还有剩下的数值。
- 除数比被除数大，那么余数一定等于被除数。
5. 余数的求解方法- 在纸面上进行除法运算，直接得到余数。
- 使用科里奥定理，计算被除数除以除数的商和余数。
- 在计算机编程中，可以使用取余运算符直接计算得到余数。
6. 余数问题的常见应用- 判断一个数是否是另一个数的倍数：若余数为0，则是倍数；若余数不为 0，则不是倍数。
- 寻找符合条件的数：利用余数的性质，可以通过对余数的分析来找到满足要求的数。
冀教版数学二下第二单元《有余数的除法》(第2课时 余数与除数之间的关系)ppt课件
第 2 课时 余数与除数之间的关系
典题精讲
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分小棒
把17根小棒按要求 分一分，并写出算
式
1）平均分成三份，每份几根，还剩几根？
17 ÷ 3 = 5 （根）…… 2 （根）
典题精讲
课件PPT
2）平均分成4份，每份几根，还剩几根？
17 ÷ 4 = 4 （根）…… 1 （根）
24个球，平均借给3个班，每个班
借（ 8 ）个。
课件PPT
24 ÷ 3 = 8 （个）
学以致用
24个球，平均借给5个班，每个班
借（ 4 ）个，还剩（ 4 ）个
课件PPT
24 ÷ 5 = 4 （个）……4（个）
学以致用
课件PPT
18块月饼，每8块装一盒，够装（ 2 ） 盒，还剩（ 2 ）块
18÷ 8= 2 …… 2 （块）
试卷下载：/shiti/
教案下载：/jiaoan/
PPT论坛：
PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuw en/ 数学课件：/kejian/shuxue/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
17 ÷ 5 = 3 （根）…… 2 （根）
4）平均分成6份呢？ 17 ÷ 6 = 2 （根）…… 5 （根）
典题精讲
比较上面各题中除 数和余数的大小，
你发现了什么？
课件PPT
典题精讲
课件PPT
3）平均分成5份呢？ PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/
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【讲义】6年级_下册_第02讲_余数问题综合提高
第二讲 余数问题综合提高本讲知识点汇总：一． 求余数1． 直接做除法．2． 特征求余（注意和整除特征对比）；3． 替换求余4． 周期求余5． 分解求余二． 物不知数问题（求被除数）1． 也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理”（也称“孙子定理”）．物不知数问题的基本解法是：逐步增加条件，逐步找寻2． 分解求余三． 同余1． 概念如果a 和b 除以c 的余数相同，则称a 、b 对c 同余，例如：10和28对9同余．2． 如果a 、b 对c 同余，则是c 的倍数．例1． （1）4188141616⨯⨯除以7、8、9、11的余数分别是多少？（2）892除以7的余数是多少？（3）89143的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以11和13的余数呢？「分析」（1）替换求余法；（2）周期求余法解这道题目；（3）同上．a b -练习1、的个位数字是多少？除以7的余数是多少？例2． 200320032003032003200320个除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？「分析」截段求和法．练习2、201320132003200320032003除以9的余数是多少？除以11的余数是多少？除以99的余数是多少？例3． 有一种三位数，它除以9所得的余数等于它的各位数字的平方和，这样的三位数可能是多少？请写出所有可能答案．「分析」尝试枚举出一个符合题意数来，总结一下这样的数有什么特点．练习3、一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个；如果9个一包，最后还剩8个；…；如果5个一包，最后还剩4个．那么如果13个一包，最后还剩多少个？例4．（1）一个三位数除以9余2，除以12余2，那么这个三位数最小是多少？ （2）一个数除以4余3，除以6余5，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）一个三位数除以3余2，除以5余3，除以7余4，那么这个三位数最小是多少？ 「分析」（1）余数相同；（2）余数和除数的差相同；（3）逐步满足条件法．20132013练习4、（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？例5．三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为多少？「分析」能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样的特点呢？例6．有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？「分析」如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点？作业1． 的个位数字是多少？除以7的余数是多少？2． （1）一个三位数除以4余2，除以6余2，那么这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以3余1，除以4余2，除以6余4，那么这个三位数最小是多少？（3）一个数除以9余2，除以12余5，那么这个数最小是多少？3． 一个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？4． 一个两位数去除531，得到的余数是69，这个两位数是多少？5． 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？36629。
余数问题 — 求余数
2. 732 327 184 9 余数是几？
余数问题
3. 2017 2018 2019 的结果除以 3 的余数是几？
4. 81547×118 除以 8、9、11 的余数分别是几？
5. 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 的积的末三位数是 多少？
3. 201720182019 除以 3 的余数是几？除以 9 的余数是几？
附加题： 21! AB0909421717094CD000 ，那么四位数 ABCD 是几？
题型二：复杂算式求余
1. 412 327 184 3 余数是几？ 412 327 184 9 余数是几？
【常见题型】 1. 复杂算式求余 用余数的三个性质求解。 2. 周期求余 用余数的可乘性求解，余数是一个周期。
余数问题
题型一：整除特征求余 1. 1234567 除以 5 的余数是几？除以 8 的余数是几？除以 25 的余数是几？除以
9 的余数是几？
2. 20172017 2017 除以 9 的余数是几？ 2017 个
6. 1 2 3 2018 的计算结果，除以 9 的余数是几？
题型三：周期求余 1. 32017 8 的余数是几？
2. 20172017 9 的余数是几？
余数问题
奇数位数字和减去偶数位数字和的差2偶数位截断求和3三位截断求差
余数问题
余数问题 — 求余数
【整除特征求余】
1.
2、5 求余：只看个位
4、25 求余：只看末两位
8、125 求余：只看末三位
2. 3、9 求余：
（1） 数字和
（2） 弃倍数
3. 11 求余：
第二讲 有余数的除法的计算 二年级下册数学寒假自学课(苏教版)
第二讲有余数的除法的计算1、经历探索有余数的除法计算方法的过程，掌握求商的方法。
2、会用竖式计算有余数的除法。
3、能正确进行有余数的除法的计算，并能运用相关知识解决有关的实际问题。
4、培养初步的观察、概括的能力。
1、用竖式计算没有余数的除法时，除法哪位商就写在哪位的上面。
2、笔算有余数的除法时，被除数里最多有几个除数，商就是几。
用被除数减去除数与商的积，所得的差为余数，余数与上面的数位对齐，写在横线的下面。
一、选择题1．王老师买来28块糖，最少拿掉（）块，就能正好平均分给8个同学。
A．4 B．3 C．52．做一个灯笼用4张纸，34张纸可以做几个灯笼？明明用竖式计算出了结果，下边竖式中表示（）。
A．剩下的张数B．一共的张数C．已经用掉的张数3．一支铅笔8角钱，小红带了6元钱，最多可以买（）这样的铅笔。
A．6 B．7 C．84．4个小朋友在玩轮流报数游戏（每次都从平平开始）。
下面3个数中，（）是平平报的。
A．20 B．21 C．225．幼儿园的老师要把下面的玩具分到各个小组，皮球22个，积木16盒，小汽车10辆。
现在每个小组要分7个皮球，3盒积木，2辆小汽车，这些玩具可以分给（）个小组。
A．5 B．4 C．3二、填空题6．植树节，二年级5个班应植树48棵，其中只要有1个班至少多植（）棵，其余各班就可以植得一样多。
7．有45本书，至少拿走（）本，剩下的正好平均分给7个小朋友。
至少添上（）本书，才能正好平均分给7个小朋友。
8．有二十多个糖果，如果平均分给3个小朋友能正好分完，如果平均分给4个小朋友则还剩下3个，这些糖果一共有（）个。
9．有17个苹果，分给4个小朋友，至少要补上（）个苹果或者至少去掉（）个苹果，才能使每人分到的苹果一样多。
10．书架上原有37本故事书，最少添上（）本，可以正好平均分给8个小朋友；最少拿走（）本，可以正好平均分给7个小朋友。
三、计算题11．看图列式。
÷＝（个）……（个）÷＝（束）……（个）四、解答题12．每天看8页，至少要看多少天才能把这本书看完？13．王老师有45张红纸，7张红纸可以做一只小帽子，王老师最多可以做多少只小帽子？14．一张长方形的餐桌需要配4把椅子。
余数问题求解技巧
余数问题求解技巧当我们进行数学运算时，有时候我们需要求解一个问题的余数。
余数是一个数字除以另一个数字所得到的剩下的部分。
在解决余数问题时，有一些技巧可以帮助我们更有效地解决问题。
1. 余数定义：余数是除法运算中除数除以被除数得到的剩余部分。
用数学符号表示，余数可以表示为：被除数= 除数×商 + 余数。
例如，当我们计算20除以3时，可以得到商为6，余数为2，即20 = 3 × 6 + 2。
2. 同余定理：同余定理指出，如果两个整数在除以一个正整数时具有相同的余数，那么这两个整数之差是这个正整数的倍数。
例如，如果a除以n的余数是r，b除以n 的余数也是r，那么就有a - b能够被n整除。
3. 整数相加求余：当我们面对两个整数相加并求余的问题时，可以先对两个整数分别求余，然后再相加，最后再对结果求余。
例如，求解(23 + 33) mod 5，先分别对23和33求余，得到3和3，然后再相加得到6，最后再对结果6求余得到1。
4. 余数的性质：余数具有一些特定的性质，可以用来简化问题。
例如，两个数的和的余数等于两个数分别取余后再相加的余数，即(a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n。
5. 除数的特殊取值：在解决求余的问题时，有时候除数的特殊取值可以帮助我们更快地得到答案。
例如，当除数是10的幂时，我们可以直接取被除数的末尾几位数作为余数。
例如，求解4357 mod 1000，我们可以直接取57作为余数。
6. 负数求余：当我们面对负数求余的问题时，可以先将负数转换为正数，然后再对正数求余，最后再将结果转换为负数。
例如，求解-25 mod 7，可以将-25转换为25，然后再对25求余，得到结果4，最后再将结果转换为负数-4。
7. 大数求余：当我们面对大数求余的问题时，直接使用除法运算可能会比较繁琐。
可以利用同余定理简化求余运算。
例如，求解1234567 mod 8，我们可以将1234567分解为(1200000 + 3000 + 400 + 60 + 7) mod 8，然后分别对每一项求余，得到(0 + 3 + 0 + 4 + 7) mod 8 = 14 mod 8 = 6。
余数问题（二）
余数问题（⼆）第⼗三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应⽤余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满⾜这些情况的被除数是多少。
例如：⼀个⾃然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满⾜条件的最⼩三位数？本类形题的解题⽅法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满⾜法。
⼀、公倍加余法例：求满⾜除以3余1，除以4余1的最⼩两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表⽰被除数除以除数时没有除尽，还多出来的⼀些数，所以满⾜除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满⾜除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满⾜，我们只需要找到3,4的最⼩公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最⼩的两位数即为[3,4]+1=12+1=13⼆、公倍减余法例：求满⾜除以3余2，除以4余3的最⼩两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就⼜是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满⾜除以4余3的数，也是还差1个就⼜是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满⾜，我们只需要找到3,4的最⼩公倍数再减去1就可以了。
所以最⼩的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满⾜法例：求满⾜除以7余2，除以4余1，除以11余4的最⼩⾃然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种⽅法均不可⽤。
那么我们可以根据同余的性质逐级满⾜，最后求出同时满⾜三种情况的最⼩⾃然数。
过程如下：（1）满⾜除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数⼜要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满⾜前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最⼩数为：7×1+2=9则满⾜前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满⾜除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数⼜要除以11余4。
余数问题的方法和技巧
余数问题的方法和技巧
1. 哎呀，余数问题其实不难啦！比如 17 除以 5，得到商 3 余 2，那这里的 2 就是余数呀！遇到余数问题时，咱可以先看看除数是多少，就像找到钥匙去开锁一样，先找到关键所在。
示例：咱想想看哦，要是有一堆苹果要分给几个小朋友，知道了除数不就知道每个小朋友能分几个，剩下几个嘛。
2. 嘿，还有一招呢！可以用被除数减去余数，然后再除以除数，可神奇啦！像 23 除以 4 余 3，那 (23-3) 除以 4 就正好整除啦！
示例：这就好比你有一些钱，花了一部分还剩点，然后你能算出你原来花了多少钱能买几个东西一样。
3. 哇塞，一定要记住余数一定小于除数哦！这就像弟弟永远比哥哥小一样理所当然呀！
示例：如果余数比除数大，那不是还能接着分嘛，这多不合理呀，是不是？
4. 还有哦，同余问题也很有趣呀！比如两个数除以同一个数余数相同，嘿嘿。
示例：就像你和朋友都去买糖果，最后剩下的糖果数一样，多有意思呀。
5. 咱可以通过余数来推断一些情况呀，比如判断一个数是不是另一个数的倍数啥的，神奇吧？
示例：假如一个数除以 5 余 0，那不用说肯定是 5 的倍数啦。
6. 利用余数还可以解决周期问题呢，这可太妙啦！
示例：就像四季更替一样，有规律有周期，通过余数能找到在哪个阶段呢。
7. 知道了余数的性质，那解题不就更得心应手啦？
示例：这不就像有了秘密武器，啥难题都不怕啦。
8. 余数问题真的超好玩的，大家一定要多试试呀！
示例：相信自己，一旦掌握了，那感觉简直太棒啦！
我的观点结论：余数问题不可怕，方法技巧掌握好，就能轻松解决。
大家一起加油哦！。
小学奥数中的余数问题PPT课件.ppt
7
? 4. 393除以一个两位数 ,余数为8,这样的两位数有 _____ 个,它们是 _____.
解：4. 4; 11,35,55,77 393减8,那么差一定能被两位数整除 .
∵393-8=385
4
同余定理（三）
a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c 的余数之积（或这个积除于c的余数）
例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以 （23×16）除于5的余数等于3×1＝3 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以 （23×19）除于5的余数等于（3×4）除于5 的余数，即2
5
? 1．小东在计算除法时，把除数 87写成78，结果 得到的商是54，余数是8.正确的商是 _____,余数 是_____.
? 2. a÷24=121…… b,要使余数最大，被除数应该
等于_____. ? 3. 一个三位数被 37除余17,被36除余3,那么这个
三位数是_____.
6
解1. 48,44. 依题意得 被除数=78×54+8=4220 而4220=87 ×48+44,所以正确的商是 48,余数是44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小 ,所以余数最大为 23,故有 被除数 =24×121+23=2927 解3. 831 这个三位数可以写成 37×商+17=36×商+(商+17). 根据“被 36除余3”.(商+17)被36除要余 3.商只能
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? 6. 888……8 乘以666……6的积，除以 7余数是
50个8
50 个6
余数问题
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
解：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数 解答: 23。
70×2＋21×3+15×2-105×2＝23那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×9=1073在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。
术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。
以二百一十减之，即得。
凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。
余数问题
2.学校新买来118个乒乓球，67个乒 乓球拍和33个乒乓球网，如果将这 三种物品平分给每个班级，那么这 三种物品剩下的数量相同．请问学
校共有多少个班？
解析：所求班级数是除以余数相同的数．那么可 知该数应该为118-33=85和67-33=34的公约数， 所求答案为17．
3.(2000年全国小学数学奥林匹克试 题)在除13511，13903及14589时能
除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）； • 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位
分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余 数就是原数被7，11或13除的余数。
• 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和 3+1。
• 当余数的和比除数大时，所求的余数之和再除以c 的余数。
• 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2。
B.余数的减法定理
(法1) 39-3=36，51-3=48，（36,48）=12，12的 约数是1，12,3,4,2,6，因为余数为3要小于除 数，这个数是4，6,12；
• (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一 定能整除这三个数中的任意两数的差，也 就是说它是任意两数差的公约数．5139=12，147-39=108，（12,108）=12，所 以这个数是4，6,12 ．
• a÷b=q……r a与b的差除以c的余数，等于 a、b分别除以c的余数之差。
• 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所 以23—16=7除以5的余数等于2。两个余数 差3—1=2，
余数的除法解决问题教学ppt
利用余数进行加密解密
加密算法
在一些加密算法中，会使用到除法的余数进行加密。
解密算法
同样地，解密算法也会利用除法的余数进行解密。
余数在编程中的应用
判断素数
在编程中，可以利用余数来判断一个数是否为素数。
数据处理
在一些数据处理的过程中，也会用到除法的余数。
04
余数的除法算法
试商法
总结词：逐步逼近
详细描述：试商法是指通过逐步逼近的方式来求得两个整数相除的余数。首先， 我们将被除数加上除数的倍数，使其变成一个整数，然后再用除数去除这个整数 ，直到商和余数都为0。这种方法比较简单，但需要多次尝试。
余数的除法解决问题教学ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 余数的除法基础知识 • 余数的除法应用 • 余数的除法算法 • 余数的除法练习题 • 余数的除法总结与展望
01
引言
课程背景
学生已经掌握加、减、乘、除基本运算 学习本课程后，学生可以掌握余数的除法解决问题
教学目的
学生能够理解和掌握余数的除法解决问题的方法 学生能够正确运用余数的除法解决问题
反证法
总结词：反面思考
详细描述：反证法是指从反面角度思考问题，通过证明余数 不为0来解决问题。具体来说，我们可以假设余数不为0，然 后通过一系列计算得出矛盾的结论，从而证明余数必为0。这 种方法比较巧妙，但需要较强的数学技巧。
数学归纳法
总结词
一般化思想
详细描述
数学归纳法是一种用不完全归纳法解决问题的数学方法。它通过归纳特殊情 况，将问题一般化，从而得到问题的答案。这种方法比较抽象，需要较强的 数学基础和逻辑思维能力。
05
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22003与20032的和除以7的余数是________。
今天是星期四，101000天之后将是星期几？
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。
求478×296×351除以17的余数。
求1×3×5×…×2007×2009的末三位数是多少？
如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A 孔 出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔。
他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔。
他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔。
最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
余数问题（二）
在图表的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3。